§3.2 导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
课时目标 1.能根据定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1
x的导数.2.能利用给出的基本
初等函数的导数公式求简单函数的导数．
1．函数 y＝f(x)＝c 的导数为____________，它表示函数 y＝c 图象上每一点处，切线的
斜率为 0.若 y＝c 表示路程关于时间的函数，则 y′＝0 可以解释为某物体的____________始
终为 0，即一直处于________状态．函数 y＝f(x)＝x 的导数为__________，它表示函数 y＝x
图象上每一点处切线的斜率为 1.若 y＝x 表示路程关于时间的函数，则 y′＝1 可以解释为某
物体做____________为 1 的______________运动．
2．常见基本初等函数的导数公式：
(1)若 f(x)＝c(c 为常数)，则 f′(x)＝______；
(2)若 f(x)＝xα (α∈Q*)，则 f′(x)＝________；
(3)若 f(x)＝sin x，则 f′(x)＝________；
(4)若 f(x)＝cos x，则 f′(x)＝________；
(5)若 f(x)＝ax，则 f′(x)＝________ (a>0)；
(6)若 f(x)＝ex，则 f′(x)＝________；
(7)若 f(x)＝logax，则 f′(x)＝________ (a>0，且 a≠1)；
(8)若 f(x)＝ln x，则 f′(x)＝________.
一、选择题
1．下列结论不正确的是( )
A．若 y＝3，则 y′＝0
B．若 y＝ 1
x
，则 y′＝－1
2 x
C．若 y＝－ x，则 y′＝－ 1
2 x
D．若 y＝3x，则 y′＝3
2．下列结论：①(cos x)′＝sin x；②(sin π
3 )′＝cos π
3；③若 y＝ 1
x2，则 y′|x＝3＝－ 2
27.
其中正确的有( )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
3．已知直线 y＝kx 是曲线 y＝ex 的切线，则实数 k 的值为( )
A.1
e B．－1
e C．－e D．e
4．正弦曲线 y＝sin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的范
围是( )
A．[0，π
4 ]∪[3π
4 ，π) B．[0，π)
C．[π
4，3π
4 ] D．[0，π
4 ]∪[π
2，3π
4 ]
5．已知曲线 y＝x3 在点 P 处的切线斜率为 k，则当 k＝3 时的 P 点坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8) D．(－1
2，－1
8)
6．质点沿直线运动的路程 s 与时间 t 的关系是 s＝5 t，则质点在 t＝4 时的速度为( )
A． 1
25 23 B． 1
105 23
C．2
5
5 23 D． 1
10
5 23
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．曲线 y＝cos x 在点 A (π
6， 3
2 )处的切线方程为__________________________．
8．已知 f(x)＝xa，a∈Q，若 f′(－1)＝－4，则 a＝
________________________________________________________________________.
9．若函数 y＝f(x)满足 f(x－1)＝1－2x＋x2，则 y′＝f′(x)＝________.
三、解答题
10．求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝1
x4；(3)y＝5 x3；(4)y＝10x.
11．求过点(2,0)且与曲线 y＝x3 相切的直线方程．
能力提升
12．设曲线 y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，令 an＝lg xn，
则 a1＋a2＋…＋a99 的值为________．
13．求过曲线 y＝ex 上点 P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．
1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．
2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．
3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计
算．§3.2 导数的计算
3．2.1 几个常用函数的导数
3．2.2 基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则(一)
知识梳理
1．y′＝0 瞬时速度 静止 y′＝1 瞬时速度 匀速直线
2．(1)0 (2)αxα－1 (3)cos x (4)－sin x
(5)axln a (6)ex (7) 1
xln a (8)1
x
作业设计
1．B [y′＝( 1
x )′＝(x－1
2)′＝－1
2x－3
2＝－ 1
2x x.]
2．B [直接利用导数公式．
因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
sin π
3＝ 3
2 ，而( 3
2 )′＝0，所以②错误；
(1
x2 )′＝(x－2)′＝－2x－3，则 y′|x＝3＝－ 2
27，
所以③正确．]
3．D [设切点为(x0，y0)．由 y′＝ex，
得 y′|x＝x0＝ex0，
∴过切点的切线为 y－ex0＝ex0(x－x0)，
即 y＝ex0x＋(1－x0)ex0，又 y＝kx 是切线，
∴Error! ∴Error!]
4．A [∵y′＝cos x，而 cos x∈[－1,1]．
∴直线 l 的斜率的范围是[－1,1]，
∴直线 l 倾斜角的范围是[0，π
4 ]∪[3
4π，π).]
5．B [y′＝3x2，∵k＝3，
∴3x2＝3，∴x＝±1，
则 P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]
6．B [s′＝1
5t－4
5.
当 t＝4 时，s′＝1
5· 1
5 44＝ 1
105 23.]
7．x＋2y－ 3－π
6＝0
解析 ∵y′＝(cos x)′＝－sin x，
∴y′|x＝π
6＝－sin π
6＝－1
2，
∴在点 A 处的切线方程为 y－ 3
2 ＝－1
2(x－π
6 )，
即 x＋2y－ 3－π
6＝0.
8．4
解析 ∵f′(x)＝axa－1，
∴f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4.
9．2x
解析 ∵f(x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2，∴f(x)＝x2，f′(x)＝2x.
10．解 (1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝(1
x4 )′＝(x－4)′＝－4x－5＝－4
x5.
(3)y′＝(5 x3)′＝(x3
5)′＝3
5x－2
5＝ 3
55 x2.
(4)y′＝(10x)′＝10xln 10.
11．解 点(2,0)不在曲线 y＝x3 上，可令切点坐标为(x0，x30)．由题意，所求直线方程的
斜率 k＝x30－0
x0－2＝y′|x＝x0＝3x20，即 x30
x0－2＝3x20，解得 x0＝0 或 x0＝3.
当 x0＝0 时，得切点坐标是(0,0)，斜率 k＝0，则所求直线方程是 y＝0；
当 x0＝3 时，得切点坐标是(3,27)，斜率 k＝27，则所求直线方程是 y－27＝27(x－3)，
即 27x－y－54＝0.
综上，所求的直线方程为 y＝0 或 27x－y－54＝0.
12．－2
解析 y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝(n＋1)(x－1)，令 y＝0，
得 x＝ n
n＋1.
an＝lg xn＝lg n
n＋1＝lg n－lg(n＋1)，
则 a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2.
13．解 ∵y′＝ex，∴曲线在点 P(1，e)处的切线斜率是 y′|x＝1＝e，
∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率 k＝－1
e，
∴所求直线方程为 y－e＝－1
e(x－1)，
即 x＋ey－e2－1＝0.
微信/支付宝扫码支付