（新高考地区新教材）2020-2021学年上学期高三第一次月考备考金卷 数学（A卷）含答案解析

新教材 2020-2021 学年上学期高三第一次月考备考金 卷 数 学（A） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． 或 B． C． D． 2．设复数 （其中 ， 为实数），若 ， 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．可知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ 称为黄金分割比例），已知一位美女身高 ，穿上高跟鞋后肚脐至鞋底的长 度约 ，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是（ ）（结果保留一 位小数） A． B． C． D． 5．函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如 ， 等，在所有小于 的 三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于 的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知非零向量 ， 满足 且 ，则 与 夹角为（ ） A． B． C． D． 8．已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．已知直线 和直线 平行，则 （ ） A． B． C． D． 10．已知 ， ， 成递增等比数列，则在 的展开式中，下列说法正确的是（ ） 2{ 2 0}A x x x= − − > 2{ 4 3 0}B x x x= − + < A B = { 1x x < − 1}x > { 2 3}x x< < { 1 3}x x< < { 1 2}x x< < iz x y= + x y x y 2 2( 2) 4x y+ − = 2iz − = 4 2i− 2 2i− 2 4 1 55a −= 4 1log 5b = 1 4 1log 5c = a c b> > a b c> > c a b> > c b a> > 5 1 2 − 5 1 0.6182 − ≈ 160 cm 103.8 cm 8.1cm 8.0 cm 7.9 cm 7.8 cm cos2( ) | | xf x x = 323 5445 200 5 2 5 1 3 2 9 4 15 a b | | 3 | |=a b ( 3 ) ( )+ ⊥ −a b a b a b π 3 π 6 π 2 0 nS }{ na n 7 14S = 6 8a = 3 10na n= − 2 4na n= − 23 19nS n n= − 23 13 4 4nS n n= − 2 1 :(2 3) 3 2 0l m x y− − + = 2 : 3 5 0l mx y− − = m = 1− 1 2 3 3 2 4 n 9 2(4 )nx x − 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A．二项式系数之和为 B．各项系数之和为 C．展开式中二项式系数最大的项是第 项 D．展开式中第 项为常数项 11．若椭圆 上的一点 到椭圆焦点的距离之积为 ，当 取得最大值时，点 的坐标可 能为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数 有唯一零点，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．曲线 在 处的切线方程为 ． 14．已知 ，则 ， ． 15．兵乓球单打比赛在甲、乙两名运动员进行，比赛采取五局三胜制（即先胜 3 局者获胜，比赛结 束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，且各局比赛结果相互独立，那么甲以 获胜的 概率为 ． 16．已知双曲线 的两条渐近线分别为直线 ， ，经过右焦点 且垂直于 的直线 分别交 ， 于 ， 两点，且 ，则该双曲线的离心率为 ． 四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（10 分）若数列 满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． ① ，② ，③ ． （从这三个条件中任选一个填入第（2）问的横线中，并回答问题） 18 ．（ 12 分 ） 在 锐 角 三 角 形 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知 ． （1）求角 的大小； （2）求 且 ，求 ． 64 1 4 5 2 2 116 9 x y+ = P a a P ( 4,0)− (4,0) (0,3) (0, 3)− 2 2 2 2( ) 4 ( )( )x xf x x x m m e e− − += − + − + m 1 1− 2 2− 2( ) 1xf x xe x= + − 0x = π 1sin( )4 8 α+ = πcos( )4 α− = 3πsin( )4 α+ = 3: 2 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1l 2l F 1l l 1l 2l A B 3FB AF=  { }na 1 2 3 1 1 1 1 2 3 1n n a a a na n + + + + = + { }na { }nb n nT 2 n n n a ab = 1 1 n n n b a a + = ( 1)n n nb a= − ⋅ ABC A B C a b c C 2 2 2cos cos 5A B+ = b a> sin 2A ( )(sin sin )c a A C− + (sin 2 sin )b B A= −19．（12 分）如图，在直三棱柱 中，底面 是直角三角形，且 ， ，其中 ， 分别是 ， 上的点且 ． （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值． 20．（12 分）某厂加工的零件按箱出厂，每箱有 个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验， 人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取 个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则 停止检验；若抽取的零件至少有 1 个至多有 个次品，则对剩下的 个零件逐一检验．已知每个零 件检验合格的概率为 ，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为 元． （1）设 1 箱零件人工检验总费用为 元，求 的分布列； （2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的 检验费为 元，现有 箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检 验中，应该选择哪一个？说明你的理由． 21．（12 分）过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点， 是抛物线的焦点． （1）若直线 的斜率为 ，求 的值； （2）若 ，求 ． AED BFC− AED EA AD⊥ 3AB AE AD= = = M N AF BC 1 3 FM CN FA CB = = MN∥ CDEF A CF B− − 12 5 4 7 0.9 3 X X 2 1000 (1,0)E l 2 2y x= A B F l 3 | | | |AF BF+ 1 2AE EB=  | |AB22．（12 分）已知函数 ，当 时，证明： （1） 有唯一极值点； （2） 有 个零点． 2 2 2( ) (1 2 ) lnf x x a x a x= + − − 1 a e< < ( )f x ( )f x 2新教材 2020-2021 学年上学期高三第一次月考备考金 卷 数 学（A）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】由题意可知， 或 ， ， 则 ，故选 B． 2．【答案】C 【解析】∵ ，∴ ，∴ ， 故选 C． 3．【答案】C 【解析】∵ ， ， ， ∴ ，故选 C． 4．【答案】B 【解析】设该美女穿的高跟鞋为 ，则 ，解得 ， 故选 B． 5．【答案】C 【解析】∵易知函数 为偶函数，排除 A，B 选项； ∵ ，当 时， ，即 ，排除 D． 6．【答案】B 【解析】列出所有小于 的三位回文数如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 个，从中任取两个数共有 种情况， 其中两个回文数的三位数字之和均大于 有 种情况， 故所求概率为 ，故选 B． 7．【答案】C 【解析】∵ ，则 ，得 ， ， 设 与 夹角为 ，则 ，即夹角为 ． 8．【答案】A 【解析】由题意得 ，解得 ，故 ． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．【答案】AD 【解析】∵直线 和直线 平行， 直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 则 ，即 ，解得 或 ． 10．【答案】ACD 【解析】由 ， ， 成递增等比数列可得 ， 故 的二项式系数之和为 ，A 正确； 令 ， ，则 的各项系数之和为 ，B 错误； 的展开式共有 项，则二项式系数最大的项是第 项，C 正确； { 1A x x= < − 2}x > { 1 3}B x x= < < { 2 3}A B x x= < = c a b> > cmx 103.8 5 1 0.618160 2x −=+ ≈ 8.0x ≈ cos2( ) | | xf x x = πcosπ 2( ) 0π4 4 f = = π(0, )4x∈ cos2 0x > ( ) 0f x > 200 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 10 2 10C 45= 5 2 6C 15= 15 1 45 3P = = ( 3 ) ( )+ ⊥ −a b a b ( 3 ) ( ) 0+ ⋅ − =a b a b 2 2| | 2 3| | 0+ ⋅ − =a a b b 2 23| | | | 2 −⋅ = b aa b a b θ 2 23| | | |cos 02 | | | | θ −= =⋅ b a a b π 2 1 1 7 21 14 5 8 a d a d + =  + = 1 7 3 a d = −  = 23 17 2 2 3 10 n n S n n a n  = −  = − 2 1 :(2 3) 3 2 0l m x y− − + = 2 : 3 5 0l mx y− − = 1l 2 1 2 3 3 mk −= 2l 2 3 mk = 1 2k k= 22 3 3 3 m m− = 1m = − 3 2 4 n 9 6n = 62(4 )x x − 64 1x = 6 62(4 ) 2 64x x − = = 62(4 )x x − 64 62(4 )x x − 7 4的展开式中展开式中第 项 为常数项，D 正确， 故答案选 ACD． 11．【答案】CD 【解析】记椭圆 的两个焦点分别为 ， ，故 ， 可得 ，当且仅当 时取等号， 即点 位于椭圆的短轴的顶点处时， 取得最大值， 此时点 的坐标为点 或 ． 12．【答案】BC 【解析】∵ ， 令 ，则 ，定义域为 ， ，故函数 为偶函数， 所以函数 的图象关于 对称， 要使得函数 有唯一零点，则 ， 即 ，解得 或 ， 故答案选 BC． 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 【解析】 ， ， 根据导数的几何意义可知曲线在点 处的切线斜率为 ， ∴切线方程为 ，即 ． 14．【答案】 ， 【解析】∵ ，则 ， ， 根据 ，得 ． 15．【答案】 【解析】因为利用比赛规则，那么甲以 获胜表示甲在前 4 局中胜 2 局，最后一局甲赢， 则利用独立重复实验的概率公式可知 ． 16．【答案】 【解析】由题意得 ， ， ， 由题得 ，∴ ， 整理得 ，即 ， ∴ ， ，即 ． 四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．【答案】（1） ；（2）见解析． 【解析】（1） ， 当 时， ， 两式相减得 ，∴ ， 当 时， 满足， ， 62(4 )x x − 5 4 2 4 6 2C (4 ) ( ) 15 16 16x x − = × × 2 2 116 9 x y+ = 1F 2F 1 2| | | | 8PF PF+ = 21 2 1 2 | | | || || | ( ) 162 PF PFPF PF +≤ = 1 2| | | | 4PF PF= = P a P (0,3) (0, 3)− 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 ( )( ) ( 2) 4 ( )( )x x x xf x x x m m e e x m m e e− − + − − += − + − + = − − + − + 2t x= − 2 2( ) 4 ( )( )t tg t t m m e e−= − + − + R 2 2( ) ( ) 4 ( )( ) ( )t tg t t m m e e g t−− = − − + − + = ( )g t ( )f x 2x = ( )f x (2) 0f = 24 8 2( ) 0m m− + − = 1m = − 2 1 0x y− − = ( ) 2x xf x e x e x′ = + ⋅ + (0) 1f = − (0, 1)− (0) 1k f ′= = 1y x+ = 1 0x y− − = 1 8 3 7 8 ± π 1sin( )4 8 α+ = π π π π 1cos( ) cos[ ( )] sin( )4 2 4 4 8 α α α− = − + = + = 3π π π πsin( ) sin( ) cos( )4 2 4 4 α α α+ = + + = + 2 2π πsin ( ) cos ( ) 14 4 α α+ + + = π 3 7cos( )4 8 α+ = ± 3 16 3: 2 2 2 2 4 1 1 1 3C ( ) ( )2 2 2 16P = × × × = 6 2 FA b= 3FB b= OA a= tan tan bBOF AOF a ∠ = ∠ = 2 4tan tan 2 1 ( ) b b b a aBOA BOF ba a + ∠ = = ∠ = − 2 22a b= 2 2 22( )a c a= − 2 23 2a c= 2 3 2e = 6 2e = 1na n= + 1 2 3 1 1 1 1 2 3 1n n a a a na n + + + + = + 2n ≥ 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 ( 1) n n a a a n a n −+ + + + =− 1 1 1 1 ( 1)n n n na n n n n −= − =+ + 1na n= + 1n = 1 2a = 1na n= +∴数列 的通项公式为 ． （2）选条件① ∵ ，∴ ，∴ ， 两式相减得 ， ∴ ． 选条件②： ∵ ， ∴ ． 选条件③： ∵ ， ∴当 为奇数时， ； 当 为偶数时， ， ∴ ． 18．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由正弦定理得 ，故 ， 即 ，∴ ， ∵ ，∴ ． （2）∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ，即 ，得 ， 又∵ 为锐角三角形，∴ ，∴ ．∴ ， 则 ，∴ ， ∴ ． 19．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）证明：如下图，分别在 ， 上取点 ， ， ， 连接 ， 及 ， { }na 1na n= + 1 1 2 2n n n a n a nb + += = 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 2 2n n nT + += + + + + 3 4 5 2 1 2 3 4 1 2 2 2 2 2n n nT + += + + + + 1 2 3 4 1 2 2 1 1(1 )1 2 1 1 1 1 1 18 2 12 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n n nT − + + + −+ += + + + + − = + − − 1 2 2 3 1 1 3 3 4 2 2 4 2n n n n n + + + + += − − = − 1 3 3 2 2n n nT + += − 1 1 1 1 1 ( 1)( 2) 1 2n n n b a a n n n n+ = = = −+ + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 1 2 2 2 2 4n nT n n n n = − + − + − + + − = − =+ + + + ( 1)n n nb a= − n 1 32 3 4 5 ( 1) 1 12 2 2n n nT n n −= − + − + − − + = × − − = − − n 2 3 4 ( 1) 12 2n n nT n= − + − + + + = × = 3 2 2 2 n n n T n n − −=    ， 为奇数 ， 为偶数 π 4C = 6 14 10 + ( )( ) ( 2 )c a a c b b a− + = − 2 2 22c a ab b− = − + 2 2 2 2a b c ab+ − = 2 2 2 2cos 2 2 a b cC ab + −= = (0,π)C ∈ π 4C = π 4C = 3π2 22B A= − 2 2 1 cos2 1 cos2cos cos 2 2 A BA B + ++ = + 1 1 2 π 2(cos2 cos2 ) 1 1 (cos2 sin 2 ) 1 sin(2 )2 2 2 4 5A B A A A= + + = + − = − − = π 3 2sin(2 )4 5A− = b a> B A> 3 π4 A A− > 3 π8A < ABC△ π 3π π 4 4 2A< − < π π 4 2A< < π 3π 4 8A< < π π π24 4 2A< − < π 7cos(2 )4 5A− = π π π π π πsin 2 sin(2 ) sin(2 ) cos cos(2 ) sin4 4 4 4 4 4A A A A= − + = − ⋅ + − ⋅ 3 2 2 7 2 6 14 5 2 5 2 10 += × + × = 6 3 FC EF P Q 1 3 CP FQ CF FE = = NP PQ MQ∵ ，∴ 及 ， 且 ， ∴ ， ，∴四边形 为平行四边形，∴ ， 又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ． （2）如下图所示，以 为坐标原点， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ，∴ ， ， 由题易知平面 的法向量为 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，取 ，则 ， ∵ ，则二面角 的正弦值为 ． 20．【答案】（1）分布列见解析；（2）人工检验，详见解析． 【解析】（1） 的可能取值为 ， ， ， ， 则 的分布列为 （2）由（1）知， ， ∴1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为 元． ∵1000 箱零件的机器检验总费用的数学期望为 元， 且 ，∴应该选择人工检验． 21．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】设 ， ， （1）由题意可知直线 的方程为 ， 由 ，消去 ，得 ， ， ∴ ． （2）由 ，可知 ①， 设直线 的方程为 ， 由 ，消去 ，得 ， 恒成立， ②， ③， 由①②③解得 或 ，∴ ，得 ， ∴ ． 22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1） 的定义域为 ， ， 当 时， ， 单减；当 时， ， 单增， ∴ 有唯一极值点． （2）由（1）知 在 单减，在 单增， ∴ 在 时取得极小值为 ， ∵ ，∴ ， ，∴ ， 1 3 FM CN FA CB = = 1 3 MF FQ MQ AEFA FE = = ⇒ ∥ 1 3MQ AE= 1 3 CN CP NP BFCB CF = = ⇒ ∥ 1 3NP BF= MQ NP∥ MQ NP= MNPQ MN QP∥ MN ⊄ CDEF QP ⊂ CDEF MN∥ CDEF A AE x AD y AB z (0,0,0)A (3,0,3)F (0,3,3)C (0,0,3)B (3,0,3)AF = (0,3,3)AC = BCF 1 (0,0,1)=n ACF 2 ( , , )x y z=n 2 2 0 3 3 0 3 3 00 AF x z y zAC  ⋅ = + = ⇒  + =⋅ =    n n 1x = 2 (1,1, 1)= −n 1 2 1 2 1 2 1 3cos , 33 ⋅ −= = = −⋅ n nn n n n A CF B− − 6 3 X 15 36 5 5( 15) 0.9 0.1 0.59049 0.00001 0.5905P X = = + = + = ( 36) 1 0.5905 0.4095P X = = − = X ( ) 15 0.5905 36 0.4095 23.5995E X = × + × = ( ) 1000 23.5995 23599.5E X = × = 2 12 1000 24000× × = 24000 23599.5> 29 9 3 5 2 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y l 3 3y x= − 2 2 3 3 y x y x  =  = − y 29 20 9 0x x− + = 1 2 20 9x x+ = 1 2 20 29| | | | 19 9AF BF x x p+ = + + = + = 1 2AE EB=  2 12y y= − l y kx k= − 2 2y x y kx k  =  = − x 2 2 2 0ky y k− − = 24 8 0Δ k= + > 1 2 2y y k + = 1 2 2y y = − 1 2 1 2 y y =  = − 1 2 1 2 y y = −  = 1 2 2| | | | 1y y k + = = 2 1 1 4k = 1 3 5| | 1 1 84 2AB = + × + = ( )f x (0, )+∞ 2 2 2 2 2 2 (1 2 )( ) 2 (1 2 ) a x a x af x x a x x + − −′ = + − − = = 2(2 1)( )x x a x + − 2(0, )x a∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 2( , )x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ( )f x 2(0, )a 2( , )a +∞ ( )f x 2x a= 2 2 2 2( ) (1 ln )f a a a a= − − 1 a e< < 21 a e< < 2ln 0a > 2( ) 0f a ( )f x 2(0, )a lnx x> 2 2 2( ) (1 2 ) lnf x x a x a x= + − − 2 2 2(1 2 )x a x a x> + − − 2 2 2(1 3 ) ( 1 3 )x a x x x a= + − = + − 1 a e< < 2 2 23 1 2 1 0a a a− − = − > 2 23 1a a− > 23 1x a> − ( ) 0f x > ( )f x 2( , )a +∞ ( )f x 2