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绝密★启用前
2021 届四省名校高三第一次大联考
文数
本试卷共 4 页，23 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题
卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第 I 卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.设集合 A＝{x∈N|x2－x－20}，则 A∩B＝
A.1 B.[1，2) C.{1} D.(－1，＋∞)
2.已知复数 z 满足 z(1－i)＝2i，则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知 a＝log52，b＝ln2，c＝log5 ，则
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a
4.曲线 f(x)＝ 在点(2，f(2))处的切线方程为
2
3
xe
x2
A.y＝ x＋ B.y＝ x C.y＝－ x＋ D.y＝－ x
5.祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到
小数点之后的七位，比欧洲早了近千年。为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，
在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率 π 的值。正三角形的边长为 4，
若总豆子数 n＝1000，其中落在圆内的豆子数 m＝618，则估算圆周率 π 的值是(为方便计算
取 1.70，π 的值精确到 0.01)
A.3.13 B.3.14 C.3.15 D.3.16
6.已知圆 C 过点 A(0，2)且与直线 y＝－2 相切，则圆心 C 的轨迹方程为
A.x2＝4y B.x2＝8y C.x2＝－4y D.x2＝－8y
7.已知 α 为锐角，且满足 sinα－cosα＝ ，则 cos2α 的值为
A.± B. C.－2 D.－
8.已知△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A＝ ，b＝2，且△ABC 的面
积为 ，则 a 的值为
A.12 B.8 C.2 D.2
9.在长方形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，点 M 在边 CD 上运动，则 的最小值为
A.－1 B.0 C.1 D.
10.一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为
边长为 2 的正方形，则其表面积为
2
4
e 2
2
e 2
4
e 2
4
e 2
2
e 2
4
e
3
3
3
5
3
5
3
5
3
2
3
π
3
2 3
MA MB⋅
33
A.8＋4 B.12 C.16＋8 D.12＋2
11.已知圆 C：x2＋y2－2x－3＝0，直线 l：y＝kx＋1 与圆 C 交于 A，B 两点，当弦长 AB 最
短时 k 的值为
A.1 B. C.－1 D.－
12.已知函数 f(x)＝sinxcos2x，关于函数 y＝f(x)有下列命题：
①f( )＝ ； ②f(x)的图象关于点( ，0)对称；
③f(x)是周期为 π 的奇函数； ④f(x)的图象关于直线 x＝ 对称。
其中正确的是
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。
13.若 x，y 满足约束条件 ，则 z＝x－2y 的最大值为 。
14.2020 年新冠肺炎疫情期间，为停课不停上教课学习效果，组织了一次网上测试。并利用
分层抽样的方法从高中 3 个年级的学生中随机抽取了 150 人的测试成绩，其中高一、高二年
级各抽取了 40 人，50 人，若高三年级有学生 1200 人，则该高中共有学生 人。
2 2 2
2 2
3
π 3
4
−
2
π
2
π
x y 2 0
2x y 2 0
y 0
+ − ≤
+ − ≥
≥4
15.设双曲线 C： (a>0，b>0)的右焦点为 F，过 F 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足
为 A，且|OA|＝2|AF|，O 为坐标原点，则 C 的离心率为 。
16.在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC＝2，顶角为 120°，以底边 BC 所在直线为轴旋转围成的
封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分)
已知数列{an}为等差数列，且 a1＝2，a2 是 a1，a4 的等比中项。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当数列{an}的公差 d>0 时，求数列 的前 n 项和 Tn。
18.(本小题满分 12 分)
西尼罗河病毒(WNV)是一种脑炎病毒，通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类。1999
年 8－10 月，美国纽约首次爆发了 WNV 脑炎流行。在治疗上目前尚未有什么特效药可用，
感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制
WNV 的复制，抑制其对细胞的致病作用。现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了使生
产效率提高，该药企负责人收集了 5 组实验数据，得到利巴韦林的投入量 x(千克)和利巴韦林
含片产量 y(百盒)的统计数据如下：
由相关系数 r 可以反映两个变量相关性的强弱，|r|∈[0.75，1]，认为两个变量相关性很强；|r|
∈[0.3，0.75)，认为两个变量相关性一般；|r|∈[0，0.3)，认为两个变量相关性较弱。
(1)计算相关系数 r，并判断变量 x、y 相关性强弱；
(2)根据上表中的数据，建立 y 关于 x 的线性回归方程 。为了使某组利巴韦林含片
产量达到 150 百盒，估计该组应投入多少利巴韦林?
参考数据： ≈25.69。
2 2
2 2 1x y
a b
− =
n
1
( 1)n a
+
y bx a= +
6605
参考公式：相关系数 r ＝ ，线性回归方程 中，
。
19.(本小题满分 12 分)
如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是菱形，且 AB＝ AA1＝1，E
是棱 AA1 的中点，EC＝ 。
(1)求证：平面 EDD1⊥平面 EDC；
(2)求三棱锥 D1－DEC 的体积。
20.(本小题满分 12 分)
已知 F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆 C： 的左、右焦点，点 P 是 C
的上顶点，且直线 PF2 的斜率为－ 。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过点 F2 作两条互相垂直的直线 l1，l2。若 l1 与 C 交于 A，B 两点，l2 与 C 交于 D，E 两点，
求|AB|＋|DE|的最大值。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝－ x3＋ax2。
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
1
2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
x x y y
=
= =
− −
− −
∑
∑ ∑
y bx a= +
1
2
1
( )( )
ˆ ˆˆ,
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b a y bx
x x
=
=
− −
= = −
−
∑
∑
1
2
3
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
3
3
26
(2)设 a＝1，当 x≥ 时，f(x)>x(k－ex)，求实数 k 的取值范围。
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程。
在直角坐标系 xOy 中，曲线 D 的参数方程为 (t 为参数，t∈R)。点 A(－1，0)，
点 B(1，0)，曲线 E 上的任一点 P 满足 。以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系。
(1)求曲线 D 的普通方程和曲线 E 的极坐标方程；
(2)求点 P 到曲线 D 的距离的最大值。
23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知函数 f(x)＝|3x－1|＋|3x＋a|，g(x)＝x·f(x)，h(x)＝x2－5x－3。
(1)若 f(x)≥3 恒成立，求实数 a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数 a(其中 a>－1)，使得 x∈[－ ， ]，都有不等式 g(x)≥h(x)恒成立?
若存在，求出实数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
1
2
2
x t
y t
=
= −
1
3
PA
PB
=
∀
3
a 1
37891011
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