2020-2021年高中物理模型分类解析模型23 玻璃管液封模型（解析版）

1 模型 23 玻璃管液封模型（解析版） 1.气体压强的计算 在求液柱封闭的气体压强时,一般以液柱为研究对象进行受力分析、列平衡方程,注意: (1)液体因重力产生的压强大小 p=ρgh(其中 h 为至液面的竖直高度)。 (2)不要漏掉大气压强,同时又要尽可能平衡掉某些大气的压力。 (3)有时可直接应用连通器原理——连通器内静止的液体,同种液体在同一水平面上各处压强相等。 (4)当液体为水银时,可灵活应用压强单位“cmHg”等,使计算过程简捷。 2.静止或匀速运动系统中压强的计算方法 (1)参考液片法:选取假想的液体薄片(自身重力不计)为研究对象,分析液片两侧受力情况,建立平衡方程消 去面积,得到液片两侧压强相等,进而求得气体压强。如图中粗细均匀的 U 形管中封闭了一定质量的气体 A, 在其最低处取一液片 B,由其两侧受力平衡可知(pA+ph0)S=(p0+ph+ph0)S,即 pA=p0+ph。 (2)力平衡法:选与封闭气体接触的液柱(或活塞、汽缸)为研究对象进行受力分析,由 F 合=0 列式求气体压强。 (3)连通器原理:在连通器中,同一种液体(中间液体不间断)的同一水平液面上的压强相等,如图中同一液面 C、D 处压强相等,即 pA=p0+ph。 注意:①一般步骤是先选取研究对象,进行受力分析,建立平衡方程,注意公式两边的单位要统一。 ②系统处于平衡状态,在考虑与气体接触的液柱所产生的附加压强 p=ρgh 时,注意 h 是表示液面间的竖直 高度,不能理解为液柱的长度。 3.容器加速运动时封闭气体压强的计算 (1)当容器加速运动时,通常选择与气体相关联的液体柱、固体活塞等作为研究对象,进行受力分析。 (2)根据牛顿第二定律列出方程。 (3)结合相关气体定律,求出气体压强。 【最新高考真题解析】 1.（2020 年全国 III 卷）如图，两侧粗细均匀、横截面积相等、高度均为H=18cm 的 U 型管，左管上端封2 闭，右管上端开口。右管中有高 h0= 4cm 的水银柱，水银柱上表面离管口的距离 l= 12cm。管底水平段的体 积可忽略。环境温度为 T1=283K。大气压强 p0=76cmHg。 （i）现从右侧端口缓慢注入水银（与原水银柱之间无气隙），恰好使水银柱下端到达右管底部。此时水银柱 的高度为多少？ （ii）再将左管中密封气体缓慢加热，使水银柱上表面恰与右管口平齐，此时密封气体 温度为多少？ 【答案】（i）12.9cm；（ii）363K 【解析】 【详解】（i）设密封气体初始体积为 V1，压强为 p1，左、右管的截面积均为 S，密封气体先经等温压缩过程 体积变为 V2，压强变为 p2。由玻意耳定律有 设注入水银后水银柱高度为 h，水银的密度为 ρ，按题设条件有 ， ， 联立以上式子并代入题中数据得 h=12 9cm （ii）密封气体再经等压膨胀过程体积变为 V3，温度变为 T2，由盖一吕萨克定律有 按题设条件有 代入题中数据得 T2=363K 【典例 1】　如图，竖直放置、开口向下的试管内用水银封闭一段气体，若试管自由下落，管内气体 的 . 1 1 2 2pV p V= 1 0 0hp p gρ= + 2 0p p ghρ= + ( )1 02V S H l h= − − 2V SH= 2 3 1 2 V V T T = 3 (2 )V S H h= −3 A 压强增大，体积增大 B 压强增大，体积减小 C 压强减小，体积增大 D 压强减小，体积减小 【答案】B 【解析】初始时，水银处于静止状态，受到重力和封闭气体的压力之和与外界大气压力等大反向；当试管 自由下落时，管中水银也处于完全失重状态，加速度为 g 竖直向下，所以封闭气体的压强与外界大气压等 大；由此可知封闭气体的压强增大，根据理想气体状态方程可知，气体的体积减小，B 项正确。 如图，两端封闭的直玻璃管竖直放置，一段水银将管内气体分隔为上下两部分 A 和 B，上下两部分气体初温 度相等，且体积 VA＞VB。 （1）若 A、B 两部分气体同时升高相同的温度，水银柱将如何移动？ 某同学解答如下： 设两部分气体压强不变，由 ，…， ，…，所以水银柱将向下移动。 上述解答是否正确？若正确，请写出完整的解答；若不正确，请说明理由并给出正确的解答。 （2）在上下两部分气体升高相同温度的过程中，水银柱位置发生变化，最后稳定在新的平衡位置，A、B 两 部分气体始末状态压强的变化量分别为ΔpA 和ΔpB，分析并比较二者的大小关系。 （1）不正确。 水银柱移动的原因是升温后，由于压强变化造成受力平衡被破坏，因此应该假设气体体积不变，由压强变 化判断移动方向。 正确解法：设升温后上下部分气体体积不变，则由查理定律可得 1 2 1 2 V V T T = TV VT ∆∆ = Δ p p T T T ′= +4 因为 ，pA Δ ΔA Bp p< Δ =ΔA Bp p5 (1)为使左端水银面下降 3cm，封闭气体温度应变为多少? (2)封闭气体的温度重新回到 280K 后，为使封闭气柱长度变为 20cm,需向开口端注入的水银柱长度为多少? 【答案】（1）350K；（2）10cm 【解析】（1）初态压强 末态时左右水银面高度差为（16-2×3）cm＝10cm，压强 由理想气体状态方程： 解得 （2）设加入的水银高度为 l，末态时左右水银面高度差 由玻意耳定律： 式中 解得： 【变式训练 2】如图，粗细均匀的弯曲玻璃管 A、B 两端开口，管内有一段水银柱，右管内气体柱长为 39cm，中管内水银面与管口 A 之间气体柱长为 40cm。先将口 B 封闭，再将左管竖直插入水银槽中，设整个 过程温度不变，稳定后右管内水银面比中管内水银面高 2cm，求： （1）稳定后右管内的气体压强 p； （2）左管 A 端插入水银槽的深度 h。（大气压强 p0＝76cmHg） 1 (76 16)cmHg=60cmHgP = − 2 (76 10)cmHg=66cmHgP = − 1 1 2 2 1 2 PV PV T T = 2 2 1 2 1 1 66 25= 280 35060 22 PV TT K KPV ×= × =× ' (16 2 2)h l= + × − 1 1 3 3PV PV= 3 76- 20-P l= （ ） 10l cm=6 【解析】（1）插入水银槽后右管内气体：p0l0＝p（l0－∆h/2），p＝78cmHg， （2）插入水银槽后左管压强：p’＝p＋ρg∆h＝80cmHg，左管内外水银面高度差 h1＝ p’－p0 ρg ＝4cm， 中、左管内气体 p0l＝p’l’，l’＝38cm，左管插入水银槽深度 h＝l＋∆h/2－l’＋h1＝7cm， 【典例 3】如图所示,两端开口、粗细均匀的足够长 U 形玻璃管插在容积很大的水银槽中,管的上部有一定长 度的水银,两段空气柱被封闭在左、右两侧的竖直管中。开启阀门 S,当各水银液面稳定时,位置如图所示,此 时两部分气体温度均为 300 K。已知 h1=5 cm,h2=10 cm,右侧气体柱长度 L1=60 cm,取大气压强 p0=75 cmHg。 (1)求左侧竖直管内气体柱的长度 L2。 (2)关闭阀门 S,当右侧竖直管内的气体柱长度 L1'=68 cm 时(管内气体未溢出),气体温度应升高到多少? 【答案】(1)60 cm　(2)372 K 【解析】(1)右管内气体压强 p1=p0+h2=85 cmHg 左管内气体压强 p2=p1-h1=80 cmHg 设左管内、外液面高度差为 h3,则 p2=p0+h3 解得 h3=5 cm 左管内气柱长度 L2=L1-h2+h1+h3=60 cm。 (2)设玻璃管的横截面积为 S,对右管中气体,由理想气体状态方程,有 = 解得 T2=372 K。 【变式训练 3】(2019 山东济南开学检测)有一段 12 cm 长汞柱,在均匀玻璃管中封住一定质量的气体。若将 B A7 玻璃管管口向上放置在一个倾角为 30°的斜面上(如图所示),已知玻璃管与斜面间的动摩擦因数为 ,在下 滑过程中被封闭气体的压强为(　　)。(设大气压强 p0=76 cmHg) A.73 cmHg B.76 cmHg C.79 cmHg D.82 cmHg 【答案】C 【解析】水银柱所处的状态不是平衡状态。因此不能用平衡条件来处理。因玻璃管和水银柱组成系统的加 速度 a=gsin θ-μgcos θ=0.25g,对水银柱,根据牛顿第二定律得 p0S+mgsin θ-pS=ma,解得 p=p0+ ,根据 液柱产生压强的公式 p 液体=ρgh 可知 =12 cmHg,则 p=p0+3 cmHg=79 cmHg,C 项正确。 【典例 4】(2018 福建泉州 10 月模拟)如图所示,一粗细均匀的 U 形管竖直放置,A 侧上端封闭,B 侧上端与大 气相通,下端开口处开关 K 关闭;A 侧空气柱的长度 l=10.0 cm,B 侧水银面比 A 侧的高 h=3.0 cm。现将开关 K 打开,从 U 形管中放出部分水银,当两侧水银面的高度差 h1=10.0 cm 时再将开关 K 关闭。已知大气压强 p0=75.0 cmHg。 (1)求放出部分水银后 A 侧空气柱的长度。 (2)此后再向 B 侧注入水银,使 A、B 两侧的水银面达到同一高度,求注入的水银在管内的长度。 【答案】(1)12.0 cm　(2)13.2 cm 【解析】(1)以 cmHg 为压强单位。设 A 侧空气柱长度 l=10.0 cm 时的压强为 p;当两侧水银面的高度差 h1=10.0 cm 时,空气柱的长度为 l1,压强为 p1 由玻意耳定律得 plS=p1l1S8 由力学平衡条件得 p=p0+h 打开开关 K 放出水银的过程中,B 侧水银面处的压强始终为 p0,而 A 侧水银面处的压强随空气柱长度的 增加逐渐减小,B、A 两侧水银面的高度差也随之减小,直至 B 侧水银面低于 A 侧水银面 h1 为止。由力学平衡 条件有 p1=p0-h1 联立上式,并代入题给数据得 l1=12.0 cm 。 (2)当 A、B 两侧的水银面达到同一高度时,设 A 侧空气柱的长度为 l2,压强为 p2 由玻意耳定律得 plS=p2l2S 由力学平衡条件有 p2=p0 联立上式,并代入题给数据得 l2=10.4 cm 设注入的水银在管内的长度为 Δh,依题意得 Δh=2(l1-l2)+h1 联立上式,并代入题给数据得 Δh=13.2 cm。 【变式训练 4】(2019 四川成都开学模拟)如图所示,竖直放置的导热汽缸,活塞横截面积S=0.01m2,可在汽缸 内无摩擦滑动,汽缸侧壁有一个小孔与装有水银的 U 形玻璃管相通,汽缸内封闭了一段高 H=70 cm 的气柱(U 形管内的气体体积不计)。已知活塞质量 m=6.8 kg,大气压强 p0=1×105 Pa,水银密度 ρ=13.6×103 kg/m3,重 力加速度 g=10 m/s2。 (1)求 U 形管中左管与右管的水银面的高度差 h1。 (2)在活塞上加一竖直向上的拉力使 U 形管中左管水银面高出右管水银面 h2=5 cm,求活塞平衡距汽缸底 部的高度 H'。 【答案】(1)5 cm　(2)80.2 cm 【解析】(1)以活塞为研究对象有 p0S+mg=p1S 所以 p1=p0+ 又根据液柱高度差可知 p1=p0+ρgh19 所以有 =ρgh1 解得 h1=5 cm。 (2)活塞上加一竖直向上的拉力 封闭气体的压强 p2=p0-ρgh2=93200 Pa 初始时封闭气体的压强 p1=p0+ρgh1=106800 Pa 汽缸内的气体发生的是等温变化,根据玻意耳定律,有 p1HS=p2H'S 解得 H'≈80.2 cm。 【典例 5】(2018 月考)如图所示,一上端开口,下端封闭的细长玻璃管,下部有长 l1=66 cm 的水银柱,中间封有长 l2=6.6 cm 的空气柱,上部有长 l3=44 cm 的水银柱,此时水银面恰好与管口平 齐。已知大气压强 p0=76 cmHg。如果使玻璃管绕底端在竖直平面内缓慢地转动一周,求在开口向下和转回到 原来位置时管中空气柱的长度。(封入的气体可视为理想气体,在转动过程中没有发生漏气) 【答案】12 cm　9.2 cm 【解析】设玻璃管开口向上时,空气柱的压强 p1=p0+ρgl3(式中 ρ 和 g 分别表示水银的密度和重力加速度) 玻璃管开口向下时,原来上部的水银有一部分会流出,封闭端会有部分真空。设此时开口端剩下的水银 柱长度为 x,则 p2=ρgl1,p2+ρgx=p0(p2 为管内空气柱的压强) 由玻意耳定律得 p1(Sl2)=p2(Sh)(式中,h 是此时空气柱的长度,S 为玻璃管的横截面积) 联立各式和代入题给条件得 h=12 cm 从开始转动一周后,设空气柱的压强为 p3,则 p3=p0+ρgx 由玻意耳定律得 p1(Sl2)=p3(Sh') (式中,h'是此时空气柱的长度) 联立解得 h'≈9.2 cm。 【变式训练 5】[(2018 全国卷Ⅲ,33(2)]在两端封闭、粗细均匀的 U 形细玻璃管内有一段水银柱,水银柱的 两端各封闭有一段空气。当 U 形管两端竖直朝上时,左、右两边空气柱的长度分别为 l1=18.0 cm 和 l2=12.0 cm,左边气体的压强为 12.0 cmHg。现将 U 形管缓慢平放在水平桌面上,没有气体从管的一边通过水银逸入另10 一边。求 U 形管平放时两边空气柱的长度。在整个过程中,气体温度不变。 甲 【答案】22.5 cm　7.5 cm 【解析】设 U 形管两端竖直朝上时,左、右两边气体的压强分别为 p1 和 p2。U 形管水平放置时,两边气体压 强相等,设为 p,此时原左、右两边气柱长度分别变为 l1'和 l2',如图乙所示。由力的平衡条件有 乙 p1=p2+ρg(l1-l2) 式中 ρ 为水银密度,g 为重力加速度大小 由玻意耳定律有 p1Sl1=pSl1' p2Sl2=pSl2' 两边气柱长度的变化量大小相等 l1'-l1=l2-l2' 联立解得 l1'=22.5 cm,l2'=7.5 cm。 【典例 6】(2017 全国卷Ⅲ,33)一种测量稀薄气体压强的仪器如图甲所示,玻璃泡 M 的上端和下端分别连通 两竖直玻璃细管 K1 和 K2。K1 长为 l,顶端封闭,K2 上端与待测气体连通;M 下端经橡皮软管与充有水银的容器 R 连通。开始测量时,M 与 K2 相通;逐渐提升 R,直到 K2 中水银面与 K1 顶端等高,此时水银已进入 K1,且 K1 中水 银面比顶端低 h,如图乙所示。设测量过程中温度、与 K2 相通的待测气体的压强均保持不变。已知 K1 和 K2 的内径均为 d,M 的容积为 V0,水银的密度为 ρ,重力加速度大小为 g。求:11 (1)待测气体的压强。 (2)该仪器能够测量的最大压强。 【答案】(1) 　(2) 【解析】(1)水银面上升至 M 的下端使玻璃泡中的气体恰好被封住,设此时被封闭的气体的体积为 V,压强等 于待测气体的压强 p。提升 R,直到 K2 中水银面与 K1 顶端等高时,K1 中的水银面比顶端低 h;设此时封闭气体 的压强为 p1,体积为 V1,则 V=V0+ V1= 由力学平衡条件得 p1=p+ρgh 整个过程为等温过程,由玻意耳定律得 pV=p1V1 联立上式得 p= 。 (2)由题意知 h≤l 联立上式有 p≤ 则该仪器能够测量的最大压强 pmax= 。