方法技巧专题03 空间几何体外接球和内切球（解析版） 2021年高考数学必备技巧方法归纳提升（全国通用）

方法技巧专题 3 空间几何体外接球和内切球 解析版 一、 空间几何外接球和内切球知识框架 二、求外接球半径常用方法 【一】高过外心 1.例题 【例 1】已知正四棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵正四棱锥 P﹣ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，PA＝AB＝2， ∴连结 AC，BD，交于点 O，连结 PO， 则 PO⊥面 ABCD，OA＝OB＝OC＝OD ， OP ，∴O 是球心，球 O 的半径 r ， ∴球 O 的表面积为 S＝4πr2＝8π．故选：C． 空间几何体（以 为例）的高过底面的外心（即顶点的投影在底面外心上）： （1）先求底面 的外接圆半径 ，确定底面 外接圆圆心位置 ; （2）把 垂直上移到点 ，使得点 到顶点 的距离等于到 的距离相等，此时点 是几何体外接球球心； （3）连接 ，那么 ,由勾股定理得： . ABCDP − ABCD r ABCD O′ O′ O O P DCBA 、、、 O OA OAR = 222 OOrR ′+= P ABCD− O 2PA AB= = O 2π 4π 8π 16π 2 21 1 2 2 22 2AC= = + = 2 2 4 2 2PB OB= − = − = 2=2.巩固提升综合练习 【练习 1】在三棱锥 中. . ， ，则该三棱锥的外接球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，由余弦定理可求得 ， 再由正弦定理可求得 的外接圆的半径 ， 因为 ，所以 P 在底面上的射影为 的外心 D，且 ， 设其外接球的半径为 ，则有 ，解得 ， 所以其表面积为 ，故选 B. 【二】高不过外心 1.例题 【例 1】（1）长方体ABCD - A1B1C1D1的 8 个顶点在同一个球面上，且AB = 2，AD = 3，AA1 = 1，则球 的表面积为______． P ABC− 2PA PB PC= = = 1AB AC= = 3BC = 8π 16 3 π 4 3 π 32 3 27 π 1, 3AB AC BC= = = 2 3BAC π∠ = ABC∆ 122sin 3 BCr π= = 2PA PB PC= = = ABC∆ 3PD = R 2 2 21 ( 3 )R R= + − 2 3 3R = 2 4 164 4 3 3S R ππ π= = × = 高不过心—顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例： 题设：已知四棱锥 ， （1）先求底面 的外接圆半径 ，确定底面 外接圆圆心位置 ; （2）把 垂直上移到点 ，使得 ，此时点 是几何体外接球球心； （3）连接 ，那么 ,由勾股定理得： . ABCDP − ABCDPA 底面⊥ ABCD r ABCD O′ O′ O PAOO 2 1=′ O OA OAR = 22222 2 ）（ PArOOrR +=′+=（2）已知正三棱柱 的底面边长为 3，外接球表面积为 ，则正三棱柱 的 体积为（ ） A. B. C. D. （3）已知 ， ， ， ， 是球 的球面上的五个点，四边形 为梯形， ， ， ， 面 ，则球 的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）8π （2）D （3）A 【解析】（1）因为长方体ABCD - A1B1C1D1的 8 个顶点在同一个球面上， 所以球的直径等于长方体的对角线长， 设球的半径为R，因为AB = 2，AD = 3，AA1 = 1， 所以4R2 = 22 + 32 + 12 = 8，球的表面积为4πR2 = 8π，故答案8π. （2）正三棱柱 的底面边长为 3,故底面的外接圆的半径为： 外接 球表面积为 外接球的球心在上下两个底面的外心 MN 的连线的中点上，记为 O 点，如图所示 在三角形 中， 解得 故棱柱的体积为： 故答案为：D. （3）取 中点 ，连接 1 1 1ABC A B C− 16π 1 1 1ABC A B C− 3 3 4 3 3 2 9 3 4 9 3 2 P A B C D O ABCD / /AD BC 2AB DC AD= = = 4BC PA= = PA ⊥ ABCD O 64 2 3 π 16 2 3 π 16 2π 16π 1 1 1ABC A B C− 0 3,2 3.sin 60r r r= ⇒ = 16π 24 2R Rπ= ⇒ = 1OMB 2 2 2 1 1 1 13, 2MB r OB R MB OM OB= = = = + = 1, 2OM MN h= = = 1 3 93 3 2 3.2 2 2V Sh= = × × × × = BC E , ,AE DE BD且 四边形 为平行四边形 ，又 为四边形 的外接圆圆心 设 为外接球的球心，由球的性质可知 平面 作 ，垂足为 四边形 为矩形， 设 ， 则 ，解得： 球 的体积： 本题正确选项： 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， ，则三棱柱 外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 的外接圆圆心为 ， 的外接圆圆心为 ， 球的球心为 ，因为三棱柱 的侧棱与底面垂直， 所以球的球心为 的中点，且直线 与上、下底面垂直，且 ， ，所 以在 中， / /AD BC 1 2AD BC EC= = ∴ ADCE AE DC∴ = 1 2DC BC= 1 2DE BC∴ = AE DE BE EC∴ = = = E∴ ABCD O OE ⊥ ABCD OF PA⊥ F ∴ AEOF 2OF AE= = AF x= OP OA R= = ( )2 24 4 4x x+ − = + 2x = 4 4 2 2R∴ = + = ∴ O 34 64 2 3 3V Rπ π= = A 1 1 1ABC A B C− 1 2, 4AA BC BAC π= = ∠ = 1 1 1ABC A B C− 12 3π 8 3π 6 3π 4 3π ABC∆ 1O 1 1 1A B C∆ 2O O 1 1 1ABC A B C− 1 2O O 1 2O O 1 22 2 2 sin 4 O C π= = 1 1O O = 1ORt O C∆，即球的半径为 ，所以球的体积为 ，故选 D。 【练习 2】四棱锥 的底面为正方形 ， 底面 ， ，若该四棱锥的所有 顶点都在体积为 的同一球面上，则 的长为（ ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【解析】 连接 AC、BD 交于点 E，取 PC 的中点 O，连接 OE，可得 OE∥PA, OE⊥底面 ABCD，可得 O 到四棱锥的所有顶点的距离相 等，即 O 为球心，设球半径为 R， 可得 ，可得 ，解得 PA=1,故选 C. 【练习 3】四棱锥 的各顶点都在同一球面上， 底面 ，底面 为梯形， ，且 ，则此球的表面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图， 由已知可得，底面四边形 为等腰梯形， 设底面外接圆的圆心为 ，连接 ，则 ， ，又 ，设四棱锥外接球的球心为 ， 则 ，即四棱锥外接球的半径为 ． 此球的表面积等于 ．故选：C． 1 2 3OC = + = 3 34 4 33 Rπ π= P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 2AB = 9 2 π PA 1 2 21 1 82 2R PC PA= = + 3 24 1 983 2 2PA ππ  ⋅ + =   A BCDE− AB ⊥ BCDE BCDE 60BCD∠ =  2AB CB BE ED＝ ＝ ＝ ＝ 25π 24π 20π 16π BCDE G BG 22 4sin30BG = =  2BG∴ = 2AB = O 5OA = 5 ∴ ( )2 4 5 20π π× = 三、常见空间几何体外接球 【一】长（正）方体外接球 1.例题 【例 1】若一个长、宽、高分别为 4，3，2 的长方体的每个顶点都在球 的表面上，则此球的表面积为 ________ 【解析】长方体外接球半径： ，所以外接球面积： 【例 2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 _______ 【解析】设正方体棱长为 ，则 ，∴ . 设球的半径为 ，则由题意知 .故球的体积 . 2.巩固提升综合练习 【练习 1】如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.[ 【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱 ，如图所示： [来源:Z.Com] 1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点； 2、正方体的外接球半径： （ 为正方体棱长）； 3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为 ，外接球的半径： aR 2 3= a cba ,, 2 222 cbaR ++= O 2 29 2 432 222 =++=R ππ 294 2 == RS a 186 2 =a 3=a R 2 3 2 3 == aR ππ 2 9 3 4 3 == RV ABC A B C′− ′ ′其中，三角形 是腰长为 的直角三角形，侧面 是边长为 4 的正方形，则该几何体的外接球的 半径为 .∴该几何体的外接球的表面积为 .故答案为 . 【练习 2】 棱长为 1 的正方体 的 8 个顶点都在球 的表面上， 分别是棱 ， 的中点，则直线 被球 截得的线段长为（ ） A． B． C． D． 【解析】平面 截面所得圆面的半径为 ，直线 被球 截得的线段为球 的截面圆的直径，为 【二】棱柱的外接球 1.例题 【例 1】直三棱柱퐴퐵퐶 ― 퐴1퐵1퐶1中，已知퐴퐵 ⊥ 퐵퐶，퐴퐵 = 3，퐵퐶 = 4，퐴퐴1 = 5，若三棱柱的所有顶点都在 同一球面上，则该球的表面积为__________． 1 1 1 1ABCD A B C D− O E F， 1AA 1DD EF O 2 2 1 21 2 + 2 ABC 4 ACC A′ ′ 2 2 24 4 4 2 32 + + = ( )2 4 2 3 48π π× = 48π DDAA 11 2 2 2 21 2 2 =     −=r EF O 22 =r 直棱柱外接球的求法—汉堡模型 1. 补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同 2. 作图：构造直角三角形，利用勾股定理 1）第一步：求底面外接圆的半径： （ 为角 的对边）； 2）第二步：由勾股定理得外接球半径： （ 为直棱柱侧棱高度） A ar sin2 1= a A 22 )2(hrR += h【解析】AB ⊥ BC，AB = 3，BC = 4，所以 底面外接圆的半径： ， 是直三棱柱， ，所以几何体外接球半径 ；故该球的表面积为: 【例 2】直三棱柱 的所有棱长均为2 3，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ） A．12π B．16π C．28π D．36π 【解析】由直三棱柱的底面边长为2 3，得底面外接圆的半径： ， 又由直三棱柱的侧棱长为2 3，则 ，所以外接球半径 ， ∴外接球的表面积 ．故选：C 2.巩固提升综合练习 【练习 1】设直三棱柱 的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是 ， ， ，则此直三棱柱的高是________. 【解析】设 边长为 ，则 外接圆半径为 ，因为 所以 即直三棱柱的高是 . 【三】 棱锥的外接 5=b 2 5 sin2 1 == B br 111 CBAABC − 5=h 2 25)2( 22 =+= hrR ππ 504 2 == RS 111 CBAABC − 2 3sin 32 2 1 == πr 32=h 7)2( 22 =+= hrR ππ 284 2 == RS 111 CBAABC − π40 1AAACAB == o120=∠BAC BAC∆ a BAC∆ 1 3 22 sin 3 a aπ⋅ = 2 24 40 10R Rπ π= ∴ = 2 2 2 10, 2 2,2 aR a a = + = =   2 2类型一：正棱锥型 （如下图 1，以正三棱锥为例，顶点 的投影落在 的外心上） 1) 求底面外接圆半径： （ 为角 的对边）； 2) 求出 ，求出棱锥高度 ; 3) 由勾股定理得外接球半径: . P ABC∆ A ar sin2 1= a A rAH 3 2= 22 AHPAPHh −== ( ) 2222 )3 2( rRhAHOHR +−=+= 图 1 图 2类型二：侧棱垂直底面型 （如上图 2） 1）求底面外接圆半径： （ 为角 的对边）； 2）棱锥高度 ; 3）由勾股定理得外接球半径: . 类型三：侧面垂直于底面---切瓜模型 A aHDr sin2 1== a A PAh = 22 2 ）（hrR +=1.例题 【例 1】已知正四棱锥 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 ，若该正四棱锥的 体积为 2，则此球的体积为 （ ） A. B. C. D. 【解析】如图所示，设底面正方形 的中心为 ，正四棱锥 的外接球的球心为 类型四：棱长即为直径（两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径） 题设： ,且 则外接球半径： 类型五：折叠模型 2 π=∠=∠ AQBAPB ABQABP 面面 ⊥ 2 ABR = P ABCD− 2 124 3 π 625 81 π 500 81 π 256 9 π ABCD O′ P ABCD− O底面正方形的边长为 正四棱锥的体积为 ，解得 在 中，由勾股定理可得： 即 ，解得 故选 【例 2】在三棱锥 中， ， ， 面 ，且在三角形 中，有 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】设该三棱锥外接球的半径为 . 在三角形 中， ∴ ∴根据正弦定理可得 ，即 . ∵ ∴ ∵ ∴ ∴由正弦定理， ，得三角形 的外接圆的半径为 .∵ 面 ∴ ∴ ∴该三棱锥外接球的表面积为 故选 A. 【例 3】已知如图所示的三棱锥 的四个顶点均在球 的球面上， 和 所在平面相互  2 1O D∴ ′ =  2 ( )21 2 23P ABCDV PO− × × ′∴ = = 3PO′ = 3OO PO PO R∴ −′= =′ − DOORt ′∆ 2 2 2OO O D OD′+ =′ ( )2 2 23 1R R− + = 5 3R = 2 34 4 5 500 3 3 3 81V R ππ π  ∴ = = × =  球 C P ABC− 2AP = 3 3AB = PA ⊥ ABC ABC ( )cos 2 cosc B a b C= − 40π 20π 12π 20 3 π R ABC ( )cos 2 cosc B a b C= − cos cos 2 cosc B b C a C+ = sin cos sin cos 2sin cosC B B C A C+ = ( )sin 2sin cosB C A C+ = sin 0A ≠ 1cos 2C = ( )0,C π∈ 3C π= 3 3 2 sin 3 rπ = ABC 3r = PA ⊥ ABC ( ) ( ) ( )2 2 22 2PA r R+ = 2 10R = 24 40S Rπ π= = D ABC− O ABC∆ DBC∆垂直， ， ， ，则球 的表面积为 　　 ． ． ． ． 【解析】 ， ， ， ， ， 和 所在平面相互垂直， ， 球 的表面积为 ． 故选： ． 【例 4】三棱锥 的底面是等腰三角形， ，侧面 是等边三角形且与底面 垂 直， ，则该三棱锥的外接球表面积为 　　 A ． B ． C ． D ． 【解析】 如图， 在等腰三角形 中， 由 ，得 ， 又 ，设 为三角形 外接圆的圆心， 则 ， ． 再设 交 于 ，可得 ， ，则 ． 在等边三角形 中， 设其外心为 ， 则 ． 3AB = 3AC = 2 3BC CD BD= = = O ( ) A 4π B 12π C 16π D 36π 3AB = 3AC = 2 3BC = 2 2 2AB AC BC∴ + = AC AB∴ ⊥ ABC∆ DBC∆ 4 3sin 32 sin2 ==∠= πBCD BCR ∴ O 24 16Rπ π= C P ABC− 120C∠ = ° PAB ABC 2AC = ( ) 12π 20π 32π 100π ABC 120C∠ = ° 30ABC∠ = ° 2AC = G ABC 2 2sin sin30 AC CGABC = =∠ ° 2CG∴ = CG AB D 1CD = 2 3AB = 1DG = PAB H 2 23BH PH PD= = =过 作平面 的垂线， 过 作平面 的垂线， 两垂线相交于 ， 则 为该三棱锥的外接球的球心， 则半径 ． 该三棱锥的外接球的表面积为 ． 故选： ． 【例 5】在四面体 中， ， ，则四面体 的外接球的表面积 为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 ， ， 所以 ， 可得 ，所以 ， 即 为外接球的球心，球的半径 所以四面体 的外接球的表面积为： .故选：B 【例 6】已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是球 的直径．若平面 平面 ， ， ，三棱锥 的体积为 ，则球 的体积为 　 A． B． C． D． 【解析】如下图所示， G ABC H PAB O O 4 1 5R OB= = + = ∴ 24 ( 5) 20π π× = B ABCD 2AB = 1DA DB CA CB= = = = ABCD π 2π 3π 4π 2AB = 1DA DB CA CB= = = = 2 2 2CA CB AB+ = 2 2 2AD BD AB+ = 90ACB ADB∠ = ∠ =  2 2OA OB OC OD= = = = O 2 2R = ABCD 2 14 4 22S Rπ π π= = × = P ABC− O PC O PCA ⊥ PCB PA AC= PB BC= P ABC− a O ( ) 2 aπ 4 aπ 2 3 aπ 4 3 aπ设球 的半径为 ，由于 是球 的直径，则 和 都是直角， 由于 ， ，所以， 和 是两个公共斜边 的等腰直角三角形， 且 的面积为 ， ， 为 的中点，则 ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ， 所以，三棱锥 的体积为 ， 因此，球 的体积为 ，故选： ． 【例 7】在三棱锥 A﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为 边长为 2 的等边三角形，且二面角 的平面 角为 120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A．7π B．8π C． D． 【答案】D 【解析】如图，取 B D 中点 H，连接 AH，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为 2 的等边三角形 所以 AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC 为二面角 A﹣BD﹣C 的平面角，即∠AHD＝120° 设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为 E，F 则由 AH＝2 可得 AE AH ，EH AH 分别过 E，F 作平面 ABD，平面 BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点 记为 O，连接 AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60° 所以 OE＝1，则 R＝OA 则三棱锥外接球的表面积 故选：D O R PC O PAC∠ PBC∠ PA AC= PB BC= PAC∆ PBC∆ PC PBC∆ 21 2PBCS PC OB R∆ = = PA AC= O PC OA PC⊥  PAC ⊥ PBC PAC ∩ PBC PC= OA ⊂ PAC OA ⊥ PBC P ABC− 2 31 1 1 3 3 3PBCOA S R R R a∆× × = × = = O 3 34 14 43 3R R aπ π π= × = B A BD C− − 16 3 π 28 3 π 3 32 × = 2 3 = 2 33 = 1 3 = 3 3 = 2 2 21 3AE EO= + = 2 21 284 4 9 3R ππ π= × =2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知正四棱锥 的各条棱长均为 2，则其外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 【解析】设点 P 在底面 ABCD 的投影点为 ,则 平面 ABCD,故 而底面 ABCD 所在截面圆的半径 ,故该截面圆即为过球心的圆，则 球的半径 R= ,故外接球的表面积为 故选 C. 【练习 2】如图，正三棱锥 的四个顶点均在球 的球面上，底面正三角形的边长为 3，侧棱长为 ，则球 的表面积是 　　 A． B． C． D． 【解析】如图，设 ， ， ， ，又 ， ， 在 中， ，得： ， ， ，故选： ． P ABCD− 4π 6π 8π 16π O′ 1 2, 2,2AO AC PA PO= =′ ′= ⊥ 2 2 2,PO PA AO= − =′ ′ 2AO′ = 2 24 8 ,S Rπ π= = D ABC− O 2 3 O ( ) 4π 32 3 π 16π 36π OM x= OB OD r= = 3AB = 3BM∴ = 2 3DB = 3DM∴ = Rt OMB∆ 2 2(3 ) 3x x− = + 1x = 2r∴ = 16OS π∴ =球 C【练习 3】已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥A - BCD 其中AD = DC = 2，BD = 4且AD ⊥ 底面ABC，∠BDC = 120° 根据余弦定理可知：BC2 - BD2 + DC2 - 2BD ∙ DC ∙ cos 120° = 42 + 22 - 2 × 4 × 2 × ( - 1 2) = 28 可知BC = 2 7根据正弦定理可知∆BCD外接圆直径2r = BC sin ∠BDC = 2 7 sin 120° = 4 7 3 ∴ r = 2 21 3 ，如图，设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，过球心O向AD 作垂线，则垂足H为AD的中点 DH = 1，在Rt∆ODH中，R2 = OD2 = (2 21 3 )2 +1 = 31 3 ∴ 外接球的表面积S = 4πR3 = 4π × 31 3 = 124π 3 故选D 【练习 4】已知三棱锥 中， 平面 ，且 ， .则 该三棱锥的外接球的体积为( ) A. B. C. D. π 3 214 π 3 127 π 3 115 π 3 124 S ABC－ SA ⊥ ABC 30ACB∠ = ° 2 2 3. 1AC AB SA= = = 13 138 π 13π 13 6 π 13 13 6 π【解析】∵ ， ∴ 是以 为斜边的直角三角形 其外接圆半径 ，则三棱锥外接球即为以 C 为底面，以 为高的三棱柱的外接球 ∴三棱锥外接球的半径 满足 故三棱锥外接球的体积 故选 D. 【练习 5】已知四棱锥푃 ― 퐴퐵퐶퐷的三视图如图所示，则四棱锥푃 ― 퐴퐵퐶퐷外接球的表面积是（ ） A. 20휋 B. 101휋 5 C. 25휋 D. 22휋 【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥 A-BCDE,底面 ABCD 是矩形，侧面 ABE⊥底面 BCDE. 30ACB∠ = ° 2 2 3AC AB= = ABC AC 32 ACr = = ABC SA R 2 2 13 ,2 2 SAR r  = + =   34 13 13 .3 6V Rπ π= =如图所示，矩形 ABCD 的中心为 M,球心为 O,F 为 BE 中点，OG⊥AF.设 OM=x, 由题得푀퐸 = 5,在直角△OME 中，푥2 +5 = 푅2(1)，又 MF=OG=1,AF= 32 ― 22 = 5, 퐴퐺 = 푅2 ― 1,퐺퐹 = 푥, ∴ 푅2 ― 1 + 푥 = 5(2)，解（1）（2）得푅2 = 101 20 , ∴ 푆 = 4휋푅2 = 101 5 휋.故选 B. 【练习 6】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几 何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体的外接球的表面积是（ ） A. 81휋 B. 33휋 C. 56휋 D. 41휋 【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥푃 ― 퐴퐵퐶퐷，其中퐴퐵퐶퐷是边长为 4 的正方形， 平面푃퐴퐵 ⊥ 平面퐴퐵퐶퐷． 设퐹为퐴퐵的中点，퐸为正方形퐴퐵퐶퐷的中心，푂为四棱锥外接球的球心，푂1为훥푃퐴퐵外接圆的圆心，则球心푂 为过点퐸且与平面퐴퐵퐶퐷垂直的直线与过푂1且与平面푃퐴퐵垂直的直线的交点． 由于훥푃퐴퐵为钝角三角形，故푂1在훥푃퐴퐵的外部，从而球心푂与点 P 在平面퐴퐵퐶퐷的两侧． 由题意得PF = 1,OE = O1F,OO1 = EF， 设球半径为R，则R2 = OE2 + OB2 = EF2 + O1P2, 即OE2 + (2 2)2 = 22 + (1 + OE)2，解得OE = 3 2， ∴R2 = (3 2) 2 + (2 2)2 = 41 4 ，∴S球表 = 4πR2 = 41π．选 D． 【练习 7】已知底面边长为 2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥푃 ― 퐴퐵퐶的四个顶点都在同一球面上 ， 则此球的表面积为（ ） A. 3휋 B. 2휋 C. 4 3휋 D. 4휋 【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为 1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为 1），则正方体外接球为正三 棱锥外接球，所以球的直径为 1 + 1 + 1 = 3，故其表面积为푆 = 4 × 휋 × ( 3 2 ) 2 = 3휋．选 A． 【练习 8】（2020·）如图所示，三棱锥S 一 ABC 中，△ABC 与△SBC 都是边长为 1 的正三 角形，二面角 A﹣BC﹣S 的大小为 ，若 S，A，B，C 四点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ） A． π B． π C． π D．3π 【答案】A 【解析】取线段 BC 的中点 D，连结 AD，SD， 由题意得 AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS 是二面角 A﹣BC﹣S 的平面角，∴∠ADS ， 由题意得 BC⊥平面 ADS， 分别取 AD，SD 的三等分点 E，F， 在平面 ADS 内，过点 E，F 分别作直线垂直于 AD，SD， 两条直线的交点即球心 O， 连结 OA，则球 O 半径 R＝|OA|， 由题意知 BD ，AD ，DE ，AE ， 连结 OD，在 Rt△ODE 中， ，OE DE ， ∴OA2＝OE2+AE2 ， 2 3 π 7 3 13 3 4 3 2 3 π= 1 2 = 3 2 = 1 3 3 6AD= = 2 3 3 3AD= = 3ODE π∠ = 3= 1 2 = 7 12 =∴球 O 的表面积为 S＝4πR2 ． 故选：A． 【练习 9】四面体 中， ， 平面 ， ， ， ，则该四 面体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 由已知可得 与 为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为 的中点 O， 因为 ,且 ,所以 , 所以 , 所以四面体 的外接球半径 ,则表面积 .故答案选：C 【四】墙角型 7 3 π= SABC AC BC⊥ SA ⊥ ABC 6SA = 7AC = 3BC = 32 3 π 16 3 π 16π 32π SAB SBC SB 7, 3AC BC= = AC BC⊥ 10AB = 2 2 6 10 4SB SA AB= + = + = SABC 2R = 24 16S Rπ π= =1.例题 【例 1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ） A． B． C． D． 【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的． 故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径 ， 则： .故选：B． 【例 2】已知四面体퐴퐵퐶퐷的四个面都为直角三角形，且퐴퐵 ⊥ 平面퐵퐶퐷，퐴퐵 = 퐵퐷 = 퐶퐷 = 2，若该四面体 的四个顶点都在球푂的表面上，则球푂的表面积为（ ） 题设：墙角型（三条线两两垂直） 方法：找到 3 条两两互相垂直的线段 途径 1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方 体． 途径 2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方 体． 途径 3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体． 途径 4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体． 墙角型外接球半径： （ 分别是长方体同一顶点出发的三条棱的长度） 2 222 cbaR ++= cba ,, 2 3 π 3 2 π 3π 4 3π 2 2 21 1 1 3 2 2r + += = 3 4 3 3 3 2 2V ππ  = ⋅ ⋅ =   A．3휋 B．2 3휋 C．4 3휋 D．12휋 【解析】 ∵ BD = CD = 2且ΔBCD为直角三角形 ∴ BD ⊥ CD 又AB ⊥ 平面BCD，CD ⊂ 平面BCD ∴ CD ⊥ AB ∴ CD ⊥ 平面ABD 由此可将四面体ABCD放入边长为2的正方体中，如下图所示： ∴ 正方体的外接球即为该四面体的外接球O 正方体外接球半径为体对角线的一半，即R = 1 2 ⋅ 22 + 22 + 22 = 3 ∴ 球O的表面积：S = 4πR2 = 12π本题正确选项：D 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知一个棱长为 2 的正方体被两个平面所截得 的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球 的表面积是 　　 A． B． C． D． 【解析】该几何体是把正方体 截去两个四面体 与 ， 其外接球即为正方体 的外接球， 由 ． 外接球的半径 ． 该几何体外接球的表面积是 ．故选： ． ( ) 24π 20π 16π 12π 1AC 1 1 1AA B D 1 1 1CC B D 1AC 2 2 2 1 2 2 2 2 3AC = + + = ∴ 3R = ∴ 24 ( 3) 12π π× = D【练习 2】在三棱锥 一 中， ， 、 、 两两垂直，则三棱锥 的外接球的表面积为 　　 A． B． C． D． 【解析】 在三棱锥 一 中， ， 、 、 两两垂直， 以 、 、 为棱构造棱长为 1 的正方体， 则这个正方体的外接球就是三棱锥 的外接球， 三棱锥 的外接球的半径 ， 三棱锥 的外接球的表面积为： ．故选： ． 四、空间几何内切球 1.例题 P ABC 1PA PB PC= = = PA PB PC P ABC− ( ) 12π 6π 4π 3π  P ABC 1PA PB PC= = = PA PB PC ∴ PA PB PC P ABC− ∴ P ABC− 2 2 21 1 1 3 2 2r + += = ∴ P ABC− 24 12S rπ π= = A【例 1】正三棱锥的高为 1，底面边长为 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体 积． 【答案】 ， ． ∴ 得： ， ∴ ．∴ ． 【例 2】若三棱锥 中， ，其余各棱长均为 5 ，则三棱锥内切球的表面积为　　． 【答案】 【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等， 且每一个面的面积均为 ． 设三棱锥的内切球的半径为 ，则三棱锥的体积 ， 取 的中点 ，连接 ， ，则 平面 ， ， ， ， ，解得 ． 62 πππ )625(8)26(44 22 −=−== RS球 33 )26(3 4 3 4 −== ππRV球 RR ××+×××=×× 363 13233 11363 1 26 332 32 −= + =R πππ )625(8)26(44 22 −=−== RS球 33 )26(3 4 3 4 −== ππRV球 A BCD− 6AB CD= = 63 16 π 1 6 4 122 × × = r 1 4 163 ABCV S r r∆= =  CD O AO BO CD ⊥ AOB 4AO BO∴ = = 1 6 7 3 72AOBS∆ = × × = 12 2 3 7 3 6 73A BCD C AOBV V− −∴ = = × × × = 16 6 7r∴ = 3 7 8r =内切球的表面积为 ． 故答案为： ． 2.巩固提升综合练习 【练习 1】一个几何体的三视图如图所示， 三视图都为腰长为 2 的等腰直角三角形， 则该几何体的外接 球半径与内切球半径之比为 　　 A ． B ． C ． D ． 【解析】 由题意可知几何体是三棱锥， 是正方体的一部分， 如图： 正方体的棱长为 2 ， 内切球的半径为 ，可得： ，解得 ， 几何体的外接球的半径为： ，该几何体的外接球半径与内切球半径之比为： ． 故选： ． 【练习 2】球内切于圆柱， 则此圆柱的全面积与球表面积之比是 　　 ∴ 2 634 16S r ππ= = 63 16 π ( ) 3 3 3 2 + 3 3 3 2 1 3 2 + r 21 1 1 1 32 2 2 (3 2 2 (2 2) )3 2 3 2 4 r× × × × = × × × × + ×  2 3 3 r = + 3 3 3 3 3 2 2 3 3 += + A ( )A ． B ． C ． D ． 【解析】设球的半径为 ，则圆柱的底面半径为 ，高为 ， ， ． 此圆柱的全面积与球表面积之比是： ．故选： ． 五、球与几何体各棱相切 1.例题 【例 1】已知一个全面积为 24 的正方体，有 一个与每条棱都相切的球，此球的半径为 【解析】对于球与正方体的各棱相切，则球的直径为正方体的面对角线长， 即 , 2.巩固提升综合练习 【练习 1】把一个皮球放入如图 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表 面与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【解析】 1:1 2:1 3: 2 4:3 R R 2R 2 22 2 2 6S R R R Rπ π π∴ = × + × =圆柱 24S Rπ=球 ∴ 2 2 6 3 4 2 S R S R π π= =圆柱 球 C 球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然 后通过构造直角三角形进行转换和求解 2222 22 =+=R 310 10 210 30六、课后自我检测 1．已知三棱锥 的各顶点都在一个球面上，球心 在 上， 底面 ，球的体积与三棱 锥体积之比是 ， ，则该球的表面积等于 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于 ，且 平面 ，所以 ，设球的半径为 ，根据题目 所给体积比有 ，解得 ，故球的表面积为 . 2．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是 某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形， 则该几何体的外接球的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据三视图可知，几何体是底面为矩形，高为 的四棱锥，且侧面 PAB 垂直底面 ABCD，如图所 示： S ABC− O AB SO ⊥ ABC 4π 2AC = π 2π 3π 4π OA OB OC OS= = = SO ⊥ ABC π 2ACB∠ = R 3 24π 1 14π 2 4 23 3 2R R R= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ 1R = 4π 1 19 57 54 π 22 66 54 π 19 3 π 22 3 π 3还原长方体的长是 2，宽为 1，高为 设四棱锥的外接球的球心为 O，则过 O 作 OM 垂直平面 PAB，M 为三角形 PAB 的外心，作 ON 垂直平面 ABCD， 则 N 为矩形 ABCD 的对角线交点， 所以外接球的半径 所以外接球的体积 故选 A 3．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其 正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A． 6휋 B．6휋 C．9휋 D．24휋 【答案】B 【解析】如图所示，该几何体为四棱锥푃 ― 퐴퐵퐶퐷．底面퐴퐵퐶퐷为矩形， 其中푃퐷 ⊥ 底面퐴퐵퐶퐷．퐴퐵 = 1，퐴퐷 = 2，푃퐷 = 1．则该阳马的外接球的直径为푃퐵 = 1 + 1 + 4 = 6． ∴ 该阳马的外接球的表面积为：4휋 × ( 6 2 ) 2 = 6휋．故选：퐵． 4．如图，边长为2的正方形퐴퐵퐶퐷中，点퐸、퐹分别是퐴퐵、퐵퐶的中点，将훥퐴퐷퐸，훥퐵퐸퐹，훥퐶퐷퐹分别沿퐷퐸， 3 1 1 3, 32 3 3OM ON= = × = 2 2 2 2 2 2 23 1 2 19 19( ) ( )3 2 12 12R ON AN R += + = + = ∴ = 34 19 57 3 54V Rπ π= =퐸퐹，퐹퐷折起，使得퐴、퐵、퐶三点重合于点퐴 ′ ，若四面体퐴 ′ 퐸퐷퐹的四个顶点在同一个球面上，则该球的表 面积为( ) A．5휋 B．6휋 C．8휋 D．11휋 【答案】B 【解析】由题意可知△퐴′퐸퐹是等腰直角三角形，且퐴′퐷 ⊥ 平面퐴′퐸퐹． 三棱锥的底面퐴′퐸퐹扩展为边长为 1 的正方形， 然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为： 1 + 1 + 4 = 6． ∴ 球的半径为 6 2 ， ∴ 球的表面积为4휋·( 6 2 ) 2 = 6휋．故选：퐵． 5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球푂的球面上，则球푂的表面积是：（ ） A．8휋 B．12 3휋 C．12휋 D．48휋 【答案】C 【解析】由三视图还原几何体如图， 可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为 2，侧棱长为 2．[ 把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为 22 + 22 + 22． ∴该三棱柱外接球的半径为： 3．则球 O 的表面积是：4휋 × ( 3)2 = 12π．故选：C．6．已知三棱锥푂 ― 퐴퐵퐶的底面훥퐴퐵퐶的顶点都在球푂的表面上，且퐴퐵 = 6，퐵퐶 = 2 3，퐴퐶 = 4 3，且三棱 锥푂 ― 퐴퐵퐶的体积为4 3，则球푂的体积为（ ） A．32휋 3 B．64휋 3 C．128휋 3 D．256휋 3 【答案】D 【解析】由 O 为球心，OA＝OB＝OC＝R，可得 O 在底面 ABC 的射影为△ABC 的外心， AB＝6，퐵퐶 = 2 3，퐴퐶 = 4 3，可得△ABC 为 AC 斜边的直角三角形， O 在底面 ABC 的射影为斜边 AC 的中点 M，可得1 3•OM•1 2AB•BC = 1 6OM•12 3 = 4 3，解得 OM＝2， R2＝OM2+AM2＝4+12＝16，即 R＝4，球 O 的体积为4 3πR3 = 4 3π•64 = 256 3 π．故选：D． 7．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂 直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵， ，若 ，则堑堵 的外 接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，在直三棱柱 中， 因为 ，所以 为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径 ， 又由 ，所以直三棱柱 的外接球的直径 ， 所以 ，所以外接球的体积为 ，故选 C. 8．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为 2，则该四面体外接球的表面积为（ ） AC BC⊥ 1 2A A AB= = 1 1 1ABC A B C− 16 2 3 π 8π 8 2 3 π 4 3 π 1 1 1ABC A B C− AC BC⊥ ABC∆ 2 2r AB= = 1 2AA = 1 1 1ABC A B C− 2 2 12 (2 ) 2 2R r AA= + = 2R = 3 34 4 8 2( 2)3 3 3V R ππ π= = × =A．6π B．12π C．32π D．48π 【答案】B 【解析】由题得几何体原图如图所示， 其中 SA⊥平面 ABC,BC⊥平面 SAB,SA=AB=BC=2,所以 AC=2 , , 设 SC 中点为 O,则在直角三角形 SAC 中，OA=OC=OS= , 在直角三角形 SBC 中，OB= ,所以 OA=OC=OS=OB= , 所以点 O 是四面体的外接球球心，且球的半径为 . 所以四面体外接球的表面积为 .故选：B 9．已知在三棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ， 若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意, ， 是直角三角形 又 平面 平面 ，所以，三棱锥 外接球半径等于 的外接圆半径 , , 球的表面积为 故选 D。 10．已知三棱锥 的体积为 6，在 中， ， ， ，且三棱锥 的外接球的球心 恰好是 的中点，则球 的表面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在 中，由余弦定理得 2 2 3SC = 3 1 32 SC = 3 3 2 4 3 =12π π× P ABC− 1PA PB BC= = = 2AB = AB BC⊥ PAB ⊥ ABC 3 2 π 2 3 π 2π 3π 21 === ABPBPA ， PAB∆∴  PAB ⊥ ABC P ABC− ABC∆ AB BC⊥ 21 == ABBC ， 32 ==∴ ACR ∴ 24 3Rπ π= D ABC− ABC∆ 2AB = 4AC = 60BAC∠ = ° D ABC− O AD O 32 3 π 64 3 π 43π 42π ABC∆ 2 2 2 cos 2 3BC AB AC AB AC BAC= + − ⋅ ∠ = 是直角三角形 设三棱锥 的高为 则三棱锥体积 ，解得 取 边的中点为 ，则 为 外接圆圆心 连接 ，则 平面 ，如下图所示： 则 则 球 的表面积 本题正确选项： 11．已知三棱锥 各顶点均在球 上， 为球 的直径，若 ， ，三棱 锥 的体积为 4，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原题如下图所示： 由 ， 得： 则 设 外接圆圆心为 ，则 [来源:Z.Com] 2 2 2+AB BC AC= ABC∴∆ D ABC− h 1 1 2 2 3 63 2V h= × × × × = 3 3h = AC 1O 1O ABC∆ 1OO 1OO ⊥ ABC 1 3 3 2 2 hOO = = 22 2 23 3 4322 2 2 2 h ACR OA     = = + = + =            ∴ O 24 43S Rπ π= = C S ABC− O SB O 2AB BC= = 2 3ABC π∠ = S ABC− O 120π 64π 32π 16π 2AB BC= = 2 3ABC π∠ = 2 3BC = 1 2sin 32 3ABCS AB BC π ∆ = ⋅ = ABC∆ O′ OO O′ ′⊥ 由正弦定理可知， 外接圆半径： 设 到面 距离为 由 为球 直径可知： 则 球的半径 球 的表面积 本题正确选项： 12．在三棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ， 则三棱锥 的外接球体积为 　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， ，所以， 是边长为 的等边三角形， 由正弦定理得 的外接圆的直径为 ， 所以，该球的直径为 ，则 ， 因此，三棱锥 的外接球体积为 ．故选： ． 13．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面 积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥底面圆半径为 R，球的半径为 r， ABC∆ 2 3 222sin 3 O A π′ = = S ABC d SB O 1 2OO d′ = 1 3 43O ABCV d−∴ = × × = 4 3d∴ = 2 3OO′ = ∴ 2 2 4 12 4OA OA OO′ ′= + = + = O 24 4 64S π π= × = B A BCD− BC BD⊥ 4 3AB AD BD= = = 6BC = ABD ⊥ BCD A BCD− ( ) 36π 256 3 π 500 3 π 288π  ABD ⊥ BCD ABD ∩ BCD BD= BC BD⊥ BC ⊂ BCD BC∴ ⊥ ABD  4 3AB AD BD= = = ABD∆ 4 3 ABD∆ 2 8 sin 3 ABr π= = ( )2 22 2 10R r BC= + = 5R = A BCD− 3 34 4 50053 3 3V Rπ π π= = × = C 2 3 4 9 2 6 9 8 27由题意知，圆锥的轴截面是边长为 2R 的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆， 所以 r= R， = ， 所以球与圆锥的表面积之比为 故选：B． 14．体积为4π 3 的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________. 【答案】　6 3 【解析】　设球的半径为 R，由 4π 3 R3＝4π 3 ，得 R＝1，所以正三棱柱的高 h＝2. 设底面边长为 a，则1 3× 3 2 a＝1，所以 a＝2 3. 所以 V＝ 3 4 ×(2 3)2×2＝6 3. 15．在四棱锥 P­ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PD⊥面 ABCD，且 PD＝1，若在这个四棱 锥内有一个球，则此球的最大表面积为________． 【答案】(14－6 5)π 【解析】四棱锥 P­ABCD 的体积为 V＝1 3PD·S 正方形 ABCD＝1 3×1×22＝4 3， 如图所示， 易证 PD⊥AD，PD⊥CD，PA⊥AB，PC⊥BC， 所以，四棱锥 P­ABCD 的表面积为 S＝2×1 2×2×1＋2×1 2×2× 5＋22＝6＋2 5， 所以，四棱锥 P­ABCD 的内切球的半径为 R＝3V S ＝ 4 6＋2 5 ＝3－ 5 2 ， S球的表面积 2 2 23 44 4 3 3r R R ππ π  = ⋅ =    S圆锥表面积 2 22 3R R R Rπ π π= ⋅ + = . 2 2 4 43 3 9 R R π π =因此，此球的最大表面积为 4πR2＝4π×(3－ 5 2 )2＝(14－6 5)π. 16．《九章算术》中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材， 其底面三边长分别为 3,4,5，若此石材恰好可以加工成一个最大的球体，则其高为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】 如图，是过球心且与底面平行的轴截面，设球的半径为 r，由 AC＝3，BC＝4，可得 AB＝5，由等面 积法可得：1 2×3×4＝1 2(3＋4＋5)r，解得 r＝1.∴此石材 d 的高为 2r＝2.故选 C. 17．在封闭的直三棱柱 ABC－A1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则 V 的 最大值是(　　) A.4π B.9π 2 C.6π D.32π 3 【答案】　B 【解析】　由 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得 AC＝10. 要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半 径为 r. 则1 2×6×8＝1 2×(6＋8＋10)·r，所以 r＝2. 2r＝4＞3，不合题意. 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大. 由 2R＝3，即 R＝3 2. 故球的最大体积 V＝4 3πR3＝9 2π.