方法技巧专题05 立体几何中平行与垂直证明（解析版）2021年高考数学必备技巧方法归纳提升（全国通用）

方法技巧专题 5 立体几何中平行与垂直证明 解析版 一、立体几何中平行与垂直知识框架 c c ∥ ∥ b a ba ∥⇒ 二、立体几何中的向量方法 【一】“平行关系”常见证明方法 1.1 直线与直线平行的证明 1.1.1 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等 1.1.2 利用三角形中位线性质 1.1.3 利用空间平行线的传递性（即公理 4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 1.1.4 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 1.1.5 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行． 1.1.6 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 1.1.7 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 1.1.8 利用定义：在同一 个平面内且两条直线没有公共点 1.2 直线与平面平行的证明 1.2.1 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 α b a a bα β b a a =∩ ⊂ βα β α∥ ba∥⇒ b a a =∩ ⊂ βα β α∥ ba∥⇒ ba b a // // ⇒    = = γβ γα βα   β α ⊥ ⊥ b a ba ∥⇒ b∥a b a α α ⊂ ⊄ α∥a⇒ α a b1.2.2 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 1.2.3 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 1.3 平面与平面平行的证明 1.3.1 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 1.3.2 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 1.3.3 利用定义：两个平面没有公共点 1.例题 【例 1】 如 图，已知菱形 ，其边长为 2， ， 绕着 顺时针旋转 得到 ， 是 的中点． （1）求 证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 证明（1）连结 AC 交 BD 于点 O，连结 OM 在菱形 中，O 为 AC 中点， M 为 的中点 OM 为 APC 的中位线， OM∥AP ---------------（利用 1.1.2 中位线性质） 又 OM 面 ，且 PA 面 β α a aβα α ∥ ⊂a β∥a⇒ α α β β // // ∩ ⊂ ⊂ b a Pba b a = αβ //⇒ α β b a P ABCD 60BAD∠ =  ABD∆ BD 120 PBD∆ M PC / /PA MBD AD PBD ABCD  PC ∴ ∆ ∴  ⊂ MBD ⊄ MBD平面 ----------------（利用 1.2.1 直线与平面平行的判定定理） 【例 2】 已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 是 、边长为 的菱形，又 ，且 PD=CD，点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点． 证明：DN//平面 PMB。 证明：取 PB 中点为 E，连结 ME、NE 点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点 NE BC ,又 MD BC NE MD，即四边形 ABCD 为平行四边形．　 ME//DN ----------（利用 1.1.1 平行四边形性质） 又 ME 面 PMB，且 DN 面 PMB， DN//平面 PMB ----------（利用 1.2.1 直线与平面平行的判定定理） 【例 3】如图，已知点 是平行四边形 所在平面外的一点， ， 分别是 ， 上的点且 ，求证： 平面 ． 证明：过 E 作 EM//AD 交 PD 于点 M ,连结 MF = = = PB//MF， 又 AD//BC， EM//BC BC 面 PBC，且 EM 面 PBC， EM//面 PBC，同理 MF//面 PBC，----------（利用 1.2.1 直线与平面平行的判定定理） N M B P D C A ∴ / /PA MBD 60=∠A a ABCDPD 底⊥  ∴ 1 2  1 2 ∴ ∴  ⊂ ⊄ ∴ P ABCD E F PA BD PE EA BF FD=∶ ∶ EF// PBC ∴ PE EA PM MD PE EA BF FD ∴ PM MD BF FD ∴  ∴  ⊂ ⊄ ∴FM 面 EFM，EM 面 EFM，EM MF 于点 M, 面 EMF//面 PBC, ------------（利用 1.3.1 平面与平面平行的判定定理) EF//面 PBC ------------ (利用 1.2.2 平面与平面平行的性质) 2.巩固提升综合练习 【 练 习 1 】 如 图 ， 在 六 面 体 中 ， 平 面 ∥ 平 面 ， ⊥ 平 面 ， , , ∥ ,且 , ． 求证： ∥平面 ； 证明：取 DG 的中点为 M 连结 FM、AM，∴DM=MG=EF=1 又∵ ∥ ∴四边形 EFMD 为平行四边形， ∴EF DE ∵ ⊥平面 ,且平面 ∥平面 ∴AD⊥DE,AD⊥AB, 又∵AB、DE 面 ABED, AB=DE=2 ∴AB DE ∴AB FM,即四边形 ABFM 为平行四边形，∴BF∥AM，又∵BF 面 ，AM 面 ∴ ∥平面 【练习 2】如图， ， ， ， 分别是正方体 的棱 ， ， ， 的中 点． 求证：（1） 平面 ； （2）平面 平面 ． 【解析】证明（1）如图，取 的中点 ，连接 ， ，[来源:学&科&网 Z&X&X&K] E F G H 1 1 1 1ABCD A B C D− BC 1CC 1 1C D 1AA EG∥ 1 1BB D D BDF∥ 1 1B D H 1 1B D O GO OB ⊂ ⊂  ∴ EMFEF 面⊂ ∴ ABCDEFG ABC DEFG AD DEFG ACAB ⊥ DGED ⊥ EF DG 2==== DGDEADAB 1== EFAC BF ACGD A B C D E G F EF DG AD DEFG ABC DEFG ⊂ ⊄ ACGD ⊂ ACGD BF ACGD因为 ，所以 ， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． （2）由题意可知 ．连接 ， ， 因为 ，所以四边形 是平行四边形，故 又 ， ，所以平面 平面 ． 【练习 3】在如图所示的五面体 中，四边形 为菱形，且 ， 平面 ， ， 为 中点. 求证： 平面 . 【解析】证明：取 中点 ，连接 ， 因为 分别为 中点，所以 ， 又 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ． 又 ， ， 1 1 1 2OG B C BE∥ ∥ BE OG∥ BEGO OB EG∥ OB ⊂ 1 1BB D D EG ⊄ 1 1BB D D EG∥ 1 1BB D D 1 1BD B D∥ HB 1D F 1BH D F∥ 1HBFD 1HD BF∥ BDF∥ 1 1B D H ABCDEF ABCD 60DAB∠ =  / /EF ABCD 2 2EA ED AB EF= = = = M BC / /FM BDE CD N ,MN FN ,N M ,CD BC / /MN BD BD ⊂ BDE MN ⊄ BDE / /MN BDE / /EF ABCD EF ⊂ ABEF ABCD ∩ ABEF AB= / /EF AB 2 2 2AB CD DN EF= = = = / /AB CD 1111 DHDDB = BBFBD =所以 ， . 所以四边形 为平行四边形. 所以 . 又 平面 且 平面 ，所以 平面 ， 又 ，所以平面 平面 . 又 平面 ，所以 平面 . 【二】“垂直关系”常见证明方法[来源:Z.Com] 2.1 直线与直线垂直的证明 2.1.1 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高 线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。 2.1.2 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°，则两直线互相垂直。 2.1.3 利用直线与平面垂直的性质： 如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 2 .1.4 利用平面与平面垂直的性质推论： 如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。 2.1.5 利用常用结论： ① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条 直线。 ② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直 。 2.2 直线与平面垂直的证明 / /EF CD EF DN= EFND / /FN ED ED ⊂ BDE FN ⊄ BDE / /FN BDE FN MN N∩ = / /MFN BDE MF ⊂ MFN / /FM BDE l a b β αlb la b a l ⊥ ⊥ ⊂ ⊂ =∩ ⊥ β α βα βα ba ⊥⇒ ca ba ⊥ ∥ cb⊥⇒ b aα c a b α α ⊥ ⊂ b a ab ⊥⇒ α a b α α ∥b a ⊥ ba ⊥⇒α β ⊂ ⊥ a a βα ⊥⇒ a α βα α βα ⊥a ∥ β⊥⇒ a A P B C F E D 2.2.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面 等 2.2.2 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。 2.2.3 利用直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。 2.2.4 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 2.2.5 利用常用结论： ① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。 ② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。 2.3 平面与平面垂直 的证明 2.3.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等 2.3.2 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说 这连个平面互相垂直。 2.3.3 利用平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 1.例题 【例 1】如图,四边形 ABCD 为矩形，C F⊥平面 ABCD，DE⊥平面 ABCD，AB=4a， la a l ⊥ ⊂ =∩ ⊥ α βα βα β⊥⇒ a α⊥b ba∥ α⊥⇒ a β b a l α A α⊥⇒       l bl al Aba b a ⊥ ⊥ = ⊂ ⊂  α α β α a l α a b a α βBC= CF=2a，P 为 AB 的中点.求证：平面 PCF⊥平面 PDE. 证明： ABCD 为矩形，AB=2BC, P 为 AB 的中点， PBC 为等腰直角三角形， ∠BPC=45°.同理可证∠APD=45°. ∠DPC=90°，即 PC⊥PD. ----------- （利用 2.1.1） 又 DE⊥面 ABCD，PC 面 ABCD， PC⊥DE. ----------- （利用 2.1.3） DE∩PD=D ， PC ⊥面 PDE . ----------- （利用 2.2.3） 又 PC 面 PCF， 面 PCF⊥面 PDE。----------- （利用 2.3.3） 【例 2】如图，在四棱锥 中，ABCD 是矩形， ， ， 点 是 的中点，点 在 上移动。 求证： 。 【证明】 ， ----------- （利用 2.1.3） ， ----------- （利用 2.1.1） ， ----------- （利用 2.2.3） ，点 是 的中点 ----------- （利用 2.1.1） 又 ----------- （利用 2.1.3） 【例 3】如图，在四边形 中， ， ，点 为线段 上的一点.现将    ABCDP − ABCDPA 平面⊥ 3,1 === ABADPA F PD E CD AFPE ⊥  ABCDPA 平面⊥ ABCDCD 平面⊂ PACD ⊥∴ 是矩矩形ABCD ADCD ⊥∴ AADPA =∩ PADCD 平面⊥∴ PADAF 平面⊂ DCAF ⊥∴ ADPA = F PD PDAF ⊥∴ DPDCD = PDCAF 平面⊥∴ PDC，PE 平面⊂ AFPE ⊥∴ ∴∆ ∴ ⊂ ∴ ∴ ⊂ ∴ A B C D P E F ABCD 4== ADAB 7== CDBC E AD沿线段 翻折到 ，使得平面 平面 ，连接 ， . 证明： 平面 . 【证明】(Ⅰ)连结 ， 交于点 , 在四边形 中， ∵ ， ∴ ， ∴ ,∴ 又∵平面 平面 ，且平面 平面 = ∴ 平面 ----------- （利用 2.2.4） 2.巩固提升综合练习 【练习 1】 如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是矩形，SA 底面 ABCD，P 为 BC 边的中点，SB 与平面 ABCD 所 成的角为 ，且 AD=2，SA=1。 求证：PD 平面 SAP； 【证明】∵SA⊥面 ABCD， ∴ SBA 为 SB 与面 ABCD 的夹角，∴ SBA = ， 且 SA⊥AB，∴AB=1 在矩形 ABCD 中，P 为 BC 边的中点，∴AB=BP=1, ∴AP= , 同理 DP= 又∵AD=2，∴ APD= ,即 AP⊥PD ∵SA⊥面 ABCD, ∴SA⊥PD, 且 SA、AP 面 SAP，SA AP 于点 A, ∴PD 平面 SAP 【练习 2】 如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， 为棱 的中点． ， ， ． ⊥ 45 ⊥ 45 ⊥ 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC M AC =AB BC =2AC 1= 2AA DCE∆ EC PAC PAC ⊥ ABCE PA PB ⊥BD PAC AC BD O ABCD 4== ADAB 7== CDBC ADCABC ∆≅∆ BACDAC ∠=∠ BDAC ⊥ PAC ⊥ ABCE PAC  ABCE AC ⊥BD PAC ∠ ∠ 2 2 ∠ 090 ⊂ ∩（1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 ； 【解析】（1）证明：连接 与 ，两线交于点 ，连接 ． 在 中，∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ ， 又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ． （2）证明：∵侧棱 底面 ， 平面 ，∴ ， 又∵ 为棱 的中点， ，∴ ． ∵ ， ， 平面 ，∴ 平面 ，∴ ∵ ，∴ ．又∵ ，∴在 和 中， ， ∴ ， 即 ，∴ ∵ ， ， 平面 ，∴ 平面 ． 【练习 3】如图，四棱锥 中， ， ， ， 为正三角 形． 且 ． 证明：平面 平面 ． 【解析】（1）证明：∵ ，且 ，∴ ， 又 为正三角形，∴ ， 1B C∥ 1A BM 1AC ⊥ 1A BM 1AB 1A B O OM 1B AC△ M O AC 1AB 1OM B C∥ OM ⊂ 1A BM 1B C ⊄ 1A BM 1B C∥ 1A BM 1AA ⊥ ABC BM ⊂ ABC 1AA BM⊥ M AC =AB BC BM AC⊥ 1 =AA AC A 1AA AC ⊂ 1 1ACC A BM ⊥ 1 1ACC A 1BM AC⊥ =2AC =1AM 1= 2AA 1Rt ACC△ 1Rt A AM△ 1 1tan tan 2AC C A MA∠ = = 1 1AC C A MA∠ ∠＝ 1 1 1 1 90AC C C AC A MA C AC∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ° 1 1A M AC⊥ 1BM A M M= BM 1A M ⊂ 1A BM 1AC ⊥ 1A BM P ABCD− 2 2AB AD BC= = = BC AD∥ AB AD⊥ PBD△ 2 3PA = PAB ⊥ PBC AB AD⊥ 2AB AD= = 2 2BD = PBD△ 2 2PB PD BD= = =又∵ ， ，∴ ， 又∵ ， ，∴ ， ， ∴ 平面 ，又∵ 平面 ， ∴平面 平面 ． 三、课后自我检测 1．如图，四边形 为正方形， 平面 ， ， ， ， ． （1）求证： ； （2）若点 在线段 上，且满足 ，求证： 平面 ； （3）求证： 平面 ． 【解析】（1）∵ ，∴ 与 确定平面 ， ∵ 平面 ，∴ ．由已知得 且 ， ∴ 平面 ．又 平面 ，∴ ． （2）过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 ． 又 ，∴ ．又 且 ， ∴ 且 ，∴四边形 为平行四边形，∴ ． 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ． （3）由（1）可知， ． 在四边形 中， ， ， ， ， 2AB = 2 3PA = AB PB⊥ AB AD⊥ BC AD∥ AB BC⊥ PB BC B= AB ⊥ PBC AB ⊆ PAB PAB ⊥ PBC ABCD EA ⊥ ABCD EF AB∥ 4AB = 2AE = 1EF = BC AF⊥ M AC 1 4CM CA= EM∥ FBC AF ⊥ EBC EF AB∥ EF AB EABF EA ⊥ ABCD EA BC⊥ AB BC⊥ BC ⊥ EABF AF ⊂ EABF BC AF⊥ M MN BC⊥ N FN MN AB∥ 1 4CM AC= MN AB= EF AB∥ 1 4EF AB= EF MN∥ EF MN= EFNM EM FN∥ FN ⊂ FBC EM ⊄ FBC EM∥ FBC AF BC⊥ ABFE 4AB = 2AE = 1EF = 90BAE AEF∠ = ∠ = ° AABEA =∴ ，则 ． 设 ，∵ ， 故 ，则 ，即 ． 又∵ ，∴ 平面 ． 2．直三棱柱 中， ， ， ，点 是线段 上的动点. （1）当点 是 的中点时，求证： 平面 ； （2）线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，试求出 的长度；若不存 在，请说明理由. 【解析】（1）如图，连接 ，交 于点 ，连接 ，则点 是 的中点， 又点 是 的中点，由中位线定理得 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）当 时平面 平面 . 证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ． 又 ， ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 平面 平面 ， 故点 满足 . 因为 ， ， ，所以 ， 故 是以角 为直角的三角形， 1tan tan 2EBA FAE∠ = ∠ = EBA FAE∠ = ∠ 90PAE PAB∠ + ∠ = ° 90PBA PAB∠ + ∠ = ° 90APB∠ = ° EB AF⊥ EB BC B= AF ⊥ EBC 1 1 1ABC A B C− 5AB = 3AC = 4BC = D AB D AB 1B CD AB D 1 1ABB A ⊥ 1CDB AD 1BC 1B C E DE E 1BC D AB DE ⊂ 1B CD 1AC ⊄ 1B CD 1B CD CD AB⊥ 1 1ABB A ⊥ 1CDB 1AA ⊥ ABC CD ⊂ ABC 1AA CD⊥ CD AB⊥ 1AA AB A∩ = CD ⊥ 1 1ABB A CD ⊂ 1CDB 1 1ABB A ⊥ 1CDB D CD AB⊥ 5AB = 3AC = 4BC = 2 2 2AC BC AB+ = ABC∆ C PBEAF = //1AC 1// ACDE //1AC又 ，所以 . 3.如图， 为等边三角形， 平面 ， ， ， 为 的中点. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求证：平面 平面 . 【解析】 （1）证明：取 的中点 ，连结 ∵在 中， ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形 ∴ 又∵ 平面 ∴ 平面 （2）证：∵ 面 ， 平面 ，∴ ， 又∵ 为等边三 角形，∴ ， 又∵ ，∴ 平面 ， 又∵ ，∴ 面 ， 又∵ 面 ，∴面 面 [来源:Z§xx§k.Com] 4. 已知平面四边形 中， 中， ，现沿 进行翻折，得到三棱锥 ，点 ， 分别是线段 ， 上的点，且 平面 . CD AB⊥ 9 5AD = ABC∆ EA ⊥ ABC / /EA DC 2EA DC= F EB / /DF ABC BDE ⊥ AEB AB G ,FG GC EAB∆ / /FG AE 1 2FG AE= / /DC AE 1 2DC AE= / /DC FG FG DC= DCGF / /FD GC FD ⊄ ABC / /FD ABC EA ⊥ ABC CG ⊂ ABC EA GC⊥ ABC∆ CG AB⊥ EA AB A∩ = CG ⊥ EAB / /CG FD FD ⊥ EAB FD ⊂ BDE BDE ⊥ EAB PABC PAC PCA∠ = ∠ 90BAC∠ = ° AC P ABC− D E BC AC PAB//DE求证：（1）直线 平面 ；[来源:学*科*网] （2）当 是 中点时，求证：平面 平面 . 【解析】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，所以 因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 （2）因为 是 的中点， ，所以 为 的中点. 又因为 ，所以 又 ， ，所以 ， ， 平面 ， ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 . PDE D BC ABC ⊥ PDE SAB DE ⊂ ABC SAB ∩ ABC AB= DE ⊂ SDE AB ⊄ SDE AB SDE D BC E AC SA SC= SE AC⊥ AB AC⊥ DE AC⊥ DE SE ⊂ SDE DE SE E∩ = AC ⊥ SDE AC ⊂ ABC ABC ⊥ SDE //AB //DE ABDE // ABDE // ABDE //