2020届上海市普陀区高三三模质量检测数学试题（解析版）

普陀区 2020 届高三数学质量检测试卷 ―､填空题 1. 已知集合 ， ，则 ________ 【答案】 【解析】 【分析】 利用集合的交运算即可求解. 【详解】由集合 ， ， 则 . 故答案为： 【点睛】本题考查了集合的基本运算，解题的关键是理解集合中的元素特征，属于基础题. 2. 在复平面内，点 对应的复数 z，则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】 由点的坐标写出复数，再计算。 【详解】由题意 ，∴ 。 故答案为： 。 【点睛】本题考查复数 几何意义，考查复数的模，属于基础题。 3. 满足 的实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 试题分析： ，即 ，∴ ． 考点：行列式 4. 已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 __________. 的 { | 2 , }A x x k k= = ∈Z { | 2 2}B x x= − ≤ ≤ A B = { 2,0,2}− { | 2 , }A x x k k= = ∈Z { | 2 2}B x x= − ≤ ≤ A B = { 2,0,2}− { 2,0,2}− ( )2,1A − 1z + = 2 2z i= − + 1 2 1 1 2z i i+ = − + + = − + = 2 sin 3 0 cos 1 x x = x ,3x k k Z ππ= + ∈ sin 3 cos 0x x− = 2sin 03x π − =   ,3x k k Z ππ= + ∈ a b 60° 2a = 3b = 3 2a b− =  【答案】6. 【解析】 分析】 求出 即得解. 【详解】由题意，向量 的夹角为 ， 所以 ， 所以 . 故答案为：6 【点睛】本题主要考查向量模的计算，考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 ，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】 【解析】 由题意得： 母线与轴的夹角为 考点：圆锥轴截面 【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积 ，圆柱的表面积 ，圆锥的侧面积 ，圆锥的表面积 ，球体的表面积 ，圆 锥轴截面为等腰三角形. 6. 若抛物线 上一点 M 到其焦点的距离等于 2，则 M 到其顶点的距离等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得 的值， 代入抛物线方程求得 值，即可得到所求点的坐标，从而求得其到原点的距离． 【详解】解： 抛物线方程为 ， 焦点为 ，准线为 ， 抛物线 上一点 到焦点的距离等于 2， 根据抛物线定义可知 到准线的距离等于 2， 即 ，解之得 ，代入抛物线方程求得 ， 【 2(3 2 )a b−  ,a b  60 , 2, 3a b= =   2 22 2 2(3 2 ) 9 12 4 9 2 12 2 3cos60 4 3 36a b a a b b− = − ⋅ + = × − × × + × =      3 2 6a b− =r r 2π 3 π 1:( 2 ) 2 22rl h r l hπ π⋅ = ⇒ = ⇒ 3 π 2 4y x= 5 x y  2 4y x= ∴ (1,0)F : 1l x = −  2 4y x= P ∴ P 1 2x + = 1x = 2y = ± 点 坐标为： ，故其到顶点的距离为 ， 故答案 ： ． 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决， 属于基础题． 7. 在 的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含 x 项的系数等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据二项展开式的性质，求得 ，得出展开式的通项为 ，结合通项，即可求解. 【详解】由题意，在 的展开式中，只有第三项的二项式系数最大， 根据二项展开式的性质，可得 ，解得 ， 所以该二项式为 ，则展开式 通项为 ， 令 ，可得 ，所以含 项的系数为 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了二项展开式中的二项式系数的性质，以及指定项系数的求解，其中解答中熟记展 开式中二项式系数的性质和二项展开式的通项是解答的关键，意在考查推理与运算能力. 8. 已知 ，则目标函数 的最大值为________. 【答案】100 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求得目标函数的最大值． 【详解】作出由不等式组满足的平面区域，如图 为 的 ∴ P (1, 2)± ( )221 2 5+ ± = 5 ( )2 nx − 32− 4n = 4 1 4( 2)r r r rT C x − + = − ( )2 nx − 1 32 n + = 4n = ( )42x − 4 4 1 4 4( 2) ( 2)r r r r r r rT C x C x− − + = − = − 4 1r− = 3r = x 3 3 4( 2) 32C− = − 32− 5 4 26 2 +5 13 0 N N x y x y x y + ≤  − ≤ ∈  ∈ 20 10z x y= + 将目标函数 化为 由图可知，当直线 过点 时 直线 在 轴上的截距最大，此时 有最大值 100, 故答案为：100. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 9. 设函数 ，若关于 x 的方程 在区间 上有且仅有两个不相等的实根， 则 的最大整数值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】 利用换元法求出 的取值范围，再根据三角函数的图象得到 的不等式，即可得答案； 【详解】令 ， ， ， 的图象如图所示， 关于 x 的方程 在区间 上有且仅有两个不相等的实根， 在 上有且仅有两个不相等的实根， ， 的最大整数值为 ， 故答案为： . 20 10z x y= + 2 10 zy x= − + 2 10 zy x= − + (5,0)A 2 10 zy x= − + y z ( ) sin( )( 0)6f x x πω ω= + > ( ) 1f x = [0, ]π ω π 6xω + ω π 6t xω= +  [0 π]x∈ ， ∴ π π 6 6 6x π ω ωπ≤ + ≤ +  siny t=  ( ) 1f x = [0 π]， ∴ sin 1y t= = π[ , ]6 6 π ωπ + ∴ 5 π 9 7 13 2 6 2 3 3 π πωπ ω≤ + < ⇒ ≤ < ∴ω 4 4 【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推 理能力、运算求解能力，求解时注意换元后新元的取值范围，属于中档题. 10. 设 ， 为函数 图像上两点，其中 .已知直线 AB 的斜率为 2，且 ，则 __________. 【答案】4 【解析】 【分析】 根据条件建立方程组求解即可. 【详解】因为 ， 为函数 图像上两点，其中 ,直线 AB 的斜率为 2，且 ， 所以 解得 所以 故答案为：4 【点睛】本题主要考查的是直线的斜率和两点间的距离公式，考查了学生的计算能力，属于基础题. 11. 设点 O 为 的外心，且 ，若 ，则 的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用平面向量线性运算整理可得 ，由此得到 ；由 可求得 ，设外接圆半径为 ，将所得式子平方后整理可得 ，利用基本不等式构造 不等关系，即可求得所求最大值. ( ),A a r ( ),B b s 2logy x= a b> | | 5AB = a b = ( ),A a r ( ),B b s 2logy x= a b> | | 5AB = ( ) ( ) 2 2 2 2 log log 2 5 a r b s s r b a a b r s =  = − = −  − + − = 2 2 4 1, , log 3, 2 log 33 3a b s r= = = − = − 4a b = ABC 3A π= ( ), RAO AB ACα β α β= + ∈   α β+ 2 3 ( )1 OA OB OCα β α β+ − = +   1α β+ < 3A π= cos BOC∠ R ( )2 1 3α β αβ+ = + 【详解】 ，即 ， ， 设 外接圆半径为 ， 则 ， 整理可得： ， 解得： 或 （舍）,当且仅当 时，等号成立， 的最大值为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知 等式化为与外接圆半径有关的形式，进而消去外接圆半径得到变量之间的关系. 12. 若实数 a､b､c 满足 ，则 a､b､c 是调和的，设含有三个元素的集合 是集合 的子集，当集合 中的元素 a､b､c 既是等差的又是调和的时候，称集合 P 为“好集”，则三元子集中 “好集”的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由已知求得集合 P，确定其个数，根据古典概率公式可求得答案． 【详解】因为 ，且 ，所以 ，所以 （舍去）或 ， 所以 ，所以 ， 又 解得 ，且 ，所以三元子集中“好集”P 共 1010 个，所求的概率 ( ) ( )AO AB AC OB OA OC OAα β α β= + = − + −        ( )1 OA OB OCα β α β∴ + − = +   1 0α β∴ + − < 1α β+ < 1cos 2A = 1cos cos2 2BOC A∴ ∠ = = − ABC R ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 cosR R R R BOC R R Rα β α β αβ α β αβ+ − = + + ∠ = + − ( ) ( )2 232 1 3 1 3 12 4 α βα β αβ α β+ + = + ≤ + × = + +   2 3 α β+ ≤ 2α β+ ≥ 1 3a b= = α β∴ + 2 3 2 3 1 1 2 a b c + = P | 0{ 202 ,M x x= ≤ }x Z∈ P 3 32643198 1 1 2 a b c + = 2a c b+ = ( )( )+2 0a b a b− = a b= 2a b= − 4c b= { }2 , ,4P b b b= − 4 2020,b ≤ 505 505b− ≤ ≤ , 0b Z b∈ ≠ 为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查集合的新定义，理解其含义是关键，将问题转化为方程组和不等式的问题，属于中档 题． 二､选择题 13. 若样本平均数为 ，总体平均数为 ，则( ) A. B. C. 是 的估计值 D. 是 的估计值 【答案】D 【解析】 样本平均数为 ，总体平均数为 ，统计学中，利用样本数据估计总体数据， 样本平均数 是总体平均 数 的估计值，故选 D. 14. 记 为数列 的前 项和．“对任意正整数 ，均有 ”是“ 为递增数列”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用单调性的定义和举特例来判断两个条件的充分性和必要性关系. 【详解】当 时，则 ， ， 则“对任意正整数 ，均有 ”是“ 为递增数列”的充分条件； 如数列 为 、 、 、 、 、 ，显然数列 是递增数列，但是 不一定大于零，还有可能小 于或等于零， 所以，“对任意正整数 ，均有 ”不是“ 为递增数列”的必要条件， 因此，“对任意正整数 ，均有 ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件， 故选 A. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，判断时可结合单调性的定义或特例来进行判断，考查推理 3 4041 1010 3 32643198C = 3 32643198 x µ x µ= x µ≈ µ x x µ x µ ∴ x µ nS { }na n n 0na > { }nS 0na > ( )1 0 2,n n nS S a n n N ∗ −− = > ≥ ∈ 1n nS S −∴ > n 0na > { }nS { }na 1− 1 2 3 4  { }nS na n 0na > { }nS n 0na > { }nS 能力，属于中等题. 15. 设 为双曲线 （ ）的上一点， ，（ 为左、右焦点），则 的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用双曲线的定义，得 ，利用余弦定理求出 的值，结合三角形的面积公式 即可求出 的面积． 【详解】双曲线 ，则 不妨设 是双曲线的右支上一点， 则由双曲线的定义，得 则 , 所以 所以 ，即 所以 所以 故选：C 【点睛】本题考查三角形面积的求法，根据双曲线的定义结合余弦定理将条件进行转化是解决本题的关键， 解题时要认真审题，注意双曲线定义、余弦定理的灵活运用，属于中档题． 16. 下列四个图象，只有一个符合 的图象，则 P 2 2 2 1x ya − = 0a > 1 2 2 3F PF π∠ = 1 2F F、 1 2F PF∆ 23a 23 3 a 3 3 2 3 3 1 2| | | | 2PF PF a− = 1 2| | | |F PP F⋅ 1 2F PF△ 2 2 2 1( 0)x y aa − = > 1b = P 1 2| | | | 2PF PF a− = 1 2 2 3F PF π∠ = 2 2 2 1 2 1 2 24 | | | | 2 | | | | cos 3c PF PF PF PF π= + − ⋅ 2 2 1 2 1 2| | | | + | | | |PF PF PF PF= + ⋅ 2 1 2 1 2(| | | |) 3| | | |PF PF PF PF= − + ⋅ 2 2 1 24 4 3| | | |c a PF PF= + ⋅ 2 2 2 1 23| | | | 4 4 4 4PF PF c a b⋅ = − = = 1 2 4| | | | 3PF PF⋅ = 1 2 1 2 1 2 1 4 3 3| | | | sin2 3 2 3 2 3F PFS PF PF π= ⋅ = × × =△ ( )1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3, , 0y k x b k x b k x b k k k R b b b+= + + + − + ∈ ≠ 根据你所判断的图象， 、 、 之间一定满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 ， 所以 x 足够小时， ， x 足够大时， 可见，折线的两端斜率必定为相反数，此时 ，只有第二个图象符合，故选 A. 三､解答题 17. 在 中， ， ， 分别为内角 所对的边，已知 ，其中 为 外接圆的 半径， ，其中 为 的面积． （1）求 ； （2）若 ，求 的周长． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 （ 1 ） 由 正 弦 可 得 ， 进 而 可 得 ， 从 而 得 ， 结 合 余 弦 定 理 可 得 ， 再 由 即可得解； （2）由正弦定理得 ，从而可得 ，结合 由正弦定理可得 ，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理得 ， ，又 ， ，则 . 1k 2k 3k 1 2 3k k k+ = 1 2 3k k k= = 1 2 3k k k+ > 1 2 3k k k+ < ( )1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3, , 0y k x b k x b k x b k k k R b b b+= + + + − + ∈ ≠ 1 2 3k k k+ = ABC a b c , ,A B C cosa A R= R ABC 2 2 2 4 3 3a c b S+ − = S ABC sinC 2 3a b− = − ABC 2 6 4 + 3 2 632 2 + + R 2sin a A = sin2 1A = A B ( )sin sinC A B= + sin 2 sin 3 a A b B = = a b， sinC c cos 2sin aa A A = sin2 1A∴ = 0 2 2A π< < 2 2A π∴ = 4A π= 由 ，由余弦定理可得 ， ，又 ， ， . （2）由正弦定理得 ， 又 ， ， 又 . 【点睛】解三角形的基本策略： 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见 类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关 于某个角的函数，利用函数思想求最值. 18. 如图，直四棱柱 的底面是菱形， ， ， ，E､M､N 分别是 BC､ ､ 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求直线 AM 与平面 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 2 2 2 4 3 1 csin3 2a c b a B+ − = ⋅ ⋅ 2 32 cos sin3ac B ac B= tan 3B∴ = 0 B π< < = 3B π∴ ( ) 2 6sin sin sin 4 3 4C A B π π + ∴ = + = + =   sin 2 sin 3 a A b B = = 2 3a b− = − 2 3 a b  =∴ = 2 6sin 4C += 2 2 6 2 6 4 22 2 c + +∴ = ⋅ = 3 2 632 2a b c∴ + + = + + 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 4AA = 2AB = 60BAD∠ = ° 1BB 1A D / /MN 1C DE 1C DE 7 34arcsin 68 【解析】 【分析】 （1）过 作 ，证明 ， ，可得 ，由线面平行的判定可得 平面 ； （2）以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴建立空间直角 坐标系，求出平面 的一个法向量，由 与法向量所成角的余弦值可得结果． 【详解】（1）如图所示， 过点 作 ，则 ，且 ， 又 ，且 ， 四边形 为平行四边形，则 ， 由 ， 为 中点，得 为 中点，而 为 中点， ，且 ， 四边形 为平行四边形，则 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2）以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角 坐标系 ， N NH AD⊥ / /NM BH / /BH DE / /NM DE / /MN 1C DE D DA x DE y 1DD z 1A ED AM N NH AD⊥ 1/ /NH AA 1 1 2NH AA= 1/ /MB AA 1 1 2MB AA= ∴ NMBH / /NM BH 1/ /NH AA N 1A D H AD E BC / /BE DH∴ BE DH= ∴ BEDH / /BH DE / /NM DE∴ NM ⊂/ 1C DE DE ⊂ 1C DE / /MN∴ 1C DE D DA x DE y 1DD z D xyz− 则 ， ， ， ， ， ， ， 设 为平面 的一个法向量，则 ，可得 因为 ，设 与 所成锐角为 ， 则 所以 AM 与平面 所成角的大小的大小为 . 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定问题，也考查了空间想象能力与思维能力，以及利用空间向量 求解线面角问题，是中档题． 19. 某公司经过测算投资 百万元，投资项目 与产生的经济效益 之间满足： ，投资项目 产生的经济效益 之间满足： ． （1）现公司共有 1 千万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大？ （2）投资边际效应函数 ，当边际值小于 0 时，不建议投资，则应如何分配投资？ 【答案】（1）投资 项目 4 百万，投资 项目 6 百万，（2）投资 项目 350 万元，投资 项目 550 万元． 【解析】 试题分析：（1）根据题意，建立收益函数关系式：投资 项目 x 百万，投资 项目 10-x 百万，则 ，根据二次函数最值求法得投资 项目 4 百万，投资 项目 6 百万，收益总额最大．（2）由题意得不等式： ，解得 ，因此投资 项目 350 万元，投资 项目 550 万元． 试题解析：解：（1） ，即投资 项目 4 百万，投资 项目 6 百 万，收益总额最大． （2） ，解得 ，投资 项目 350 万元，同理可得，应 投资 项目 550 万元． ( )2,0,0A ( )1 2,0,4A (1, 3,2,)M ( )1,0,2N (0, 3,0)E ( )1 1,0,4C − ( )1 1,0,4DC = − (0, 3,0)DE = ( , , )n u v w= 1C DE 4 0 0 u w v − + =  = (1,0,4)n = ( 1, 3,2)AM = − AM n θ | | 7 7 34cos | || | 682 2 17 AM n AM n θ ⋅= = =    1C DE 7 34arcsin 68 x A y ( ) 21 2 124y f x x x= = − + + B y ( ) 21 4 13y h x x x= = − + + ( ) ( ) ( )1F x f x f x= + − A B A B A B ( ) ( ) ( )2710 4 2912y f x h x x= + − = − − + A B ( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 2 04F x f x f x x= + − = − + + ≥ 7 2x ≤ A B ( ) ( ) ( )2710 4 2912y f x h x x= + − = − − + A B ( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 2 04F x f x f x x= + − = − + + ≥ 7 2x ≤ A B 考点：函数实际应用 20. 设椭圆 ，直线 ，O 为坐标原点. （1）设点 在 C 上，且 C 的焦距为 2，求 C 的方程； （2）设 l 的一个方向向量为 ，且 l 与（1）中的椭圆 C 交于 A.B 两点，求证： 为 常数； （3）设直线 l 与椭圆 C 交于 A.B 两点，是否存在常数 k，使得 的值也为常数？若存在，求 出 k 的表达式及 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ；（2）证明详见解析；（3）存在， . 【解析】 【分析】 （1）由点在椭圆上代入坐标，再和 组成方程组可得解； （2）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理结合 可得答案； （3）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理结合 并算出它的表达式，观察 结构取特殊情况，可得答案. 【详解】（1）由点 P 在椭圆上，得 ， ， ∴ ， ， 又 ， ∴ ， ∴ ，解得 ， ， ∴椭圆 . （2）由条件得直线 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > (: , )l y kx t k t= + ∈R 6( ,1)2P ( 3, 2) 2 2| | | |OA OB+ 2 2| | | |OA OB+ 2 2| | | |OA OB+ 2 2 : 13 2 x yC + = bk a = ± 1c = 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2| | | |OA OB x y x y+ = + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2| | | |OA OB x y x y+ = + + + 2 2 3 1 12a b + = 2 2c = 2 2 2 23 2 2b a a b+ = 1c = 2 2 2a b c= + 2 2 2 23 2( 1) 2( 1)b b b b+ + = + 4 22 3 2 0b b− − = 2 2b = 2 3a = 2 2 : 13 2 x yC + = 6: 3l y x t= + 由 ，得 ， 设 ， ∴ ， ， ， 所以 ， ，得证. （3）由 ，得 ， ∴ ， ， 又 ， ， 所以 要使 为常数，只需 ， 此时 . 所以，存在 ，使得 . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系，椭圆中定值的问题. 2 2 6 3 2 3 6 y x t x y  = +  + = 2 24 2 6 3 6 0x tx t+ + − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 6 2 tx x+ = − 2 1 2 3 6 4 tx x −= 1 1 6 3y x t= + 22 6 3y x t= + 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2| | | |OA OB x y x y+ = + + + ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 5 2 62 2 53 3x x x x x x t = + − + + + =  2 2 2 2 2 2 y kx t b x a y a b = +  + = ( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 0b a k x a ktx a t a b+ + + − = 2 1 2 2 2 2 2a ktx x a k b + = − + 2 2 2 2 1 2 2 2 2 a t a bx x a k b −= + 2 2 2 1 1 2(1 )xy b a = − 2 2 2 2 2 2(1 )xy b a = − 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2| | | |OA OB x y x y+ = + + + ( )2 2 2 1 2 1 221 2 2b x x x x ba   = − + − +    ( ) 2 4 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 4 2 21 2b a k t a t a b ba a k ba k b    − = − − +  +   +  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 22 2 1 2 a t a k b a b a k bb ba a k b  − + +  = − +    +  2 2| | | |OA OB+ 2 2 2 bk a = 2 2 2 2| | | |OA OB a b+ = + bk a = ± 2 2 2 2| | | |OA OB a b+ = + 21. 已知数列 满足：对任意的 ，若 ，则 ，且 ，设集合 ，集合 A 中元素最小值记为 ，集合 A 中元素最大值记为 ，如数列： 时， ， ， . （1）已知数列： ，写出集合 及 ； （2）求证：不存在 ， （3）求 的最大值以及 的最小值，并说明理由. 【答案】（1） ， ；（2）证明详见解析；（3） 的最大值为 17， 的最小值 为 16，理由详见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据题目，代入求解即可； （2）利用反证法证明即可，假设 ， ，所以 可以推出 故假设不成立，所以不 存在 ； （3）欲使 的最大值以及 的最小值，先举例说明得到 是可能的，只需证明 的 最小值为 16，再先证明 为不可能的，同理可以推出 ，矛盾，假设不成立，所以 ，而由已知条件得到 是可能的，分类讨论求解. 详解】（1） ， ， . （2）假设 ， 设 则 即 ，因为 ，所以 . 同理，设 【 1 2 10, , ,a a a… , {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}i j ∈ i j≠ i ja a≠ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}ia ∈ { }1 2 1,2,3,4,5,6,| 7,8i i iA a a a i+ += + + = ( )m A ( )n A 7,6,2,8,3,4,9,1,5,10 { }13,14,15,16A = ( ) 13m A = ( ) 16n A = 10,6,1,2,7,8,3,9,5,4 ( )m A ( )n A ( ) 18m A ≥ ( )m A ( )n A ( ) 9m A = ( ) 20n A = ( )m A ( )n A ( ) 18m A ≥ 55S = 10 1a = 1 1a = ( ) 18m A ≥ ( )m A ( )n A ( ) 17m A = ( )n A ( ) 15n A ≤ 4 10a = ( ) 16n A ≥ ( ) 16n A = { }17,9,10,18,20A = ( ) 9m A = ( ) 20n A = ( ) 18m A ≥ ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 9 18 0 55S a a a a a a a a a a= + + + + + + + + + = 10 1055 3 ( ) 3 18S m A a a= ≥ + = × + 10 1a ≤ 1 1,2,3,( 1 ), 0ia i≥ = … 10 1a = ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 9 18 0 55S a a a a a a a a a a= + + + + + + + + + = 可以推出 ， 中有两个元素为 1，与题设矛盾， 故假设不成立，所以不存在 . （3） 的最大值为 17， 的最小值为 16. ①例如数列： . 此时 ， ， . 得到 是可能的. ②现只需证明： 的最小值为 16. 先证明 为不可能的，假设域 . 设 ， 可得 ， 即 ，元素最大值为 10，所以 . 又 ， 同理可以推出 ，矛盾，假设不成立，所以 . 而由已知条件得到 是可能的， 所以 的最小值为 16. 【点睛】主要考查反证法的证明、数列与不等式，要用到类比推理和归纳推理的数学思想，属于难题. 1 1a = 1,2, 10( )i ia =  ( ) 18m A ≥ ( )m A ( )n A 1,6,10,2,7,8,3,9,5,4 { }17,18,19,20A = ( ) 17m A = ( ) 20n A = ( ) 17m A = ( )n A ( ) 15n A ≤ ( ) 15n A ≤ ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 9 18 0 55S a a a a a a a a a a= + + + + + + + + + = 1 155 3 ( ) 3 15n A a a+ × +≤ ≤ 1 10a ≥ 1 10a = ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 98 10a a a a a a a a a a+ + + + + + + + + 4 455 3 ( ) 3 15n A a a= ≤ + ≤ × + 4 10a = ( ) 16n A ≥ ( ) 16n A = ( )n A