2021届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：数列的综合运用（含解析）

2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 1 - 《数列的综合应用》 考查内容：主要考查数列的综合应用 一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知“整数对”按如下规律排列： ， …，则第 个“整数对”为（ ） A． B． C． D． 2．若数列 满足 ，则称 为“梦想数列”，已知正项数列 为 “梦想数列”，且 ，则 （ ） A．4 B．16 C．32 D．64 3．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每 人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有 斤 棉花全部赠送给 个子女做旅费，从第 个孩子开始，以后每人依次多 斤，直到第 个孩子为止.在这个问题中，第 个孩子分到的棉花为（ ） A． 斤 B． 斤 C． 斤 D． 斤 4．在进行 的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的 原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称 之为高斯算法.已知数列 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于 2018 年 8 月 20 号从银行贷款 a 元，为还清这笔贷款，该家长从 2019 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还相同的金 额，计划恰好在贷款的 m 年后还清，若银行按年利率为 p 的复利计息（复利：即将一 年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是 （ ） A． B． C． D． ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,1 1,2 2,1 1,3 2,2， ， ， ， ，( ) ( ) ( )3,1 1,4 2,3， ， ( )3,2， ( )4,1 ， 68 ( )1,12 ( )3,10 ( )2,11 ( )3,9 { }na 1 1 2 0 n na a+ − = { }na 1 nb       1 2 3 1b b b+ + = 6 7 8b b b+ + = 996 8 1 17 8 1 75 70 65 60 1 2 3 100+ + + + 2 4034n na m = + 1 2 2016... ma a a ++ + + = 5042 m + 5044 m + 504m + 2 504m + a m 1 1 (1 ) (1 ) 1 m m ap p p + + + + − 1(1 ) 1 m m ap p p ++ − (1 ) (1 ) 1 m m ap p p + + −2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 2 - 6．已知数列 中 （ ），将数列 中的整数项按原来的顺序组 成数列 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知数列 满足 ， ， （ ），则数 列 的前 2017 项的和为（ ） A． B． C． D． 8．已知数列 的通项公式为 ，其前 n 项和为 ，则在数列 中，有理数项的项数为（ ） A．42 B．43 C．44 D．45 9．用［x］表示不超过 x 的最大整数，如 , ，数列 满足 , ( ),若 ，则 的所有可能 取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 10．数列 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2， ，其相邻的两个 1 被 2 隔开，第 对 1 之 间有 个 2，则数列的前 209 项的和为（ ） A．279 B．289 C．399 D．409 11． 已知数列 满足 （ ，且 是递减数列， 是递增数列，则 A． B． C． D． 12．设 ，则 （ ） A． B． C． D． 二．填空题 13．将正整数排成如表，则在表中第 行第 个数是________． { }na 5 1na n= − *n N∈ { }na { }nb 2018b 5035 5039 5043 5047 { }na 1 1a = ( )2 2 1 1 n n na a −= + − 2 1 2 3n n na a+ = + *Nn∈ { }na 10033 2005− 20163 2017− 10083 2017− 10093 2018− { }na 1 ( 1) 1na n n n n = + + + *( )n N∈ nS 1 2 2014S S、S、 [ ]1.3 1= [ ]1.3 2− = − { }na 1 3 2a = 1 1 ( 1)n n na a a+ − = − *n N∈ 1 2 1 1 1 n n S a a a = + + + [ ]nS { }0 { }0,1 { }0,1,2 { }0,1,2,3  n n { }na 1 1 11,| | 3n n na a a −= − = , 2)n N n∈ ≥ 2 1{ }na − 2{ }na 1012a = 10 16 3 − 9 16 3 − 10 111 3 − 9 111 3 − ( )*1 1 1 1( ) 1 2 3 3f n n Nn n n n = + + + + ∈+ + +  ( 1) ( )f n f n+ − = 1 3 1n + 1 3 2n + 1 1 2 3 1 3 2 3 3n n n + −+ + + 1 1 3 1 3 2n n ++ + 45 832021 届高三一轮复习题型专题训练 - 3 - 14．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘 缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．意思是把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按 照年龄从大到小的顺序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵的斤数为__________． 15．设 为数列 的前 项和， ，若 （ ），则 __________． 16．已知数列 的前 项和 ，对任意 ， 且 恒成立，则实数 的取值范围是__________. 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．首届世界低碳经济大会 11 月 17 日在南昌召开，本届大会的主题为“节能减排，绿 色生态”.某企业在国家科研部门的支持下，投资 810 万元生产并经营共享单车，第一 年维护费为 10 万元，以后每年增加 20 万元，每年收入租金 300 万元. （1）若扣除投资和各种维护费，则从第几年开始获取纯利润？ （2）若干年后企业为了投资其他项目，有两种处理方案： ①纯利润总和最大时，以 100 万元转让经营权； ②年平均利润最大时以 460 万元转让经营权，问哪种方案更优？ 18．已知数列 满足 = 且 = - （ ）. （1）证明：1 （ ）； （2）设数列 的前 项和为 ，证明 （ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … nS { }na n 1 0a = 1 1 ( 1) ( 2)n n n na a+  = + − + −  *n N∈ 100S = { }na n nS *n N∈ 1( 1) 32 n n n nS a n= − + + − 1( )( ) *n N∈ k { }na 1 1 2a = ( )2 1 1 2n n n na a a a n− −= + ≥ nS { }na n n 2 nS n n ≤ 2 1{ } na n nT ( )0,6M ∈ N n N> nT M>2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 5 - 21．已知数列 中 ，函数 ． （1）若正项数列 满足 ，试求出 ， ， ，由此归纳出通项 ， 并加以证明； （2）若正项数列 满足 （n∈N*），数列 的前项和为 Tn，且 ，求证： ． 22．已知数列 满足对任意的 都有 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ，不等式 对任意的正整数 恒成立，求实数 的取值范围． { }na 1 1 2a = 2( ) 1 xf x x = + { }na 1 ( )n na f a+ = 2a 3a 4a na { }na 1 ( )n na f a+ ≤ { }nb 2 1 n n n ab = + 1 2nT < { }na *n N∈ 0na > 3 3 3 2 1 2 1 2( )n na a a a a a+ +…+ = + +…+ { }na 2 1 n na a +       n nS 1 log (1 )3n aS a> − n a2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 6 - 《数列的综合运用》解析 1.【解析】设“整数对”为 ，由已知可知点列的排列规律是 的和从 2 开始，依次是 3，4，…，其中 m 依次增大． 当 时只有 1 个 ； 当 时有 2 个 ； 当 时有 3 个 ； …； 当 时有 个 ； 其上面共有 个数对． 所以第 个“整数对”为 ，第 个“整数对”为 ， 故选：C． 2.【解析】依题意有 为等比数列，故 为公比为 的等比数列，所以 是公比为 的等比数列，由此 . 3.【解析】设第一个孩子分配到 斤棉花， 则由题意得： ，解得 ＝65，故选：C. 4.【解析】依题意，记 ， 则 ，又 ，两式相加可得 ， 则 ，故选：B. 5.【解析】设每年偿还的金额为 ， 则 ， 所以 ，解得 ，故选 D. ( )( )*m n m n N∈， ， m n+ 2m n+ = ( )11， 3m n+ = ( ) ( )1 2 21， ， ， 4m n+ = ( ) ( ) ( )13 2 2 31， ， ， ， ， 12m n+ = 11 ( ) ( ) ( )111 210 111…， ， ， ， ， ， 11 (1 11)1 2 3 11 662 × ++ + + + = = 67 ( )112， 68 ( )211， 1 1 2n na a+ = 1 nb 1 2 nb 2 ( ) 5 6 7 8 1 2 3 32b b b b b b q+ + = + + ⋅ = 1a 8 1 8 78 17 9962S a ×= + × = 1a 1 2 2016... mS a a a += + + + 1 2 2015 2016...2 4034 2 4034 2 4034 2 4034 m mS m m m m + += + + + ++ + + + 2016 2015 2 1...2 4034 2 4034 2 4034 2 4034 m mS m m m m + += + + + ++ + + + 2017 2017 2017 2017 20162 ...2 4034 2 4034 2 4034 2 4034 2 m m m m mS m m m m + + + + += + + + + =+ + + + 2016 5044 4 m mS += = + x ( ) ( ) ( ) ( )2 11 1 1 1m ma p x x p x p x p −+ = + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 1 11 1 1 m m pa p x p  − ++ =   − +  ( ) ( ) 1 1 1 m m ap px p += + −2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 7 - 6.【解析】由题意得，此数列为： ， 的整数项 为： ，即整数为： .其规律就是各 项之间是 这样递增的, ,由 ,解得 , ,故选 C. 7.【解析】由题设归纳可得： ，前 项中奇数项和为 ，偶数项和为 故该数列前 项和为 ，应选答案 D。 8.【解析】 ， ∴ 为有理项，∴ 且 ，∴有理数项的项数为 43 项. 9.【解析】对 两边取到数，整理得 ； 所以 由 得 ，即数列 为增函数， 因为 ，所以 ； 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64,... na 4, 9, 49, 64, 144, 169,... 2,3,7,8,12,13,... 1, 4, 1, 4, 1, 4+ + + + + + ( ) ( )2 1 22 5 1 5 3, 3 5 1 5 2n nb n n b n n−∴ = + − = − = + − = − 2 2018n = 1009n = 2018 5 1009 2 5043b∴ = × − = 1 1 1 1 2 1 2 1 3 3 1( 1) 3 1, 3 ( 1) 12 2 2 2 n n n n n na a− − − − − = − + ⋅ − = ⋅ − − − 2017 1009 0 1 1008 1008 1 1 3 3 3 3[( 1) ( 1) ( 1) ] [1 3 3 ] 1009 10092 2 4S ⋅ −= − + − +⋅⋅⋅+ − + + +⋅⋅⋅+ − = − 1008 0 1 1007 1007 2 1 3 1 3 3 3[( 1) ( 1) ( 1) ] [1 3 3 ] 1008 10082 2 2 4S ⋅ −= − − + − +⋅⋅⋅+ − + + +⋅⋅⋅+ − = + − 2017 1009 1008 1009 1 2 3 3 3 3 3 3 1 2017 3 20184 4 2S S ⋅ − ⋅ −+ = + + − = − 1 ( 1) 1 ( 1) 1 (( 1) 1)(( 1) 1)n n n n na n n n n n n n n n n n n + − += = + + + + + + + − + 1 1 n n n n += − + 3 8 15, , ,S S S  2 1 2014n − < 2n ≥ ( )1 1 1n n na a a+ − = − 1 1 1 1 1 1n n na a a + = −− − 1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 21 1 1 1 1 1 1 1 1n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ； + + + = + + + = − + − +…+ − = − = − ( )2 9 26 0nn n T− + > ( )2 4 9 26 n n nck n n T ∴ > − + *n N∈ ( ) 2 2 1 9 26 nk n n +> − + ( ) ( ) ( )* 2 2 1 9 26 ng n n Nn n += ∈− + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 236 361 11 1 36 1 11 2 1 111 1 ng n n n n nn n += = ≤ = + − + + + − + + ⋅ −+ + 5n = ( )max 2g n = 2k > 1 1 1 11 n n n n aa a a + + + − = > 2 2 1 2 2 1 , 11 2 aa aa = = =+ ( ) 1 xf x x = + ( )0,+∞ 1 2 1 1 2 1 1 1 2 n n n n a aa a a a + + + − = ≥ =+ + 1 1 2n n n n na a a a a− − −= − + − + + ( )2 1 1 1 112 2 2 na a a n− + ≥ − + = 2n ≥ 2 2 1 11 1 1n n n n n a a a a a− += = + 2 1 1 1 1 n n na a a− = − 2 2 2 1 2 1 1 1 n n T a a a = + + + = 2 1 1 1 1 1 26 na a a n + − ≥ − 2 26 , 6M nn M − > > − 0N 2 6 M− 0 1N N= + 2 16N M  = + −  n N> nT M>2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 13 - 21.【解析】（1）依题意， ， ， ，由此归纳得出： ； 证明如下： ∵ ，∴ ，∴ ， ∴数列 是以 1 为首项、 为公比的等比数列， ∴ ，∴ ； （2）∵ （n∈N*），∴ ，∴ ， 累乘得： ，∴ ，即 ，∴ ， ∵ ， ∴ ． 22.【解析】（1）解：当 时，有 ， 由于 ，所以 ． 当 时，有 ， 将 代入上式，由于 ，所以 ． （2）解：由于 ，① 2 3 2 222 43 21 51 3 aa a × = = =+ + 3 4 3 422 85 41 91 5 aa a × = = =+ + 1 1 2 1 2 n n na − −= + 1 2 1+ = + n n n aa a 1 11 1 1 1 2 2 2 n n n n a a a a+ += = × + 1 1 1 11 ( 1)2n na a+ − = − 1 1 na  −    1 2 1 1 11 2n na −− = 1 1 1 1 2 1 1 21 2 n n n n a − − − = = ++ 1 2( ) 1 n n n n aa f a a+ ≤ = + 1 1 1 11 ( 1)2n na a+ − ≥ − 1 1 1 1 1 21 n n a a + − ≥ − 1 1 1 1 1 1 21 n n a a − − ≥ − 1 1 11 2n na −− ≥ 1 1 11 2 n n a − ≤ + 1 1 2 1 2 n n na − −≤ + 1 11 1 1 2 2 1 11 2 1 2 1 2 (1 2 )(1 2 ) 1 2 1 2 n nnn n n n n n n n ab − −− − − += ≤ = = −+ + + + + + 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2n n nT −≤ − + − + + −+ + + + + + 1 1 2 1 2n = − + 1 2