2021届高三数学一轮基础复习讲义第九章 9.7抛物线-教师版

1 / 27 数形结合思想（教师版） 1．抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py (p>0) 标准方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 抛物线 知识梳理 2 / 27 数形结合思想（教师版） 焦点 F(p 2，0 ) F(－p 2，0) F(0，p 2 ) F(0，－p 2) 离心率 e＝1 准线方程 x＝－p 2 x＝p 2 y＝－p 2 y＝p 2 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 【知识拓展】 1．抛物线 y2＝2px (p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F (푝 2，0 )的距离|PF|＝x0＋ 푝 2，也称为抛物线 的焦半径． 2．y2＝ax 的焦点坐标为(푎 4，0 )，准线方程为 x＝－ 푎 4. 3．设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的弦， 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝ 푝 2 4 ，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2푝 푠 푖 푛 2훼(α 为弦 AB 的倾斜角)． (3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切． 3 / 27 数形结合思想（教师版） (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦． 4 / 27 数形结合思想（教师版） 题型一 基础 【例 1】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　) (2)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是( 푎 4，0)，准线方程 是 x＝－ 푎 4.(　×　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　) (4)AB 为抛物线 y2＝2px(p>0)的过焦点 F( 푝 2，0)的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝ 푝 2 4 ， y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　√　) 【例 2】1．抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是(　　) A．(0,2) B．(0,1) C．(2,0) D．(1,0) 答案　D 解析　∵对于抛物线 y2＝ax，其焦点坐标为(푎 4，0 )， 例题解析 5 / 27 数形结合思想（教师版） ∴对于 y2＝4x，焦点坐标为(1,0)． 2．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6， 则|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案　B 解析　抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1. 根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 3．设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是(　　) A.[－ 1 2， 1 2] B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 答案　C 解析　Q(－2,0)，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2＋(4k2－ 8)x＋4k2＝0， 由 Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1. 4．已知抛物线 y2＝2px(p>0)的准线与圆 x2＋y2－6x－7＝0 相切，则 p 的值为________． 答案　2 解析　抛物线 y2＝2px(p>0)的准线为 x＝－ 푝 2， 6 / 27 数形结合思想（教师版） 圆 x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为 4. 又因为抛物线 y2＝2px(p>0)的准线与圆 x2＋y2－6x－7＝0 相切， 所以 3＋ 푝 2＝4，解得 p＝2. 题型二　抛物线的定义及应用 【例 3】(1)已知 F 是抛物线 y2＝x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线 段 AB 的中点到 y 轴的距离为(　　) A. 3 4 B．1 C. 5 4 D. 7 4 (2)设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 答案　(1)C　(2)4 解析　(1)∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋ 1 2＝3， ∴xA＋xB＝ 5 2， ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 푥 퐴＋푥 퐵 2 ＝ 5 4. (2)如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q， 交抛物线于点 P1， 则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为 4. 7 / 27 数形结合思想（教师版） 【同步练习】 1．若将本例(2)中的 B 点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值． 解　由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为 B，F 两点间的距离， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ 42＋22 ＝ 16＋4＝2 5， 即|PB|＋|PF|的最小值为 2 5. 2．若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为 y2＝4x，直线 l 的方程为 x－y＋5＝0，在 抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，求 d1＋d2 的最小值． 解　由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)． 点 P 到 y 轴的距离 d1＝|PF|－1， 所以 d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知 d2＋|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d2＋|PF|的最小值为 |1＋5| 12＋ －1 2＝3 2， 所以 d1＋d2 的最小值为 3 2－1. 思维升华　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定 义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点 想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 8 / 27 数形结合思想（教师版） 3、设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，则点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距离之和的最小值为________． 答案　 5 解析　如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x＝－1， 由抛物线的定义知：点 P 到直线 x＝－1 的距离等于点 P 到 F 的距离． 于是，问题转化为在抛物线上求一点 P， 使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小， 显然，连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为 [1－ －1 ]2＋ 0－1 2＝ 5. 题型三　抛物线的标准方程和几何性质 命题点 1　求抛物线的标准方程 【例 4】已知双曲线 C1： 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝1(a>0，b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x2＝2py(p>0)的 焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为(　　) A．x2＝ 8 3 3 y B．x2＝ 16 3 3 y C．x2＝8y D．x2＝16y 答案　D 解析　∵ 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝1 的离心率为 2， ∴ 푐 푎＝2，即 푐 2 푎 2＝ 푎 2＋푏 2 푎 2 ＝4，∴ 푏 2 푎 2＝3， 푏 푎＝ 3. 9 / 27 数形结合思想（教师版） x2＝2py(p>0)的焦点坐标为(0， 푝 2 )， 푥 2 푎 2－ 푦 2 푏 2＝1 的渐近线方程为 y＝± 푏 푎x，即 y＝± 3x.由题 意得 푝 2 1＋ 3 2 ＝2，∴p＝8.故 C2 的方程为 x2＝16y. 命题点 2　抛物线的几何性质 【例 5】已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线 的两个交点，求证： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝ 푝 2 4 ； (2) 1 |퐴 퐹 |＋ 1 |퐵 퐹 |为定值； (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明　(1)由已知得抛物线焦点坐标为( 푝 2，0)． 由题意可设直线方程为 x＝my＋ 푝 2，代入 y2＝2px， 得 y2＝2p(푚푦 ＋ 푝 2)，即 y2－2pmy－p2＝0.(*) 则 y1，y2 是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2＝－p2. 因为 y21＝2px1，y22＝2px2，所以 y21y22＝4p2x1x2， 所以 x1x2＝ 푦21푦22 4푝 2 ＝ 푝 4 4푝 2＝ 푝 2 4 . (2) 1 |퐴 퐹 |＋ 1 |퐵 퐹 |＝ 1 푥 1＋ 푝 2 ＋ 1 푥 2＋ 푝 2 10 / 27 数形结合思想（教师版） ＝ 푥 1＋푥 2＋푝 푥 1푥 2＋ 푝 2 푥 1＋푥 2 ＋ 푝 2 4 . 因为 x1x2＝ 푝 2 4 ，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式， 得 1 |퐴 퐹 |＋ 1 |퐵 퐹 |＝ |퐴 퐵 | 푝 2 4 ＋ 푝 2 |퐴 퐵 |－푝  ＋ 푝 2 4 ＝ 2 푝(定值)． (3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足为 C，D，过 M 作准线的垂 线，垂足为 N，则|MN|＝ 1 2(|AC|＋|BD|)＝ 1 2(|AF|＋|BF|)＝ 1 2|AB|. 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 思维升华　(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口 方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可 以确定抛物线的标准方程． (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题， 特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此． 【同步练习】(1)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两 点．已知|AB|＝4 2，|DE|＝2 5，则 C 的焦点到准线的距离为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，已知点 A、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝ 11 / 27 数形结合思想（教师版） 120°.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 |푀푁| |퐴 퐵 |的最大值为(　　) A. 3 3 B．1 C. 2 3 3 D．2 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)不妨设抛物线 C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为 x2＋y2＝r2(r>0)， 如图， 又可设 A(x0,2 2)，(－ 푝 2， 5)， 点 A(x0,2 2)在抛物线 y2＝2px 上，∴8＝2px0， ① 点 A(x0,2 2)在圆 x2＋y2＝r2 上，∴x20＋8＝r2， ② 点 D (－ 푝 2， 5)在圆 x2＋y2＝r2 上， ∴5＋(푝 2 )2＝r2， ③ 联立①②③，解得 p＝4，即 C 的焦点到准线的距离为 p＝4，故选 B. (2)设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过 A、B 作准线的垂线，垂足分别为 Q、P， 由抛物线的定义知，|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|， 在梯形 ABPQ 中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b. |AB|2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab. 又 ab≤( 푎 ＋푏 2 )2， 所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－ 1 4(a＋b)2＝ 3 4(a＋b)2， 12 / 27 数形结合思想（教师版） 得到|AB|≥ 3 2 (a＋b)， 所以 |푀푁| |퐴 퐵 |≤ 1 2 푎 ＋푏  3 2  푎 ＋푏  ＝ 3 3 ， 即 |푀푁| |퐴 퐵 |的最大值为 3 3 . 题型四　直线与抛物线的综合问题 命题点 1　直线与抛物线的交点问题 【例 6】　已知抛物线 C：y2＝8x 与点 M(－2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A、B 两点．若푀퐴→ ·푀퐵→ ＝0，则 k＝________. 答案　2 解析　抛物线 C 的焦点为 F(2,0)，则直线方程为 y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去 y 化 简得 k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则 x1＋x2＝4＋ 8 푘 2，x1x2＝4. 所以 y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝ 8 푘， y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16. 因为푀퐴→ ·푀퐵→ ＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2) ＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0， 将上面各个量代入，化简得 k2－4k＋4＝0，所以 k＝2. 13 / 27 数形结合思想（教师版） 命题点 2　与抛物线弦的中点有关的问题 【例 7】已知抛物线 C：y2＝2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点． (1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明：AR∥FQ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程． (1)证明　由题意知，F(1 2，0 )，设 l1：y＝a，l2：y＝b，则 ab≠0， 且 A(푎 2 2 ，푎)，B(푏 2 2 ，푏)，P(－ 1 2，푎)，Q(－ 1 2，푏)，R(－ 1 2， 푎 ＋푏 2 ). 记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x－(a＋b)y＋ab＝0. 由于 F 在线段 AB 上，故 1＋ab＝0. 记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则 k1＝ 푎 －푏 1＋푎 2＝ 푎 －푏 푎 2－푎 푏＝ 1 푎＝－ 푎 푏 푎 ＝－b＝ 푏 －0 － 1 2－ 1 2 ＝ k2. 所以 AR∥FQ. (2)解　设过 AB 的直线为 l，设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0)， 则 S△ABF＝ 1 2|b－a||FD|＝ 1 2|b－a||푥 1－ 1 2|，S△PQF＝ |푎 －푏 | 2 . 由题意可得|b－a||푥 1－ 1 2|＝ |푎 －푏 | 2 ，所以 x1＝1，x1＝0(舍去)． 设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y)． 当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kAB＝kDE 可得 2 푎 ＋푏＝ 푦 푥 －1(x≠1)．而 푎 ＋푏 2 ＝y，所以 y 2＝x－ 1(x≠1)． 当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合，此时 E 点坐标为(1,0)， 14 / 27 数形结合思想（教师版） 所以，所求轨迹方程为 y2＝x－1(x≠1)． 思维升华　(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用 到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点， 可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不 求”、“整体代入”等解法． 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． 【同步练习】 1、已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，直线 l 过点 M(4,0)． (1)若点 F 到直线 l 的距离为 3，求直线 l 的斜率； (2)设 A，B 为抛物线上两点，且 AB 不垂直于 x 轴，若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M，求 证：线段 AB 中点的横坐标为定值． (1)解　由已知，得 x＝4 不合题意，设直线 l 的方程为 y＝k(x－4)， 由已知，得抛物线 C 的焦点坐标为(1,0)， 因为点 F 到直线 l 的距离为 3， 所以 |3푘 | 1＋푘 2＝ 3，解得 k＝± 2 2 ， 所以直线 l 的斜率为± 2 2 . 15 / 27 数形结合思想（教师版） (2)证明　设线段 AB 中点的坐标为 N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为 AB 不垂直于 x 轴， 则直线 MN 的斜率为 푦 0 푥 0－4，直线 AB 的斜率为 4－푥 0 푦 0 ， 直线 AB 的方程为 y－y0＝ 4－푥 0 푦 0 (x－x0)， 联立方程Error! 消去 x 得(1－ 푥 0 4 )y2－y0y＋y20＋x0(x0－4)＝0， 所以 y1＋y2＝ 4푦 0 4－푥 0，因为 N 是 AB 中点，所以 푦 1＋푦 2 2 ＝y0， 即 2푦 0 4－푥 0＝y0，所以 x0＝2，即线段 AB 中点的横坐标为定值 2. 2、已知抛物线 C：y＝mx2(m>0)，焦点为 F，直线 2x－y＋2＝0 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标； (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR ,2)到焦点 F 的距离为 3，求此时 m 的值； (3)是否存在实数 m，使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若 不存在，请说明理由． 思维点拨　(3)中证明푄퐴→ ·푄퐵→ ＝0. 规范解答 解　(1)∵抛物线 C：x2＝ 1 푚y，∴它的焦点 F(0， 1 4푚)．[3 分] (2)∵|RF|＝yR＋ 1 4푚，∴2＋ 1 4푚＝3，得 m＝ 1 4.[5 分] 16 / 27 数形结合思想（教师版） (3)存在，联立方程Error! 消去 y 得 mx2－2x－2＝0， 依题意，有 Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－ 1 2.[7 分] 设 A(x1，mx21)，B(x2，mx22)，则Error!(*) ∵P 是线段 AB 的中点，∴P( 푥 1＋푥 2 2 ， 푚푥21＋푚푥22 2 )， 即 P( 1 푚，yP)，∴Q( 1 푚， 1 푚)．[9 分] 得푄퐴→ ＝(x1－ 1 푚，mx21－ 1 푚)，푄퐵→ ＝(x2－ 1 푚，mx22－ 1 푚)， 若存在实数 m，使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形，则푄퐴→ ·푄퐵→ ＝0， 即(x1－ 1 푚)·(x2－ 1 푚)＋(mx21－ 1 푚)(mx22－ 1 푚)＝0，[12 分] 结合(*)化简得－ 4 푚2－ 6 푚＋4＝0， 即 2m2－3m－2＝0，∴m＝2 或 m＝－ 1 2， 而 2∈(－ 1 2，＋∞)，－ 1 2∉(－ 1 2，＋∞)． ∴存在实数 m＝2，使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形．[14 分] 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于 x 或 y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出 Δ>0 时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于 x1x2，x1＋x2(或 y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果； 17 / 27 数形结合思想（教师版） 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况. 1．若抛物线 y＝ax2 的焦点坐标是(0,1)，则 a 等于(　　) A．1 B. 1 2 C．2 D. 1 4 答案　D 解析　因为抛物线的标准方程为 x2＝ 1 푎y， 所以其焦点坐标为(0， 1 4푎)，则有 1 4푎＝1，a＝ 1 4， 故选 D. 2．已知抛物线 C 的顶点是原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过 F 的直线与抛物线 C 交 于 A、B 两点，如果푂퐴→ ·푂퐵→ ＝－12，那么抛物线 C 的方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 答案　C 解析　由题意，设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，直线方程为 x＝my＋ 푝 2， 联立Error!消去 x 得 y2－2pmy－p2＝0， 课后练习 18 / 27 数形结合思想（教师版） 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2， 得푂퐴→ ·푂퐵→ ＝x1x2＋y1y2＝(my1＋ 푝 2)·(my2＋ 푝 2)＋y1y2＝m2y1y2＋ 푝 푚 2 (y1＋y2)＋ 푝 2 4 ＋y1y2＝－ 3 4p2＝ －12⇒p＝4， 即抛物线 C 的方程为 y2＝8x. 3．已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 答案　B 解析　∵y2＝2px(p>0)的焦点坐标为( 푝 2，0)， ∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y＝x－ 푝 2， 即 x＝y＋ 푝 2，将其代入 y2＝2px，得 y2＝2py＋p2， 即 y2－2py－p2＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1＋y2＝2p，∴ 푦 1＋푦 2 2 ＝p＝2， ∴抛物线的方程为 y2＝4x，其准线方程为 x＝－1. 4．已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和 l2 的距离之和的最小值为(　　) A. 37 16 B. 11 5 C．3 D．2 答案　D 19 / 27 数形结合思想（教师版） 解析　直线 l2：x＝－1 是抛物线 y2＝4x 的准线， 抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)， 则点 P 到直线 l2：x＝－1 的距离等于|PF|， 过点 F 作直线 l1：4x－3y＋6＝0 的垂线， 和抛物线的交点就是点 P， 所以点 P 到直线 l1：4x－3y＋6＝0 的距离和直线 l 2：x＝－1 的距离之和的最小值就是点 F(1,0)到直线 l1：4x－3y＋6＝0 的距离， 所以最小值为 |4－0＋6| 32＋42 ＝2，故选 D. 5．过抛物线 y2＝8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，交抛物线的准线于点 C，若|AF| ＝6，퐵 퐶→ ＝λ퐹 퐵→ ，则 λ 的值为(　　) A. 3 4 B. 3 2 C. 3 D．3 答案　D 解析　设 A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)， 则 x1＋2＝6，解得 x1＝4，则 y1＝4 2， 则直线 AB 的方程为 y＝2 2(x－2)，令 x＝－2， 得 C(－2，－8 2)，联立Error! 解得Error!或Error! 则 B(1，－2 2)，∴|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9， ∴λ＝3，故选 D. 20 / 27 数形结合思想（教师版） 6.已知直线 y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线 C：y2＝8x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|＝ 2|FB|，则 k 的值为(　　) A. 1 3 B. 2 3 C. 2 2 3 D. 2 3 答案　C 解析　抛物线 C 的准线为 l：x＝－2， 直线 y＝k(x＋2)恒过定点 P(－2，0)， 如图，过 A，B 分别作 AM⊥l 于 M， BN⊥l 于 N，由|FA|＝2|FB|，得|AM|＝2|BN|， 从而点 B 为 AP 的中点，连接 OB， 则|OB|＝ 1 2|AF|，所以|OB|＝|BF|， 从而点 B 的横坐标为 1，点 B 的坐标为(1,2 2)， 所以 k＝ 2 2－0 1－ －2＝ 2 2 3 ，故选 C. 7．设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB| ＝________. 答案　12 解析　焦点 F 的坐标为(3 4，0 )， 方法一　直线 AB 的斜率为 3 3 ， 所以直线 AB 的方程为 y＝ 3 3 (푥 － 3 4)， 21 / 27 数形结合思想（教师版） 即 y＝ 3 3 x－ 3 4 ，代入 y2＝3x，得 1 3x2－ 7 2x＋ 3 16＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 21 2 ， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝ 21 2 ＋ 3 2＝12. 方法二　由抛物线焦点弦的性质可得 |AB|＝ 2푝 푠 푖 푛 2휃＝ 3 푠 푖 푛 230°＝12. 8．已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A， 与 C 的一个交点为 B，若퐴 푀→ ＝푀퐵→ ，则 p＝________. 答案　2 解析　如图， 由 AB 的斜率为 3， 知∠α＝60°，又퐴 푀→ ＝푀퐵→ ， ∴M 为 AB 的中点． 过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P， 则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°， ∴|BP|＝ 1 2|AB|＝|BM|. ∴M 为焦点，即 푝 2＝1，∴p＝2. 9．已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 1 2，E 的右焦点与抛物线 C：y2＝8x 的焦点重合， 22 / 27 数形结合思想（教师版） A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|＝________. 答案　6 解析　抛物线 y2＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为 x＝－2. 设椭圆方程为 푥 2 푎 2＋ 푦 2 푏 2＝1(a>b>0)， 由题意，c＝2， 푐 푎＝ 1 2， 可得 a＝4，b2＝16－4＝12. 故椭圆方程为 푥 2 16＋ 푦 2 12＝1. 把 x＝－2 代入椭圆方程，解得 y＝±3. 从而|AB|＝6. 10.设直线 l 与抛物线 y2＝4x 相交于 A，B 两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点．若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是________________． 答案　(2,4) 解析　如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则Error! 两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． 当 l 的斜率 k 不存在时，符合条件的直线 l 必有两条． 当 k 存在时，x1≠x2， 则有 푦 1＋푦 2 2 · 푦 1－푦 2 푥 1－푥 2＝2， 23 / 27 数形结合思想（教师版） 又 y1＋y2＝2y0，所以 y0k＝2. 由 CM⊥AB，得 k· 푦 0－0 푥 0－5＝－1， 即 y0k＝5－x0，因此 2＝5－x0，x0＝3， 即 M 必在直线 x＝3 上．将 x＝3 代入 y2＝4x， 得 y2＝12，则有－2 30，x≥0)和半圆 x2＋y2＝r2(x≤0)所组成的曲线称为“黄 金抛物线 C”，若“黄金抛物线 C”经过点(3,2)和(－ 1 2， 3 2 )． (1)求“黄金抛物线 C”的方程； (2)设 P(0,1)和 Q(0，－1)，过点 P 作直线 l 与“黄金抛物线 C”相交于 A，P，B 三点，问是否 存在这样的直线 l，使得 QP 平分∠AQB？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理 由． 解　(1)∵“黄金抛物线 C”过点(3,2)和(－ 1 2， 3 2 )， 27 / 27 数形结合思想（教师版） ∴r2＝(－ 1 2)2＋( 3 2 )2＝1,4＝3m＋1，∴m＝1. ∴“黄金抛物线 C”的方程为 y2＝x＋1(x≥0)和 x2＋y2＝1(x≤0)． (2)假设存在这样的直线 l，使得 QP 平分∠AQB，显然直线 l 的斜率存在且不为 0， 设直线 l：y＝kx＋1，联立Error!消去 y， 得 k2x2＋(2k－1)x＝0，∴xB＝ 1－2푘 푘 2 ，yB＝ 1－푘 푘 ， 即 B( 1－2푘 푘 2 ， 1－푘 푘 )， ∴kBQ＝ 푘 1－2푘， 联立Error!消去 y，得(k2＋1)x2＋2kx＝0， ∴xA＝－ 2푘 푘 2＋1，yA＝ 1－푘 2 푘 2＋1，即 A(－ 2푘 푘 2＋1， 1－푘 2 푘 2＋1)， ∴kAQ＝－ 1 푘， ∵QP 平分∠AQB，∴kAQ＋kBQ＝0， ∴ 푘 1－2푘－ 1 푘＝0，解得 k＝－1± 2， 由图形可得 k＝－1－ 2应舍去，∴k＝ 2－1， ∴存在直线 l：y＝( 2－1)x＋1，使得 QP 平分∠AQB.