河南省2020-2021学年上学期高中毕业班阶段性测试（一）理科数学 含答案

天一大联考 2020—2021 学年高中毕业班阶段性测试（一） 理科数学 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知全集 ， ， ，则 中元素的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 4. 已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 5. 从 5 名大学毕业生中选派 4 人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区 2 人，乙、丙地区各一人， 则不同的选派方法总数为（ ） A. 40 B. 60 C. 100 D. 120 6. 《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”其中 “解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割.已知正方体 ，随机在线段 上取一 点，过该点作垂直于 的平面 ，则平面 “解”正方体 所得的大、小两部分体积之 比大于 5 的概率为（ ） { }| 2 3,U x x x Z= − ≤ ≤ ∈ { }1, 2A = − − { }2| 2 3 0,B x x x x N= − − < ∈ ( )UC A B z ( ) 2z i i i− = + z = 2 3 5 10 a b 60° 2a = 2 2 3a b+ =  b = 2 3 3log 5x = 2log 3y = 3 23z = x y z< < y z x< < z y x< < y x z< < 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AC 1AC α α 1 1 1 1ABCD A B C D− A. B. C. D. 7. 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 在 中， ，且 ，则 （ ） A. B. 1 C. D. 9. 若 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量 ， ，则函数 在 上的所有零点之和 为（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 2，且经过点 ，点 在 上， ，则点 到 轴的距离为（ ） A. B. C. D. 12. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 1 6 1 3 1 2 2 3 ( ) 1 xf x x ex  = −   ABC△ B C= 2 2 sin 2(1 3sin )sin A AB = − tan A = 4 3 3 3 1 3 x y 5 3 4 x y x y + ≥  ≤  ≤ 1 x yz x += + 5 ,53      5 5,4 2      7 5,4 2      7 14,4 5      ( )4cos ,1a x= cos , 23b x π  = − −      ( )f x a b= ⋅  ,6 3 π π −   3 π 2 π 2 3 π π C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1F 2F ( )3, 2 P C 1 2 60F PF∠ = ° P x 3 2 6 2 3 6 x R∈ 2 0x ax a+ − > a ( ]ln 2,0e− [ )0, ln 2e ( ]2 ln 2,0e− [ )0,2 ln 2e 13. 下表是 ， 之间的一组数据： 0 1 2 3 4 5 7 8 19 且 关于 的回归方程为 ，则表中的 ______. 14. 已知 ，则 ______. 15. 四面体 中， ， ， ， ，当四面体的体积最大时， 其外接球的表面积是______. 16. 抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与 交于 ， 两点， 的准线与 轴的交点为 ，若 的面积为 ，则 ______. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ， 成等差数列. （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）比较 与 的大小. 18. 如图，四棱锥 的底面是矩形，平面 平面 ， . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）设 ，若 ，且二面角 的余弦值为 ，求 的值. 19. 已知椭圆 ： ，直线 ： 过 的右焦点 .当 时，椭圆的长 轴长是下顶点到直线 的距离的 2 倍. x y x y c y x  3.2 3.6y x= + c = 2sin cos 5α α− = tan 2α = ABCD AC AD⊥ 2 4AB AC= = 2 5BC = 2 2AD = C ( )2 2 0y px p= > ( )1,0F F C A B C x M MAB△ 8 3 3 AF BF = { }na n nS 5 32a = − 2S 1S 3S { }na 2 nS 1 2n nS S+ ++ P ABCD− PAD ⊥ ABCD AP PD⊥ PD PB⊥ AB BCλ= PB PC= A PB C− − 10 5 − λ E ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > l 1 0x my+ − = E F 1m = l （Ⅰ）求椭圆 的方程. （ Ⅱ ） 设 直 线 与 椭 圆 交 于 ， 两 点 ， 在 轴 上 是 否 存 在 定 点 ， 使 得 当 变 化 时 ， 总 有 （ 为坐标原点）？若存在，求 点的坐标；若不存在，说明理由. 20. 甲、乙、丙、丁 4 名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为 的方框表示第 场比赛， 方框中是进行该场比赛的两名棋手，第 场比赛的胜者称为“胜者 ”，负者称为“负者 ”，第 6 场为决赛， 获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同. （Ⅰ）求甲获得冠军的概率； （Ⅱ）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 21. 已知函数 ， ，其中 是 的导数. （Ⅰ）求 的最值； （Ⅱ）证明： ， . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求圆 的圆心的直角坐标和半径； （Ⅱ）已知直线 交圆 于 ， 两点，点 ，求 . 23. [选修 4-5：不等式选讲] 已知集合 . （Ⅰ）若存在 使不等式 成立，求 的取值范围； （Ⅱ）取 为（Ⅰ）所求范围中的最小正整数，解不等式 . E l E A B x P m OPA OPB∠ = ∠ O P i i i i i 3 4 ( ) 2 ln 1 x xf x e − += ( ) ( )'g x xf x= ( )'f x ( )f x ( )f x 0x∀ > ( ) 2 1 1 eg x x +< + xOy l 2 3 4 x t y t = +  = t x C 2 6 cos 4 sin 12 0ρ ρ θ ρ θ− − + = C l C A B 7 ,22P     PA PB⋅ { }| 2 1 3A x x= − > x A∈ 2 2x m+ ≤ m m 3 1 2x x m− − + 2 1 1 5 3 2 60C C C = 1AC 1A BD 1 1CB D P Q 1A BD 1 1CB D 1AC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6A ABD C C B D ABCD A B C DV V V− − −= = α 1A BD 1 1CB D AP 1QC 1AP PQ QC= = 1 1 2 3 AP QC AC + = 7.【答案】C 【命题意图】本题考查函数的图象与性质. 【 解 析 】 因 为 ， 所 以 为 奇 函 数 ， 排 除 B ， 时 ， ， ，所以 在 上单调递增， 选 C. 8.【答案】C 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用. 【解析】由 得 ，由 及正弦定理得 ，又根据余弦 定 理 ， 得 ， 所 以 ， 于 是 . 9.【答案】B 【命题意图】本题考查不等式与平面区域. 【解析】作出约束条件 所表示的平面区域，如图中阴影部分所示. 表示阴影 部分上的动点 与定点 连线的斜率加 1.易求得 ， ，则 ， ，所以 . ( ) ( )f x f x= − − ( )f x 0x > ( ) 1 xf x x ex  = −   ( ) 21' 1 1xe xx xf x  + + − =  2 1 1 12 1 0x xe x e xx x x    ≥ × + − = + >        ( )f x ( )0,+∞ B C= b c= 2 2 sin 2(1 3sin )sin A AB = − 2 22 (1 3sin )a b A= − 2 22 2 cosa b c bc A+ −= 2 22 (1 cos ) 2 (1 3sin )b A b A− = − cos 3sinA A= 3tan 3A = 5 3 4 x y x y + ≥  ≤  ≤ 111 1 x y yz x x + −= = ++ + ( ),x y ( )1,1D − ( )1,4A ( )3,2B 4 1 3 1 1 2ADk −= =+ 2 1 1 3 1 4BDk −= =+ 5 5 4 2z≤ ≤ 10.【答案】A 【命题意图】本题考查向量的坐标运算、三角恒等变换以及三角函数的性质. 【 解 析 】 ， 令 ， 则 ， ∵ ， ， ∴ 或 ， 或 . 11.【答案】B 【命题意图】本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系. 【解析】由双曲线的离心率为 ，可知双曲线为等轴双曲线， ，将点 代入双曲线方程得 .根据对称性，不妨设 点在第一象限， 到 轴的距离为 . ， ， 由 余 弦 定 理 得 ， 所 以 ，由三角形面积公式可得 ，得 . 12.【答案】C 【命题意图】本题考查不等式的概念以及利用导数研究函数 . 【解析】不等式即 ，则曲线 位于直线 的上方，当 时，直线与曲 线恒有交点，不满足条件.当 时，直线与曲线没有交点，满足条件.当 时，当直线与曲线相切时， 设切点为 ，切线方程为 ，切线过点 ，代入方程得 ， 此时切线斜率为 ，由图可知， ，即 .综上 . ( ) 4cos cos 23f x x x π = − −   1 34cos cos sin 2 3sin 2 cos2 12 2x x x x x  = + − = + −    2sin 2 16x π + −   = ( ) 0f x = 1sin 2 6 2x π + =   6 3x π π− ≤ ≤ 526 6 6x π π π− ≤ + ≤ 2 6 6x π π+ = 5 6 π 0x = 3x π= 2 a b= ( )3, 2 1a b= = P P x h 1 2 2 2F F = 1 2 2PF PF− = 2 2 2 1 2 1 2 1 22 cos60F F PF PF PF PF= + − ⋅ ° ( )2 1 2 1 2PF PF PF PF= − + ⋅ 1 2 4PF PF⋅ = 1 2 1 2 1 1sin 602 2PF PF F F h⋅ =° ⋅ 6 2h = ( )2 1x a x> − − 2xy = ( )1y a x= − − 0a > 0a = 0a < ( ),2mm 2 2 ln 2( )m my x m− = − ( )1,0 2 11 log 2ln 2m e= + = 2 ln 2e 0 2 ln 2a e< − < 2 ln 2 0e a− < < 2 ln 2 0e a− < ≤ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.【答案】11 【命题意图】本题考查回归方程的概念与性质. 【解析】∵回归直线经过样本中心点 ， ，∴ ， ∴ ，解得 . 14.【答案】 【命题意图】本题考查三角函数求值，三角恒等变换的应用. 【解析】由题意得 ，整理 得 ，解得 .所以 . 15.【答案】 【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征，多面体与球的关系. 【解析】由已知可得 ，所以 ，又因为 ，所以 平面 ，四 面体 的体积 ，当 时 最大，把四面体 补全为 长方体，则它的外接球的直径 即长方体的体对角线， ，所以外接球的 表面积为 . 16.【答案】3 或 【命题意图】本题考查抛物线的方程和性质、抛物线与直线的位置关系. 【解析】由条件可得抛物线的方程为 ，设 的方程为 ，联立抛物线方程消去 得 ① ， 则 ， 因 此 ( ),x y 0 1 2 3 4 25x + + + += = 3.2 2 3.6 10y = × + = 5 7 8 19 105 c+ + + + = 11c = 4 3 2 2 2 2 2 4sin cos 4sin cos(2sin cos ) sin cos α α α αα α α α + −− = + 2 2 4tan 4tan 1 5tan 1 α α α − += =+ 2tan 4tan 4 0α α+ + = tan 2α = − 2 2tan 4tan 2 1 tan 3 αα α= =− 28π 2 2 2BC AC AB= + AC AB⊥ AC AD⊥ AC ⊥ ABD ABCD 1 1 sin3 2V AC AB AD BAD= ⋅ ⋅ ∠ 90BAD∠ = ° V ABCD 2R ( ) 22 2 22 28AC ABR AD + + == 24 28Rπ π= 1 3 2 4y x= AB 1x my= + x 2 4 4 0y my− − = 4 4 A B A B y y m y y + =  = − 1 2MAB A B A BS MF y y y y= − = −△ ，解得 ，代入①，解得 或 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【命题意图】本题考查等差数列，等比数列的性质，求和公式. 【解析】（Ⅰ）因为 ， ， 成等差数列，所以 ， 整理可得 ，所以 的公比为-2. 又 ，得 ， 所以 ， . （Ⅱ）因为 ， ， 所以 . 于是 ， 又因为 ， 所以 . 18.【命题意图】本题考查四棱锥的结构特征，空间位置关系的证明，空间角的计算，以及空间向量的应用. 【解析】（Ⅰ）因为四棱锥 的底面是矩形，所以 ， 因为平面 平面 ，且交线为 ，所以 平面 . 所以 . 又因为 ，且 ，所以 平面 . 所以 . （Ⅱ）由 和（Ⅰ）可知 ，所以 ， 为等腰直角三角形. 如图，以 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系 . ( )2 24 16 16A B A By y y y m= + − = + 8 3 3 = 2 1 3m = 3A B AF y BF y = = 1 3 2S 1S 3S 1 2 32S S S= + 3 22a a= − { }na 4 5 1 ( 2) 32a a= × − = − 1 2a = − ( )2 n na = − *n N∈ ( )2 n na = − *n N∈ 1( 2) 1 ( 2) 2 ( 2) 1 ( 2) 3 n n nS + − − − − − − = =− − 24 ( 2)2 3 n nS +− + −= 2 3 1 2 2 ( 2) 2 ( 2) 3 n n n nS S + + + + − − − − − −+ = 24 ( 2) 3 n+− + −= 1 22 n n nS S S+ += + P ABCD− AB AD⊥ PAD ⊥ ABCD AD AB ⊥ PAD AB PD⊥ AP PD⊥ PA AB A= PD ⊥ PAB PD PB⊥ PB PC= Rt BAP Rt CDP≅△ △ PA PD= PAD△ AB x AD y A xyz− 设 ，则 . 则 ， ， ， ， . ， ， . 因为 平面 ，所以 是面 的一个法向量. 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，可取 . 所以 ， 根据题意可知 ， 解得 . 19.【命题意图】本题考查直线、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系. 【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为 ，直线 恒过定点 ，所以 . 当 时，直线 ： ， 椭圆的下顶点 到直线 的距离 ， 由题意得 ，解得 ， . 所以椭圆 的方程为 . （Ⅱ）当 时，显然在 轴上存在点 ，使得 . 当 时，由 消去 可得 . 设 ， ，则 ， . 设点 满足题设条件，易知 ， 的斜率存在， 2BC = 2AB λ= ( )0,0,0A ( )2 ,0,0B λ ( )2 ,2,0C λ ( )0,2,0D ( )0,1,1P ( )2 , 1, 1PB λ= − − ( )0,2,0BC = ( )0,1, 1PD = − PD ⊥ PAB PD PAB PBC ( ), ,n x y z= 2 0 2 0 n PB x y z n BC y λ ⋅ = − − = ⋅ = =     ( )1,0,2n λ= 2 2cos , 2 4 1 PD nPD n PD n λ λ ⋅ −= = × +      2 2 10 52 4 1 λ λ − = − × + 1λ = 2c l ( )1,0 1c = 1m = l 1 0x y+ − = ( )0, b− l 1 2 bd += 2 2 1 2 1 ba a b + =  = + 2a = 1b = E 2 2 12 x y+ = 0m = x P OPA OPB∠ = ∠ 0m ≠ 2 2 12 1 0 x y x my  + =  + − = x ( )2 22 2 1 0m y my+ − − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2 2 2 my y m + = + 1 2 2 1 2y y m = − + ( ),0P t PA PB 则 ， 则 ，即 ， 时，上式恒成立. 所以在 轴上存在点 满足题设条件. 20.【命题意图】本题考查概率的概念、事件的关系以及概率的运算性质. 【解析】（Ⅰ）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 1 胜 3 胜 6 胜；1 负 4 胜 5 胜 6 胜；1 胜 3 负 5 胜 6 胜. 所以甲获得冠军的概率为 . （Ⅱ）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况： 甲：1 胜 3 胜，乙：1 负 4 胜 5 胜； 甲：1 负 4 胜 5 胜，乙：1 胜 3 胜. 所以甲与乙在决赛相遇的概率为 . 若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第 3 场和第 6 场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况： 乙：1 胜 3 胜，丙：2 胜 3 负 5 胜； 乙：1 胜 3 负 5 胜，丙：2 胜 3 胜. 同时考虑甲在第 4 场和第 5 场的结果，乙与丙在第 3 场和第 6 场相遇的概率为 . 丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为 . 21.【命题意图】本题考查导数的计算，利用导函数研究函数的性质. 【解析】（Ⅰ） 的定义域为 ， . 令 可得 ，当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 . 1 2 1 2 1 2 1 21 1PA PB y y y yk k x t x t my t my t + = + = +− − − − − − ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 (1 ) 2 01 1 t y y my y my t my t − + −= =− − − − ( )1 2 1 2(1 ) 2 0t y y my y− + − = 2 (1 ) 2 2 (2 ) 0m t m m t− + = − = 2t = x ( )2,0P 3 33 3 1 8124 4 4 128    + × × =       3 3 1 1 1 3 3 1 27 4 4 2 2 4 4 4 2 128 × × × + × × × = 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 5 4 2 2 4 4 4 2 4 2 2 4 4 4 2 128    × × × × + × + × × × × + × =       27 5 5 37 128 128 128 128 + + = ( )f x ( )0,+∞ ( ) 2 1 1 l ' n xf x xx e − − − = ( )' 0f x = 1x = 0 1x< < 1 1 ln 0xx − − > 1x > 1 1 ln 0xx − − < ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )max 1f x f e= = 即 的最大值为 ，没有最小值. （Ⅱ）由题意知 . 由 得 . 设 ，则 ，令 得 ， 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减. 所以 .① 设 ，当 时， ， 所以 ，即 ， .② 由①②可得 ，因此原命题正确. 22.【命题意图】本题考查参数方程与极坐标系，直线参数方程中参数的几何意义. 【解析】（Ⅰ）由 ， ， 可知圆 的直角坐标方程为 ，即 ， 所以圆 的圆心的直角坐标为 ，半径为 1. （Ⅱ）当 时，由直线 的参数方程得 ， ， 所以点 在 上，将 的参数方程改写为 （ 为参数）. 代入圆 的方程中，整理得 ， 由参数的几何意义得 . 23.【命题意图】本题考查绝对值不等式相关的综合问题. 【解析】（Ⅰ）设 ， ( )f x e ( ) 2 1 ln x x xg ex x − − −= 2 1( ) 1 eg x x +< + 2 11 ln 11 xex x x x e  − − < + +   ( ) 1 lnh x x x x= − − ( )' 2 lnh x x= − − ( )' 0h x = 2 1x e = 2 10 x e < < ( )' 0h x > ( )h x 2 1x e > ( )' 0h x < ( )h x 2 2 1 1( ) 1h x h e e  ≤ = +   ( ) ( )1xx e xϕ = − + 0x > ( )' 1 0xx eϕ = − > ( ) ( )0 0xϕ ϕ> = 1xe x> + 11 xe x >+ 2 11 ln 11 xex x x x e  − − < + +   cosx ρ θ= siny ρ θ= C 2 2 6 4 12 0x y x y+ − − + = 2 2( 3) ( 2) 1x y− + − = C ( )3,2 1 2t = l 3 72 2 2x = + = 2y = 7 ,22P     l l 7 3 2 5 42 5 x m y m  = +  = + m C 2 3 3 05 4m m+ − = 3 4PA PB⋅ = { }2 2 2| 2 2 2 mB m mx xx x − − −≤ ≤ = + ≤ =     因为 ， 存在 使不等式 成立，等价于 ， 当 即 时， ， 故所求的 的取值范围是 . （Ⅱ）由题意知 . 当 时，原不等式转化为 ，无解； 当 时，原不等式转化为 ，解得 ； 当 时，原不等式转化为 ，解得 . 综上，不等式的解集为 . { } { }| 2 1 3 | 2 1A x x x x x= − > = > < −或 x A∈ 2 2x m+ ≤ A B ≠ ∅ 2 12 2 22 m m − − ≥ − − ≤ 2 0m− ≤ ≤ A B = ∅ m ( ) ( ), 2 0,−∞ − +∞ 1m = 1x < − 1 3 1 2x x− + + < 11 3x− ≤ ≤ 1 3 1 2x x− − − < 1 1 2 3x− < ≤ 1 3x > 3 1 1 2x x− − − < 1 23 x< < 1 ,22  −  