河南省2020-2021学年上学期高中毕业班阶段性测试（一）文科数学 含答案

天一大联考 2020—2021 学年高中毕业班阶段性测试（一） 文科数学 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 复数 满足 ，则 的虚部是（ ） A. B. C. D. -1 3. 已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 4. 已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A. 7 B. 14 C. 24 D. 48 6. 若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ） A. -3 B. -1 C. 0 D. 2 7. 《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”其中 “解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割.已知正方体 ，随机在线段 上取一 { }2| 2 3 0M x x x= − − > { }| 2 1N x x= − ≤ < M N = 3 ,12  −   32, 2  −   [ )2, 1− − [ )1,1− z ( )1 2 2i z i+ = − z 3 5 i− 3 5 − i− a b 60° 2a = 2 2 3a b+ =  b = 2 3 3log 5x = 2log 3y = 3 23z = x y z< < y z x< < z y x< < y x z< < { }na n nS 6 84 3 96S S+ = 7S = x y 1 2 0 3 2 2 0 x y x y x y + ≥  − ≤  − + ≥ 3z x y= − 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AC 点，过该点作垂直于 的平面 ，则平面 “解”正方体 所得的大、小两部分体积之 比大于 5 的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 为 0.01，则输出 的值等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量 ， ，则函数 在 上的所有零点之和 为（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列 满足 ， ，则 的前 30 项之和为（ ） A. B. C. D. 12. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 2，且经过点 1AC α α 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 6 1 3 1 2 2 3 ( ) 1 xf x x ex  = −   ε s 31 16 63 32 127 64 255 128 ( )4cos ,1a x= cos , 23b x π  = − −      ( )f x a b= ⋅  ,6 3 π π −   3 π 2 π 2 3 π π { }na 1 2 1a a= = ( )* 2 1 2n n na a a n N+ +− = ∈ { }na 312 2 3 − 302 2 3 + 154 1 3 − 164 4 3 − C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1F 2F ，点 在 上， ，则点 到 轴的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 下表是 ， 之间的一组数据： 0 1 2 3 4 5 7 8 19 且 关于 的回归方程为 ，则表中的 ______. 14. 已知直线 与曲线 相切，则 ______. 15. 已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上位于 轴上方的一点，点 到抛物线准线的距离为 ， 为坐标原点，若 的面积为 ，则 ______. 16. 已知 ， ， 是球 表面上的三点， ， ， 是球面上的动点.三棱锥 体积的最大值为 2，则球 的表面积为______. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ， ，求 的面积. 18. 某歌唱比赛中甲、乙两位歌手争夺最后的冠军，两人演唱结束后，从普通观众中任选 30 人为大众评审， 他们对两人的评分（分数越高表明评价越高）的茎叶图如图. （Ⅰ）分别求大众评审对甲、乙两位歌手评分的中位数； ( )3, 2 P C 1 2 60F PF∠ = ° P x 3 2 6 2 3 6 x y x y c y x  3.2 3.6y x= + c = y ax= 2 lny x= + a = 2 4 2y x= F P x P d O POF△ 2 3 d PO = A B C O 2AB BC= = 90ABC∠ = ° P P ABC− O ABC△ A B C a b c ( )3 sin 1 cosa B b A= + A 6a = sin 2sinB C= ABC△ （Ⅱ）分别估计普通观众对甲、乙两位歌手的评分高于 90 分的概率； （Ⅲ）根据茎叶图，从集中趋势和离散程度两方面分析普通观众对甲、乙两位歌手的评价. 19. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， 是等腰 直角三角形， . （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若 与平面 所成角的大小为 ， ，求点 到平面 的距离. 20. 已知椭圆 ： ，直线 ： 过 的右焦点 .当 时，椭圆的长 轴长是下顶点到直线 的距离的 2 倍. （Ⅰ）求椭圆 的方程. （ Ⅱ ） 设 直 线 与 椭 圆 交 于 ， 两 点 ， 在 轴 上 是 否 存 在 定 点 ， 使 得 当 变 化 时 ， 总 有 （ 为坐标原点）？若存在，求 点的坐标；若不存在，说明理由. 21. 已知函数 ， . （Ⅰ）函数 ，分析 在 上的单调性. （Ⅱ）若函数 . （i）当 时，求 的最小值； （ii）当 时，求 零点的个数. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半 P ABCD− PAD ⊥ ABCD / /AB CD CD AD⊥ PAD△ 1PD PA= = PD PB⊥ PB PAD 60° 2CD AB= C PBD E ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > l 1 0x my+ − = E F 1m = l E l E A B x P m OPA OPB∠ = ∠ O P ( ) sinf x x= ( ) cosxg x e x= ( ) ( ) ( ) g xh x f x = ( )h x ( )0,π ( ) ( ) ( )H x g x xf x= − ,02x π ∈ −   ( )H x ,4 2x π π ∈   ( )H x xOy l 2 3 4 x t y t = +  = t x 轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求圆 的圆心的直角坐标和半径； （Ⅱ）已知直线 交圆 于 ， 两点，点 ，求 . 23. [选修 4-5：不等式选讲] 已知集合 . （Ⅰ）若存在 使不等式 成立，求 的取值范围； （Ⅱ）取 为（Ⅰ）所求范围中的最小正整数，解不等式 . 天一大联考 2020—2021 学年高中毕业班阶段性测试（—） 文科数学·答案 —、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1.【答案】C 【命题意图】本题考查集合的表示与运算，以及不等式的解法. 【解析】 ，所以 . 2.【答案】D 【命题意图】本题考查复数的概念与运算性质. 【解析】由已知得 ，所以 的虚部为-1. 3.【答案】A 【命题意图】本题考查平面向量的数量积运算. 【解析】 ，所以 ，解得 （负值舍去）. 4.【答案】D 【命题意图】本题考查指数、对数函数的性质以及不等式的性质. 【解析】 ， ， . 5.【答案】B 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式和求和公式. C 2 6 cos 4 sin 12 0ρ ρ θ ρ θ− − + = C l C A B 7 ,22P     PA PB⋅ { }| 2 1 3A x x= − > x A∈ 2 2x m+ ≤ m m 3 1 2x x m− − + < 31 2M x x x  = < − >    或 [ )2, 1M N = − − 2 (2 )(1 2 ) 1 2 (1 2 )(1 2 ) i i iz ii i i − − −= = = −+ + − z ( )2 2 2 2 4 cos60 4 12a b a a b b+ = + °+ =      2 2 0b b+ − =  1b = 3log 5 (1,2)x = ∈ 2log 3 (0,1)y = ∈ 3 23 3z = > 【解析】由题设 ，得 ， . 6.【答案】B 【命题意图】本题考查简单的线性规划问题. 【解析】根据约束条件，得不等式组表示的平面区域为 及其内部，由目 标函数 得 ，可知当直线 经过点 时，其纵截距 最大， 最小，最 小值为 . 7.【答案】D 【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征. 【解析】如图所示，由正力体的性质可知， 垂直于平面 和平面 ，设 和 分别是平面 和平面 与线段 的交点，易知 ，当平面 取平面 或平面 时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为 5，要满足条件，应在线段 或 上取点， 而 ，所以所求的概率为 . 8.【答案】C 【命题意图】本题考查函数的图象与性质. 【 解 析 】 因 为 ， 所 以 为 奇 函 数 ， 排 除 B ， 时 ， ， ，所以 在 上单调递增， 选 C. 9.【答案】C 1 1 6 (6 1) 8 (8 1)4 6 3 8 962 2 d da a × − × −   + + + =       1 3 2a d+ = 7 17 21 14S a d= + = 1 2(0,1), (2,4), ,3 3ABC A B C         △ 3z x y= − 3y x z= − 3y x z= − ( )0,1A z− z 3 0 1 1× − = − 1AC 1A BD 1 1CB D P Q 1A BD 1 1CB D 1AC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6A ABD C C B D ABCD A B C DV V V− − −= = α 1A BD 1 1CB D AP 1QC 1AP PQ QC= = 1 1 2 3 AP QC AC + = ( ) ( )f x f x= − − ( )f x 0x > ( ) 1 xf x x ex  = −   ( ) 21' 1 1xe xx xf x  + + − =  2 1 1 12 1 0x xe x e xx x x    ≥ × + − = + >        ( )f x ( )0,+∞ 【命题意图】本题考查程序框图与算法的基本逻辑结构. 【解析】由程序框图可知，结束循环时 ， . 10.【答案】A 【命题意图】本题考查向量的坐标运算、三角恒等变换以及三角函数的性质. 【 解 析 】 ， 令 ， 则 ， ∵ ， ， ∴ 或 ， 或 . 11.【答案】A 【命题意图】本题考查递推数列，以及等比数列的求和. 【 解 析 】 由 条 件 得 ， 所 以 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 所 以 ，所以 . 12.【答案】B 【命题意图】本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系. 【解析】由双曲线的离心率为 ，可知双曲线为等轴双曲线， ，将点 代入双曲线方程得 .根据对称性，不妨设 点在第一象限， 到 轴的距离为 . ， ， 由 余 弦 定 理 得 ， 所 以 ，由三角形面积公式可得 ，得 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.【答案】11 【命题意图】本题考查回归方程的概念与性质. 【解析】∵回归直线经过样本中心点 ， ，∴ ， ∴ ，解得 . 14.【答案】 7 1 1 0.012 128x = = < 1 1 1 1271 2 4 64 64s = + + + + = ( ) 4cos cos 23f x x x π = − −   1 34cos cos sin 2 3sin 2 cos2 12 2x x x x x  = + − = + −    2sin 2 16x π + −   = ( ) 0f x = 1sin 2 6 2x π + =   6 3x π π− ≤ ≤ 526 6 6x π π π− ≤ + ≤ 2 6 6x π π+ = 5 6 π 0x = 3x π= ( )2 1 12n n n na a a a+ + ++ = + { }1n na a+ + ( ) 1 1 2 1 2 2n n n na a a a − + + = + × = ( )15 31 3 5 29 1 2 30 2 4 1 2 22 2 2 2 3 3a a a × − −+ + + = + + + + = =  2 a b= ( )3, 2 1a b= = P P x h 1 2 2 2F F = 1 2 2PF PF− = 2 2 2 1 2 1 2 1 22 cos60F F PF PF PF PF= + − ⋅ ° ( )2 1 2 1 2PF PF PF PF= − + ⋅ 1 2 4PF PF⋅ = 1 2 1 2 1 1sin 602 2PF PF F F h⋅ =° ⋅ 6 2h = ( ),x y 0 1 2 3 4 25x + + + += = 3.2 2 3.6 10y = × + = 5 7 8 19 105 c+ + + + = 11c = e 【命题意图】本题考查导数的几何意义. 【解析】曲线 在点 处的切线方程为 ，则 ，且 ，所以 ， . 15.【答案】 【命题意图】本题考查抛物线方程与性质，抛物线与直线的位置关系. 【解析】由题易知， ，准线为 ， ，所以 ，代入抛 物线方程中可得 ，则 ， ， . 16.【答案】 【命题意图】本题考查多面体与球的位置关系. 【解析】 为等腰直角三角形，设 的中点为 ，则点 为 外接圆圆心，当 ， ， 三点共线且面 和 位于点 的异侧时，三棱锥 的体积最大，为 ， . 设 球 的 半 径 为 ， 则 ， ， ， 所 以 ， 解 得 ，所以球 的表面积为 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用. 【解析】（Ⅰ）根据条件及正弦定理可得 ， 所以 ，整理得 ， 因为 ，所以 . （Ⅱ）由 及正弦定理得 ， 由余弦定理得 ， 将 ， ， 代入可得 ，于是 ， 所以 . 所以 . 18.【命题意图】本题考查茎叶图的理解，用样本估计总体的思想. 2 lny x= + ( ),2 lnm m+ 1 ( ) 2 lny x m mm = − + + 1 am = 1 ln 0m+ = 1m e = a e= 4 21 21 ( )2,0F 2x = − 1 2 32POF PS OF y= =△ 2 6Py = 3 2Px = 4 2d = 42OP = 4 21 21 d OP = 121 9 π ABC△ AC D D ABC△ P O D ABC P O P ABC− 1 1 23 2 AB BC PD× ⋅ ⋅ = 3PD = r 3OD r= − 2BD = OB r= ( ) ( )222 3 2r r= − + 11 6r = O 121 9 π 3sin sin sin (1 cos )A B B A= + 3sin 1 cosA A= + 1sin 6 2A π − =   0 A π< < 3A π= sin 2sinB C= 2b c= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 6a = 2b c= 3A π= 236 3c= 2 3c = 4 3b = 1 sin 6 32ABCS bc A= =△ 【解析】（Ⅰ）由茎叶图知，30 位大众评审对甲歌手的评分从小到大排序，排在第 15，16 位的是 85，86， 故中位数是 85.5. 30 位大众评审对乙歌手的评分从小到大排序，排在第 15，16 位的是 74，77，故中位数是 75.5. （Ⅱ）由茎叶图知，大众评审对甲、乙两位歌手的评分高于 90 分的频率分别为 ， . 故普通观众对甲、乙两位歌手的评分高于 90 分的概率的估计值分别为 ， . （Ⅲ）由茎叶图知，大众评审对甲歌手的评分的中位数高于乙歌手的评分的中位数，而且由茎叶图可以大 致看出，对甲歌手的评分标准差要小于对乙歌手的评分标准差，说明普通观众对甲歌手的评价较高，评价 较为一致，对乙歌手的评价较低、评价差异较大. （注：通过平均数、极差等统计量进行分析亦可） 19.【命题意图】本题考查空间线面关系证明，线面角的概念，距离计算. 【解析】（Ⅰ）因为 ， ，所以 ， 因为平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 ， 于是 . 在等腰直角三角形 中， ，所以 ， 又因为 ，所以 平面 ， 所以 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面 ，所以 与平面 所成的角即 ， 结合已知可得 ， ， ， ， . 可得 是以 为斜边的直角三角形. 设点 到平面 的距离为 ，则 . 又因为 ， 所以 ， . 20.【命题意图】本题考查直线、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系. 【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为 ，直线 恒过定点 ，所以 . 当 时，直线 ： ， 椭圆的下顶点 到直线 的距离 ， 11 30 1 5 11 30 1 5 CD AD⊥ / /AB CD AB AD⊥ PAD ⊥ ABCD AD AB ⊥ PAD AB PD⊥ PAD PD PA= PD PA⊥ AB PA A= PD ⊥ PAB PD PB⊥ AB ⊥ PAD PB PAD 60APB∠ = ° 2AD = 3AB = 2PB = 2 3CD = 5BD = PBD△ BD C PBD d 1 1 1 1 23 3 2 3C PBD PBD dV d S d− = × = × × × =△ 1 2 1 2 1 32 3 23 2 3 2 2 3P BCD BCDV S− = × × = × × × × =△ 3 3 3 d = 3d = 2c l ( )1,0 1c = 1m = l 1 0x y+ − = ( )0, b− l 1 2 bd += 由题意得 ，解得 ， . 所以椭圆 的方程为 . （Ⅱ）当 时，显然在 轴上存在点 ，使得 . 当 时，由 消去 可得 . 设 ， ，则 ， . 设点 满足题设条件，易知 ， 的斜率存在， 则 ， 则 ，即 ， 时，上式恒成立. 所以在 轴上存在点 满足题设条件. 21.【命题意图】本题考查导数的运算法则，及导数在研究函数时的应用. 【解析】（Ⅰ） ， 则 ， 当 时， ，所以 ， 所以 在 上单调递减. （Ⅱ） ， 则 . （i） ， 当 时， ， ， 2 2 1 2 1 ba a b + =  = + 2a = 1b = E 2 2 12 x y+ = 0m = x P OPA OPB∠ = ∠ 0m ≠ 2 2 12 1 0 x y x my  + =  + − = x ( )2 22 2 1 0m y my+ − − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2 2 2 my y m + = + 1 2 2 1 2y y m = − + ( ),0P t PA PB 1 2 1 2 1 2 1 21 1PA PB y y y yk k x t x t my t my t + = + = +− − − − − − ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 (1 ) 2 01 1 t y y my y my t my t − + −= =− − − − ( )1 2 1 2(1 ) 2 0t y y my y− + − = 2 (1 ) 2 2 (2 ) 0m t m m t− + = − = 2t = x ( )2,0P cos( ) sin xe xh x x = 2 (sin cos 1)'( ) sin xe x xh x x −= ( )0,x π∈ 1sin cos 1 sin 2 1 02x x x− = − < ( )' 0h x < ( )h x ( )0,π ( ) cos sinxH x e x x x= − '( ) cos sin cos sinx xH x e x e x x x x= − − − ( ) ( )'( ) cos 1 sinx xH x e x x e x= − − + ,02x π ∈ −   ( )cos 0xe x x− ≥ ( )1 sin 0xe x+ ≤ 所以 ， 在 上单调递增， 所以 的最小值为 . （ii） . 因为 时， ， ， ， 所以 ，函数 在 上单调递减， 又 ， ， 因此，函数 在 上有且只有一个零点. 22.【命题意图】本题考查参数方程与极坐标系，直线参数方程中参数的几何意义. 【解析】（Ⅰ）由 ， ， 可知圆 的直角坐标方程为 ，即 ， 所以圆 的圆心的直角坐标为 ，半径为 1. （Ⅱ）当 时，由直线 的参数方程得 ， ， 所以点 在 上，将 的参数方程改写为 （ 为参数）. 代入圆 的方程中，整理得 ， 由参数的几何意义得 . 23.【命题意图】本题考查绝对值不等式相关的综合问题. 【解析】（Ⅰ）设 ， 因为 ， ( )' 0H x ≥ ( )H x ,02 π −   ( )H x 2 2H π π − = −   '( ) (cos sin ) sin cosxH x e x x x x x= − − − ,4 2x π π ∈   cos sinx x≤ sin 0x > cos 0x x ≥ ( )' 0H x < ( )H x ,4 2 π π     42 04 2 4H e ππ π   = − >      02 2H π π  = − = > < −或 存在 使不等式 成立，等价于 ， 当 即 时， ， 故所求的 的取值范围是 . （Ⅱ）由题意知 . 当 时，原不等式转化为 ，无解； 当 时，原不等式转化为 ，解得 ； 当 时，原不等式转化为 ，解得 . 综上，不等式的解集为 . x A∈ 2 2x m+ ≤ A B ≠ ∅ 2 12 2 22 m m − − ≥ − − ≤ 2 0m− ≤ ≤ A B = ∅ m ( ) ( ), 2 0,−∞ − +∞ 1m = 1x < − 1 3 1 2x x− + + < 11 3x− ≤ ≤ 1 3 1 2x x− − − < 1 1 2 3x− < ≤ 1 3x > 3 1 1 2x x− − − < 1 23 x< < 1 ,22  −  