湖北省黄冈市2021届高三9月质量检测数学试题 含答案

湖北省 2020 年 9 月高三质量检测 数学试题 河北启光教育科技有限公司研制 2020 年 9 月 22 日上午 8:00～10:00 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目 要求的） 1．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 a，b，c，d 都是实常数， ．若 的零点为 c，d，则下列不 等式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．若实数 a，b 满足 ，则 的最小值为（ ） A．4 B． C．2 D． 5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事 休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象 的特征，如函数 在区间 上的图象的大致形状是（ ） A． B． C． D． 6．已知向量 ，且 ，则实数 m 的值为（ ） { } { }2| 3 2 0 , |1 2 4xA x x x B x= − + = <    ( )f x 2 π （1）求 的值； （2）求函数 在 上的单调递减区间． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分 12 分）如图所示， 均为边长为 1 的正三角形，点 在线 段 上，点 在线段 上，且满足 ，连接 ， ，设 ． （1）试用 ， 表示 ； （2）若 ，求 的值． 19．（本小题满分 12 分）已知数列 满足 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求数列 的前 n 项和 ． 20 ．（本 小 题 满 分 12 分 ） 在 锐 角 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 若 的图象在点 处的切线与直线 垂直． （1）求 C 角与 c 边； （2）求 面积的最大值． 21．（本小题满分 12 分）如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为 ，C、D 两点在 半圆弧上满足 ，设 ，现要在此农庄铺设一条观光通道，由 和 组 成． （1）用 表示观光通道的长 l，并求观光通道 l 的最大值； 6f π    ( )f x [0, ]π 1 1 1 2 2 2 3 3, ,AB C C B C C B C∆  1 2,C C 3AC ( 1,2, ,10)iP i =  3 3B C 3 1 2 2 3 101 3PC PP P P P B= = = =     2AB ( 1,2, ,10)iAP i =  1 1 1,C A a C B b= =    a b 1 2 3, ,AP AP AP   1 2 1 n i n i a a a a = = + + +∑  ( )10 2 1 i i AB AP = ⋅∑   { }na ( )* 1 ( 1) 1n nna n a n N+ − + = ∈ 1 1a = { }na { }nb 2 n n n ab = { }nb nS ABC 3 2( ) ( 3sin cos ) 33 xf x C C x x= − + + ( , ( ))C c f c y x= ABC 2km AD BC= COB θ∠ = , ,AB BC CD DA θ （2）现要在农庄内种植经济作物，其中在 中种植鲜花，在 中种植果树，在扇形 内种 植草坪，已知种植鲜花和种植果树的利润均为 2 百万元/ ，种植草坪利润为 1 百方元/ ，则当 为 何值时总利润最大？ 22．（本小题满分 12 分）已知函数 ． （1）求 的单调区间； （2）若函数 ，当 时， 恒成立，求实数 m 的取值范围． 高三 9 月调考数学参考答案及评分标准 一、单项选择题 1．B 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B 7．C 8．D 二、多项选择题 9．AD 10．AD 11．ABC 12．ABD 三、填空题 13． 14． 15．2020 16． 四、解答题 17．（1） 选择条件①： 依题意， 相邻两对称轴之间距离为 ，则周期为 ，从而 ， 2 分 ， 又， 的图像关于原点对称，则 ，由 知 ， 4 分 从而 ， 5 分 选择条件②： 依题意， 2 分 即有： 又因为 相邻两对称轴之间距离为 ，则周期为 ，从而 ， 4 分 AOD OCD COB 2km 2km θ ( ) xf x xe= ( )f x 13( ) 2 ln ( ) m xg x x x m x e −= − − x e ( ) 0g x  ( ,0) ( , )e−∞ ∪ +∞ 2 1na n= − 50π ( )f x 2 π π 2ω = 1 1( ) sin(2 ), ( ) sin 22 2 6f x x g x x πϕ ϕ = + = + −   ( )g x (0) 0g = | | 2 πϕ < 6 πϕ = 1( ) sin 22 6f x x π = +   1 6 2f π  =   3 1( ) sin cos cos2 2 2 4f x m n x x x ω ω ω= ⋅ = +  3 1 1( ) sin cos sin4 4 2 6f x x x x πω ω ω = + = +   ( )f x 2 π π 2ω = 从而 ， 5 分 选择条件③： 依题意， 即有： 2 分 化简得： 即有： 又因为 相邻两对称轴之间距离为 ，则周期为 ，从而 ， 4 分 从而 5 分 （2） ，则其单调递减区间为 ， 解得 ，令 ，得 ， 从而 在 上的单调减区间为 ． 10 分 18．（1）由 知， ， 从而有： ， 4 分 （2）由（1）同理可得： 从而 8 分 1( ) sin 22 6f x x π = +   1 6 2f π  =   1( ) cos sin2 2 6 4f x x x ω ω π = + −   3 1 1( ) cos sin cos2 2 2 2 2 4f x x x x ω ω ω = + −    23 1 1( ) sin cos cos2 2 2 2 2 4f x x x x ω ω ω = + −   3 1 1( ) sin cos sin4 4 2 6f x x x x πω ω ω = + = +   ( )f x 2 π π 2ω = 1 1( ) sin 2 ,2 6 6 2f x x f π π   = + =       1( ) sin 22 6f x x π = +   32 2 2 ,2 6 2k x k k z π ππ π π+ ≤ + ≤ + ∈ 2, ,6 3x k k k z ππ π π ∈ + + ∈   0k = 2,6 3x π π ∈   ( )f x [0, ]π 2,6 3 π π     3 1 1 2 2 3 10 3C P PP P P P B= = = =     3 1 1 2 2 3 10 3 1 11C P PP P P P B b= = = = =      1 3 3 1 13 11AP AC C P a b= + = − +    2 3 3 2 23 11AP AC C P a b= + = − +    3 3 3 3 33 11AP AC C P a b= + = − +    3 11i iAP a b= − +  1 2 10 130 (1 2 10) 30 511AP AP AP a b a b+ + + = − + + + + = − +       2 2AB a b= − +  从而 12 分 19．（1） ，两边同时除以 得： 2 分 从而有： ， ………… 叠加可得： ， 又 满足等式，从而 6 分 （2） ， 即有： 即有： 12 分 20．（1） ， 依题意，有： 从而有： 4 分 由 知： ，即有： 6 分 （2）方法一：依正弦定理，有 同理 从而有： ， 8 分 ( )10 10 2 2 1 1 ( 2 ) ( 30 5 ) 45i i i i AB AP AB AP a b a b = = ⋅ = ⋅ = − + ⋅ − + =∑ ∑       1 ( 1) 1n nna n a+ − + = ( 1)n n + 1 1 1 1 1 n na a n n n n + − = −+ + 1 1 1 1 1 n na a n n n n −− = −− − 2 1 112 1 2 a a− = − 1 111 na a n n − = − 2 1( 2)na n n= − ≥ 1n = 2 1na n= − 2 1 2n n nb −= 2 3 1 3 5 2 1 2 2 2 2n n nS −= + + + + 2 3 1 1 1 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2n n n n nS + − −= + + + + 2 3 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n n n nS + −= + + + + − 2 33 2n n nS += − 3 2( ) ( 3sin cos ) 33 xf x C C x x= − + + 2( ) 2( 3sin cos ) 3f x x C C x′ = − + + 2( ) 4 sin 3 16f c c c C π ′ = − + + = −   2 4 sin 4 06c c C π − + + =   0∆ ≥ sin 16C π + =   , 23C c π= = 4, sinsin 3sin 3 a c a AA π= = 4 2sin 33 b Aπ = −   1 4 3 2sin sin sin2 3 3ABCS ab C A Aπ∆  = = −   ,6 2A π π ∈   当且仅当 时，取到最大值，因此， 的面积最大值为 12 分 方法二：由余弦定理得 ， ，当且仅当 时等号成立． ． 21．（1）作 ，垂足为 E，在直角三角形 中， ， 则有 ， 2 分 同理作 ，垂足为 F， ， 即： ， 4 分 从而有： 当 时，l 取最大值 5，即观光通道长 l 的最大值为 ． 6 分 （2）依题意， ， ， 8 分 则总利润 9 分 10 分 因为 ，所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，从而当 时，总利润取得最大值，最大值为 百万元 12 分 22．（1） 当 时， ，当 时， ． 从而 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 4 分 （2） 恒成立，即 恒成立 2 24 3 3 1 3sin cos sin 2 3sin 2cos3 2 2 3ABCS A A A A A∆    = + = −     3 2 3 3[ 3sin 2cos 1] sin 2 33 3 6 3A A A π = + − = − + ≤   3A π= ABC 3 2 2 2 2 22 cos 4c a b ab C a b ab= + − = + − = 2 24 a b ab ab= + − ≥ 2a b= = 1 3sin 32 4ABCS ab C ab= = ≤  OE BC⊥ OBE sin sin2 2BE OB θ θ= = 2sin 2BC AD θ= = OF CD⊥ cos cosCF OC θ θ= = 2cosCD θ= 2 2 12 4sin 2cos 4sin 4sin 4 4 sin 52 2 2 2 2l θ θ θ θθ  = + + = − + + = − − +   3 πθ = 5km 1 sin2AODS θ=  1 sin22CODS θ=  1 2OBCS θ=扇形 1( ) sin sin2 2S θ θ θ θ= + + 1 1( ) cos 2cos2 (4cos 3)(2cos 1)2 2S θ θ θ θ θ′ = + + = + − 0, 2 πθ  ∈   0, 3 πθ  ∈   ( )S θ ,3 2 π πθ  ∈   ( )S θ 3 πθ = 3 6S π = +   ( ) , ( ) ( 1)x xf x xe f x x e′= = + 1x > − ( ) 0f x′ > 1x < − ( ) 0f x′ < ( )f x [ 1, )− +∞ ( , 1]−∞ − , ( ) 0x e g x≥ ≥ 132 ln ( ) 0 m xx x m x e −− − ≥ 当 时，显然成立； 6 分 当 时，即 恒成立 即 恒成立，即 即 8 分 由 知， ，由①可知， 即： ．令 ，即 在 上为增函数， ，∴ ，综上， ． 12 分 0m ≤ 0m > 122 ln 1 0 m xmx x ex − − − ≥   12 2ln 1 0 m xmx x ex − − − ≥   12 2ln 1 m xmx x ex − ≥ −   ( )2ln 1mf x f x  ≥ −   0m > 1 1m x − > − ( )2 2ln 1 ln 1m mf x f xx x  ≥ − ⇔ ≥ −   2 lnm x x x≤ + ( ) 2 ln ,h x x x x x e= + ≥ ( ) 3 2ln 0h x x′ = + > ( )h x ,x e∈ +∞ min( ) ( ) 3h x h e e= = 0 3m e< ≤ ( ,3 ]m e∈ −∞