2021届高三8月月考数学试题 含答案

2018 级八月月考 高三年级数学试题 命题人：焦林锐 审题人：张静 一、选择题（本大题共 8 小题，共 40 分） 1．已知集合 ， ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．据记载，欧拉公式 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中 的天桥”．特别是当 时，得到一个令人着迷的优美恒等式 ，将数学中五个重要的数（自 然对数的底 ，圆周率 ，虚数单位 ，自然数的单位 1 和零元 0）联系到了一起，有些数学家评价它是 “最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数 的共轭复数为 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命 中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1，2，3，4 表示命中，5，6，7，8， 9，0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下 20 组随机 数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A．0．35 B．0．25 C．0．20 D．0．15 4．如图 1 是某条公共汽车线路收支差额 与乘客量 的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出 了两种扭亏为盈的建议，如图 2、3 所示．你能根据图象判断下列说法错误的是（ ） ①图 2 的建议为减少运营成本 ②图 2 的建议可能是提高票价 ③图 3 的建议为减少运营成本 ④图 3 的建议可能是提高票价 A．①④ B．②④ C．①③ D．②③ { }| | 1,A y y x x R= = − ∈∣ { }2B x x= ≥∣ 3 A− ∈ 3 B∉ A B B= A B B= cos sin ( )ixe x i x x R= + ∈ x π= 1 0ieπ + = e π i 4 i z e π = z z = 2 2 2 2 i− − 2 2 2 2 i− + 2 2 2 2 i+ 2 2 2 2 i− y x 5．设光线通过一块玻璃，强度损失 10%、如果光线原来的强度为 ，通过 块这样的玻璃以后强度 为 ，则 ，那么光线强度减弱到原来的 以下时，至少通过这样的玻璃块数为（ ） （参考数据： ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．2020 年 3 月 31 日，某地援鄂医护人员 A，B，C，D，E，F，6 人（其中 A 是队长）圆满完成抗击新冠 肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让 这 6 名医护人员和接见他们的一位领导共 7 人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且 BC 相邻，而 BD 不相邻的排法种数为（ ） A．36 种 B．48 种 C．56 种 D．72 种 7．已知正方形 ABCD 的边长为 1，P 为平面 ABCD 内一点，则 的最小值为（ ） A．1 B．2 C． D． 8 ． 已 知 函 数 是 定 义 域 为 的 奇 函 数 ， 且 当 时 ， ， 则 满 足 的实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、不定项选择题（本大题共 4 小题，共 20 分） 9．已知双曲线 的焦点与抛物线 的焦点之间的距离为 2，且 C 的离心率 为 ，则（ ） A．C 的渐近线方程为 B．C 的标准方程为 C．C 的顶点到渐近线的距离为 D．曲线 经过 C 的一个焦点 10．已知函数 ，现给出下列四个命题，其中正确 的是（ ） A．函数 的最小正周期为 B．函数 的最大值为 1 ( 0)k k > x y ( )0.9xy k x N ∗= ⋅ ∈ 1 3 lg3 0.477≈ ( ) ( )PA PB PC PD+ ⋅ +    2− 1− ( )f x R 0x ≥ 2( ) log ( 1) 2xf x x a= + + − ( )2 3 1 2 0f x x− − + < x ( )3,0− ( )1,0− ( )0,3 ( )1,2 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2 4x y= 3 2y x= ± 2 2 12 yx − = 2 3 3 1xy e += − ( ) cos 2 2sin cos ( )3 4 4f x x x x x R π π π     = − − + + ∈           ( )f x 2π ( )f x C．函数 在 上单调递增 D．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式为 11．设 ， ，则不列等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 12．已知已知某校高三年级有 1000 人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分 的分数转换区间为 ，若使标准分 服从正态分布 ，（参考数据：① ；② ；③ ．则（ ） A．这次考试标准分超过 180 分的约有 450 人 B．这次考试标准分在 内的人数约为 997 C．甲、乙、丙三人恰有 2 人的标准分超过 180 分的概率为 D． 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13．已知过抛物线 焦点 F，斜率为 的直线 与抛物线交于 A，B 两点，且 ，则直线 的斜率为___________． 14．如图所示的圆中，已知圆心角 ，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为点 D，若 CD 的长为 a， 则弧 ACB 与弦 AB 所围成的弓形 ACB 的面积为___________． 15．设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ，当 时，函数 的极大值点从小到大依次记为 ， ， ，…， …，并记相应的极大值为 ， ， ，…， …，则数列 前 9 项的和为___________． ( )f x ,4 4 π π −   ( )f x 12 π ( ) sin 2g x x= 0b a> > c R∈ 1 1 2 2a b< 1 1c ca b − > − 2 2 a a b b + >+ 2 2ac bc< [ ]60,300 X (180,900)N (P Xµ σ− < ) 0.6827µ σ≤ + = ( 2 2 ) 0.9545P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 3 3 ) 0.9973P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( ]90,270 3 8 (240 270) 0.0428P X< ≤ = 2 2 ( 0)y px p= > ( 0)k k > l | |AF = 3 | |2 BF l 2 3AOB π∠ = ( )f x R ( 1) 2 ( )f x f x+ = [0,1)x∈ ( ) sinf x xπ= [0, )x∈ +∞ ( )f x 1a 2a 3a na 1b 2b 3b nb { }n na b+ 16．如图，在直角梯形 ABCD 中， ， ， ，点 E 是线段 CD 上异 于点 C，D 的动点， 于点 F，将 沿 EF 折起到 的位置，并使 ，则 五棱锥 的体积的取值范围为___________． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17．（10 分） 已知等比数列 中， ，且 ，公比 ． （1）求 ； （2）设 的前 项和为 ，求证 ． 18．（12 分） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 的面积为 ． （1）求 ； （2）若 ， ，求 的值． 19．（12 分） 在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业 方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店 自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数 （单位：万元）与时间 （单位：年）的数据，列表如 下： 1 2 3 4 5 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 （1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 与 的关系，请计算相关系数 并加以说明 （计算结果精确到 0.01）．（若 ，则线性相关程度很髙，可用线性回归模型拟合） AB BC⊥ AD BC∥ 1 12AB BC AD= = = EF AD⊥ DEF△ PEF△ PF AF⊥ P ABCE− { }na 4 3 22 3 0a a a− + = 1 1 2a = 1q ≠ na { }na n nT 1 12 nT≤ < ABC△ ABC△ 2 3sin b B sin sinA C 1cos cos 6A C = 3b = a c+ iy it iy it y t r | | 0.75r > 附：相关系数公式： 参考数据： ， ， ， （2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案． 方案一：每满 500 元可减 50 元； 方案二：每满 500 元可抽奖一次，每次中奖的概率都为 ，中奖就可以获得 100 元现金奖励，假 设顾客每次抽奖的结果相互独立． ①某位顾客购买了 1050 元的产品、该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客换得 100 元现金奖励的 概率． ②某位顾客购买了 2000 元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回 200 元现金， 还是选择参加四次抽奖？说明理由． 20．（12 分） 如图，四棱锥 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PAD 为正三角形，且平面 平面 ABCD，E 为 PD 中点， ． （1）求证：平面 平面 PCD； （2）若二面角 的平面角大小 满足 ，求线段 AB 的长． 21．（12 分）已知函数 ， ． （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）定义：对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为函数 的不动点．如果函 数 存在不动点，求实数 的取值范围． 22．（12 分） ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 i i i i i i n n i i n n n n i i ii ii t t y y t y nty r t t y y t t y y = = == = = ∑ − − ∑ − = = ∑ − ∑ − ∑ − ∑ − 56.95 7.547≈ 5 1 85.2 i i it y= ∑ = ( )25 1 10ii t t= ∑ − = ( ) 1 25 22.78ii y y= ∑ − = 2 5 P ABCD− PAD ⊥ 2AD = AEC ⊥ A PC D− − θ 2cos 4 θ = 21( ) ln ( )2f x x x ax a R= + + ∈ 23( ) 2 xg x e x x= + − 4a = − ( )f x ( )f x 0x ( )0 0f x x= 0x ( )f x ( ) ( ) ( )F x f x g x= − a 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率等于 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若 ， ，求证 为定值． 2018 级八月月考 高三年级数学试题答案 1-8． CDBD CDDC 9． ABD 10．BD 11． ABC 12．BC 13． 14． 15． 16． 17．（1）由等比数列 中， ，且 ，公比 ． 得： 或 （舍去）， 所以 ． （2）证明：因为 ， ，所以 ， 因为 在 上为减函数，且 恒成立， 所以当 ， 时， ， 所以 ． 18．（1） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 21 4y x= 2 5 5 l 1MA AFλ=  2MB BFλ=  1 2 λ λ+ 2 6 24 3 3 3 a π − 1103 2 10, 3      { }na 4 3 22 3 0a a a− + = 1 1a = 1q ≠ 2 12 3 1 0 2q q q− + = ⇒ = 1q = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 n n n na a q − −    = ⋅ = × =       1 1 2a = 1 2q = 1 112 2 111 21 2 n n nT  −      = = −  − 1 2 x y  =    R 1 02 x y  = >   n N ∗∈ 1n ≥ 1 10 2 2 n < ≤   1 11 12 2 n nT  ≤ = − 2sin sin 3A C = 1cos cos 6A C = 3b = 2sin sin 3A C = 1cos cos sin sin cos( ) cos2A C A C A C B− = − = + = − 1cos 2B = 3B π= 2 2 3sin sin sin a b c RA B C = = = = 2 2sin sin 2 2 4 12 3 a c ac acA C R R R = ⋅ = = = 8ac = 2 2 2 29 2 cos ( ) 3b a c ac B a c ac= = + − ⋅ = + − 2( ) 9 3 33a c ac+ = + = 33a c+ = 1 (1 2 3 4 5) 35t = + + + + = 1 (2.4 2.7 4.1 6.4 7.9) 4.75y = + + + + = 5 1 11 85.2 i t y= ∑ = ( )25 1 10ii t t= ∑ − = ( ) 1 25 22.78ii y y= ∑ − = ( ) ( ) 1 1 1 2 2 14.7 14.7 227.8 2 56.95 n i n n i i i ii it y nty r t t y y = = = ∑ − = = = ∑ − ∑ − 14.7 0.97 0.7515.095 ≈ ≈ > y t 1 2 2 3 12( ) 5 5 25P A C= ⋅ ⋅ = X 24, 5X B ∼    2( ) 4 1.65E X np= = × = 由于顾客每中一次可获得 100 元现金奖励， 因此顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为 ． 由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值 160 小于直接返现的 200 元现金， 故专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖． 20．（1）取 AD 的中点 O， ∵侧面 PAD 为正三角形，∴ ， 又平面 平面 ABCD， 平面 PAD， 平面 平面 ，∴ 平面 ABCD， 如图所示，以 O 为原点，建立空间直角坐标系， 设 ，则 ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ，即 ， ， ∵DP、 平面 PCD，且 ， ∴ 平面 PCD， 又 平面 AEC，∴平面 平面 PCD． （2）由（1）可知， ， ， 平面 PCD 的法向量为 ， 设平面 APC 的法向量为 ， 则 ，即 ， 1.6 100 160× = OP AD⊥ PAD ⊥ OP ⊂ PAD  ABCD AD= OP ⊥ AB a= (1,0,0)A ( 1, ,0)C a− ( 1,0,0)D − (0,0, 3)P 1 3,0,2 2E  −    3 3,0,2 2AE  = −     (0, ,0)DC a= (1,0, 3)DP = 3 3 3 02 2 0 AE DP AE DC  ⋅ = − + × =  ⋅ =     AE DP⊥ AE DC⊥ DC ⊂ DP DC D= AE ⊥ AE ⊂ AEC ⊥ ( 2, ,0)AC a= − ( 1,0, 3)AP = − 3 3,0,2 2AE      = −   ( , , )m x y z= 0 0 m AC m AP  ⋅ = ⋅ =     2 0 3 0 x ay x z − + =− + = 令 ，则 ， ， ∴ ， ∴ ， 由题可知，二面角 的平面角为锐角， ∴ ， 解得 或 （舍负），∴线段 AB 的长为 ． 21．（1）当 时， ， 当 时，即 ， ， 当 时，即 ， ∴ 的单调递增区间为 ， ， 的单调递减区间为 ． （2） ， ∵ 存在不动点， ∴方程 有实数根，即 有解， 令 ， ， 令 ，得 ， 1x = 2y a = 3 3z = 2 31, , 3m a  =      2 2 3 3 3 12 2 3cos , | | | | 4 4 4 43 33 3 m AEm AE m AE a a − + ×⋅ −< >= = = ⋅ + × + ×       A PC D− − 2 2 1cos 4 4 4 33 a θ = = + × 3a = 3− 3 4a = 21 4 1( ) 4 x xf x xx x − +′ = + − = ( ) 0f x′ > 2 4 1 0 0 2 3x x x− + > ⇒ < < − 2 3x > + ( ) 0f x′ < 2 4 1 0 2 3 2 3x x x− + < ⇒ − < < + ( )f x (0,2 3)− (2 3, )+ +∞ ( )f x (2 3,2 3)− + 2 21 3( ) ( ) ( ) ln 2 2 xF x f x g x x x ax e x x= − = + + − − + 2ln ( 0)xx x ax x e x= − + + − > ( )F x ( )F x x= 2lnxe x xa x − += 2 ln( ) ( 0) xe x xh x xx + −= > ( ) 2 2 1 ( 1) ln( 1) ln ( 1)( 1)( ) xx e x x xe x x x xh x x x + + − +− + + + −′ = = ( ) 0h x′ = 1x = 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， ∴ ， 当 时， 有不动点， ∴ 的范围为 ． 22．（1）设椭圆 C 的方程为 ，则由题意知 ． ∴ ． 即 ．∴ ． ∴椭圆 C 的方程为 ． （2）设 A、B、M 点的坐标分别为 ， ， ． 又易知 F 点的坐标为 ． 显然直线 存在的斜率，设直线 的斜率为 ， 则直线 的方程是 ． 将直线 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得 ． ∴ ， ． 又∵ ， ， 将各点坐标代入得 ， ， ∴ (0,1)x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x (1, )x∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x ( ) (1) 1h x h e≥ = + 1a e≥ + ( )F x a [ 1, )e + +∞ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1b = 2 2 2 2 5 5 a b a − = 2 1 2 51 5a − = 2 5a = 2 2 15 x y+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )00,M y ( )2,0 l l k l ( 2)y k x= − l ( )2 2 2 21 5 20 20 5 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 2 20 1 5 kx x k + = + 2 1 2 2 20 5 1 5 kx x k −= + 1MA AFλ=  2MB BFλ=  1 1 12 x x λ = − 2 2 22 x x λ = − ( ) ( )1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 x x x xx x x x x x x x λ λ + −+ = + =− − − + + . 2 2 2 2 2 2 2 2 20 20 52 21 5 1 5 1020 20 54 2 1 5 1 5 k k k k k k k k −× − ×+ += =−− × ++ +