高三数学参考答案 第 1 页 共 5 页
2021 届高三第一次调研考试
数学参考答案与评分细则
一、单选题（每题 5 分）
1. B；2. B；3. C；4. D；5. C；6. A；7. C；8. D；
二、多选题（每题 5 分，漏选得 3 分，错选得 0 分）
9. AB；10. BC；11. ABD；12. BC
三、填空题（每题 5 分，注意 16 题第一空 2 分，第二空 3 分）
13. 2
2
；14. 5 2 6 ；15. ( ,1 e) (1 e, ) ；16.（1）16 16 2 （2） 13 .
四、解答题
17. 解： 2{ | log (1 ) 1, R} [ 1,1)B x x x ， ……2 分
{ | 0, R} { | ( )( 1) 0, R}1
x aA x x x x a x xx
，
当 1a 时， ( 1, )A a ； ……3 分
当 1a 时， A ； ……4 分
当 1a 时， ( , 1)A a ． ……5 分
若选择① A B A ，则 A B ， ……6 分
当 1a 时，要使 ( 1, ) [ 1,1)a ，则 1a ，所以 1 1a ； ……7 分
当 1a 时， A ，满足题意； ……8 分
当 1a 时， ( , 1)A a 不满足题意． ……9 分
所以选择①，则实数 a 的取值范围是[ 1,1] ． ……10 分
若选择② A B I ，
当 1a 时， ( 1, )A a ， [ 1,1)B ，满足题意； ……6 分
当 1a 时， A ，不满足题意； ……7 分
当 1a 时， ( , 1)A a ， [ 1,1)B ，不满足题意． ……8 分
所以选择②，则实数 a 的取值范围是 ( 1, ) ． ……10 分
若选择③ RB A ð ，
当 1a 时， ( 1, )A a ， ( , 1] [ , )R A a ð ，而 [ 1,1)B ，不满足题意；…6 分
当 1a 时， A ， RR A ð ，而 [ 1,1)B ，满足题意； …7 分
当 1a 时， ( , 1)A a ， ( , ] [ 1, )R A a ð ，而 [ 1,1)B ，满足题意． …8 分
所以选择③，则实数 a 的取值范围是 ( , 1] ． …10 分
（注意：若解答过程中不是先讨论集合 A ，而是在求解过程中讨论，则每种情况 2 分）
18．解：（1）因为不等式 ( ) 0f x 的解集为 (2,3) ，即 2 0x ax b 的解集为 (2,3) ，
所以方程 2 0x ax b 的解为 2 和 3， ……2 分
所以
2 4 0,
5,
6,
a b
a
b
……4 分
解得 5, 6a b ．
所以 ,a b 的值分别为 5 和 6 ． ……6 分
（2）由（1）得 2( ) 5 6f x x x ，高三数学参考答案 第 2 页 共 5 页
令 ( ( )) 2 0f f x ，即 2[ ( )] 5 ( ) 6 2f x f x ，
解得 ( ) 1f x 或 ( ) 4f x ， ……8 分
即 2 5 5 0x x 或 2 5 2 0x x ，
设方程 2 5 5 0x x 的解为 1 2,x x ，方程 2 5 2 0x x 的解为 3 4,x x ，
所以 1 2 5x x ， 3 4 2x x ， ……10 分
函数 ( ( )) 2y f f x 的所有零点之积为10 ． ……12 分
19．解：（1）因为函数 ( )f x 为奇函数，
所以 ( ) ( )f x f x 对 Rx 成立，
即 3 2 2 3 2 21 1( 1) ( 2 3) ( 1) ( 2 3)3 3x k x k k x x k x k k x 对 Rx 成立，…1 分
即 22( 1) 0k x 对 Rx 成立，
所以 1k ． …2 分
此时 31( ) 43f x x x ，
2( ) 4 ( 2)( 2)f x x x x ， [ 3,3]x ，
令 ( ) 0f x ，则 2x 或 2x ，
…5 分
函数 ( )f x 的极大值为 16( 2) 3f ，极小值为 16(2) 3f ，而 ( 3) 3f ， (3) 3f ．
所以函数 ( )f x 在区间[ 3,3] 上的最大值为 16
3
，最小值为 16
3
． ……7 分
（2）因为 3 2 21( ) ( 1) ( 2 3)3f x x k x k k x ，
所以 2 2( ) 2( 1) ( 2 3) ( 3)( 1)f x x k x k k x k x k ，
令 ( ) 0f x ，得 3x k 或 1x k ， ……9 分
因为函数 ( )f x 在区间 (0,2) 内不单调，
所以 0 3 2k 或 0 1 2k ， ……11 分
解得1 3k 或 3 1k ．
所以实数 k 的取值范围为 ( 3, 1) (1,3) ． ……12 分
（注意：若（1）中直接利用 0)0( f ，没有检验则得 1 分；判断单调性求最值，同样得分。）
20．解：（1）若选择① 25( R,0 1, 0)ay kx k a x ，
把 0, 85x y 代入，得85 25 矛盾； ……1 分
若选择② 25( R,0< 1, 0)xy ka k a x ，
把 0, 85x y 代入，得 60k ．
所以应该选择② 25( R,0< 1, 0)xy ka k a x ，其中 k 的值为 60 ． ……3 分
（2）
5
1 1
251 1 54 50 46 43 40( )5 25 5 60 54 50 46 43
i
i i
ya y
……5 分
0.92 ． ……6 分
（3）由（1）（2）知， ,x y 之间的关系为 60 0.92 25xy ， ……7 分
x 3 ( 3, 2) 2 ( 2,2) 2 (2,3) 3
( )f x ＋ 0 － 0 ＋
( )f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗高三数学参考答案 第 3 页 共 5 页
因为85 ℃开水冷至 35 ℃到 40 ℃（温水）饮用对身体更有益，
所以 35 60 0.92 25 40x ， ……9 分
即 1 10.926 4
x ，
所以 14 60.92x ，
又因为 16.6 21.5
1 14, 60.92 0.92
，
所以16.6 21.5x ． ……11 分
所以在 25 ℃室温下，85 ℃开水至少大约放置 17min 才能冷至到对身体有益温度. ……12 分
21．解：（1）因为 ( ) ( 2)ln 1f x x x x ，
所以 2( ) ln 1xf x x x
， ……1 分
所以 (1) 0f ，
而 (1) 0f ，
所以曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))P f 处的切线方程为 0y ． ……3 分
（2）由（1）得 2 2( ) ln 1 ln 2xf x x xx x
，
令 2( ) ln 2g x x x
， 0x ，
则 1 2( ) 0g x x x
在 (0, ) 上恒成立，
所以 2( ) ln 2g x x x
在 (0, ) 上单调递增， ……4 分
而 (1) 0g ，
所以当 0 1x 时， ( ) 0f x ；当 1x 时， ( ) 0f x ，
所以当函数 ( )f x 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增，
所以函数 ( )f x 在 1x 处取得极大值． ……6 分
因为 1 2( ) ( )f x f x ， 1 2 1 2, , Rx x x x ，
所以不妨设 1 20 1, 1x x ，
令 ( ) ( ) (2 )h x f x f x ， 0 1x ，
则 2 2( ) ( ) (2 ) ln 2 ln(2 ) 2 2h x f x f x x xx x
4ln (2 ) 4 (2 )x x x x
，
因为 0 1x ，所以 0 (2 ) 1x x ，所以 4ln (2 ) 0,4 0(2 )x x x x
，
所以 ( ) 0h x ，即函数 ( ) ( ) (2 )h x f x f x 在 (0,1) 上单调递减， ……8 分
而 (1) (1) (1) 0h f f ，
所以 ( ) (1) 0h x h 在 (0,1) 上恒成立，即 ( ) (2 )f x f x 在 (0,1) 上恒成立，
所以 1 1( ) (2 )f x f x 在 (0,1) 上恒成立， ……10 分
因为 1 2( ) ( )f x f x ，所以 2 1( ) (2 )f x f x ，
因为 1 20 1, 1x x ，所以 12 1x ，而函数 ( )f x 在 (1, ) 上单调递增，
所以 2 12x x ，即 1 2 2x x ．
所以得证． ……12 分
22．解：（1）因为 1( ) exf x ax ，则 1( ) exf x a ， 0x ， ……1 分高三数学参考答案 第 4 页 共 5 页
1 当 1
ea ≥ 时， 1( ) e 0f x a ≥ ，所以 ( )f x 在 (0 ) ， 上单调递增； ……2 分
2 当 1
ea 时，
令 1( ) e 0xf x a ，得 ln( ) 1x a ，所以 ( )f x 在 (ln( ) 1 )a ， 上单调递增，
令 1( ) e 0xf x a ，得 ln( ) 1x a ，所以 ( )f x 在 (0 ln( ) 1)a ， 上单调递减．……4 分
综上，当 1
ea ≥ 时，函数 ( )f x 在 (0 ) ， 上单调递增；
当 1
ea 时，函数 ( )f x 在 (ln( ) 1 )a ， 上单调递增，在 (0 ln( ) 1)a ， 上单调递减. …5 分
（2）当 0a 时， ( ) ( )f x xg x 对 0x 恒成立 1 2e lnx bx bx x ≥ 对 0x 恒成立，
【方法 1】条件
1e ln 0
x
bx b xx
≥ 对 0x 恒成立，
令
1e( ) ln
x
h x bx b xx
， ……6 分
则
1
1
2
e( )( 1)e ( 1) (1 )( )
x
x b xx b x xh x x x x
， 0x ，
设
1e( )
x
x bx
，令
1
2
e ( 1)( ) 0
x xx x
，得 1x ，
当 1x 时， ( ) 0x ，所以 ( )x 在 (1, ) 上单调递增；
当 0 1x 时， ( ) 0x ，所以 ( )x 在 (0,1) 上单调递减，
所以 ( ) (1) 1x b ≥ ． ……8 分
①若1 0b ≥ ，即 1b≤ ，
当 1x 时， ( ) 0h x ，所以函数 ( )h x 在 (1, ) 上单调递增；
当 0 1x 时， ( ) 0h x ，所以函数 ( )h x 在 (0,1) 上单调递减，
所以 ( ) (1) 1 0h x h b ≥ ≥ 成立．
所以 1b≤ ． ……10 分
②当1 0b ，即 1b 时， (1) 1 0h b 与 ( ) 0h x ≥ 矛盾； ……11 分
综上，实数 b 的取值范围为 ( ,1] ． ……12 分
【方法 2】条件 1 lne ( ln ) 0x x b x x ≥ 对 0x 恒成立， ……6 分
令 ( ) lnh x x x ，由 1 1( ) 1 0xh x x x
得 1x ，
所以当 1x 时， ( ) 0h x ，所以函数 ( )h x 在 (1, ) 上单调递增，
当 0 1x 时， ( ) 0h x ，所以函数 ( )h x 在 (0,1) 上单调递减．
所以 ( ) (1) 1h x h ≥ ． ……8 分
令 lnt x x ，则 1t≥ ，则原问题等价于 1e 0t bt ≥ ，对 1t≥ 恒成立，
等价于
1et
b t
≤ ，对 1t≥ 恒成立， ……10 分
令
1e( )
t
p t t
， 1t≥ ，则
1
2
e ( 1)( ) 0
t tp t t
≥ ，
所以 ( )p t 在[1, ) 上单调递增，所以 min( ) 1p t ，
所以，实数 b 的取值范围为 ( ,1] ． ……12 分高三数学参考答案 第 5 页 共 5 页
【方法 3】令 ( ) lnx x x ，由 1( ) 1 0x x
得 1x ，
所以函数 ( )x 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增，
所以 ( ) (1) 1x ≥ ，
所以 ln 1x x ≥ 当且仅当 1x 时取等号． ……7 分
令 ( ) e 1xp x x ，则由 ( ) e 1 0xp x 得 0x ，
所以函数 ( )p x 在 ( ,0) 上单调递减，在 (0, ) 上单调递增，
所以 ( ) (0) 0p x p ≥ ，所以 e 1x x ≥ 当且仅当 0x 时取等号. ……9 分
因为 ln 1x x ≥ ，
所以原条件等价于
1 1 lne e
( ln ) ln
x x x
b x x x x x
≤ 对 0x 恒成立， ……10 分
令
1 lne( ) ln
x x
g x x x
，
因为 1 lne 1 ln 1 lnx x x x x x ≥ ，
当且仅当 ln 1 0x x 时取等号，即 1x 时取等号，
所以
1 lne( ) (1) 1ln
x x
g x gx x
≥ ，所以 min( ) 1g x ，
所以 1b≤ ．
综上，实数 b 的取值范围为 ( ,1] ． ……12 分
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