上海市格致中学2021届高三月考数学试卷（2020.09）带答案

第 1 页 共 5 页 格致中学高三月考数学试卷 2020.09 一. 填空题 1. 已知集合 ，若 ，则实数 的值为 2. 若复数 满足 （i 为虚数单位），则 3. 函数 ， 的反函数 4. 已知 ， ，若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 5. 已知空间两点 到平面 的距离分别 3 为和 5 ，则线段 中点到平面 的距 离为 6. 计算 7. 关于 的不等式 的解集为 8. 在三角形 中，角 的对边分别为 ，若 ， 则角 9. 为抗击“新型冠状病毒”，全国各地群策群力，捐款捐物，某企业出资购买了两种不同 型号的新型呼吸机各两台（同种型号呼吸机不加区分），将这 4 台呼吸机捐给疫情最重区域 的三所医院，每所医院至少一台，且同型号呼吸机不给同一医院，则不同分配方案有 种 10. 已知数列 是递增的正项等比数列，数列 满足 ，若 ， ，则数列 的通项公式 11. 已知直线 与抛物线 交于两点 ，其中点 位于 轴两侧， 为坐标原 点，若 ，则点 到直线 距离最大值为 12. 若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是 二. 选择题 13. 若 ，且 ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 在二项式 的展开式中，含有 的偶次幂的项之和为 ，含有 的奇次幂的项之 2{ , }A a a= 1 A∈ a z (1 2i) 3 4iz − = + | |z = 2( ) 1f x x= − ( ,0]x∈ −∞ 1( )f x− = (2, 1)a = − ( , 2)b λ= − a b λ A B、 α cm cm AB α cm 1 2 2 1 4 3lim 2 9 n n n nn + +→∞ − =+ x 2 1 1 2 6 0 0 3 x x− − ≤ ABC A B C、 、 a b c、 、 ( )( )a b c b c a bc+ + + − = A = { }( )na n∈ *N { }nb 1 2 logn nb a= 1 2b b+ + 3 6b = − 1 2 3 10b b b⋅ ⋅ = { }na na = l 2 2y x= A B、 A B、 x O 3OA OB⋅ =  O l ( ) | 1| | | 1f x mx x x= − − + m ,a b∈R 0ab > 2 2 2a b ab+ > 2a b ab+ ≥ 1 1 2 a b ab + > 2a b b a + ≥ (1 )nx+ x p x第 2 页 共 5 页 和为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，点 为正方形 的中心，△ 为正三角形， 为 的中点， 平 面 ， 是线段 的中点，则（ ） A. ，且直线 、 是相交直线 B. ，且直线 、 是相交直线 C. ，且直线 、 是异面直线 D. ，且直线 、 是异面直线 16. 设函数 的定义域是 ，对于下列四个命题： （1）若 是奇函数，则 也是奇函数； （2）若 是周期函数，则 也是周期函数； （3）若 是 上的单调递减函数，则 也是 上单调递减 函数； （4）若函数 存在反函数 ，且函数 有零点，则函数 也有零点； 其中正确的命题共有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 三. 解答题 17. 已知复数 . （1）设 ，求 的值； （2）求满足不等式 的实数 的取值范围. 18. 空间四边形 中， ，点 分别为对角线 的中点. （1）若直线 与 所成角为 60°，求直线 与 所成角的大小； （2）若直线 与 所成角为 ，求直线 与 所成角的大小. q (1 )nx− p q+ p q− q p− p q− − N ABCD ECD O CD EO ⊥ ABCD M ED BM EN= BM EN BM EN≠ BM EN BM EN= BM EN BM EN≠ BM EN ( )y f x= R ( )y f x= ( ( ))y f f x= ( )y f x= ( ( ))y f f x= ( )y f x= ( , )−∞ +∞ ( ( ))y f f x= ( , )−∞ +∞ ( )y f x= 1( )y f x−= 1( ) ( )y f x f x−= − ( )y f x x= − 1 iz = − 2 5 3 41 zz ω = + −+ ω | i | 3 32 az a + ≥ + a ABCD AB CD= M N、 BD AC、 AB MN AB CD AB CD θ AB MN第 3 页 共 5 页 19. 经过考察，某公司打算对两个项目 进行投资，经测算，投资 项目 （百万元） 与产生的经济效益 之间满足： （百万元），投资项目 与产生 的项目经济效益 之间满足： （百万元）. （1）公司现有 1200 万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大； （2）若投资 百万元的某项目产生的经济效益为 百万元，设投资该项目的边际效应函 数为 ，其边际效应值小于 0 时，不建议投资该项目，那么对项目 与 应如何投资，才能使得经济效益最好？ 20. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 点 在椭圆 上且在第一象限内， ，直线 与椭圆 相交于另一点 ，△ 的周长为 6. （1）求椭圆 的方程； （2）在 轴上任取一点 ，直线 与直线 相交于点 ，求 的最大值； （3）设点 在椭圆 上，记△ 与△ 的面积分别为 、 ，且 ，若满 足条件的点 恰有 3 个，求实数 的值. A B、 A x 1( )f x 2 1 1( ) 3 114f x x x= − + + B 2 ( )f x 2 2 1( ) 4 23f x x x= − + + x ( )f x ( ) ( 1) ( )F x f x f x= + − A B xOy 2 2 2: 1( 0)3 x y aa Γ + = > 1 2F F、 A Γ 2 1 2AF F F⊥ 1AF Γ B 1 2AF F Γ x P AP 2x a= Q OP PQ⋅  M Γ OAB MAB 1S 2S 2 1=S Sλ M λ第 4 页 共 5 页 21. 已知各项均为不为零的数列 满足 ，前 项的和为 ，且 ， ， ，数列 满足 ， . （1）求 ， ； （2）求 ； （3）设有穷数列 ， 的前 项和为 ，是否存在 ，使得 成立？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由. { }na 1 1a = n nS 2 2 21n n n S S na −− = n∈ *N 2n ≥ { }nb 1n n nb a a += + n∈ *N 2a 3a nS ( )n∈ *N { }k n nb C⋅ 1,2, ,k n= ⋅⋅⋅ n nT m∈ *N 2020mT = m第 5 页 共 5 页 参考答案 一. 填空题 1. 2. 3. 4. 5. 1 或 4 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二. 选择题 13. D 14. B 15. B 16. C 三. 解答题 17.（1） ；（2） . 18.（1）60°；（2） 或 . 19.（1）A、B 项目各 6 百万，收益最大为 3400 万；（2）A、B 项目各 550 万. 20.（1） ；（2）4；（3） . 21.（1）2、3；（2） ；（3） ，不存在. 1− 5 1( 1)x x− + ≥ − ( 1,4) (4, )− +∞ 1 9 − [ 2,2]− 2 3 π 6 3 42 n− 3 ( 3 2 2,0) (0,1)− +  5i 1( 2, ] [1, )6 − +∞ 2 θ 2 π θ− 2 2 14 3 x y+ = 2 21 3 3 − 2 2 n n+ ( 1) 2 1n nT n= + ⋅ −