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浙江省十校联盟 2020 年 10 月高三联考 数学参考答案 第 1 页 共 4 页 绝密★考试结束前 浙江省十校联盟 2020 年 10 月高三联考 数学参考答案 一、选择题 二、填空题 11． 2− ， a− 12． 33 ， 90 13． 6 3 ， 3 8  14． 625， 28 125 15． 12− 16． 9 4 2 8 + 17． 10 6 6 10[ , ] [ , ]2 2 2 2−− 三、解答题 18．解： （I） ( ) ( )2sin cos cos sin 2 1 cos222 mnf x a b m x x n x x x=  = + = + + ------3 分 把 33,12 4 + 和 1,82 − 代入上式， 得： ( ) ( ) 2333 4 4 4 2221 4 4 2 nm nm  + + += + − + = 1 1 m n =  = ------5 分 ( ) 21sin 22 4 2f x x  = + + ------7 分 ( )fx 的最小正周期为 ------8 分 （II）由已知得 ( ) 21sin 28 2 2 2g x f x x   = + = + +       ------9 分 21cos222x=+ ------10 分 当 ,63x − 时， ( )gx的值域为 2 2 1 2,42 −+   ------12 分 的单调递减区间为 0, 3   ------15 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A C B B B C A 浙江省十校联盟 2020 年 10 月高三联考 数学参考答案 第 2 页 共 4 页 19．解： （I）证明： 由已知 //AB DE，------1 分 又在平面 PBEFC 内， 45PBC BCE =  = ， // .PB CE ------3 分 显然， AB PB PAB AB PB B=， 面 ， ， ,DE CE CDE DE CE E=平面 ， ， / / .PAB CDE平面 平面 ------5 分 PA PAB又 平面 ， / / .PA CDE 平面 ------7 分 （II） P CDE Q设 在平面 内的射影为 ， CQ PCQ PC CDE连结 ，则 就是 与平面 所成的角，------9 分 PQ 等于 B 到平面CDE 的距离，也是 F 到平面CDE 的距离 取 .DE M DE CMF⊥中点 ，易证 平面 F FH CM H DE FH⊥⊥过 作 于 ，则 ， .FH CDE⊥平面 ------13 分 232 3 . 7 CF FM FH= =  =易知 ， ， 42sin .7 PQ FHPCQ PC PC  = = = ------15 分 （建系和等体积法也酌情给分） 20．解： （I）（ i）当 2n  时， 1 2 1 2 2n n a a a a− = − 12 1 2 2n n a a a a +  = − 相除得 1 1 1 1 1 n n n aa a + − = − 1 11 1111 1 1 n n n n a a a a + ++  = = −− − − ( ) 1 111211nn naa+  − = −− ------5 分 又 1 2 3a = ，故 2 3 4a = ，故 21 11111aa−=−− 也成立 ------7 分 ( )* 1 11111nn nNaa+  − = −− 1 1 na − 为等差数列 （ii）由（i）得 1 21 n na =+− ( )*+1 2n na n Nn = + ------8 分 （II） 12 11 22nnT a a a n=  = + ( ) ( )( ) 2 2 1 1 1 1 2 3 2 32nT n n n nn  =  = −+ + + ++ 浙江省十校联盟 2020 年 10 月高三联考 数学参考答案 第 3 页 共 4 页 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 213 3 3 3 3 3 3n n n nS T T T an n n + + = + +  +  − = − − = − = −+ + + ------11 分 又 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 5352 2 4 2 222 nT n n n nnn =  = = −   + + − + +++     22 5 2 5nS n  − + ------13 分 2 2 2 2 2 2 1 2(1 ) .55 5 2 5 2 5 2 552 n nn an n nn + − = − =  =+ + ++ ------15 分 21．解： （I）圆O 半径为 c ，故内接正三角形的面积为 23 3 3 34 c= 2c= 22 p=，即 2:8M y x= 又 2 32PF = ， 12 4FF = ，故 1 2PF = 122 4 2a PF PF = + = 22a= 2 2 2 4b a c = − = 椭圆 22 :184 xyC += ------5 分 （II）由已知得直线 AB 的斜率存在，记为 k （i）当 0k = 时， 42AB = ， 8GH = ，故 =16 2AGBHS四边形 ------7 分 （ii）当 0k  时，设 ( ):2AB y k x=−，代入 2228xy+=， 得：( )2 2 2 21 2 8 8 8 0k x k x k+ − + − = ( )( )4 2 2 2 2 22 64 4 1 2 8 8 11 4 21 2 1 2 k k k kAB k kk − + − + = + = ++ ------10 分 此时， ( )1:2GH y xk= − − ，代入 2 8yx= 得： ( )228 4 4 0x k x− + + = ( ) ( )222 2 11 8 4 16 8 1GH k kk = + + − = + ------13 分 ( )22 4 22 11= 16 2 16 2 1 16 22 1 2 1 2AGBH k kS AB GH kk +  =  = + ++四边形 综上，( )min =16 2AGBHS四边形 ------15 分 22．解： （I）m=1 或 m=3----5 分 （II）由题知： 2 1 111 ln xx m x xe−− −  − （*）在( )1, + 上恒成立----7 分 若 0m  ， ln 0x  ln 0mx−  22 11 1 1 1 11 ln 1xxx m x xx e x e−− − − − +  − − + 浙江省十校联盟 2020 年 10 月高三联考 数学参考答案 第 4 页 共 4 页 令 ( ) 2 1 111 , 1xg x x xxe−= − − +  ( ) 21 112 xg x x xe− = + − 1x  1 1 1xe −−  − ( ) 2 12 1 0g x x x   + −  ( )gx 单调递增 ( ) ( )10g x g  = 即当 0m  时， 2 1 111 ln 0xx m x xe−− − − +  在( )1, + 上恒成立----10 分 若 0m  ，易知 1xex−  ，又 1x  ，则 1 110xxe−− 要使得（*）式成立，首先应有 ( ) 2 1 ln 0f x x m x= − −  在( )1, + 上恒成立----11 分 ( ) 2 22 2 mmxx mf x x xx   −+       = − = ( )fx 在 0, 2 m  上单调递减， ,2 m+ 上单调递增 又 ( )10f = 12 m，即 02m 此时， 22 11 1 1 1 11 ln 1 2lnxxx m x x xx e x e−−− − − +  − − − + 记 ( ) 2 1 111 2ln , 1xp x x x xxe−= − − − +  ( ) ( )( ) 21 23 2 2 1 12 1 2 2 12 1 1 2 3 120 xp x x x x e x x xxxx x x x x x − = − + − − + −−+ − + − = =  ( )px 在 ( )1, + 上单调递增 ( ) ( )10p x p  = 恒成立 综上， 2m的最大值为 ----15 分