2020-2021 学年第一学期高三第一次月考试题
数 学（理）
注意事项：
1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将第 I 卷（选择题）答案用 2B 铅笔正确填写在答题卡上；请将第 II 卷（非选择题）答
案黑色中性笔正确填写在答案纸上。
第 I 卷（选择题 60 分）
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。)
1.若集合 ， ，若 ，则 的值为
A. 2 或 B. 或 2 C. 2 D.
2.命题 ： ， ，则 为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
4.已知函数 ， ， ，且 ，若 ，则
实数 ， ， 的大小关系是
A. B. C. D.
5.已知定义在 上的函数 的图象关于 轴对称，且函数 在 上单调递减，则不等式
的解集为
A. B. C. D.
6.函数 ，若函数 只一个零点，则 的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知函数 的最大值为 ，其图象相邻两条对称轴之间的
距离为 ，且 的图象关于点 对称，则下列判断正确的是
A. 要得到函数 的图象只将 的图象向右平移 个单位
2{ | 2, }A x x x x R= = − ∈ { }1,B m= A B⊆ m
2 1− 1−B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 当 时，函数 的最小值为
D. 函数 在 上单调递增
8.已知 ，且 ，则 等于
A. B. C. D.
9.已知函数 ， ， 的部分图像如图所示，
分 别 为 该 图 像 的 最 高 点 和 最 低 点 ， 点 垂 轴 于 ， 的 坐 标 为 ， 若
，则
A. B. C. D.
10.南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公
式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂
减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即
．现有周长为 的 满足
,试用“三斜求积术”求得 的面积为
A. B. C. D.
11.函数 的部分图象大致为
2
π α π< < 3sin 6 5
πα + = cos 6
πα −
4 3 3
10
− − 4 3 3
10
+ 4 3 3
10
− 3 3 4
10
−
( ) sin , , 03f x A x x R A
π ϕ = + ∈ > 0 2
πϕ< < ( )y f x=
,P Q PR x R R ( )1,0
2
3PRQ
π∠ = ( )0f =
1
2
3
2
3
4
2
4
22 2 2
2 21
4 2
c a bS c a
+ − = −
2 2 5+ ABC∆
( ) ( ): : 2 1 : 5 : 2 1sinA sinB sinC = − + ABC∆
3
4
3
2
5
4
5
2A. B. C. D.
12.函数 ，图象恒过定点 A，若点 A 在一次函数 的图象
上，其中 ， 则 的最小值是
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
第 II 卷（非选择题 90 分）
二．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13.若 ， ，则 __________．
14.在 中， ， ， ，线段 在斜边 上运动，且 ，设
，则 的取值范围是__________．
15.已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的取值范围是
_________
16.已知函数 ，则不等式 的解集为________.
三．解答题（共 6 小题，满分 70 分）
17.（10 分）设集合
， .
（Ⅰ）若 且 ，求实数 的值；
（Ⅱ）若 是 的子集，且 ，求实数 的取值范围.
18.（12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．
1 求角 的值；
2 若 的面积为 ，且 ，求 的周长．
19.（12 分）已知 ，函数 ， （ 是自然对数的底数）.
（Ⅰ）讨论函数 极值点的个数；
22cos 4 2 2
π α β − −
( )1 3sin α β= + − , 0, 2
πα β ∈
tan
tan
α
β =
Rt ABC∆
2A
π= 2AB = 2 3AC = EF BC 1EF =
EAF θ∠ = tanθ（Ⅱ）若 ，且命题“ ， ”是假命题，求实数 的取值范围.
20. （ 12 分 ） 已 知 函 数 （ 为 常 数 ， 且 ） 的 图 象 过 点 ，
.
（1）求实数 的值；
（2）若函数 ，试判断函数 的奇偶性，并说明理由.
21.（12 分）已知函数 ， ．
（1）若函数 有三个不同的极值点，求 的值；
（2）若存在实数 ，使对任意的 ，不等式 恒成立，求正整数 的最
大值．
22（12 分）.已知某工厂每天固定成本是 4 万元，每生产一件产品成本增加 100 元，工厂每件
产品的出厂价定为 元时，生产 件产品的销售收入是 （元）， 为
每天生产 件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件 元进货后
又以每件 元销售， ，其中 为最高限价 ， 为销售乐观系数，据
市场调查， 是由当 是 ， 的比例中项时来确定.
（1）每天生产量 为多少时，平均利润 取得最大值？并求 的最大值；
（2）求乐观系数 的值；
（3）若 ，当厂家平均利润最大时，求 与 的值.
( ) x
mf x a
= ,m a 0a > 1a ≠ ( )2,4A
11, 2B −
,m a
( ) ( )
( )
1
1
f xg x f x
−= + ( )g x
( ) ( )3 26 3 xf x x x x t e= − + + t R∈
( )y f x= t
[ ]0,2t ∈ [ ]1,x m∈ ( )f x x≤ m
a x ( ) 21 5004R x x x= − + ( )P x
x a
b ( )b a c aλ= + − c ( )a b c< < λ
λ b a− c b− c a−
x ( )P x ( )P x
λ
600c = a b参考答案
1.C 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.D 9.B 10.A 11.A 12.C
13.2 14. 15. 16.
17.(1) ， ， ,(2) .
解析：（Ⅰ） ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ， .
（Ⅱ）∵ ，∴ ，
∵ 是 的真子集，∴ 且 ，
解得 .
18.（1） ；（2） ．
【解析】( )由正弦定理： ，可得
又因为 ，
所以 ， ，因为 ，所以 ．
2 因为 ，所以 ，
中，由余弦定理， ，
则 ，故 ，
所以 的周长为 ．
19.（1）当 时， 没有极值点，当 时， 有一个极小值点.（2）
解析：（Ⅰ）因为 ，所以 ，
当 时，对 ， ，
所以 在 是减函数，此时函数不存在极值，
所以函数 没有极值点；
当 时， ，令 ，解得 ，
3 4 3,9 11
A B=
0a b+ < a b< −
( )( ){ } { }| 0 | B x x a x b x a x b= − + ≤ = ≤ ≤ −
A B=
2a b+ = { }2B b x b= − ≤ ≤ −
B 1b− ≥ −若 ，则 ，所以 在 上是减函数，
若 ，则 ，所以 在 上是增函数，
当 时， 取得极小值为 ，
函数 有且仅有一个极小值点 ，
所以当 时， 没有极值点，当 时， 有一个极小值点.
（Ⅱ）命题“ ， ”是假命题，则“ ， ”是真命题，
即不等式 在区间 内有解.
若 ，则设 ，
所以 ，设 ，
则 ，且 是增函数，所以
当 时， ，所以 在 上是增函数，
，即 ，所以 在 上是增函数，
所以 ，即 在 上恒成立.
当 时，因为 在 是增函数，
因为 ， ，
所以 在 上存在唯一零点 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
从而 ，即 ，所以 在 上单调递减，
所以当 时， ，即 .
所以不等式 在区间 内有解
综上所述，实数 的取值范围为 .
20.（1） ， ；（2）奇函数.
解析：
（1）把 ， 的坐标代入 ，
1m = 1
2a =
( )2,4A 11, 2B −
( ) x
mf x a
=得 ，解得 ， .
（2） 是奇函数.
理由如下：
由（1）知 ，所以 .
所以函数 的定义域为 .
又 ，
所以函数 为奇函数.
21.（Ⅰ） 的取值范围是 ；（Ⅱ）正整数 的最大值为 5．
解析：（Ⅰ）
∵ 有 3 个极值点，∴ 有 3 个根
令
在 上递增， 上递减．
∴ 有 3 个零点，∴ ，∴
（Ⅱ）不等式 ，即 ，即 ．
转化为存在实数 ，使对任意的 ，
不等式 恒成立．
即不等式 在 上恒成立．
即不等式 在 上恒成立
设 ，则 ．
设 ，则 ，因为 ，有 ．
故 在区间 上是减函数；
2
1
4,
{ 1
2
m
a
m
a−
=
=
1m = 1
2a =
( )g x
( ) 2xf x = ( ) ( )
( )
1 2 1
1 2 1
x
x
f xg x f x
− −= =+ +
( )g x R
( ) 2 1 2 2 2
2 1 2 2 2
x x x x
x x x xg x
− −
− −
− ⋅ −− = =+ ⋅ + ( )2 1
2 1
x
x g x
−= − = −+
( )g x
t ( )8,24− m
( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 23 12 3 6 3 3 9 3x x xf x x x e x x x t e x x x t e= − + + − + + = − − + +′
( )f x 3 23 9 3 0x x x t− − + + =
( ) ( ) ( )( )3 2 23 9 3, 3 6 9 3 1 3g x x x x t g x x x x x= − − + + = − − = + −′
( )g x ( ) ( ), 1 , 3,−∞ − +∞ ( )1,3−
( )g x
( )
( )
1 0{ 3 0
g
g
− >
< 8 24t− < <
( )f x x≤ ( )3 26 3 xx x x t e x− + + ≤ 3 26 3xt xe x x x−≤ − + −
[ ]0,2t ∈ [ ]1,x m∈
3 26 3xt xe x x x−≤ − + −
3 20 6 3xxe x x x−≤ − + − [ ]1,x m∈
20 6 3xe x x−≤ − + − [ ]1,x m∈
( ) 2 6 3xx e x xϕ −= − + − ( ) 2 6xx e xϕ − −′ = − +
( ) ( ) 2 6xr x x e xϕ −= = − − +′ 1 x m≤ ≤ ( ) 0r x′ <
( )r x [ ]1,m又
故存在 ，使得 ．
当 时，有 ，当 时，有 ．
从而 在区间 上递增，在区间 上递减
又 ，
．
所以当 时，恒有 ；当 时，恒有 ；
故使命题成立的正整数 的最大值为 5.
22.（1）400,200；（2） ；（3） ， .
解析：（1）依题意总利润＝ ，
＝ ，
,
此时 , ,
即，每天生产量为 400 件时，平均利润最大，最大值为 200 元 .
（2）由 得 ， 是 的比例中项，
，
两边除以 得 ，
解得 .
（3）厂家平均利润最大， 元，
每件产品的毛利为 ， ，
( ) ( ) ( )1 2 31 4 0, 2 2 0, 3 0r e r e r e− − −= − > = − > = − <
( )0 2,3x ∈ ( ) ( )0 0 0r x xϕ′= =
01 x x≤ ≤ ( ) 0xϕ′ > 0x x> ( ) 0xϕ′ <
( )y xϕ= [ ]01, x [ )0 ,x +∞
( ) ( ) ( )1 2 31 4 0, 2 5 0, 3 6 0e e eϕ ϕ ϕ− − −= + > = + > = + <
( ) ( ) ( )4 5 64 5 0, 5 2 0, 6 3 0e e eϕ ϕ ϕ− − −= + > = + > = − <
1 5x≤ ≤ ( ) 0xϕ > 6x ≥ ( ) 0xϕ <
m
5 1
2
−
400 ( )100 5 3+
21 500 100 400004 x x x− + − −
21 400 400004 x x− + −
( )
21 400 40000 1 400004 4004
x x
P x xx x
− + −
∴ = = − − +
200 400 200.≥ − + = 1 40000
4 x x
= 400x =
( )b a c aλ= + − b a
c a
λ −= − b a− ,c b c a− −
( ) ( )( )2b a c b c a∴ − = − −
( )2b a− ( ) ( )
1 1c a b a c a c a c a
b a b a b a b a
− − − − − − = = − − − − −
1 11 1λ λ
∴ = − ⋅
5 1
2
λ −=
( )40000 40000100 100 200 400400a P xx
∴ = + + = + + =
b a− ( ) ( )100 5 1b a c aλ∴ − = − = −元， （元）， 元.( )100 5 3b∴ = + 400a∴ = ( )100 5 3b = +
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