福建省福州市2021届高三10月调研A卷数学试题（word版含答案）

数学（A 卷）试题（第 1 页，共 19 页） 福州市 2021 届高三 10 月调研 A 卷 数学 命题组： （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 注意事项 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写 在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 A． B． C． D． 2. 已知复数 ， 为 z 的共轭复数，则 ＝ A． B． C． D． 3. 设 x∈R，则“1< x < 2”是“| x－2 | > 1 1 a b < 2log ( ) 0a b− > 1 1 2 2a b> 3 3a b> m n α β m α⊥ n β⊥ m n⊥ α β⊥ //m α βn// //m n //α β m α⊥ βn// m n⊥ α β⊥ m α⊥ βn// //m n //α β X 2(105, )N σ 3BN NC=  AN BC⋅  0 1 2 1 2 R ( )f x ( ),0−∞ ( )2 0f = ( )1 0xf x − ≥ [ ] [ )1,1 3,− +∞ [ ] [ ]3, 1 0,1− −  [ ] [ )1,0 1,− +∞ [ ] [ ]1,0 1,3− 数学（A 卷）试题（第 3 页，共 19 页） 9. 已知双曲线 ，则下列说法正确的是 A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的焦点到渐近线的距离为 10. 已知曲线 : ， : ，则下面结论正确的是 A．把曲线 向左平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到曲线 B．把曲线 向左平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到曲线 C．把曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向 左平移 个单位长度，得到曲线 D．把曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向 左平移 个单位长度，得到曲线 11. 一盒中有 8 个乒乓球，其中 6 个未使用过，2 个已使用过．现从盒子中任取 3 个球来用， 用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为 X，则下列结论正确的是 A．X 的所有可能取值是 3,4,5 B．X 最有可能的取值是 5 C．X 等于 3 的概率为 D．X 的数学期望是 12. 已知函数 ，下列关于该函数结论正确的是 A． 的一个周期是 B． 的图象关于直线 对称 2 2 12 6 − =x y 2e = 3 0x y± = 2 2 3 1C cosy x= 2C 2sin 2 3y x π = +   1C 6 π 1 2 2C 1C 3 π 2C 1C 1 2 6 π 2C 1C 1 2 12 π 2C 3 28 17 4 ( ) ( ) ( )sin sin cos cosf x x x= + ( )f x 2π ( )f x 2x π=数学（A 卷）试题（第 4 页，共 19 页） C． 的最大值为 2 D． 是 上的增函数 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 数列 中， ， ，则 的前 21 项和 =_________． 14. 抛物线 的准线截圆 所得弦长为 2，则抛物线的焦 点坐标为_________． 15. 已知 ，且 ，则 =_________． 16. 在三棱锥 中， ， ，若该三棱锥的体积为 ，则其外接球表 面积的最小值为_________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10 分） 在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在 下面的问题中，并解答． 问题：设 是数列 的前 n 项和，且 ，______________，求 的通项公式， 并判断 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18. （12 分） △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 ． （1）记 BC 边上的高为 h，求 ； ( )f x ( )f x 0, 2 π     { }na 1 1=a 1 3n na a+ = + { }na 21S 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 2 1 0x y y+ − − = π π( , )2 2 α ∈ − 2cos2 15sin 2 0α α+ + = tanα P ABC− 2AB = AC BC⊥ 2 3 1 1 2 n n a a + = − 1 1 6n na a+ − = − 1 8n na a n+ = + − nS { }na 1 4a = { }na nS (sin cos ) (cos sin )b C C c B B− = − a h数学（A 卷）试题（第 5 页，共 19 页） （2）若 ， ，求 ． 19. （12 分） 某沙漠地区经过治理，生态系统得到改善．为调查该地区植物覆盖面积(单位：公顷) 和某种野生动物的数量的关系，将该地区分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中 用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据 （i=1，2，…， 20），其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积和这种野生动物的数量，并计算 得 ， ， ， ， ． （1）求样本 （i=1，2，…，20）的相关系数（精确到 0.01），并用相关系数说明 各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积的相关性． （2）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获 得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并 说明理由． 附：相关系数 ． 20. （12 分） 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AC=AA1=1，M，N 分别为 A1C1，AB1 的中点． （1）求证：MN//平面 B1BCC1； （2）若 P 是 B1B 的中点，AP⊥MN，求二面角 A1-PN-M 的余 弦值． 21. （12 分） 设函数 ． 5=b 1=c a ( ),i ix y 20 1 60 i ix = =∑ 20 1 1200 i iy = =∑ ( )20 2 1 80i i x x = − =∑ ( )20 2 1 9000i i y y = − =∑ ( )( )20 1 800i i i x yx y = − − =∑ ( ),i ix y ( )( ) ( ) ( ) 20 1 20 202 2 1 1 i i i i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 2lnf x x a x= + +数学（A 卷）试题（第 6 页，共 19 页） （1）若当 时， 取得极值，求 的值，并讨论 的单调性； （2）若 存在极值，求 的取值范围，并证明所有极值之和大于 ． 22. （12 分） 已知椭圆 E： 的离心率为 ，直线 l：y=2x 与椭圆交于两点 A，B，且 ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设 C，D 为椭圆 E 上异于 A，B 的两个不同的点，直线 AC 与直线 BD 相交于点 M，直线 AD 与直线 BC 相交于点 N，求证：直线 MN 的斜率为定值． 1x = − ( )f x a ( )f x ( )f x a eln 2 ( )2 2 2 2 1 0+ = > >y x a ba b 2 2 2 5AB =数学（A 卷）试题（第 7 页，共 19 页） 福州市 2021 届高三 10 月调研 A 卷 数学参考答案 命题组： 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．D，2．B，3．A，4．B，5．A，6．C，7．C，8．D． 8．解析：因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ， 所以 在 上也是单调递减，且 ， ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以由 ，可得 或 或 ， 解得 或 ， 所以满足 的 的取值范围是 ，故选 D． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 9．AB，10．AD，11．ACD，12．ABD． 11．解析：记未使用过的乒乓球为 A，已使用过的为 B，任取 3 个球的所有可能是：1A2B， 2A1B，3A；A 使用后成为 B，故 X 的所有可能取值是 3,4,5； R ( )f x ( ),0−∞ ( )2 0f = ( )f x ( )0,+∞ ( )2 0f − = ( )0 0f = ( ) ( ), 2 0,2x∈ −∞ −  ( ) 0f x > ( ) ( )2,0 2,x∈ − +∞ ( ) 0f x < ( )1 0xf x − ≥ 0, 2 1 0 1 2 x x x   ≤ − ≤ − ≤ − 或 0x = 1 0x−   1 3x  ( )1 0xf x − ≥ x [ ] [ ]1,0 1,3−  1 2 6 2 3 8 6 3( 3) ,56 28 C CP X C = = = =数学（A 卷）试题（第 8 页，共 19 页） ， ， 又 X 最有可能的取值是 4， . 综上，选 ACD. 12．解析： ，故 A 正确， ，故 B 正确， 由于 ，所以 ， ， 故 ，C 错误， 当 时， 且单调递增，故 是区间 上的增函数，同理 可判断， 是区间 上的增函数，故 是区间 上的增函数，D 正 确． 综上，选 ABD． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．651，14．(1,0)，15． ，16． ． 14．解析：抛物线 的准线为 ， 2 1 6 2 3 8 30( 4) 56 = = =C CP X C 3 0 6 2 3 8 20( 5) 56 = = =C CP X C 3 30 20 17( ) 3 4 528 56 56 4E X = × + × + × = ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 sin sin 2 cos cos 2 sin sin cos cosf x x x x x f x+ π = + π + + π = + = ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cosf x x x x x x x f xπ − = π − + π − = + − = + = [ ] [ ]sin 1,1 ,cos 1,1∈ − ∈ −x x ( )sin sin 1x < ( )cos cos 1x  ( ) ( ) ( )sin sin cos cos 2f x x x= + < 0, 2x π ∈   ( )sin 0,1∈x ( )sin siny x= 0, 2 π     ( )cos cosy x= 0, 2 π     ( )f x 0, 2 π     15 15 − 25π 4 2 2 ( 0)y px p= > 2 px = −数学（A 卷）试题（第 9 页，共 19 页） 把圆化成标准方程为 ，得圆心 ，半径 ， 圆心到准线的距离为 ，所以 ，即 ， 所以焦点坐标为 . 15．解析：由 ，得 ， 即 ，所以 ， 因为 ，解得 ， 又 ，所以 ， 所以 ． 16．解析： ， ，故底面三角形外接圆半径为 ， ，当 时等号成立， 由 ，所以 ， 当 离平面 最远时，外接球表面积最小，此时， 在平面 的投影为 中点 ， 设球心为 ，则 在 上，故 ，化简得到 ， 注意到函数 在 上单调递增，故 ， 2 2( 1) 2x y+ − = (0,1)M 2r = 2 p 2 2 22( ) ( ) ( 2)2 2 p + = 2p = (1,0) 2cos2 15sin 2 0α α+ + = 22(1 2sin ) 15sin 2 0α α− + + = 24sin 15sin 4 0α α− − = (4sin 1)(sin 4) 0α α+ − = sin 4 0α − ≠ 1sin 4 α = − π π( , )2 2 α ∈ − 2 15cos 1 sin 4 α α= − = sin 15tan cos 15 αα α= = − 2=AB AC BC⊥ 1r = ( )2 21 1 12 4∆ = ⋅ ≤ + =ABCS CA CB CA CB 2= =CA CB 1 2 3 3ABCV S h= ⋅ =△ 2h ≥ P ABC P ABC AB 1O O O 1PO ( )22 21R h R= − + 1 2 2 hR h = + 1 2 2 xy x = + [ )2,+∞ min 5 4R =数学（A 卷）试题（第 10 页，共 19 页） 所以 . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．本题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识．考查运 算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算等，体现基础 性，综合性．满分 10 分 解析：选① 因为 ， ，所以 是首项为 4，公比为 的等比数列． 所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 当 为奇数时， ， 因为 随着 的增大而减小，所以此时 的最大值为 ； 当 为偶数时， ，且 ， 2 min min 254π π4S R= = 1 1 2 n n a a + = − 1 4a = { }na 1 2 − 1 31 14 2 2 n n na − −   = × − = −       n 14 1 2 8 111 3 21 2 n n nS   − −       = = +  + 8 113 2n  +   n nS 1 4S = n 14 1 2 8 111 3 21 2 n n nS   − −       = = −  + 8 1 81 43 2 3n nS  = − < nS sin (sin cos ) sin (cos sin )B C C C B B− = − 2sin sin sin cos sin cos sin( )B C B C C B B C= + = + πB C A+ = − sin( ) sinB C A+ = 2sin sin sinB C A= 2 sinb C a= sinh b C= 2h a= 2a h = 1 2 =h a 21 4 =S a 21 1sin2 4 =bc A a 22 5 sin =A a 2 2 2 2 cos 6 2 5 cos= + − = −a b c bc A A 22 5 cos 6= −A a 4 2 2(6 ) 20+ − =a a 2=a 2=a数学（A 卷）试题（第 13 页，共 19 页） 19．本小题主要考查相关系数、随机抽样等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、 应用意识，考查统计与概率思想，涉及的核心素养有数学抽象、逻辑推理、数学建模、数 学运算、数据分析等，体现综合性、应用性．满分 12 分． 解析：（1）样本 （i=1，2，…，20）的相关系数为 ， 由于 0.94 接近 1，说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 （2）更合理的抽样方法是分层抽样．理由如下： 由（1）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间 植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异也很大，采用分层抽样的 方法能较好地保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，从而可以获得该地 区这种野生动物数量更准确的估计．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查 空间想象能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；涉及的核心素养 有直观想象、逻辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性．满分 12 分． 解析：（1）证法一： 连接 A1B，因为四边形 A1B1BA 是平行四边形，所以 A1B 与 AB1 交于点 N， 连接 BC1，在△A1BC1 中，N 是 A1B 中点，M 是 A1C1 中点， 所以 MN//BC1， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 ( ),i ix y ( )( ) ( ) ( ) 20 1 20 202 2 1 1 800 2 2 0.94380 9000 i i i i i i i x x y y r x x y y = = = − − = = = ≈ ×− − ∑ ∑ ∑ MN ⊄ 1 1B BCC 1BC ⊂ 1 1B BCC MN  1 1B BCC数学（A 卷）试题（第 14 页，共 19 页） 证法二： 取 的中点 ，连接 ， 则有 ，且 ， ，且 ， 又 ， ，所以 ，且 ， 所以 为平行四边形，所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （2）在平面 内过点 作射线 垂直于 ，易知 ， ， 两两垂直，如图，以 A 为原点，分别以 AB，l，AA1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， 设 ， 则 ， 因为 ，所以 ， 解得 ，又因为 ， 1 1B C Q , ,MQ NP PQ 1 1MQ A B 1 1 1 2MQ A B= PN AB 1 2PN AB= 1 1AB A B 1 1AB A B= PN MQ PN MQ= PNMQ MN PQ MN ⊄ 1 1B BCC PQ ⊂ 1 1B BCC MN  1 1B BCC ABC A l AB AB l 1AA A xyz− 11,0, 2P     1 1,0,2 2N      ( )1 0,0,1A ( )0 0, ,1M x y 0 0 1 1,2 , 2M x yN  − − −=    ( )0 01 , ,0M yA x= AP MN⊥ 0 1 1) 02 4(AP M xN − − =⋅ =  0 1 4x = 1 1 1 1 1| | | |2 2A M AC= = 数学（A 卷）试题（第 15 页，共 19 页） 所以 ，解得 （舍去负值）， 所以 ． 设 为平面 的一个法向量， 因为 ， 所以 取 ，则 ， 又 为平面 的一个法向量， 所以 ， 所以二面角 的余弦值为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 21．本小题主要考查函数的单调性、导数、导数的几何意义及其应用、不等式等基础知识， 考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查分类与整合思想、数形结合思想， 涉及的核心素养有数学抽象、数学运算、逻辑推理等，体现综合性、应用性与创新性．满 分 12 分． 解析：（1） ，依题意有 ，故 ． 经检验 ． 2 2 0 0 1 4x y+ = 0 3 4y = 1 3, ,14 4M       1 ( , , )x y z=n PMN 1 3 1 1, , , ,0,04 4 2 2MN PN    = − − = −          1 3 1 0,4 4 2 1 0,2 x y z x  − − = − = 1y = 1 30,1, 2  = −    n 2 (0,1,0)=n 1A PN 1 2 2 2 1 1 1 2 7cos , 77 4 ⋅〈 〉 = = =⋅ n nn n n n 1A PN M− − 2 7 7 ( ) 1 2f x xx a ′ = ++ ( )1 0f ′ − = 3 2a = 3 2a =数学（A 卷）试题（第 16 页，共 19 页） ， 的定义域为 ， 当 时， ；当 时， ；当 时， ． 所以 在区间 单调递增，在区间 单调递减． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2） 的定义域为 ， ． 方程 的判别式 ． 若 ，即 ，在 的定义域内 ，故 无极值． 若 ，则 或 ． 当 ， ， ，当 时， ，当 时， ，所以 无极值． 当 ， ， ， 也无极值． 若 ，即 或 ， 则 有两个不同的实根 ， ． 当 时， ，从而 有 的定义域内没有零点，故 无极 值． 当 时， ， ， 在 的定义域内有两个不同的零点， ( ) ( )( )2 2 1 12 3 1 3 3 2 2 x xx xf x x x + ++ +′ = = + + ( )f x 3 2  − +  ，∞ 3 12 x− < < − ( ) 0f x′ > 11 2x− < < − ( ) 0f x′ < 1 2x > − ( ) 0f x′ > ( )f x 3 112 2    − − − +      ， ， ， ∞ 11 2  − −  ， ( )f x ( )a− +， ∞ ( ) 22 2 1x axf x x a + +′ = + 22 2 1 0x ax+ + = 24 8a∆ = − 0∆ < 2 2a− < < ( )f x ( ) 0f x′ > ( )f x 0∆ = 2a = 2a = − 2a = ( )2x∈ − +， ∞ ( ) ( )2 2 1 2 x f x x − ′ = + 2 2x = − ( ) 0f x′ = 2 22 2 2x    ∈ − − − +         ， ， ∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 2a = − ( )2x∈ +， ∞ ( ) ( )2 2 1 0 2 x f x x + ′ = > − ( )f x 0∆ > 2a > 2a < − 22 2 1 0x ax+ + = 2 1 2 2 a ax − − −= 2 2 2 2 a ax − + −= 2a < − 1 2x a x a< − < −， ( )f x′ ( )f x ( )f x 2a > 1x a> − 2x a> − ( )f x′ ( )f x数学（A 卷）试题（第 17 页，共 19 页） 可知 在 取得极值． 综上， 存在极值时， 的取值范围为 ． 由 可得 ，则 ， ， 所以 的极值之和为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 22．本小题主要考查直线与椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论 证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想，涉及的 核心素养有数学运算，逻辑推理等，体现基础性，综合性．满分 12 分． 解析：（1）由题意可得 ，即 ， 所以椭圆 的方程为 ， 与直线 联立，可得 ，则 ， 又 ，所以 ，解得 ，于是 ， 因此椭圆 的方程为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 ( )f x 1 2x x x x= =， ( )f x a ( )2 +， ∞ 22 2 1 0x ax+ + = 1 2 1 2 1, 2x x a x x+ = − = ( )22 2 2 1 2 1 2 1 22 1x x x x x x a+ = + − = − ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1ln ln ln ln ln 2x a x a x a x a x x a x x a + + + = + + = + + + =  ( )f x ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 eln ln ln 1 1 ln 2 ln2 2f x f x x a x x a x a+ = + + + + + = + − > − = 2 2 2 12 be a = = − 2 22a b= E 2 2 2 2 12 y x b b + = : 2l y x= 2 2 3 bx = 2 2 4 3 by = 2 5AB = 2 24 53 3 b b+ = 2 3b = 2 6a = E 2 2 16 3 y x+ =数学（A 卷）试题（第 18 页，共 19 页） （2）根据题意，不妨设点 在第一象限，由（1）可得 ， ， 若直线 的斜率不存在，则 ，设 ， 于是可得点 ， 的坐标分别为 ， ， 因此直线 的斜率为 ， 若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 点 的坐标为 ，则有 ， 设直线 的方程为 ，则有 ， 因为 ，所以 ， 即直线 的方程为 ， 同理，设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ， A ( )1,2A ( )1, 2B − − AC ( )1, 2C − ( )0 0,D x y M N 0 0 0 2 2 21, 1 y x x  − +  +  0 0 0 4 2 , 22 y x y  − + − −  MN ( ) ( ) 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 21 4 6 2 4 14 2 2 1 2 11 2 y x x y x y x x x y − + ++ − − −= = = −− + − −− − AC AC ( )12 1y k x− = − C ( ),C Cx y 1 2 1 C C yk x −= − BC ( )2 1y k x+ = + 2 1 C C yk x += + 2 2 1 2 2 6 1 434 21 1  − − −  ⋅ = = = −− − C C C C x yk k x x 1 2k k = − BC ( ) 1 22 1y xk −+ = + AD ( )22 1y k x− = − BD ( ) 2 22 1y xk −+ = +数学（A 卷）试题（第 19 页，共 19 页） 由 及 ，解得 ； 由 及 ，解得 ， 于是直线 的斜率为 ， 综上所述，直线 的斜率为定值 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 ( )12 1y k x− = − ( ) 2 22 1y xk −+ = + 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 4 2 2 4 4,2 2 k k k k k kM k k k k  − − − − +  + +  ( )22 1y k x− = − ( ) 1 22 1y xk −+ = + 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 4 2 2 4 4,2 2 k k k k k kN k k k k  − − − − +  + +  MN 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 4 4 2 4 4 2 2 14 2 4 2 2 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k − − + − − +−+ + −= = −− − − − −−+ + MN 1−