数学（B 卷）试题（第 1 页，共 15 页）
福州市 2021 届高三 10 月调研 B 卷
数学
（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）
注意事项
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知复数 满足 ，则 的虚部为
A．1 B． C． D．
2. 已知集合 ，集合 ，则
A． B． C． D．
3. 命题“ ， ”的否定是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
z ( )1 2i 2 i z− = + z
i i− 1−
{ }2log 1A x x= < { }| 1B x x= − ≤ ≤1 A B =
[ 1,1]− [ 1,2)− ( ]0,1 ( )2∞- ,
( )0,x∀ ∈ +∞ 1sin x x x
+≥
( )0,x∀ ∈ +∞ 1sin x x x
< + ( )0,x∃ ∈ +∞ 1sin x x x
+≥
( )0,x∃ ∈ +∞ 1sin x x x
< + ( ],0x∃ ∈ −∞ 1sin x x x
< +数学（B 卷）试题（第 2 页，共 15 页）
4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立
了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： ，
其中 K 为最大确诊病例数．当 I( )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为
（参考数据 ln19≈3）
A．60 B．62 C．66 D．63
5. 已知数列 满足 ，若 ，则 =
A． B． C． D．
6. 将函数 （ ）的图象上所有的点向右平移 个单位长
度得到正弦曲线，则 的值为
A． B. C. D.
7. 已知 是边长为 2 的等边三角形，且 ， ，则
A． B． C． D．
8. 已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ．记 ，
， ，则 的大小关系是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
( ) 0.23( 50)1 e t
KI t − −= +
*t *t
{ }na *
1
1 1( 2 )n
n
a n na −
= + ∈N≥ ， 4
5
3a = 1a
1 3
2
2 8
5
( ) ( )sinf x xω ϕ= + 0,0 πω ϕ> < < π
3
π
3f
1
2
3
2
1
2
− 3
2
−
ABC△ AE EB= 2AD DC= BD CE⋅ =
3− 2− 1− 3
( )f x R 0x≥ ( ) e 1xf x = − + 2 ( 2)a f= − −
(1)b f= 3 (3)c f= , ,a b c
b a c< < a c b< < c b a< < c a b< 0 1a< < 2a a<
0a b> > 1
1
b b
a a
+ >+ c b a< < 0ac < 2 2bc ac+= ωϕωxxf )(xf π[ ,0]2
−
π( ) (0) (π)2f f f− − = = ω
3
2 2 3
1 1
,a b 60 2, 1= =a b +a b
x 2 3 10 110x x x x+ + + + =
2 3 10x x x x+ + + + =
π 1sin( )
3 3
α− = πcos( 2 )
3
α+ =
R ( )f x ( ) ( )11
2
f x f x+ = [ )0,1x∈ ( ) 1 2 1f x x= − −
[ ),m +∞ ( ) 1
16
f x ≤ m
{ }na 0d ≠ 3 7a = 1a 2a 6a { }nb
1n n nb b a++ =
{ }na
{ }nb 20 20S数学（B 卷）试题（第 5 页，共 15 页）
18. （12 分）
设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求角 C；
（2）若△ABC 的面积为 ，且 ，求 c．
19. （12 分）
已知函数 在 处取得极小值．
（1）求实数 的值，并求函数 的单调区间；
（2）求曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积．
20. （12 分）
△ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 ，
．
（1）求 BC 边上的高 的长；
（2）求 的最大值．
21. （12 分）
在① ；② ；
2 cos cos cosc C a B b A= +
3 3
2
5a b+ =
( ) 3 2f x x ax x= + − 1x =
a ( )f x
( )y f x= ( )( )1, 1f− −
1a =
(sin cos ) cosc B B b C− =
AD
tan A
1( 1) ( 1)( 4 1)n nn a n a n+ + = + + + 1 12( 1 1)n n n na a a a+ +− = + + +数学（B 卷）试题（第 6 页，共 15 页）
③ （ ）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
问题：已知数列 中， ，__________．
（1）求 ；
（2）若数列 的前 项和为 ，证明： ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22. （12 分）
已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在 上是减函数，在
上是增函数．
（1）研究函数 （常数 ）在定义域内的单调性，并说明理由；
（2）对函数 和 （常数 ）作出推广，使它们都是你所推广的
函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数
（ 是正整数）在区间 上的最大值和最小值（可利
用你的研究结论）．
1 8 4n na a n−− = − 2n ≥
{ }na 1 3a =
na
1
na
n nT 1 1
3 2nT (0, a
),a +∞
( ) 2
2
cg x x x
= + 0c >
ay x x
= + 2
2
ay x x
= + 0a >
( ) 2
2
1 1n n
F x x xx x
= + + + n 1 ,22
数学（B 卷）试题（第 7 页，共 15 页）
福州市 2021 届高三 10 月调研Ｂ卷
数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．A，2．C，3．C，4．D，5．A，6．B，7．B，8．D．
8. 【解析】因为 是定义域为 的奇函数，所以 .
构造函数 ，则 ，所以 为 上的偶函数．
当 时， ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 在 上单调递
减，
又 为偶函数， ， ， ，所以 ，
故选 D．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．
9．ACD，10．BCD，11．BCD，12．AB．
11. 【解析】由题意，函数 满足 ，解得 且 ，
所以函数 的定义域为 ，所以 A 不正确；
由 ，当 时， ，所以 ，
所以 在 上的图象都在轴的下方，所以 B 正确；
( )f x R ( ) ( )f x f x− = −
( ) ( )g x xf x= ( ) ( ) ( ) ( )g x x f x xf x− = − − = ( )g x R
0x≥ '( ) ( ) ( ) e 1 ( e ) 1 ( +1)ex x xg x f x xf x x x′= + = − + + − = −
0x≥ 1 1, 1xx e+ ≥ ≥ ( 1) 1xx e+ ≥ '( ) 0g x < ( )g x (0, )+∞
( )g x 2 ( 2) ( 2) (2)a f g g= − − = − = (1) (1)b f g= = (3)c g= c a b< <
e( ) ln
x
f x x
= 0
ln 0
x
x
>
≠ 0x > 1x ≠
e( ) ln
x
f x x
= (0,1) (1, )+∞
e( ) ln
x
f x x
= (0,1)x∈ ln 0x < ( ) 0f x <
( )f x (0,1)数学（B 卷）试题（第 8 页，共 15 页）
因为 ，所以 在定义域上有解，
所以函数 存在单调递增区间，所以 C 是正确的；
由 ，则 ，所以 ，函数 单调增，则
函数 只有一个根 ，使得 ，当 时， ，函数单调
递减，当 时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以 D 正确．故选
BCD．
12.【解析】因为 在 上单调，所以 ，即 ，所以 ．
若 T＝π，则 ω＝2，符合题意；
若 T > π，因为 所以直线 x＝π
2
是 f(x)的图象的一条对称轴，
因为 所以 f(x)图象的一个对称中心是 ，所以 ，
所以 T＝3π，ω＝2
3.故选 AB.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13． ，14． ，15． ，16． ．
16. 【 解 析 】 根 据 题 设 可 知 ， 当 时 ， ， 故
，
同理可得：在区间 上， ，
( ) ( )2
1e ln
ln
x x xf x
x
− ′ = ( ) 0f x′ >
( )f x
( ) 1lng x x x
= − ( ) 2
1 1 .( 0)g x xx x
′ = + > ( ) 0g x′ > ( )g x
( ) 0f x′ = 0x 0( ) 0f x′ = 0(0, )x x∈ ( ) 0f x′ <
0( , )x x∈ +∞
( )f x π[ ,0]2
− π
2 2
T ≥ πT ≥ 0 2ω< ≤
(0) (π)f f=
π( ) (0)2f f− − = π ,04
−
π π 3π
4 2 4 4
T = − − =
3 2046 7
9
− 15
4
[ )1,2x∈ [ )1 0,1x − ∈
( ) ( ) ( )1 11 1 2 32 2f x f x x= − = − −
[ )( ), 1n n n Z+ ∈ ( ) ( )1 11 2 2 12 2n nf x x n = − − + ≤ 数学（B 卷）试题（第 9 页，共 15 页）
所以当 时， .
作函数 的图象，如图所示.
在 上，由 ，得 ，
由图象可知当 时， ，所以 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识．考查运
算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算等，体现基础
性．满分 10 分．
解析：（1）依题意，得
因为 ，解得
所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）由（1），得 ，
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 10 分
18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查
4n ≥ ( ) 1
16f x ≤
( )y f x=
7 ,42
( ) 1 11 2 78 16f x x= − − = 15
4x =
15
4x ≥ ( ) 1
16f x ≤ m 15
4
1
2
1 1 1
2 7,
( ) ( 5 ),
a d
a d a a d
+ =
+ = +
0d ≠ 1 1,
3,
a
d
=
=
3 2na n= −
1 3 2n nb b n++ = −
20 1 2 3 4 19 20( ) ( ) ( )S b b b b b b= + + + + + +
(3 1 2) (3 3 2) (3 19 2)= × − + × − + + × −
110 1 10 9 62
= × + × × × 280=数学（B 卷）试题（第 10 页，共 15 页）
函数与方程思想，化归与转化思想，涉及的核心素养有逻辑推理、数学运算等，体现基础
性．满分 12 分．
解析：（1）由正弦定理及已知，得 2sinCcosC=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC．
因为 sinC≠0，所以 cosC= ，
因为 C∈（0，π），所以 C= ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）由（1） ,所以 ab=6，
又 a + b = 5，所以 ，
由余弦定理知，c2 = a2 + b2 - 2abcosC = 13 - 2×6× =7，
所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
19．本小题主要考查函数的单调性、极值和最值、导数等基础知识；考查推理论证能力，
运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；涉及的核心素养有直观想象、逻
辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性．满分 12 分．
解析：（1） ，因为函数 在 取得极小值，
由 可得 ，解得 ．
经检验， 是函数 的极小值点，所以 ．
当 时， ，
由 ，解得 或 ，由 ，解得 ．
所以 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 ．∙∙∙∙∙∙6 分
（2）由（1）知 ，所以 ，
由 ，在点 处的切线的斜率 ，
所以切线的方程为 ，即 ．
1
2
π
3
1 π 3 3sin2 3 2ab =
2 2 2( ) 2 13a b a b ab+ = + − =
1
2
7c =
2( ) 3 2 1f x x ax′ = + − ( )f x 1x =
(1) 0f ′ = 3 2 1 0a+ − = 1a = −
1x = ( )f x 1a = −
1a = − 2( ) 3 2 1 (3 1)( 1)f x x x x x′ = − − = + −
( ) 0f x′ > 1
3x < − 1x > ( ) 0f x′ < 1 13 x− < <
( )f x 1( , )3
−∞ − (1, )+∞ 1( ,1)3
−
3 2( )f x x x x= − − ( 1) 1f − = −
2( ) 3 2 1f x x x′ = − − ( 1, 1)− − ( 1) 4k f ′= − =
( 1) 4[ ( 1)]y x− − = − − 4 3 0x y− + =数学（B 卷）试题（第 11 页，共 15 页）
令 ，可得 ，令 可得 ，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
20．本小题主要考查正弦定理、解三角形、正切函数、三角恒等变换等基础知识，考查推
理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想，涉
及的核心素养有直观想象、数学运算，逻辑推理等，体现基础性，综合性．满分 12 分．
解析：（1）由已知及正弦定理，得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ．
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）设 ， ，则 ．
①当 ，或 时， ．
②当 时， ， ，
此时 ，
因为 ，所以 ，
0x = 3y = 0y = 3
4x = −
1 3 932 4 8S = × × =
sin sin sin cos sin cosB C C B B C− =
sin sin sin cos sin cos sin( )B C C B B C B C= + = +
πB C A+ = − sin( ) sinB C A+ = sin sin sinB C A=
sinb C a=
1a = sin 1AD b C= =
=BD x =CD y 1+ =x y
0=x 0=y tan 1=A
0≠xy 1tan =B x
1tan =C y
1 1
tan tan 1tan tan( ) 11 tan tan 1 11
++ += − + = − = = =− − −−
B C x yx yA B C B C xy xy
xy
2+ ≥x y xy 1
4
≤xy数学（B 卷）试题（第 12 页，共 15 页）
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以当 时， 取得最大值 ．
综述， 的最大值为 ．………………………………………………………12 分
21．本题主要考查等差数列和等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识．考查运
算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算等，体现基础
性，综合性． 满分 12 分．
解析：（1）选①．
由 ，得 ，
即 ，又 ，
所以 是首项为 4，公差为 4 的等差数列，
所以 ，所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）由（1），得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
所以
1 1 4
11 31 4
≤ =− −xy
=x y
1
2
= =x y tan A 4
3
tan A 4
3
1( 1) ( 1)( 4 1)+ + = + + +n nn a n a n 1 1 4 1
1
+ + + +=+
n na a n
n n
1 1 1 41
+ + +− =+
n na a
n n
1 1 41
+ =a
1+
na
n
1 4
+ =na nn
24 1= −na n
1 1 1 1( )2 2 1 2 1
= −− +na n n
1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 1 3 3 5 2 1 2 1
= − + − + + − − + nT n n数学（B 卷）试题（第 13 页，共 15 页）
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
因为 ，所以 ，
又因为 随着 的增长而增大，所以 ．
综上 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
若选②．
由 ，得 ，
即 ，又 ，
所以 是首项为 2，公差为 2 的等差数列，
所以 ，所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
下同．
若选③．
由 （ ）可得：
当 时，
1 1(1 )2 2 1
= − +n
1 1 .2 4 2
= − +n
1 04 2
>+n
1
2
n
n
ay x x
= + ( 20, n a )2 ,n a +∞数学（B 卷）试题（第 15 页，共 15 页）
上是增函数, 在 上是减函数；
当 n 是偶数时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数，在
上是减函数, 在 上是增函数.
因为
，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数.所以，当 或 时， 取得
最大值 ；当 时 )取得最小值 .
( 2, n a−∞ − )2 ,0n a−
n
n
ay x x
= + ( 20, n a )2 ,n a +∞
( 2, n a−∞ − )2 ,0n a−
( ) 2
2
1 1n n
F x x xx x
= + + +
0 2 1 2 3 2 3
2 2 3 2 3 2
1 1 1 1C C C Cn n r n r n n
n n n nn n n rx x x xx x x x
− −
− −
= + + + + ⋅⋅⋅ + + + ⋅⋅⋅ + +
( )F x 1 ,12
[ ]1,2 1
2x = 2x = ( )F x
9 9
2 4
n n + 1x = ( )F x 12n−
微信/支付宝扫码支付