江苏省南通市四星级学校四校第一次联考2020-2021学年度上学期高三数学 含答案

江苏省南通市四星级学校四校第一次联考 数学试卷 一．单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上） 1.集合 A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x>1},A∩B= ( ) A.(1,3) B.(1,3] C.[-1,+∞) D.(1,+∞) 2.王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之 所罕至焉，故非有志者不能至也。”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的 （ ） A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 3. 函数 f(x)= sinx + x cosx + x2在[-π,π]的图象大致为 (　　) 4. 若函数 f(x)= {(3a - 1)x + 4a (x < 1) -ax (x ≥ 1)是 R 上的减函数，则 a 的取值范围为 （ ） A.[1 8,1 3) B. (0,1 3) C. [1 8,+∞) D. (-∞,1 8]∪[1 3,+∞) 5. 平面向量a = ( 2 , 1 ) ,|b|= 2 ,a·b=4,则向量a, b夹角的余弦值为 A.2 5 5 B.4 5 C. 5 5 D.1 5 6.y=f(x)为定义在[-5,5]上周期为 2 的奇函数，则函数 y=f(x)在[-5,5]上零点的个数为 （ ） A.5 B.6 C.11 D.12 7. 已知曲线 y=aex+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则 (　　)A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1 8.函数 y=|log2x|的图像为 M,直线 l1:y=m,l2:y= 8 2m + 1(m>0),l2,l1 分别与 M 相交于 C,A,B,D(从左到右),曲线段 CA,BD 在 x 轴上投影的长度为 a,b，当 m 变化时b a的最小值 为 ( ) A. 7 2 B. 5 2 C. 9 2 D.1 二．多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.在每小题给出的四个选项 中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上） 9.由选项( )可以得到 A ⊆ B A.A∩B=A B.A∩∁퐵푈= ϕ C. A∪B=A D.B ⊆ ∁퐴푈 10.2018a=2019b,则下列 a,b 的关系中，不可能成立的有 ( ) A.0 0) (2)푔(푥) = 푓(1 + 푥) - 푓(1 - 푥)∴{1 + 푥 > 0 1 - 푥 > 0 ∴ 푔( -푥) = 푓(1 - 푥) - 푓(1 + 푥) = - 푔(푥)∴푔(푥)为奇函数； (3)푓(푥) = 푙표푔3 푥∴푓(푥)是单调递增函数 푓(푡 ⋅ 4푥) ≥ 푓(2푥 - 푡)∴푡 ⋅ 4푥 ≥ 2푥 - 푡 > 0∴푡(4푥 + 1) ≥ 2푥∴푡 ≥ 2푥 4푥 + 1 = 1 2푥 + 1 2푥 令푦 = 2푥 + 1 2푥푥 ∈ [1,2]时上式为增函数∴푦1 2 5 2푚푖푛∴푡 ≥ 1 5 2 = 2 5 又∵2푥 - 푡 > 0∴푡 < (2푥)푚푖푛综上푡 ∈ 2 5,2). 1 1x− < < 20.（本小题 12 分） 【解】(1)当 x=0 时,C=8,所以 k=40,所以 C(x)= 40 3푥 + 5(0≤x≤10), 所以 f(x)=6x+20 × 40 3푥 + 5 =6x+ 800 3푥 + 5(0≤x≤10). (2)由(1)得 f(x)=2(3x+5)+ 800 3푥 + 5-10.令 3x+5=t,t∈[5,35], 则 y=2t+800 푡 -10≥2 2푡·800 푡 -10=70(当且仅当 2t=800 푡 ,即 t=20 时等号成立),此时 x=5, 因此 f(x)的最小值为 70. 所以隔热层修建 5 cm 厚时,总费用 f(x)达到最小,最小值为 70 万元.22.（本小题 12 分）f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx=0,x=0 或 x=±π 2 x∈(-π,-π 2)时,f′(x)>0,f(x)单调递增，x∈(-π 2，0)时,f′(x)0,f(x)单调递增，x∈(π 2，π)时,f′(x)0 时，h(x)的零点个数即可． x>0 时，h′(x)=2x-4xcosx=2x(1-2cosx)=0，即 x=π 3+2kπ 或-π 3+2kπ， x∈(0,π 3)时,h′(x)0 ∴h(x)在(0,5π 3 )有唯一零点． ②当 x≥5π 3 时，h(x)=x2+4-4xsinx-4cosx≥x2-4x=t(x)， 而 t(x)在(5π 3 ,+∞)单调递增，t(x)≥t(5π 3 )>0， ∴h(x)>0 恒成立，故 h(x)在(5π 3 ,+∞)无零点， ∴h(x)在(0,+∞)有一个零点， 由于 h(x)是偶函数，∴h(x)在(-∞,0)有一个零点，而 h(0)=0， ∴h(x)在 上有且仅有 3 个零点． R R