高三数学试卷（理科）
一、选择题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，在复平面内，复数 ， 对应的向量分别是 ， ，则复数 的虚部为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
3．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．“净拣棉花弹细，相合共雇王孀．九斤十二是张昌，李德五斤四两．纺讫织成布匹，一百八尺曾量．两
家分布要明彰，莫使些儿偏向．”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌
拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两．共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布．共织成布匹一百零八尺
长，则（注：古代一斤是十六两）（ ）
A．按张昌 37.8 尺，李德 70.2 尺分配就合理了 B．按张昌 70.2 尺，李德 37.8 尺分配
就合理了
C．按张昌 42.5 尺，李德 65.5 尺分配就合理了 D．按张昌 65.5 尺，李德 42.5 尺分配
就合理了
5．已知直线 平面 ，则“直线 平面 ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若实数 ， 满足不等式组 ，则目标函数 的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7 ． 在 中 ， 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 若 ， ， 成 等 差 数 列 ， 且
{ }2 4 5 0A x xx= − − < { }2B x x= > A B∩ =
( )5,+∞ ( )1, 2 ( )2,5− ( )2,5
1z 2z OA OB 1
1
2
zz z
+
1−
3 5cos 2 13
πθ − = cos sinθ θ> ( )sin 2 2θ π− =
60
169
− 60
169
120
169
− 120
169
l ⊂ α m ⊥ α m l⊥
x y
1
2 2
2 2
x y
x y
x y
+ ≤
− ≥ −
+ ≥ −
3x x y= +
ABC△ A B C a b c B A C，则 外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数 ，且 ，则 （ ）
A．0 B． C．12 D．18
9．执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
10．已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点的距离为 ，把 图象
上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿 轴向左平移 个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的 2 倍得
到函数 的图象，若 在 上单调递增，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．若 ， ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
12．已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为 ，球 为该三棱锥的内切球．若球 与球 相
切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球 与球 的表面积之比为（ ）
cos cosb a C ac A= + ABC△
3
π 2
3
π π 4
3
π
( ) 2x mf x e −= ( ) ( )2 1 1 2f x f x− = − ( ) ( )ln3 ln3f f+ − =
99e e
+
S
1
2
− 1−
( ) ( )sin 3 cos 0xf x xω ω ω= − > x π ( )f x
x 3
π
( )g x ( )g x [ ],a a− a
12
π
6
π
4
π 5
12
π
3xxe = 3nl 1ey y
− = xy =
3e 3
e e
2 19
19 1O 2O 1O
2O 1OA． B． C． D．
二、填空题
13．已知 为抛物线 上一点，抛物线 的焦点为 ，则 ______．
14．已知平面向量 ， 满足 ，则 与 夹角的大小为______．
15．某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四
名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种．
16．已知 为双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上一点，线段 与以该双曲线
实轴为直径的圆相交于 ， 两点，且 ，则该双曲线的离心率为______．
三、解答题
（一）必考题
17．已知数列 满足 ，且对于任意 ， ，都有 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
18．如图，在直三棱柱 中， 是以 为斜边的等腰直角三角形， ， 分别为 ，
的中点．
（1）证明： 平面 ．
（2）若四边形 为正方形，求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
19．已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同．现从甲盒中任取
三个球放入乙盒中．
（1）求乙盒中红球个数 的分布列与期望；
（2）求从乙盒中任取一球是红球的概率．
4
9
1
9
9
25
1
25
( )2,6P ( ): 2 0C y px p= > C F PF =
a b a b a b= = + a a b−
1F ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > P 1PF
A B 1F A AB BP= =
{ }na 1
1
2a = m *t N∈ m t m ta a a+ = ⋅
{ }na
( ) 1
1
1 n
n
n n
b a a
−
+
−= { }nb n nT
1 1 1ABC A B C− ABC△ BC O M BC
1AA
//OM 1 1CB A
1 1BB C C 1MOB 1 1CB A
X20．已知椭圆 的右顶点为 ，斜率为 的直线 交 于 ， 两点．当
时， ，且 的面积为 ．（ 为坐标原点）
（1）求椭圆 的方程；
（ 2 ） 设 为 的 右 焦 点 ， 垂 直 于 的 直 线 与 交 于 点 ， 与 轴 交 于 点 ， 若 ， 且
，求 的值．
21．已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调性；
（2）如果对任意 ， 恒成立，求 的取值范围．
（二）选考题
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点为极点， 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）已知曲线 与直线 交于 ， 两点，若 ，求直线 的直角坐标方程．
23．[选修 4-5；不等式选讲]
已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）已知函数 的最小值为 ，且 ， ， 都是正数， ，证明：
．
答案
1．D 【解析】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力．
因为 ， ，所以 ．
( )2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
+ = > > A ( )0k k ≠ l E A B
3
2k = 7AB = OAB△ 2
ab О
E
F E l l M y H BF HF⊥
MA MO= k
( ) ( ) ( ) ( )2 254 3 ln 1 32f x x x x x a x= + + + − + −
8a = − ( )f x
0x ≥ ( ) 0f x ≥ a
xOy C sin cos 2
sin cos
x t t
y t t
= + +
= − t x
l ( )0 ,aθ α π ρ= ≤ ≤ ∈R
C
C l A B 2 3OA OB+ = l
( ) 2 1f x x= −
( ) 3 4f x x< −
( ) ( ) 2g x f x x= + m a b c 2a b c m+ + =
1 1 2a b b c
+ ≥+ +
( )1,5A = − ( ) ( ), 2 2,B = −∞ − ∪ +∞ ( )2,5A B∩ =2．B 【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．
由图知， ， ，则 ，所以复数 的虚部为 3．
3．C 【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．
∵ ，∴ ，∴ ．又∵ ，∴ ，∴
．
4．B 【解析】本题考查统计，考查数据处理与运算求解能力．
九 斤 十 二 两 等 于 9.75 斤 ， 五 斤 四 两 等 于 5.25 斤 ， 所 以 按 张 昌 尺 ， 李 德
尺分配就合理了．
5．A 【解析】本题考查线面垂直的判定、性质定理以及充分必要条件，考查逻辑推理能力．
∵直线 平面 ，∴ 垂直于平面 内所有直线，又∵直线 平面 ，∴直线 直线 ．反之不成
立．
6．C 【解析】本题考查线性规划，考查运算求解能力．
画出可行域（图略）知，当直线 平移到过点 时， 取得最大值 9．
7．A 【解析】本题考查正弦定理以及三角恒等变换，考查运算求解能力．
因 为 ， ， 成 等 差 数 列 ， 所 以 ， 则 ， 由 正 弦 定 理 可 知 ，
，易得 ．所以 外接圆的半径为 ，从而
外接圆的面积为 ．
8．D 【解析】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想．
由 ， 可 知 函 数 的 图 象 关 于 轴 对 称 ， 则 ， 得 ， 故
， ．
9．B 【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理能力．
1 1 2z i= + 2 2z i= − 1
1
2
1 21 2 1 32
z iz i iz i
++ = + + = +−
1
1
2
zz z
+
3 5cos sin2 13
πθ θ − = − =
5sin 13
θ = − 12cos 13
θ = ± cos sinθ θ> 12cos 13
θ =
( ) 120sin 2 2 2sin cos 169
θ π θ θ− = = −
9.75 108 70.29.75 5.25
× =+
5.25 108 37.89.75 5.25
× =+
m ⊥ α m α l ⊂ α m ⊥ l
3 0x y+ = ( )4, 3− z
B A C 2A B C= +
3A
π=
sin sin cos sin cosB A C a C A= + 1a = ABC△ sin
3
2 3
a
A
= ABC△
2
3
3 3
ππ =
( ) ( )2 1 1 2f x f x− = − ( ) 2x mf x e −= y 02
m = 0m =
( ) 2xf x e= ( ) ( ) ( ) 2ln3ln3 ln3 2 ln3 2 18f f f e+ − = = =由程序框图可知，第一次循环， ， ， ;第二次循环， ， ， ；第
三次循环， ， ， ；……；第八次循环， ， ， ；第九次循环， ，
， ．由于 ，停止循环，所以输出 ，故选 B．
10．A 【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数形结合的数学思想，逻辑推理能力．
由题意，知 ．因为函数 的图象与 轴的两个相邻交点的
距离为 ，所以函数 的最小正周期 ，所以 ，所以 ．由题意，
可得 ，所以由 ，得
． 因 此 ， 则 ， ， ， 即
，从而 的最大值为 ．
11．B 【解析】本题考查指数、对数之间的转化关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力．
由 ，可得 ，则 ，令 ，则 ．又因为 在 上单
调递增，所以 ，即 ，则 ．
12．C 【解析】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力．
如图，取 的外心 ，连接 ， ，则 必过 ， ，且 平面 ，可知 为
侧棱与底面所成的角，即 ．取 的中点 ，连接 ， ．设圆 ， 的半径
分别为 ， ，令 ，则 ， ， ， ，所以 ，
即 ，从而 ，所以 ，则 ，所以球 与球 的
表面积之比为 ．
1i = 1
1
2a = − 1
2S = − 2i = 2
1
2a = − 1S = −
3i = 3 1a = 0S = 8i = 8
1
2a = − 1S = − 9i =
9 1a = 0S = 9 8i = > 0S =
( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x
πω ω ω = − = −
( )f x x
π ( )f x 2 2T
π πω= = 1ω = ( ) 2sin 3f x x
π = −
( ) 4sin 2 4sin 23 3 3g x x x
π π π = + − = +
( )2 2 22 3 2k x k k
π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈Z
( )5
12 12k k kx
π ππ π≤ ≤− + + ∈Z [ ] 5, ,12 12a a
π π − ⊂ − a a− < 5
12a
π− ≥ −
12a
π≤
0 12a
π< ≤ a 12
π
3ln 1ey y
− = 33ln y
e y
= ln 3y y
e e
= ln yt e
= 3tte = xy xe= ( )0,+∞
t x= 1xy e += 1 3xxy xe e+= =
ABC△ O PO AO PO 1O 2O PO ⊥ ABC PAO∠
2 19cos 19PAO =∠ AB M PM MC 1O 2O
R r 2OA = 19PA = 2 3AB = 3AM = 1OM =
2
1
4
r OM
PO PM
= =
2 4PO r= 1 4 5PO r r R r R= + + = +
1
1
5 4
R R
O r R
= =+
3
5
r
R
= 2O 1O
9
2513． 【解析】本题考查抛物线的标准方程，考查运算求解能力．
由 为抛物线 上一点，得 ，可得 ．则 ．
14． （或 )【解析】本题考查平面向量，考查运算求解的能力．
由 ，得 ，所以 ．
15．16 【解析】本题考查计数原理，考查逻辑推理能力．
农场主人在中间共有 种站法，农场主人在中间，两名男生相邻共有 种站法，故所求站
法共有 种．
16． 【解析】本题考查双曲线与圆的几何性质，考查数形结合的数学思想
设 为双曲线 的右焦点，取 的中点 ，则 ．因为 ，所以
是 的中点，则 ， ．设 ，则 ， ， ．因
为 ，所以 ，则 ， ．又因为 ，
所以 ，即该双曲线的离心率 ．
13
2
( )2,6P ( )2: 2 0C y px p= > 26 4p= 9p = 9 132 2 2PF = + =
6
π
30°
a b a b= = + 2, 3a b
π= , 6a a b
π− =
4
4 24A = 2 2
2 22 8A A⋅ =
24 8 16− =
97
5
2F
2 2
2 2 1x y
a b
− = AB M 1OM PF⊥ 1F A AB BP= = M
1PF 2//OM PF 2
1
2OM PF= AB t= 1 3PF t= 2 3 2PF t a= −
2
tAM =
2 2 2OM AM OA=+ 6
5t a= 1
18
5PF a= 2
8
5PF a= 2 2 2
1 2 1 2PF PF F F+ =
2 97
25e = 97
5e =17．解：（1）∵对于任意 ， ，都有 成立 ，
∴令 ， ，得 ，即 ， ，
∴数列 是首项和公比都为 的等比数列，
∴ ， ．
（2）∵ ，
∴
．
评分细则：
（1）第一问共 6 分，写出等比数列的递推关系得 3 分，写出通项公式得 3 分．未得出递推关系，直接写出
通项公式不得分．
（2）第二问共 6 分，求出 的通项公式得 2 分，列出 的等式得 2 分，准确算出结果得 2 分，算出
也得 2 分．
（3）其他方法按步骤酌情给分．
18．（1）证明：如图，连接 ，交 于点 ，连接 ， ，则 为 的中点．
因为 为 的中点，所以 ，且 ，
又 ， ，所以 为平行四边形，即 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：连接 ，令 ，因为 ， 为 的中点，所以 ．
又三棱柱 是直三棱柱， ，
所以 ， ， 互相垂直，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图
m *l ∈N m m ta t a a+ = ⋅
m n= 1t = 1 1n na a a+ = ⋅ 1
1
2n na a+ = *n∈N
{ }na 1
2
11 1 1
2 2 2
n
n na
− = ⋅ =
*n∈N
( ) ( ) ( )
1
1 11 2 1
1
1 1 2 2 1 2
n
n nn n n
n
n n
b a a
−
− −+ +
+
−= = − ⋅ ⋅ = − ⋅
( ) 13 5 7 9 2 12 2 2 2 1 2n n
nT − −= − + − + + − ⋅
( )
( ) ( )
3 2
2 3
2
2 1 2 8 215 51 2
n
n
n
+ − − = = − − ⋅
− −
{ }nb nT
( )8 1 4
5
n
nT
− − =
1BC 1CB N 1A N ON N 1CB
O BC 1//ON BB 1
1
2ON BB=
1 1//MA BB 1 1
1
2MA BB= 1ONA M 1//OM A N
OM ⊄ 1 1CB A //OM 1 1CB A
OA 2BC = AB AC= O BC AO BC⊥
1 1 1ABC A B C− 1//ON BB
OA OB ON OB ON OA x y z所示的空间直角坐标系 ．
因 为 ， ， 所 以 ， ， ， ， 所 以
， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，可得 ， ，所以平面 的一个法向量为 ．
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，可得 ， ，所以平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ．
评分细则：
（1）第一问共5分，证出 和 得2分，证出 得2分，未说明 平面 ，
直接证出 平面 ，扣 1 分．
（2）第二问共 7 分，建立空间直角坐标系，并正确写出坐标得 2 分，写出平面 的法向量与平面
的法向量各得 1 分．
（3）其他方法按步骤酌情给分．
19．解：（1）由题意知 的可能取值为 0，1，2，3．
， ，
， ，
O xyz−
2AB AC= = 1 2BC AA= = ( )0,0,0O ( )1 1,2,0B ( )0,1,1M ( )1,0,0C −
( )1 0,1,1OM NA= = ( )1 1,2,0OB = ( )1 2,2,0CB =
1MOB ( ), ,m x y z=
1
0
0
OM m
OB m
⋅ = ⋅ =
0
2 0
y z
x y
+ =
+ =
1z = 1y = − 2x = 1MOB ( )2, 1,1m = −
1 1CB A ( ), ,n a b c= 1
1
0
0
NA n
CB n
⋅ = ⋅ =
0
2 2 0
b c
a b
+ =
+ =
1c = 1b = − 1a = 1 1CB A ( )1, 1,1n = −
( )
( ) ( )2 22 2 2 2
2 1 1 1 1 1 4 2 2cos , 33 22 1 1 1 1 1
m n
× − × − + ×= = =
+ − + × + − +
1MOB 1 1CB A 1
3
1//ON BB 1
1
2ON BB= 1//OM A N OM ⊄ 1 1CB A
//OM 1 1CB A
1MOB 1 1CB A
X
( ) 0 3
3 3
3
6
10 20
C CP X C
= = = ( ) 1 2
3 3
3
6
91 20
C CP X C
= = =
( ) 2 1
3 3
3
6
92 20
C CP X C
= = = ( ) 3 0
3 3
3
6
13 20
C CP X C
= = =所以 的分布列为
0 1 2 3
所以 ．
（2）当乙盒中红球个数为 0 时， ，
当乙盒中红球个数为 1 时， ，
当乙盒中红球个数为 2， ，
当乙盒中红球个数为 3 时， ，
所以从乙盒中任取一球是红球的概率为 ．
评分细则：
（1 第一问中，正确算出 ， ， ， 各得 1 分，列出分布列得 1 分，
求出期望得 1 分．
（2）第二问中，分类讨论，每种情况各占 1 分．
（3）其他方法按步骤酌情给分．
20．解：（1）由当 时， 的面积为 ，可知此时 为椭圆的下顶点．
所以 ， ，得 ， ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）设 ，直线 的方程为 ，
由方程组 ，消去 ，整理得 ，
X
X
P 1
20
9
20
9
20
1
20
( ) 1 9 9 1 30 1 2 320 20 20 20 2E X = × + × + × + × =
1 0P =
2
9 1 3
20 6 40P = × =
3
9 2 3
20 6 20P = × =
4
1 3 1
20 6 40P = × =
1 2 3 4
1
4P P P P+ + + =
( )0P X = ( )1P X = ( )2P X = ( )3P X =
3
2k = OAB△ 2
ab B
3
2
bk a
= = 2 2 7AB a b= + = 2 4a = 2 3b =
E
2 2
14 3
x y+ =
( ),B BB x y l ( )2y k x= −
( )
2 2
14 3
2
x y
y k x
+ =
= −
y ( )2 2 2 24 3 16 16 12 0k x k x k+ − + − =解得 或 ．
由题意得 ，从而 ．
因为 ，所以 的坐标为 ，
因此直线 的方程为 ，则 的坐标为 ．
由 ，得 ．
由（1）知 ，则 ， ，
所以 ，
解得 或 ，所以直线 的斜率 或 ．
评分细则：
（1）第一问共 5 分，由 条件确定点 为椭圆的下顶点，得 2 分，求出 ， 各得 1 分，正确写出
椭圆方程得 1 分，也可采用直线与椭圆联立的方法求出 点的坐标，得 2 分，利用 的面积和
，列出关系式并求出 ， 各得 1 分，正确写出椭圆方程得 1 分．
（2）第二问中，求出 点的坐标得 2 分，由 得出 的坐标得 1 分，得出 的坐标得 1 分，
由 得出关系式得 2 分，最后得出 的值得 1 分，少一种情况不得分．
（3）其他方法按步骤酌情给分．
21．解：（1）当 时， 的定义域为 ，
，
令 ，解得 ．
当 时， ，则 在 上单调递减；当 时， ，则
在 上单调递增．
2x =
2
2
8 6
4 3
kx k
−= +
2
2
8 6
4 3B
kx k
−= + 2
12
4 3B
ky k
−= +
MA MO= M ( )1, k−
MH 1 1y x kk k
= − + − H 10, kk
−
BF HF⊥ 0BF HF⋅ =
( )1,0F 11,FA kk
= − −
2
2 2
9 4 12,4 3 4 3
k kBF k k
−= + +
2
2 2
4 9 12 1 04 3 4 3
k k kk k k
− + − = + +
6
4k = − 6
4k = l 6
4k = − 6
4k =
3
2k = B a b
B OAB△
7AB = a b
B MA MO= M H
BF HF⊥ k
8a = − ( )f x ( )1,− +∞
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 ln 1 4 8 2 4 ln 1 2x x x x xf x = + + − − = + + −′
( ) 0f x′ = 2 1x e= −
21 1x e< < −− ( ) 0f x′ < ( )f x ( )21, 1e− − 2 1x e> − ( ) 0f x′ >
( )f x ( )2 1,e − +∞（2）当 时， ．
设函数 ，则 ．
设函数 ， ，则 ，
又 ，从而 ，所以 在 上单调递增．
当 时， ，则 在 上单调递增，又 ，符合题意．
当 时，设 在 上的唯一零点为 ，当 时， ；
当 时， ．
故 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，不符合题意．
综上， 的取值范围为 ．
评分细则：
（1）第一问中，求导后因式分解正确，但未考虑定义域写成 在 和 上单调递增，
在 上单调递减扣 3 分．
（2）第二问中，根据 求得 ，但未证明当 时，对任意 ， 恒成立，得 2
分，根据
求得 ，并严格证明当 时，对任意 ， 恒成立，得满分．
（3）其他方法按步骤酌情给分．
22 ． 解 ： （ 1 ） 由 曲 线 的 参 数 方 程 （ 为 参 数 ），得 曲 线 的 普 通 方 程 为
，得 ，
曲线 的极坐标方程为 ．
（2）将直线 的极坐标方程代入曲线 的极坐标方程，得 ，
又 ，
所以 ，即 或 ．
0x ≥ ( ) ( ) ( )2 4 ln 1 4f x x x x a′ = − + − +
( ) ( ) ( ) ( )2 4 ln 1 4g x f x x x x a′= = + + − + ( ) ( ) 22ln 1 1
xg x x x
′ = + − +
( ) ( ) 22ln 1 1
xh x x x
= + − + [ )0,x∈ +∞ ( ) ( )2
2 0
1
xh x
x
′ = ≥
+
( ) ( )0 0h x h≥ = ( ) 0g x′ ≥ ( )f x′ [ )0,+∞
0a ≥ ( ) ( )0 0f x f a′ ′≥ = ≥ ( )f x [ )0,+∞ ( )0 0f =
0a < ( )f x′ ( )0,+∞ 0x [ )00,x x∈ ( ) 0f x′ <
( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x ( )00, x ( )0 ,x +∞ ( ) ( )0 0 0f x f< =
a [ )0,+∞
( )f x ( ), 2−∞ − ( )2 1,e − +∞
( )22, 1e− −
( )0 0f ′ ≥ 0a ≥ 0a ≥ 0x ≥ ( ) 0f x ≥
( )0 0f ′ ≥ 0a ≥ 0a ≥ 0x ≥ ( ) 0f x ≥
C sin cos 2
sin cos
x t t
y t t
= + +
= − t C
( )2 22 2x y− + = 2 2 4 2 0x y x+ − + =
C 2 4 cos 2 0ρ θρ− + =
l C 2 4 cos 2 0ρ αρ− + =
1 2 2 0ρ ρ⋅ = >
1 2 4cos 2 3OA OB ρ ρ α+ = + = =
6
πα = 5
6
π所以直线 的直角坐标方程为 ．
评分细则：
（1）第一问中，写出曲线 的普通方程得 2 分，写出曲线 的极坐标方程得 2 分．
（2）第二问中，可根据在直角坐标方程中，直线与圆联立求出坐标，答案正确得满分，答案错误，按步骤
酌情给分．
23．（1）解：由题可得 ，所以 ，
解得 ，所以不等式 的解集为 ．
（2）证明： ，则 ，
则 ，
故 ， 当 且 仅 当
时取等号．
评分细则：
（1）第一问中，也可采用分类讨论解不等式，分 和 两种情况，每种情况占 2 分，最终答案未写
成解集形式，不扣分．
（2）第二问中，不管用哪种方法，计算出 的最小值得 2 分．另外，证明 ，也可采
用柯西不等式， ．
l 3
3y x= ±
C C
2 1 3 4x x− < − ( ) ( )3 4 2 1 3 4x x x− −< ( ) 3 4f x x< − ( )2,+∞
( ) 2 1 2 2 2 2 2g x x x x x= − ≥ − − =+ 2m =
( ) ( ) 2a b b c+ ++ =
( ) ( )1 1 1 1 1 1 2 22 2
b c a ba b b ca b b c a b b c a b b c
+ + + = + + + + = + + ≥ + + + + + +
1a b b c+ = + =
1x ≥ 1x <
( )g x 1 1 2a b b c
+ ≥+ +
( ) ( ) ( )21 11 1 1 1 1 22 2a b b ca b b c a b b c
+ + = + + + + ≥ = + + + +
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