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高三年级 10 月份月考
数学试题
注意事项：
1．本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填
写在答题卡上。
2．回答第 I 卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3．回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将答题卡交回。
第 I 卷(选择题)(共 60 分)
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1. 设UAB， {1,2,3,4,5}A ， {B 10 以内的素数}，则 ()U AB（ ）
A. {2,4,7} B. C. {4,7} D. {1,4,7}
2. 已知 ,m n R ，i 是虚数单位，若( )(1 )m i i ni ，则||m ni（ ）
A. 5 B. 2 C. 3 D. 1
3. 已知非零向量 a ，b ，若| | 2 | |ab ，且 ( 2 )a a b ，则 与 的夹角为（ ）
A. 6
B.
4
C. 3
D. 3
4
4. 设 2019 2020log 2020, log 2019,ab 1
20002019c ，则 ,,abc的大小关系是（ ）
A. abc B. a c b C. c a b D. c b a
5. 命题“ 2[1,2], 2 0x x a ”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. 1
2a B. 1
2a C. 2a D. 3a
6. 函数 3cos 1() xfx x
的部分图象大致是（ ）.
A. B. C. D.
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7. 已知数列 na 的前 n 项和为Sn ，且 1 2a ， 1nnaS ，若 (0,2020)na ，则称项 na 为“和谐项”，则
数列 的所有“和谐项”的平方和为（ ）
A. 1118433 B. 1114433 C. 1018433 D. 1214433
8. 定义:若函数 y f x 在区间 ,ab上存在 1 21 2,x x a x x b ,满足
1' f b f afx ba
,
2' f b f afx ba
, 则 称 函 数 是 在 区 间 上 的 一 个 双 中 值 函 数 . 已 知 函 数
326
5f xxx 是区间 0, t 上的双中值函数,则实数 t 的取值范围是 （ ）
A. 36,55
B.
26,55
C.
23,55
D.
61, 5
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分）
9. 设 )( *Nnan 是等差数列，d 是其公差， nS 是其前 n 项和.若 ,, 87665 SSSSS 则下列结论正确
的是（ ）
0. dA 0. 7 aB 59. SSC 的最大值均为与 nSSSD 76.
10. 已知 ()fx是定义在 R 上的偶函数，且 ( 3) ( 1)f xf x ，若当 [0,2]x 时， ( ) 2 1xfx，则下
列结论正确的是（ ）
A. 当 [ 2,0]x 时， ( ) 2 1xfx B. (2019) 1f
C. ()y f x 的图像关于点(2,0) 对称 D. 函数 2( ) ( ) logg x f xx 有3 个零点
11. 已知 ,1553 ba 则 ba, 可能满足的关系是（ ）
4. baA 4. abB 2)1(1. 22 baC 8. 22 baD
12．设函数 sin 0g x x向左平移 π
5
个单位长度得到函数 fx，已知 在 0,2π 上有且
只有 5 个零点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 π
2x 对称
B． 在 0,2π 上有且只有 3 个极值大点， 在 上有且只有 2 个极小值点
C． 在 π0,10
上单调递增 D． 的取值范围是 12 29,5 10
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第 II 卷(非选择题)(共 90 分)
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 已知函数
3log1 2, 0
3 , 0
xxfx f xx
，则 2020f ______．
14. 点 P 是 ABC 所在平面上一点，若 23
55AAP BAC，则 ABP△ 与 ACP△ 的面积之比是_______.
15. 已知 是第四象限角，且 3sin 54
，则 tan 4
________.
16. 已知函数 2f xx ， 1g xa x， a 为常数，若对于任意 1x ， 2 0,2x ，且 12xx ，都有
1212f x f x g x g x 则实数 的取值范围为________.
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(满分 10 分) 设数列{}na 的前 n 项和为 nS ，在① 234,,4aaa 成等差数列.② 123 +,,2SSS成等
差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答.
在公比为 2 的等比数列{}na 中，
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 2( 1)log ,nnb na 求数列
2
2
22
n
nn
b
的前 n 项和 .nT
（注：如选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）
18. (满分 12 分) 已知 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 (sin sin ) 2 sina A B b B .
（1）证明： AB ；
（2）记线段 AB 上靠近点 的三等分点为 D ，若 17CD ， 5b ，求 .
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19. (满分 12 分) 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 1,0A 和点 1,0B ， 1OC ，且
AOC x，其中O 为坐标原点．
(1)若 3
4x ，设点 D 为线段OA上的动点，求 OCOD 的最小值；
(2)若 0, 2x
，向量 mBC ， 1 cos ,sin 2cosn x x x ，求mn 的最小值及对应的 x 值．
20. (满分 12 分) 已知函数 21f xx ， g x x ， Rx ，数列 na ， nb 满足 1 1a ，
1nng bf b ， nnaf b ， *nN .
（1）求证：数列 1nb 是等比数列；
（2）设 21nncn a ，求数列 nc 的前 n 项和 nT .
21. (满分 12 分) 已知函数 ( ) 2 lnf x x x x ．
（1）若直线l 过点(0, 2) ，且与曲线 ()y f x 相切，求直线 的方程；
（2）若 1x时， ( )0f x kx k 成立，求整数 k 的最大值．
22. (满分 12 分).已知函数 xf x e ， sing x x ax.
（1）若 h x f x g x在 0, 单调递增，求 a 的取值范围；
（2）若 1
2a ，证明：当 0x 时， 2
112gx
fx
. 高三数学答案第 1 页共 4 页
高三年级 10 月份月考数学试题参考答案
第 I 卷(选择题)(共 60 分)
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1. D 2. A 3. B 4.C 5. D 6. A 7. A 8. A
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分）
9. ABD 10. ABD 11. ABC 12．CD
第 II 卷(非选择题)(共 90 分)
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 1 14. 3
2 15. 4
3 16. [0，2]
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(满分 10 分) 解：（1）选①：因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ． ……………………………………………5 分
选②：因为 1 23+,,2SSS成等差数列，所以 2 1 3 322 +2 + 4== +SSa a S ，即 ，
所以 1 1+42 =4aa，解得 ，所以 ． …………………………………………………5 分
（2）因为 ，所以 ，
所以，
2
2
2 2 2 1 12( )( 1) 1n
nn
b n n n n
………………………………………………………8 分
所以 1 1 1 1 12 1 + - +......+2 2 3 n 1nT n
121 1n
2
1
n
n
……………………10 分
18. (满分 12 分) 解：（1）因为 (sin sin ) 2 sina A B b B ，所以由正弦定理得 2( ) 2a a b b ，整理得
( 2 )( ) 0a b a b .
因为 20ab，所以 ab ，即 AB .……………………………………4 分
（2）设 BD x ，则 2AD x ，
由余弦定理可得
24 17 25cos
2 2 17
xCDA
x
，
2 17 25cos
2 17
xCDB
x
.
因为 -CDA CDB ，所以
224 17 25 17 25
2 2 17 2 17
xx
xx
，解得 2x ，
所以 36c AB BD ……………………………………12 分 .高三数学答案第 2 页共 4 页
19. (满分 12 分) 解： (1)设 D(t，0)(0≤t≤1)，由题易知 22,22C
，
所以OC→ ＋OD→ ＝ 22,22t
，所以|OC→ ＋OD→ |2＝1
2－ 2t＋t2＋1
2＝t2－ 2t＋1＝
2
2
2t
＋1
2
(0≤t≤1)，所以当 t＝ 2
2 时，|OC→ ＋OD→ |2 的最小值为1
2，则|OC→ ＋OD→ |的最小值为 2
2 ．……………………6 分
(2)由题意得 C(cosx，sinx)， mBC ＝(cosx＋1，sinx)，
则 mn ＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx＝1－cos2x－sin2x＝12 sin 2 4x
．
因为 0, 2x
，所以π
4≤2x＋π
4≤5π
4 ，所以当 2x＋π
4＝π
2，即 x＝π
8时，
sin 2 4x
取得最大值 1，所以 的最小值为 1－ 2，此时 x＝π
8．………………………12 分
20. (满分 12 分)解：（1）证明：依题意，由 1( ) ( )nng b f b 代入函数表达式，可得： 1 21nnbb ，
两边同时加 1，可得： 1 1 2 1 1 2( 1)nnnbbb ，
数列{1}nb 是以 2 为公比的等比数列．………………………4 分
（2）解：由题意，可知： ( ) 2 1n n na f b b ，
112 1 1ab ，解得 1 0b ， 1 11b ，
数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，即 111 1 2 2nn
nb ，
121n
nb ， *nN ，………………………5 分
12 1 2 (2 1) 1 2 1nn
nnab ，………………………6 分
(2 1) (2 1) (2 1) (2 1) 2 (2 1)nn
nnc n a n n n ，
构造数列{}nd ：令 (2 1) 2n
ndn ，则 (2 1)nnc d n ，
设数列 的前 n 项和为 nS ，则 1 2 3
12 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2n
nnS d d d n ，
2 3 12 1 2 3 2 (2 1) 2n
nSn ，
两式相减，可得： 1 2 3 11 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2nn
nSn 3 4 1 12 2 2 2 (2 1) 2nnn
32
1222 (2 1) 212
n
nn
1(3 2 ) 2 6nn 高三数学答案第 3 页共 4 页
1(2 3) 26n
nSn ，
12nnT c cc
12( 1) ( 3) [ (2 1)]nddd n 12( ) [1 3 (2 1)]nd d d n
(1 2 1)
2n
nnS 12(2 3) 26nnn ．………………………12 分
21. (满分 12 分) 解：（1）因为点(0,2) 不在直线 l 上，
设切点坐标为 00(,)xy，则 0000 2 lnyxxx ．
因为 ( ) 1 2ln 2 3 2lnf xxx ．
所以 0 0 0 0
00
00
2 2 2 ln( ) 3 2lnl
y x x xk f xx xx
，解得 0 1x ．
所以 3lk ，所以直线 的方程为 32yx．………………………4 分
（2）由题意知， 1x， 2 ln
1
xx x kx
恒成立
min
2 ln()1
x x x kx
令 2 ln() 1
x x xgx x
， 22
(3 2ln )( 1) ( 2 ln ) 2 2ln 3() ( 1) ( 1)
x x x x x x xgx xx
．
设 ( ) 2 2ln 3h x x x ，所以 2( 1)( )0 xhx x
，
所以 ()hx 在 (1,) 上单调递增．
又 55(2) 1 2ln 2 0, ( ) 2(1 ln ) 022hh ，
所以存在 0
5(2, )2x ，在 00
5(2, ), ( ) 0, ( , ), ( ) 02x x h x x x h x ，
所以 ()gx在 0(2, )x 上单调递减，在 0
5( , )2x 上单调递增．
所以 0 0 0
min 0
0
2 ln( ) ( ) 1
x x xg x g x x
，
而 0 0 0( ) 2 2ln 3 0,h x x x
所以
2
00
min 0
0
22( ) 21
xxg x xx
．
所以 0 max2 (4,5), 4k x k ．………………………12 分 高三数学答案第 4 页共 4 页
22. (满分 12 分).
解：（1）依题意有： sinxh x ex ax ， xR ， cosxh x ex a .
函数 yh x 在 0, 单调递增， 0hx对 0,x 恒成立.
即： cos0xex a 对 恒成立(*)
令 cosxx ex a ， 0x ，则 sinxx e x ，
当 时， 1xe ， 1sin1 x ， sin0xex ， 0x，
函数 yx 在 单调递增，
min 0 20xa ，解得 2a .
因此，实数 a 的取值范围是 ,2 ；………………………4 分
（2）当 1
2a 时，要证：当 0x 时， 2
112gx
fx
.
即要证：当 时， 22sin 1 1xx x e .
构造函数： 22sin 1 0xF x x x e x ，
则 22 21 3 2 4sin 2cos1 2cos 2 2sin xxxF x x e x x e x x x e ，
先证：当 时， sinxx ，
要证： ，即要证： sin 0xx，
构造函数： sin 0x x x x ，则 1 cosxx ，
当 0,x 时， 1 cos 1x ，1 cos 0x，
0x，则函数 yx 在 0, 单调递增.
00x ，即 ， sinxx ，
2 2 23 2 4sin 2cos 3 2 sin cos 3 2 2 sin 04
x x xF x x x x e x x e x e
，
函数 y F x 在 单调递增， 001F x F e ，
即：当 时， ，故原不等式成立. ………………………12 分
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