四川省树德中学2021届高三（文）数学上学期10月阶段性测试题（pdf）

高三数学（文科）2020-10 阶考 第 1 页 共 2 页 树德中学高 2018 级高三上学期 10 月阶段性测试数学（文科）试题 命题人：王钊 审题人：罗莉 一、选择题：（共大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1.已知集合 P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若 P∪M＝P，则实数 a 的取值范围为( ) A.[－1，1] B.[1，＋∞) C.(－∞，－1] D.(－∞，－1]∪[1，＋∞) 2.在复平面内，复数 1 1－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知变量 x，y 之间的线性回归方程为y ^ ＝－0.7x＋10.3，且变量 x，y 之间的一组相关数据如下表所示， 则下列说法错误．．的是( ) A.变量 x，y 之间呈负相关关系 B.可以预测，当 x＝20 时，y ^ ＝－3.7 C.m＝4 D.该回归直线必过点(9，4) 4. 设 x∈R，则“ x－1 2 0)个单位后，得到函数 g(x)的 图象，若 g(x)＝g π 12－x ，则实数 t 的最小值为( ) A.5π 24 B.7π 24 C.5π 12 D.7π 12 11.抛物线x2 = 2py(p > 0)的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB = 60∘，过弦 AB 的中点 C 作该抛物线准线的垂线 CD，垂足为 D，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值 为( ) A. √3 B. 1 C. 2√3 3 D. 2 12.若函数 y＝f(x)存在 n－1(n∈N*)个极值点，则称 y＝f(x)为 n 折函数，例如 f(x)＝x2 为 2 折函数.已知函数 f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则 f(x)为( ) A.2 折函数 B.3 折函数 C.4 折函数 D.5 折函数 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若非零向量 a，b 满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则 a，b 夹角 θ 的余弦值为________. 14. 已知椭圆x2 4 ＋y2 2 ＝1 的两个焦点是 F1，F2，点 P 在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2 的面积是 ________ 15.等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn，已知 S3＝7 4，S6＝63 4 ， 则 a8＝_______. 16. 如图，矩形 ABCD 中，E 为边 AB 的中点，将△ADE 沿直线 DE 翻转成△A1DE.若 M 为线段 A1C 的中 点，则在△ADE 翻转过程中，正确的命题是________． ①MB 是定值； ②点 M 在圆上运动； ③一定存在某个位置，使 DE⊥A1C； ④一定存在某个位置，使 MB∥平面 A1DE. x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 高三数学（文科）2020-10 阶考 第 2 页 共 2 页 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第 17 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答.满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 17. （12 分） 已知函数 f(x)＝a·b，其中 a＝(2cos x，－ 3sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R. (1)求函数 y＝f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)＝－1，a＝ 7，且向量 m＝(3，sin B)与 n＝ (2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值. 18. （12 分） 某老师对全班 50 名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如下所示： 参加社团活动 不参加社团活动 总计 学习积极性高 25 学习积极性一般 5 总计 28 50 (1)请把表格数据补充完整； (2)若从不参加社团活动的 28 人中按照分层抽样的方法选取 7 人，再从所选出的 7 人中随机选取 2 人作为 代表发言，求至少有一人学习积极性高的概率； (3)运用独立性检验的思想方法分析，请你判断是否有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与参与社团活 动有关系？ 附： 2 2 () ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d         19.（12 分） 在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，AA1＝A1C ＝AC＝AB＝BC＝2，且点 O 为 AC 中点. (1)证明：A1O⊥平面 ABC； (2)求三棱锥 C1－ABC 的体积. 20. （12 分） 已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1 过 A(2，0)，B(0，1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率； (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四 边形 ABNM 的面积为定值. 21. （12 分） 已知函数 f(x)＝ex－1－x－ax2. (1)当 a＝0 时，求证：f(x)≥0； (2)当 x≥0 时，若不等式 f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)若 x>0，证明：(ex－1)ln(x＋1)>x2. （二）选考题（共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答 时请写清题号） 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] （10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 32 5 42 5 xt yt        ( t 为参数), 它与曲线 22: ( 2) 1C y x   交于 ,AB两点. (1)求||AB ; (2)以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 设点 P 的极坐标为 3(2 2, )4  , 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 23. [选修 4-5：不等式选讲] （10 分） 已知函数 f(x)＝|x－a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围. P(K2≥k0) 0.05 0.01 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 高三数学（文科）2020-10 阶考 第 3 页 共 2 页 树德中学高 2018 级高三上学期 10 月阶段性测试数学（文科）试题参考答案 1. A 2. D 3. C 4. A 5. A. 6. B 7. B 8.D 9. B 10. B 11. B 12. C 13.－1 3 14. 2 15. 32 16.①②④ 17. 解 (1)f(x)＝2 cos2x－ 3sin 2x＝1＋cos 2x－ 3sin 2x＝1＋2cos 2x＋π 3 ， 令 2kπ≤2x＋π 3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得 kπ－π 6≤x≤kπ＋π 3(k∈Z)， ∴函数 y＝f(x)的单调递减区间为 kπ－π 6，kπ＋π 3 (k∈Z). (2)∵f(A)＝1＋2cos 2A＋π 3 ＝－1，∴cos 2A＋π 3 ＝－1，又π 3＜2A＋π 3＜7π 3 ， ∴2A＋π 3＝π，即 A＝π 3. ∵a＝ 7，∴由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.① ∵向量 m＝(3，sin B)与 n＝(2，sin C)共线， ∴2sin B＝3sin C，由正弦定理得 2b＝3c，② 由①②得 b＝3，c＝2. 18.解:解：(1) 参加社团活动 不参加社团活动 总计 学习积极性高 17 8 25 学习积极性一般 5 20 25 总计 22 28 50 (2 分) (2)28 人中选 7 人，由分层抽样可知 7 人中学习积极性高的有 2 人，学习积极性一般的有 5 人，将其 中学习积极性高的 2 人记为 A，B，学习积极性一般的 5 人记为 1,2,3,4,5，从 A，B,1,2,3,4,5 这 7 人中任选 2 人，共有以下 21 个等 可 能 性 基 本 事 件：AB，A1，A2，A3，A4，A5，B1，B2，B3，B4， B5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45，则至少有一人学习积极性高的事件有 11 个，所以至少有一人学习积极 性高的概率 P＝11 21.(8 分) (3)因为 K2＝ － 2 25×25×22×28 ≈11.688＞10.828，所以有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与参 与社团活动有关系．(12 分) 19. (1)证明 因为 AA1＝A1C，且 O 为 AC 的中点，所以 A1O⊥AC， 又平面 AA1C1C⊥平面 ABC，平面 AA1C1C∩平面 ABC＝AC，且 A1O⊂平面 AA1C1C，∴A1O⊥平面 ABC. (4 分) (2)解 ∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面 ABC，AC⊂平面 ABC， ∴A1C1∥平面 ABC，即 C1 到平面 ABC 的距离等于 A1 到平面 ABC 的距离. 由(1)知 A1O⊥平面 ABC 且 A1O＝ AA2 1－AO2＝ 3， ∴VC1－ABC＝VA1－ABC＝1 3S△ABC·A 1O＝1 3×1 2×2× 3× 3＝1. (12 分) 20. (1)解 由题意知，a＝2，b＝1，所以椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2＝1. 因为 c＝ a2－b2＝ 3，所以椭圆 C 的离心率 e＝c a＝ 3 2 .(3 分) (2)证明 设 P(x0，y0)(x01 2时，令 h′(x)＝0，解得 x＝ln (2a)， 在[0，ln (2a))上，h′(x)x2， 只需证 ln(x＋1)> 2x x＋2. 高三数学（文科）2020-10 阶考 第 4 页 共 2 页 设 F(x)＝ln(x＋1)－ 2x x＋2， 则 F′(x)＝ 1 x＋1－ 4 （x＋2）2＝ x2 （x＋1）（x＋2）2. ∵当 x>0 时，F′(x)>0 恒成立，且 F(0)＝0， ∴F(x)>0 恒成立.∴原不等式得证. (12 分) 22. (1)将直线l 的参数方程 32 5 42 5 xt yt       (t 为参数)代入 22( 2) 1yx   , 得 27 12 5025 5tt   . (3 分) 设点 ,AB对应的参数分别为 12,tt, 则 1 2 1 2 60 125,77t t t t     . 2 1 2 1 2 1 2 10 71| | | | ( ) 4 7AB t t t t t t       . (6 分) (2)点 P 的直角坐标为( 2,2) , 故点 P 在直线l 上, 线段 AB 的中点对应的参数值为 12 2 tt . 点 P 到线段 AB 中点 M 的距离为 12 30||27 tt  . (10 分) 23. 解 (1)由 f(x)≤3 得|x－a|≤3， 解得 a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}， 所以  a－3＝－1， a＋3＝5， 解得 a＝2. (4 分) (2)当 a＝2 时，f(x)＝|x－2|. 设 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)， 于是 g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝   －2x－1，x2. 所以当 x5； 当－3≤x≤2 时，g(x)＝5； 当 x>2 时，g(x)>5. 综上可得，g(x)的最小值为 5. 从而若 f(x)＋f(x＋5)≥m， 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立，即 g(x)min≥m， 则 m 的取值范围为(－∞，5]. (10 分)