四川省树德中学2021届高三（理）数学上学期10月阶段性测试题（pdf）

高三数学（理科） 2020-10 阶考 第 1 页 共 2 页 树德中学高 2018 级高三上学期 10 月阶段性测试数学（理科）试题 命题人：王钊 审题人：罗莉 一、选择题：（共大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1.已知集合 P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若 P∪M＝P，则实数 a 的取值范围为( ) A.[－1，1] B.[1，＋∞) C.(－∞，－1] D.(－∞，－1]∪[1，＋∞) 2.在复平面内，复数 1 1－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知变量 x，y 之间的线性回归方程为y ^ ＝－0.7x＋10.3，且变量 x，y 之间的一组相关数据如下表所示， 则下列说法错误．．的是( ) A.变量 x，y 之间呈负相关关系 B.可以预测，当 x＝20 时，y ^ ＝－3.7 C.m＝4 D.该回归直线必过点(9，4) 4.(x2＋1)   1 x－2 5 的展开式的常数项是( ) A.5 B.－10 C.－32 D.－42 5.在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一 百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复 还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( ) A．9 日 B．8 日 C．16 日 D．12 日 6.函数 f(x)＝lnx＋ax 的图象存在与直线 2x－y＝0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞) 7.已知函数 f(x)＝  ex，x≤e， ln x，x>e，则函数 y＝f(e－x)的大致图象是( ) 8.一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面 积为( ) A.8 B.4 C.4 3 D.4 2 9.执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为( ) A.1 2 B.5 6 C.7 6 D. 7 12 10.将函数 f(x)＝ 3sin 2x－cos 2x 的图象向左平移 t(t>0)个单位后，得到函数 g(x)的 图象，若 g(x)＝g π 12－x ，则实数 t 的最小值为( ) A.5π 24 B.7π 24 C.5π 12 D.7π 12 11.抛物线x2 = 2py(p > 0)的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB = 60∘，过弦 AB 的中点 C 作该抛物线准线的垂线 CD，垂足为 D，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值 为( ) A. 3 B. 1 C. 23 3 D. 2 12.若关于 x 的方程 1 0 x xx xe me x e     有三个不等的实数解 1x ， 2x ， 3x ，且 1 2 30x x x   ，其中 mR ， 2.71828e  为自然对数的底数，则 312 2 312( 1) ( 1)( 1)xxx xxx e e e   的值为 A． 2e B．e C． 1m  D．1 m 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若非零向量 a，b 满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则 a，b 夹角 θ 的余弦值为________. 14. 已知椭圆x2 4 ＋y2 2 ＝1 的两个焦点是 F1，F2，点 P 在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则 △PF1F2 的面积是_____ ______. 15.已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于 1，前 n 项积为 Tn，且 a2a4＝a3，则使得 Tn>1 的 n 的最 小值为______________. 16. 如图，矩形 ABCD 中，E 为边 AB 的中点，将△ADE 沿直线 DE 翻转成△A1DE.若 M 为线段 A1C 的中 点，则在△ADE 翻转过程中，正确的命题是________． ①MB 是定值； ②点 M 在圆上运动； ③一定存在某个位置，使 DE⊥A1C； ④一定存在某个位置，使 MB∥平面 A1DE. x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 高三数学（理科） 2020-10 阶考 第 2 页 共 2 页 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第 17 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答.满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 17．（ 12 分） 已知函数 f(x)＝a·b，其中 a＝(2cos x，－ 3sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R. (1)求函数 y＝f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)＝－1，a＝ 7，且向量 m＝(3，sin B)与 n＝ (2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值. 18．（ 12 分） 某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造, 对所辖企业是否支持改造进行问卷调 查, 结果如下表: 支持 不支持 合计 中型企业 60 30 90 小型企业 120 100 220 合计 180 130 310 (1)能否在犯错误的概率不超过 0.050 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造与企业的规模有关”? (2)从 180 家支持节能降耗改造的企业中按分层抽样的方法抽出 12 家, 然后从这 12 家中选出 9 家进行 奖励, 分别奖励中、小型企业每家 50 万元、10 万元，记 9 家企业所获奖励总数为 X 万元, 求 X 的分 布列和数学期望. 附: 2 2 () ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d         2()P K k 0.050 0.025 0.010 k 3.841 5.024 6.635 19. （12 分） 如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1， AB＝BC＝B1B＝2. (1)证明：AB1⊥平面 A1B1C1； (2)求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值． 20. （12 分） 已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1 过 A(2，0)，B(0，1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率； (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四 边形 ABNM 的面积为定值. 21. （12 分） 已知函数 f(x)＝ex－1－x－ax2. (1)当 a＝0 时，求证：f(x)≥0； (2)当 x≥0 时，若不等式 f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)若 x>0，证明：(ex－1)ln(x＋1)>x2. （二）选考题（共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答 时请写清题号） 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线l 的参数方程为 32 5 42 5 xt yt        ( t 为参数), 它与曲线 22: ( 2) 1C y x   交于 ,AB两点. (1)求||AB ; (2)以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 设点 P 的极坐标为 3(2 2, )4  , 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 23. [选修 4-5：不等式选讲] （10 分） 已知函数 f(x)＝|x－a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围. 高三数学（理科） 2020-10 阶考 第 3 页 共 2 页 树德中学高 2018 级高三上学期 10 月阶段性测试数学（理科）试题参考答案 1. A 2. D 3.C 4.D 5. A. 6.B 7.B 8.D 9. B 10. B 11.B 12. A 13.－1 3 14. 2 15. 6 16.①②④ 17. 解 (1)f(x)＝2 cos2x－ 3sin 2x＝1＋cos 2x－ 3sin 2x＝1＋2cos 2x＋π 3 ， 令 2kπ≤2x＋π 3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得 kπ－π 6≤x≤kπ＋π 3(k∈Z)， ∴函数 y＝f(x)的单调递减区间为 kπ－π 6，kπ＋π 3 (k∈Z). (2)∵f(A)＝1＋2cos 2A＋π 3 ＝－1，∴cos 2A＋π 3 ＝－1，又π 3＜2A＋π 3＜7π 3 ， ∴2A＋π 3＝π，即 A＝π 3. ∵a＝ 7，∴由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.① ∵向量 m＝(3，sin B)与 n＝(2，sin C)共线， ∴2sin B＝3sin C，由正弦定理得 2b＝3c，② 由①②得 b＝3，c＝2. 18.解: (1) 2 2 310 (60 100 30 120) 3.85490 220 180 130K       , 因为3.854 3.841 , 所以能在犯错误的概率不超过 0.050 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造 与企业规模有关”.(4 分) (2)由题可知支持节能降耗技术改造的企业中, 中小型企业数之比为 1:2, 按分层抽样得到的 12 家中, 中、小型企业分别为 4 家和 8 家. 设9家获得奖励的企业中, 中, 小型企业分别为 m 家和 n 家, 则( , )mn可能为(1,8),(2,7),(3,6),(4,5). 与之对应, X 的可能取值为130,170,210,250 .(6 分) 18 48 9 12 1( 130) 55 CCPX C   , 27 48 9 12 12( 170) 55 CCPX C   , 36 48 9 12 28( 210) 55 CCPX C   , 45 48 9 12 14( 250) 55 CCPX C   . (10 分) X的分布列如下: X 130 170 210 250 P 1 55 12 55 28 55 14 55 1 12 28 14( ) 130 170 210 250 21055 55 55 55EX          . (12 分) 19. (1)证明 如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐 标系 O－xyz.由题意知各点坐标如下： A(0，－ 3，0)，B(1，0，0)，A1(0，－ 3，4)， B1(1，0，2)，C1(0， 3，1)．因此AB1 → ＝(1， 3，2)， A1B1 → ＝(1， 3，－2)，A1C1 → ＝(0，2 3，－3)． 由AB1 → ·A1B1 → ＝0 得 AB1⊥A1B1.由AB1 → ·A1C1 → ＝0 得 AB1⊥A1C1，A1B1∩A1C1＝A1， 所以 AB1⊥平面 A1B1C1. (5 分) (2)解 设直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角为 θ. 由(1)可知AC1 → ＝(0，2 3，1)，AB→ ＝(1， 3，0)，BB1 → ＝(0，0，2)． 设平面 ABB1 的法向量 n＝(x，y，z)． 由  n·AB→ ＝0， n·BB1 → ＝0， 即 x＋ 3y＝0， 2z＝0， 令 y＝1，则 x＝－ 3，z＝0，可得平面 ABB1 的一个法向量 n＝(－ 3，1， 0)．所以 sin θ＝|cos〈AC1 → ，n〉|＝ |AC1 → ·n| |AC1 → |·|n| ＝ 39 13 . 因此，直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值是 39 13 .(12 分) 20. (1)解 由题意知，a＝2，b＝1，所以椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2＝1. 因为 c＝ a2－b2＝ 3，所以椭圆 C 的离心率 e＝c a＝ 3 2 .(2 分) (2)证明 设 P(x0，y0)(x01 2时，令 h′(x)＝0，解得 x＝ln (2a)， 在[0，ln (2a))上，h′(x)x2， 只需证 ln(x＋1)> 2x x＋2. 设 F(x)＝ln(x＋1)－ 2x x＋2， 则 F′(x)＝ 1 x＋1－ 4 （x＋2）2＝ x2 （x＋1）（x＋2）2. ∵当 x>0 时，F′(x)>0 恒成立，且 F(0)＝0， ∴F(x)>0 恒成立.∴原不等式得证. (12 分) 22. (1)将直线l 的参数方程 32 5 42 5 xt yt       (t 为参数)代入 22( 2) 1yx   , 得 27 12 5025 5tt   . (3 分) 设点 ,AB对应的参数分别为 12,tt, 则 1 2 1 2 60 125,77t t t t     . 2 1 2 1 2 1 2 10 71| | | | ( ) 4 7AB t t t t t t       . (6 分) (2)点 P 的直角坐标为( 2,2) , 故点 P 在直线l 上, 线段 AB 的中点对应的参数值为 12 2 tt . 点 P 到线段 AB 中点 M 的距离为 12 30||27 tt  . (10 分) 23. 解 (1)由 f(x)≤3 得|x－a|≤3， 解得 a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}， 所以  a－3＝－1， a＋3＝5， 解得 a＝2. (4 分) (2)当 a＝2 时，f(x)＝|x－2|. 设 g(x)＝f(x)＋f(x＋5)， 于是 g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝   －2x－1，x2. 所以当 x5； 当－3≤x≤2 时，g(x)＝5； 当 x>2 时，g(x)>5. 综上可得，g(x)的最小值为 5. 从而若 f(x)＋f(x＋5)≥m， 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立，即 g(x)min≥m， 则 m 的取值范围为(－∞，5]. (10 分)