2021届高三数学期中备考名题好卷（新高考）01（解析版）

名题好卷-2021 届高三期中备考 数 学 试 卷（五） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的 指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一．选择题（共 8 小题） 1．设集合 M＝{x|x2+x﹣2≤0}，N＝{x|log2x＜1}，则 M∩N＝（　　） A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|﹣2≤x＜2} 【答案】B 【解析】∵M＝{x|﹣2≤x≤1}，N＝{x|0＜x＜2}，∴M∩N＝{x|0＜x≤1}．故选 B． 2．已知向量 → AB = （2，1）， → AC = （3，t），| → BC|＝1，则 → AB• → AC = （　　） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为 → BC = → AC ― → AB = （1，t﹣1）；∵| → BC|＝1，∴12+（t﹣1）2＝12⇒t＝0； ∴ → AC = （3，1），∴ → AB• → AC = 2×3+1×1＝7；故选 C． 3．设 i 为虚数单位，a∈R，“复数 z= 풂ퟐ ퟐ ― 풊ퟐퟎퟐퟎ ퟏ ― 풊是纯虚数“是“a＝1“的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】复数 z = 풂ퟐ ퟐ ― 풊ퟐퟎퟐퟎ ퟏ ― 풊 = 풂ퟐ ퟐ ― ퟏ ퟐ ― ퟏ ퟐ풊是纯虚数，则 a2＝1，a＝±1， a＝±1 是 a＝1 的必要不充分条件，故选：B． 4．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现 了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法 错误的是（　　） A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个 B．f（x）＝x3 可以是某个圆的“优美函数” C．正弦函数 y＝sinx 可以同时是无数个圆的“优美函数” D．函数 y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数 y＝f（x）的图象是中心对称图形 【答案】D 【解析】对于 A：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个， 故选项 A 正确； 对于 B：因为函数 f（x）＝x3 图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数 f（x）＝x3 是该圆的“优 美函数”，故选项 B 正确； 对于 C：将圆的圆心放在正弦函数 y＝sinx 的对称中心上，则正弦函数 y＝sinx 是该圆的“优美函数”，故选项 C 正确； 对于 D：函数 y＝f（x）的图象是中心对称图形，则函数 y＝f（x）是“优美函数”，但是函数 y＝f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示： ， 所以函数 y＝f（x）的图象是中心对称图形是函数 y＝f（x）是“优美函数”的充分不必要条件，故选项 D 错误， 故选 D． 5．已知 cos（ퟑ흅 ퟐ ― φ） = ퟑ ퟐ ，且|φ|＜흅 ퟐ，则 tanφ 等于（　　） A． - ퟑ ퟑ B． ퟑ ퟑ C． 3 D． - ퟑ 【答案】D 【解析】由 cos（ퟑ흅 ퟐ ― φ）＝cos ퟑ흅 ퟐ cosφ+sin ퟑ흅 ퟐ sinφ = ퟑ ퟐ ， 得 sinφ = - ퟑ ퟐ ，又|φ|＜흅 ퟐ，得到 - 흅 ퟐ＜φ＜흅 ퟐ，∴cosφ = ퟏ ― ( ― ퟑ ퟐ ) ퟐ = ퟏ ퟐ， 则 tanφ = ― ퟑ ퟐ ퟏ ퟐ = ― 3．故选 D． 6．已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为 3，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°， 则该球的表面积为（　　） A．4π B．4 2π C．8π D．32π 【答案】C【解析】∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为 3，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°， ∴ퟏ ퟐ × 2×1×sin60°×AA1 = ퟑ，∴AA1＝2 ∵BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos60°＝4+1﹣2，∴BC = ퟑ． 设△ABC 外接圆的半径为 R，则 푩푪 풔풊풏ퟔퟎퟎ = 2R，∴R＝1． ∴外接球的半径为 1 + 1 = ퟐ，∴球的表面积等于 4π×（ 2）2＝8π．故选 C． 7．将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第 10 行从左向右的第 3 个数为（　　） A．13 B．39 C．48 D．58 【答案】C 【解析】由排列的规律可得，第 n﹣1 行结束的时候共排了 1+2+3+…+（n﹣1） = (풏 ― ퟏ)(ퟏ + 풏 ― ퟏ) ퟐ = (풏 ― ퟏ)풏 ퟐ 个数， 则第 n 行的第一个数字为풏(풏 ― ퟏ) ퟐ + 1， 则第 10 行的第一个数字为 46，故第 10 行从左向右的第 3 个数为 48；故选 C． 8．已知 F 为双曲线 C：풙ퟐ 풂ퟐ ― 풚ퟐ 풃ퟐ = 1（a＞b＞0）的右焦点，A，B 是双曲线 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点， → AF • → BF = 0，且 AF 的中点在双曲线 C 上，则 C 的离心率为（　　） A． 5 ― 1 B．2 2 ― 1 C． 3 + 1 D． 5 + 1 【答案】A【解析】设双曲线的一条渐近线是 y = 풃 풂x，若点 A 在第一象限， 设 A（m，풃 풂m），m＞0，则 B（﹣m， - 풃 풂m），F（c，0）， 则 → AF = （c﹣m， - 풃 풂m）， → BF = （c+m，풃 풂m）， 由 → AF• → BF = 0 得（c﹣m， - 풃 풂m）•（c+m，풃 풂m）＝0， 得 c2﹣m2 - 풃ퟐ풎ퟐ 풂ퟐ = 0，即 c2 = 풄ퟐ 풂ퟐm2，得 m2＝a2，则 m＝a， 即 A（a，b），则 AF 的中点为（풂 + 풄 ퟐ ，풃 ퟐ）， ∵AF 的中点在双曲线 C 上，∴ (풂 + 풄 ퟐ )ퟐ 풂ퟐ ― 풃ퟐ ퟒ 풃ퟐ = 1， 即（풂 + 풄 ퟐ풂 ）2＝1 + ퟏ ퟒ = ퟓ ퟒ，即ퟏ ퟒ（1+e）2 = ퟓ ퟒ， 则（1+e）2＝5，则 1+e = ퟓ，即 e = ퟓ ― ퟏ， 若点 A 在第三象限，设 A（m，풃 풂m），m＜0，则 B（﹣m， - 풃 풂m），F（c，0）， 则 → AF = （c﹣m， - 풃 풂m）， → BF = （c+m，풃 풂m）， 由 → AF• → BF = 0 得（c﹣m， - 풃 풂m）•（c+m，풃 풂m）＝0， 得 c2﹣m2 - 풃ퟐ풎ퟐ 풂ퟐ = 0，即 c2 = 풄ퟐ 풂ퟐm2， 得 m2＝a2，则 m＝﹣a， 即 A（﹣a，﹣b），则 AF 的中点为（풄 ― 풂 ퟐ ， - 풃 ퟐ）， ∵AF 的中点在双曲线 C 上，∴ (풄 ― 풂 ퟐ )ퟐ 풂ퟐ ― 풃ퟐ ퟒ 풃ퟐ = 1， 即（풄 ― 풂 ퟐ풂 ）2＝1 + ퟏ ퟒ = ퟓ ퟒ，即ퟏ ퟒ（e﹣1）2 = ퟓ ퟒ，则（e﹣1）2＝5，则 e﹣1 = ퟓ，即 e = ퟓ + 1，则 e = ퟓ + 1 或 e = ퟓ ― 1， ∵a＞b＞0，∴c2＝a2+b2＜2a2，即 c＜ ퟐa，则 e＜ ퟐ，故 e = ퟓ ― 1，故选：A． 二．多选题（共 4 小题） 9．已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题正确的是（　　） A．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd B．若 ab＞0，bc﹣ad＞0，则풄 풂 ― 풅 풃＞ퟎ C．若 a＞b，c＞d，则 a﹣d＞b﹣c D．若 a＞b，c＞d＞0，则풂 풅＞ 풃 풄 【答案】BC 【解析】若 a＞b＞0，c＞d＞0，则 ac＞bd，所以 A 不正确； 若 ab＞0，bc﹣ad＞0，可得 ퟏ 풂풃(풃풄 ― 풂풅)＞ퟎ，即풄 풂 ― 풅 풃＞ퟎ ― 풅 풃＞0，所以 B 正确； 若 a＞b，c＞d，则 a+c＞b+d，即 a﹣d＞b﹣c，所以 C 正确； 若 a＞b，c＞d＞0，则풂 풅＞ 풃 풄．不正确，反例 a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，d＝﹣3， 显然풂 풅 = ― ퟏ ퟑ，풃 풄 = ퟏ ퟐ，所以 D 不正确．故选 BC． 10．下列判断正确的是（　　） A．命题 p：“∃x＞0，使得 x2+x+1＜0“，则 p 的否定：“∀x≤0，都有 x2+x+1≥0” B．△ABC 中，角 A，B，C 成等差数列的充要条件是 B = 흅 ퟑ C．线性回归直线y = 풃풙 + 풂必经过点（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）的中心点（x，풚） D．若随机变量 ξ 服从正态分布 N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则 P（ξ≤﹣2）＝0.21【答案】BCD 【解析】对于 A；命故错； 对于 B，△ABC 中，B＝60°⇔A+C＝2B，△ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列，故正确； 对于 C，在研究变量 x 和 y 的线性相关性时，线性回归直线方程必经过散点图中心（x，y），故正确； 对于 D，已知随机变量 ξ 服从正态分布 N（1，σ2），图象关于 x＝1 对称，根据 P（ξ≤4）＝0.79， 可得 P（ξ≥﹣2）＝0.79，得 P（ξ≤﹣2）＝1﹣0，79＝0.21，故正确；故选 BCD． 11．下列说法错误的是（　　） A．垂直于同一个平面的两条直线平行 B．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直 C．一个平面内的两条直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行 D．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直 【答案】CD 【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，A 对； 由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直，B 对； 一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面可能平行，相交，C 错； 一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面可能垂直，平行，相交，D 错． 故选 CD． 12．已知函数 f（x）＝2sin（2x - 흅 ퟑ）+1，则下列说法正确的是（　　） A．f（흅 ퟔ ― x）＝2﹣f（x） B．f（x - 흅 ퟔ）的图象关于 x = 흅 ퟏퟐ对称C．若 0＜x1＜x2＜흅 ퟐ，则 f（x1）＜f（x2） D．若 x1，x2，x3∈[ 흅 ퟑ，흅 ퟐ]，则 f（x1）+f（x2）＞f（x3） 【答案】BD 【解析】A．当 x＝0 时，f（흅 ퟔ ― x）＝f（흅 ퟔ）＝2sin[2 × 흅 ퟔ ― 흅 ퟑ]+1＝2sin0+1＝1， 2﹣f（0）＝2﹣2sin（ - 흅 ퟑ）﹣1＝1 + ퟑ，此时 f（흅 ퟔ ― x）＝2﹣f（x）不成立，故 A 错误， B．f（x - 흅 ퟔ）＝2sin[2（x - 흅 ퟔ） - 흅 ퟑ]+1＝2sin（2x - ퟐ흅 ퟑ ）+1， 由 2x - ퟐ흅 ퟑ = kπ + 흅 ퟐ得 x = ퟕ흅 ퟏퟐ + 풌흅 ퟐ ，k∈Z， 当 k＝﹣1 时，x = ퟕ흅 ퟏퟐ ― 흅 ퟐ = 흅 ퟏퟐ，即函数关于 x = 흅 ퟏퟐ对称，故 B 正确， C．当 0＜x＜흅 ퟐ时，0＜2x＜π， - 흅 ퟑ＜2x - 흅 ퟑ＜ ퟐ흅 ퟑ ，此时函数 f（x）不是增函数，故 C 错误， D. 흅 ퟑ ≤ x ≤ 흅 ퟐ时，ퟐ흅 ퟑ ≤ 2x≤π，흅 ퟑ ≤ 2x - 흅 ퟑ ≤ ퟐ흅 ퟑ ， 则当 2x - 흅 ퟑ = 흅 ퟑ或ퟐ흅 ퟑ 时，函数 f（x）取得最小值为 2sin 흅 ퟑ + 1 = ퟑ + 1， 当当 2x - 흅 ퟑ = 흅 ퟐ时，函数 f（x）取得最大值为 2sin 흅 ퟐ + 1＝2+1＝3， 则两个最小值之和为 3 + ퟏ + ퟑ + 1＝2 3 + 2＞3，故 D 正确，故选 BD． 三．填空题（共 4 小题） 13．某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 3：2：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 18 件．那么此样本的容量 n＝　60　． 【答案】60 【解析】由题意知，总体中中 A 种型号产品所占的比例是 ퟑ ퟑ + ퟐ + ퟓ = ퟑ ퟏퟎ ，因样本中 A 种型号产品有 18 件，则 ퟑ ퟏퟎ × n＝18，解得 n＝60． 14．根据公共卫生传染病分析中心的研究，传染病爆发疫情期间，如果不采取任何措施，则会出现感染者基数猛增， 重症挤兑，医疗资源负荷不堪承受的后果．如果采取公共卫生强制措施，则会导致峰值下降，峰期后移．如图，设不 采取措施、采取措施情况下分别服从正态分布 N（35，2），N（70，8），则峰期后移了　35　天，峰值下降了　50　% （注：正态分布的峰值计算公式为 ퟏ ퟐ흅흈 ） 【答案】35；50． 【解析】由题意可知峰期后移了 70﹣35（天）；峰值下降了( ퟏ ퟐ흅 × ퟐ ― ퟏ ퟐ흅 × ퟖ) ÷ ퟏ ퟐ흅 × ퟐ = ퟏ ퟐ = 50%． 15．已知点 P 是直线 l：x+y﹣b＝0 上的动点，过点 P 向圆 O：x2+y2＝1 作切线，切点分别为 M，N，且∠MPN＝90°， 若点 P 有且只有一个，则实数 b＝　　． 【答案】±2 【解析】解：过原点 O 作 x+y﹣b＝0 的垂线 y＝x，垂足为 A，由对称性可知当 P 在 A 处时，∠MPN＝90°， ∵OA 平分∠MPN，∴∠OAM＝∠OAN＝45°，∴过 A 的水平线与竖直线为圆的两条切线， 故 A（1，1）或 A（﹣1，﹣1），代入 x+y﹣b＝0 可得 b＝±2．故答案为：±2． 16．设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，∀x∈R，都有 f（2﹣x）＝f（2+x），且当 x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，若函数 g （x）＝f（x）﹣loga（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，9]内恰有三个不同零点，则实数 a 的取值范围是　　．【答案】（ퟏ ퟗ，ퟏ ퟓ）∪（ 3， 7）． 【解析】∵f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（2﹣x）＝f（2+x）， ∴f（x）的周期为 4， 作函数 f（x）与 y＝loga（x+1）在（﹣1，9]上的图象如下， ， 当 a＞1 时，{lo품풂(ퟐ + ퟏ)＜ퟐ 풍풐품풂(ퟔ + ퟏ)＞ퟐ， 解得， 3＜a＜ ퟕ； 当 0＜a＜1 时，{lo품풂(ퟒ + ퟏ)＞ ― ퟏ 풍풐품풂(ퟖ + ퟏ)＜ ― ퟏ， 解得，ퟏ ퟗ＜a＜ퟏ ퟓ； 四．解答题（共 6 小题） 17．在△ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，（1 + ퟑ）c＝2b，A = 흅 ퟔ． （1）求 C； （2）若 → CB• → CA = 1 + ퟑ，求 c． 【解析】（1）∵（1 + ퟑ）c＝2b，A = 흅 ퟔ；结合正弦定理得：（1 + ퟑ）sinC＝2sinB＝2sin（ퟓ흅 ퟔ ― C）＝2（ퟏ ퟐcosC + ퟑ ퟐ sinC）， ∴sinC＝cosC； ∵C∈（0，π）； ∴C = 흅 ퟒ； （2）由（1）得：sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA = ퟏ ퟐ × ퟐ ퟐ + ퟐ ퟐ × ퟑ ퟐ = ퟐ(ퟏ + ퟑ) ퟒ ； ∵ 풂 풔풊풏푨 = 풃 풔풊풏푩 = 풄 풔풊풏푪⇒a = 풄 ⋅ 풔풊풏푨 풔풊풏푪 ；b = 풄 ⋅ 풔풊풏푩 풔풊풏푪 ； ∴ → CB• → CA = abcosC = 풄 ⋅ 풔풊풏푨 풔풊풏푪 × 풄 ⋅ 풔풊풏푩 풔풊풏푪 × cosC＝c2 × ퟏ ퟐ ퟐ ퟐ × ퟐ(ퟏ + ퟑ) ퟒ ퟐ ퟐ × ퟐ ퟐ = 1 + ퟑ； ∴c2＝4； ∴c＝2 （负值舍）． 即 c＝2． 18．甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下： 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知　q = - ퟏ ퟐ　， （1）判断 S1，S2，S3 的关系； （2）若 a1﹣a3＝3，设 bn = 풏 ퟏퟐ|an|，记{bn}的前 n 项和为 Tn， 证明：Tn＜ퟒ ퟑ． 甲同学记得缺少的条件是首项 a1 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是 S1， S3，S2 成等差数列． 如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题． 【解析】（1）由题意可得 S1＝a1，S2＝a1+a2＝a1 - ퟏ ퟐa1 = ퟏ ퟐa1，S3＝a1+a2+a3＝a1 - ퟏ ퟐa1 + ퟏ ퟒa1 = ퟑ ퟒa1，可得 S1+S2＝2S3，即 S1，S3，S2 成等差数列； （2）证明：由 a1﹣a3＝3，可得 a1 - ퟏ ퟒa1＝3，解得 a1＝4， bn = 풏 ퟏퟐ|an| = 풏 ퟏퟐ•|4•（ - ퟏ ퟐ）n﹣1| = ퟐ ퟑn•（ퟏ ퟐ）n， 则 Tn = ퟐ ퟑ（1•ퟏ ퟐ + 2•ퟏ ퟒ + 3•ퟏ ퟖ +⋯ + n• ퟏ ퟐ풏）， ퟏ ퟐTn = ퟐ ퟑ（1•ퟏ ퟒ + 2•ퟏ ퟖ + 3• ퟏ ퟏퟔ +⋯ + n• ퟏ ퟐ풏+ퟏ）， 上面两式相减可得ퟏ ퟐTn = ퟐ ퟑ（ퟏ ퟐ + ퟏ ퟒ + ퟏ ퟖ + ퟏ ퟏퟔ +⋯ + ퟏ ퟐ풏 ― n• ퟏ ퟐ풏+ퟏ） = ퟐ ퟑ[ ퟏ ퟐ(ퟏ ― ퟏ ퟐ풏) ퟏ ― ퟏ ퟐ ― ― n• ퟏ ퟐ풏+ퟏ]， 化简可得 Tn = ퟒ ퟑ（1 - 풏 + ퟐ ퟐ풏+ퟏ ）， 由 1 - 풏 + ퟐ ퟐ풏+ퟏ ＜1，可得 Tn＜ퟒ ퟑ． 19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥底面 ABCD，PA＝AB，E 为线段 PB 的中点． （1）证明：点 F 在线段 BC 上移动时，△AEF 为直角三角形； （2）若 F 为线段 BC 的中点，求二面角 A﹣EF﹣D 的余弦值． 【解析】（1）证明：因为 PA＝AB，E 为线段 PB 的中点，所以 AE⊥PB， 因为 PA⊥底面 ABCD，BC⊂平面 ABCD，所以 PA⊥BC，又因为底面 ABCD 为正方形，所以 BC⊥AB， 又 PA∩AB＝A，所以 BC⊥平面 PAB， ∵AE⊂平面 PAB，∴BC⊥AE， 因为 PB∩BC＝B，所以 AE⊥平面 PBC， 因为 FE⊂平面 PBC，所以 AE⊥EF， 所以点 F 在线段 BC 上移动时，△AEF 为直角三角形． （2）解：由题意，以 AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，令 PA＝2， 则 A（0，0，0），B（2，0，0），E（1，0，1），F（2，1，0）， 易知平面 DAF 的一个法向量为 → n = （0，0，1）； 设平面 AEF 的法向量为 → m = （x，y，z），则 → m• → AF = → m• → AE = 0，可得：2x+y＝0，x+z＝0， 取 → m = （1，﹣2，﹣1）， 所以 cos＜ → 풎， → n＞ = ―ퟏ ퟏ × ퟔ = ― ퟔ ퟔ ， 由图可知：二面角 A﹣EF﹣D 的平面角为钝角，因此余弦值为 - ퟔ ퟔ ． 20．已知椭圆 C1：풙ퟐ 풂ퟐ + 풚ퟐ 풃ퟐ = 1（a＞b＞0）的右顶点与抛物线 C2：y2＝2px（p≥0）的焦点重合．C1 的离心率为ퟏ ퟐ，过 C1 的右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线截 C2 所得的弦长为 4 2． （1）求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程； （2）过点 M（3，0）的直线 l 与椭圆 C1 交于 A，B 两点，点 B 关于 x 轴的对称点为点 E，证明：直线 AE 过定点．【解析】（1）由 C1 的离心率为ퟏ ퟐ，可得풄 풂 = ퟏ ퟐ，所以 a＝2c， 因为椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，所以 a = 풑 ퟐ，p＝2a， 所以可得 p＝4c， 过 C1 的右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线截 C2 所得的弦长为 4 2，k 令 x＝c 代入抛物线的方程：可得 y2＝2p•c，所以|y| = ퟐ풑풄 = 2 2c， 即 4 2 = 2 ⋅ 2 ퟐ풄，解得 c＝1，所以 a＝2，p＝4c＝4 由 b2＝a2﹣c2 可得 b2＝4﹣1＝3， 所以椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程分别为：풙ퟐ ퟒ + 풚ퟐ ퟑ = 1，y2＝8x； （2）由题意可得直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为：x＝my+3，设 A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得 E（x2，﹣y2）， 直线与椭圆联立：{x = my + 3 ퟑ풙ퟐ + ퟒ풚ퟐ ― ퟏퟐ = ퟎ，整理可得：（4+3m2）y2+18my+15＝0，△＝182m2﹣4（4+3m2）•15＞0，可 得 m2＜7，y1+y2 = ―ퟏퟖ풎 ퟒ + ퟑ풎ퟐ，y1y2 = ퟏퟓ ퟒ + ퟑ풎ퟐ， 直线 AE 的方程为：y﹣y1 = 풚ퟏ + 풚ퟐ 풙ퟏ ― 풙ퟐ （x﹣x1）， 整理可得：y = 풚ퟏ + 풚ퟐ 풙ퟏ ― 풙ퟐ x - 풚ퟏ풙ퟏ + 풚ퟐ풙ퟏ 풙ퟏ ― 풙ퟐ + 풚ퟏ풙ퟏ ― 풚ퟏ풙ퟐ 풙ퟏ ― 풙ퟐ = 풚ퟏ + 풚ퟐ 풎(풚ퟏ ― 풚ퟐ)x - 풚ퟐ(풎풚ퟏ + ퟑ) + 풚ퟏ(풎풚ퟐ + ퟑ) 풎(풚ퟏ ― 풚ퟐ) = ―ퟏퟖ (풚ퟏ ― 풚ퟐ)(ퟒ + ퟑ풎ퟐ) x + ퟐퟒ (풚ퟏ ― 풚ퟐ)(ퟒ + ퟑ풎ퟐ) = ―ퟏퟖ (풚ퟏ ― 풚ퟐ)(ퟒ + ퟑ풎ퟐ) （x - ퟒ ퟑ） 所以当 x = ퟒ ퟑ时，y＝0，即过定点（ퟒ ퟑ，0）， 所以可证直线 AE 过定点（ퟒ ퟑ，0）． 21．调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比．对 调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出 n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为 它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分． 现设 n＝4，分别以 a1，a2，a3，a4 表示第一次排序时被排为 1，2，3，4 的四种调味品在第二次排序时的序号，并令 X ＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为 1，3，2，4， 则 X＝2）． （1）写出 X 的所有可能值构成的集合； （2）假设 a1，a2，a3+a4 的排列等可能地为 1，2，3，4 的各种排列，求 X 的数学期望； （3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有 X≤2． （i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ⅱ）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由． 【解析】（1）X 的可能值集合为{0，2，4，6，8}， 在 1，2，3，4 中奇数与偶数各有两个， 所以 a2，a4 中的奇数个数等于 a1，a3 中的偶数个数， 因此|1﹣a1|+|3﹣a3|与|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同， 从而 X＝（|1﹣a1|+|3﹣a3|）+（|2﹣a2|+|4﹣a4|）必为偶数，X 的值非负，且易知其值不大于 8． 由此能举出使得 X 的值等于 0，2，4，6，8 各值的排列的例子． （2）可用列表或树状图列出 1，2，3，4 的一共 24 种排列， 计算每种排列下的 X 值，在等可能的假定下，得到 X 0 2 4 6 8 P ퟏ ퟐퟒ ퟑ ퟐퟒ ퟕ ퟐퟒ ퟗ ퟐퟒ ퟒ ퟐퟒ EX = 0 × ퟏ ퟐퟒ + ퟐ × ퟑ ퟐퟒ + ퟒ × ퟕ ퟐퟒ + ퟔ × ퟗ ퟐퟒ + 8 × ퟒ ퟐퟒ = 5． （3）（ⅰ）首先 P（X≤2）＝P（X＝0）+P（X＝2） = ퟒ ퟐퟒ = ퟏ ퟔ，将三轮测试都有 X≤2 的概率记做 p，由上述结果和独立性假设，得 p = ퟏ ퟔퟑ = ퟏ ퟐퟏퟔ． （ⅱ）由于 p = ퟏ ퟐퟏퟔ＜ ퟓ ퟏퟎퟎퟎ是一个很小的概率， 这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有 X≤2 的结果的可能性很小， 所以我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测． 22．已知函数 f（x）＝ax（a＞0，a≠1）． （1）当 a＝e（e 为自然对数的底数）时， （i）若 G（x）＝f（x）﹣2x﹣m 在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围； （ii）若T(x) = f(x) ⋅ (풏 ퟐ풙 + ퟏ ― 풏 ퟐ)(풏 ∈ 푹)，求 T（x）在[0，1]上的最大值； （2）当a = 2时，풂풏 = 풇(풏)，풏 ∈ 푵+，数列{bn}满足(풇(풏) ― ퟏ)풃풏 = ퟏ ퟐ풏+ퟏ(ퟏ + 풏 풌=ퟏ 푪풌풏풂풌)．求证： 풏 k=1 풃풌 ≤ ퟑ[ퟏ ― ( ퟑ ퟒ) 풏 ]． 【解析】（1）a＝e 时，（i）G（x）＝ex﹣2x﹣m，G'（x）＝ex﹣2， 故 G（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增； 故 G（x）＝ex﹣2x﹣m 在[0，2]上恰有两个相异实根， 故{G(0) = 1 - m ≥ 0 푮(풍풏ퟐ) = ퟐ ― ퟐ풍풏ퟐ ― 풎＜ퟎ， 푮(ퟐ) = 풆ퟐ ― ퟒ ― 풎＞ퟎ 解得 2﹣2ln2＜m≤1． （ii）T(x) = 풆풙( 풏 ퟐ풙 + ퟏ ― 풏 ퟐ)(풏 ∈ 푹)，∴T'(x) = 풆풙( 풏 ퟐ풙 + ퟏ)． ①当 n＝0 时，T'（x）＝ex＞0，T（x）在[0，1]上为增函数，则此时 T（x）＝T（1）＝e； ②当 n＞0 时，T'(x) = 풆풙 ⋅ 풏 ퟐ(풙 + ퟐ 풏)，푻(풙)在( ― ퟐ 풏， +∞)上为增函数， 故 T（x）在[0，1]上为增函数，此时 T（x）＝T（1）＝e； ③当 n＜0 时，T'(x) = 풆풙 ⋅ 풏 ퟐ(풙 + ퟐ 풏)，푻(풙)在( ― ∞， ― ퟐ 풏)上为增函数，在( ― ퟐ 풏， +∞)上为减函数，若0＜ - ퟐ 풏＜ퟏ，即 n＜﹣2 时，故 T（x）在[ퟎ， ― ퟐ 풏]上为增函数，在[ ― ퟐ 풏， ― ퟏ]上为减函数， 此时T(풙)풎풂풙 = 푻( ― ퟐ 풏) = ― ퟐ 풏 ⋅ 풆 ― ퟐ 풏， 若 - ퟐ 풏 ≥ ퟏ，即﹣2≤n＜0 时，T（x）在[0，1]上为增函数，则此时 T（x）max＝T（1）＝e； 综上所述：[푻(풙)]풎풂풙 = { ― ퟐ 풏풆 ― ퟐ 풏，풏＜ ― ퟐ 풆，풏 ≥ ―ퟐ ． （2）a = 2时，풂풏 = ퟐ풏，(ퟐ풏 ― ퟏ)풃풏 = ퟏ ퟐ풏+ퟏ(ퟏ + 풏 풌=ퟏ 푪풌풏ퟐ풌) = ퟑ풏 ퟐ풏+ퟏ， 即b풏 = ퟑ풏 ퟐ풏+ퟏ(ퟐ풏 ― ퟏ) = ퟑ풏 ퟐ ⋅ ퟒ풏 ― ퟐ풏+ퟏ = ퟑ풏 ퟒ풏 + ퟒ풏 ― ퟐ풏+ퟏ = ퟑ풏 ퟒ풏 + ퟐ풏(ퟐ풏 ― ퟐ) ≤ ퟑ풏 ퟒ풏， 所以 풏 k=1 풃풌 ≤ 풏 풌=ퟏ ( ퟑ ퟒ) 풌 = ퟑ ퟒ[ퟏ ― (ퟑ ퟒ) 풏 ] ퟏ ― ퟑ ퟒ = ퟑ[ퟏ ― ( ퟑ ퟒ) 풏 ]．