专题01 集合逻辑、复数-2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）（解析版）

2021 年高考数学尖子生培优题典（新高考专版） 专题 01 基本初等函数 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、选择题 1．已知集合 ， .则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， ， 因为 ， 所以 ， 故选：C. 2．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，则 故选：A { }2 2A x x= − ≤ ≤∣ { }lg( 1)B x y x= = −∣ A B = { }2x x ≥ −∣ { }1 2x x< ∣ ∣ { }2 2A x x= − ≤ ≤∣ { }1 2A B x x= < ≤ ∣ { }40 log 1A x x= < < { }2 1xB x e −= ≤ A B = ( ),4−∞ ( )1,4 ( )1,2 ( ]1,2 { } { }40 log 1 = 1 4A x x x x= < < < < { } { }2 1 = 2xB x e x x−= ≤ ≤ A B = ( ),4−∞ 3．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，集合 ， 又由 ，即 ，解得 或 ， 即集合 或 ，则 所以 . 4．某班有学告 50 人，解甲、乙两道数学题.已知解对甲题者有 34 人，解对乙题者有 28 人，两题均对者有 20 人.则至少解对一题者的人数是（ ） A．8 B．22 C．30 D．42 【答案】D 【解析】如下图所示： 至少解对一题的人数为： 人，故选：D. 5．对于任意两个正整数 ， ，定义某种运算“ ”如下：当 ， 都为正偶数或正奇数时， ； 当 ， 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， ，则在此定义下，集合 中的元素个数是（ ）． A．10 个 B．15 个 C．16 个 D．18 个 { }1 3 81xM x= ≤ ≤ ( ){ }2 3log 4 2 1N x x x= − − > ( )N M∪ =R [ ]0,3 ( )0,3 ( )1,5− [ ]1,5− { } { }1 3 81 | 0 4xM x x x= ≤ ≤ = ≤ ≤ ( )2 3log 4 2 1x x− − > 2 4 5 0x x− − > 1x < − 5x > { | 1N x x= < − 5}x > { | 1 5}N x x= − ≤ ≤R ( ) [ ]{ | 1 5} 1,5N M x x∪ = − ≤ ≤ = −R 34 20 20 28 20 42− + + − = m n ⊕ m n m n m n⊕ = + m n m n mn⊕ = { }( , ) | 12, *, *M a b a b a b= ⊕ = ∈ ∈N N 【答案】B 【解析】根据定义知 分两类进行考虑， 一奇一偶，则 ， ，所以可能的取值 为 共 4 个， 同奇偶，则 ，由 ，所以可能的取值为 ， 共 11 个，所以符合要求的共 15 个，故选 B. 6．高二一班共有学生 50 人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门 课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少 20 人，这三门课程都不选的有 10 人，这三门课 程都选的有 10 人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有 13 人，物理、化学只选一科的学生都至 少 6 人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【解析】把学生 50 人看出一个集合 ，选择物理科的人数组成为集合 ， 选择化学科的人数组成集合 ，选择生物颗的人数组成集合 ， 要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多， 除这三门课程都不选的有 10 人，这三门课程都选的有 10 人， 则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少 6 人， 单选化学的最少 6 人，单选化学、生物的最少 3 人， 单选物理、生物的最少 3 人，单选生物的最少 4 人， 以上人数最少 42 人，可作出如下图所示的韦恩图， 所以单选物理、化学的人数至多 8 人， 所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多 人. 故选：C. 12a b⊕ = ,a b 12ab = ,a b N ∗∈ (1,12),(12,1),(3,4),(4,3), ,a b 12a b+ = ,a b N ∗∈ (2,10),(10,2),(1,11),(11,1), 3,9（ ） (9,3),(4,8),(8,4),(5,7),(7,5),(6,6), U A B C 10 8 18+ = 7．若 为纯虚数，则 z＝（ ） A． B．6i C． D．20 【答案】C 【解析】 ∵ 为纯虚数， ∴ 且 得 ，此时 故选：C. 8．设复数 满足 ，则复数 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得： ， 所以 . 9．若复数 满足 (i 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ） ( )( )( )3 2z i a i a R= − + ∈ 16 3 i 20 3 i ( )( ) ( )3 2 3 2 6z i a i a a i= − + = + + − ( )( )( )3 2z i a i a R= − + ∈ 3 2 0a + = 6 0a− ≠ 2 3a = − 20 3z i= z ( ) 33 2z i i+ = z = 2 3 13 i− + 2 3 13 i+ 3 2 13 i+ 3 2 13 i− ( ) ( )( ) 3 23 2i 3 2 2 3 3 2i 3 2 3 2 13 13 i i i i iz i i − − − + − −= = = =+ + − 2 3 13 iz − += z ( ) 21 2 1 3z i i− + = + z A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为 ，所以该复数在复平面内对于 的点位于第三象限，应选答案 C． 10．若 （ 是虚数单位），则 （ ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】 ,化简,得到 ,因此 ,故选 C. 11．复数 满足 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设复数 在复平面上的对应点为 ， 由 可得 即 ， 所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 圆心到点 的距离为 ， 所以 的最大值为 . 12．已知复数 ，且 ，则 的最大值为（　　） 2|1 3 | 10( 1 2 ) 10(1 2 ) 2 41 2 ( 1 2 )( 1 2 ) 5 i i iz ii i i + − − += = = − = − −− + − + − − 3 4 1 iz izi += +− i | |z = 3 2 5 2 ( ) 3 41 1 ii z i +− = − 32 2z i= − + 2 2 3 52 2 2z  = + =   z 17 0z z z z⋅ + + − = 3 2z i+ − 2 3 2 4 2 5 2 z ( ),Z x y 17z z z z⋅ + + = 2 2 2 17x y x+ + = ( )2 21 18x y+ + = Z ( )1,0− 3 2 ( )3,2− ( ) ( )2 23 1 2 0 2 2d = − + + − = 3 2z i+ − 5 2r d+ = ( , )z x yi x y R= + ∈ | 2 | 3z − = 1y x + A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵复数 ，且 ， ∴ ， ∴ ． 设圆的切线 ，则 ， 化为 ，解得 ． ∴ 的最大值为 ． 13．“ ”是“ ”成立的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由 一定能推出 ，但是由 不一定能推出 ，例如 当 时，显然 成立，但 不成立，故“ ”是“ ”成立 的充分非必要条件. 14．命题 ， ，则 是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 3 6 2 6+ 2 6− ( , )z x yi x y R= + ∈ 2 3z − = 2 2( 2) 3x y− + = ( )2 22 3x y− + = : 1l y kx= − 2 | 2 1| 3 1 k k − = + 2 4 2 0k k− − = 2 6k = ± 1y x + 2 6+ 0, 0a b> > 2a b ab+ ≥ 0, 0a b> > 2a b ab+ ≥ 2a b ab+ ≥ 0, 0a b> > 0a b= = 2a b ab+ ≥ 0, 0a b> > 0, 0a b> > 2a b ab+ ≥ :P x R∀ ∈ 2 1 1x + ≥ P¬ x R∀ ∈ 2 1 1x + < x R∀ ∈ 2 1 1x + ≥ 0x R∃ ∈ 2 0 1 1x + < 0x R∃ ∈ 2 0 1 1x + ≥ 【解析】命题的否定是： ， ，故选：C． 15．设函数 ，则“函数 在 上存在零点”是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解：函数 在区间 上单调递增， 由函数 在 上存在零点，则 ， ， 解得 ，故“函数 在 上存在零点”是“ ”的必要不分条件. 16．下列有关命题的说法正确的是（ ） A．若命题 ： ， ，则命题 ： ， B．“ ”的一个必要不充分条件是“ ” C．若 ，则 D． ， 是两个平面， ， 是两条直线，如果 ， ， ，那么 【答案】A 【解析】对于 A，命题 ： ， ，则命题 ： ， ，A 正确； 对于 B，当 时， 成立， 0x R∃ ∈ 2 0 1 1x + < 2( ) logf x x x m= + − ( )f x 1 ,42      (1,6)m∈ 2( ) logf x x x m= + − ( )0, ∞+ ( )f x 1 ,42      1 1 02 2f m  = − − 1 62 m− < < ( )f x 1 ,42      (1,6)m∈ p 0x R∃ ∈ 0 1xe < p¬ x R∀ ∈ 1xe ≥ 3sin 2x = 3x π= + = −  a b a b a b⊥  α β m n m n⊥ m α⊥ βn// α β⊥ p 0x R∃ ∈ 0 1xe < p¬ x R∀ ∈ 1xe ≥ 3x π= 3 sin 2x = 所以“ ”是“ ”的充分条件，所以 B 错误； 对于 C， 且两向量反向时 成立， 不成立 C 错误； 对于 D，若 ， ， ，则 ， 的位置关系无法确定，故 D 错误. 17．（多选题）下列命题中正确的是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】BD 【解析】对于 A，当 时， ， 恒成立，A 错误； 对于 B， ，当 时， ， ， ，B 正 确； 对于 C，当 时， ， ，则 ，C 错误； 对于 D，由对数函数与指数函数的单调性可知，当 时， 恒成立，D 正确. 故选：BD. 18．（多选题）对 ， 表示不超过 的最大整数．十八世纪， 被“数学王子”高斯采用，因此 得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A． 3x π= 3sin 2x = a b>  + = −  a b a b a b⊥  m n⊥ m α⊥ βn// α β ( )0,x∃ ∈ +∞ 2 3x x> ( )0,1x∃ ∈ 2 3log logx x< ( )0,x∀ ∈ +∞ 1 3 1 log2 x x  >   10, 3x  ∀ ∈   1 3 1 log2 x x  2 2 13 3 xx x  = 0 1x< < 2log 0x < 3log 0x < 2 3log logx x< 1 2x = 1 2 2 2 x  =   1 2 log 1x = 1 2 1log 2 x x  >    10, 3x  ∈   1 3 1 1 log2 x x  <