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专题 39 空间几何体综合练习
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是( )。
A、圆锥 B、圆柱 C、球 D、棱柱
【答案】D
【解析】用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，但截棱柱一定不会产生圆面，故选 D。
2．如图所示，在多面体 中，已知四边形 是边长为 的正方形，且 、 均为正
三角形， ， ，则该多面体的体积为( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥，在梯形 中易知 ，
∴ ，则该几何体体积为 ，
故选 A。
3．如图所示，已知一圆台上底面半径为 ，下底面半径为 ，母线 长为 ，其中 在上底
面上， 在下底面上，从 的中点 处拉一条绳子，绕圆台的侧面转一周达到 点，则这条绳子的长度
最短为( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】C
【解析】画图，则设 ，圆心角为 ，则 ，
，解得 ， ，
则 ， ， ，故选 C。
4．如图，在长方体 中，用截面截下一个棱锥 ，则棱锥 的体积与剩余
部分的体积之比为( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】法一：设 ， ， ，则长方体 的体积 ，
ABCDEF ABCD 1 ADE∆ BCF∆
ABEF // 2=EF
3
2
3
3
3
2
3
4
ABFE 2
3=BN
4
2
2
212
1
2
1 =××=⋅=∆ HNBCS BCN 3
2
2
1
4
2
3
1214
2 =×××+×
5 cm 10 cm AB 20 cm A
B AB M B
30 cm 40 cm
50 cm 60 cm
ROA = α Rα=π10
)20(20 R+α=π 90=α 20=R cm
30=OM cm 40=′BO cm 50=′BM cm
DCBAABCD ′′′′− DDAC ′′− DDAC ′′−
51： 41：
31： 21：
aAB = bAD = cDD =′ DCBAABCD ′′′′− abcV =2
又 ，且三棱锥 的高为 ，
∴ ，
则剩余部分的几何体体积 ，
则 ，故选 A。
法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱 ，
设它的底面 面积为 ，高为 ，则它的体积为 ，
而棱锥 的底面面积为 ，高为 ，
∴棱锥 的体积 ，
剩余部分的体积是 ，
∴棱锥 的体积与剩余部分的体积之比为 ，故选 A。
5．在地球北纬 圈上有 、 两点，它们的经度相差 ， 、 两地沿纬线圈的弧长与 、 两点的
球面距离之比为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】由题知 ， ，∴ 两地的球面距离是 ，
而 两 地 纬 线 圈 的 弧 长 为 小 圆 的 半 个 圆 周 ， ∴ ，
∴ ，
故选 D。
6．已知 、 是球 的球面上两点， ， 为该球面上的动点，若三棱锥 体积的最大
值为 ，则球 的表面积为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】如图，当点 位于垂直于面 的直径端点时，
三棱锥 的体积最大，设球 的半径为 ，
此时 ，故 ，
bcS DDA 2
1=′′∆ DDAC ′′− aCD =
abcCDSV DDADDAC 6
1
3
1 =⋅= ′′∆′′−三棱锥
abcabcabcV 6
5
6
1 =−=剩
516
5
6
1 ：：： 剩三棱锥 ==′′− abcabcVV DDAC
BCBCADAD ′′−′′
ADAD ′′ S h ShV =
DDAC ′′− S2
1 h
DDAC ′′− ShShV DDAC 6
1
2
1
3
1 =×=′′−三棱锥
ShShShV 6
5
6
1 =−=剩
DDAC ′′− 516
5
6
1 ：： =ShSh
60 A B 180 A B A B
31： 21： 32： 23：
60=∠=∠ AOBOAB 21
RAO = AB RRl π=π=
3
1
180
60
1
AB RRl π=×π=
2
1
22
233
1
2
1
12 ：：： =ππ= RRll
A B O 90=∠AOB C ABCO −
36 O
π36 π64 π144 π256
C AOB
ABCO − O R
366
1
2
1
3
1 32 ==××== −− RRRVV AOBCABCO 6=R B
O
A
C3
则球 的表面积为 ，故选 C。
7．平行四边形 中， ，且 ，沿 将四边形折起成平面 平面 ，
则三棱锥 外接球的表面积为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】将平面 平面 ，
又∵平面 平面 ， 平面 ，
，∴ 平面 ，
∵四边形 为平行四边形，∴ ，
同理 平面 ，∴ 、 均为 ，
设 中点为 ，连 、 ，
则 ， 为三棱锥 外接球半径，
则 ， ，
则 ，故三棱锥 外接球的表面积为 ，故选 C。
8．如图所示，在三棱柱 中，三条棱 、 、 两两垂直，且 ，分别经过三条
棱 、 、 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 、 、 ，则 、 、 的大小关
系( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】还原成长方体，连 、 ， 与 交于点 ，
则平面 将三棱锥体积平分，到平面 的距离 ，
有 ，则 ，
同理 ， ，
而 ， ， ，
∴ ，因此 ，故选 A。
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
O π=π= 1444 2RS
ABCD BDAB ⊥ 42 22 =+ BDAB BD ⊥ABD BDC
BCDA −
2
π π2 π4 π16
⊥ABD BDC
ABD BDBDC = ⊂AB ABD
BDAB ⊥ ⊥AB BDC
ABCD CDAB//
⊥CD ABD ABC∆ ACD∆ ∆Rt
AC O BO DO
RACDOCOBOAO =====
2
1 R BCDA −
42 2222222222 =+=++=+=+= BDABBDABABADABBCABAC 2=AC
12
1 == ACR BCDA − π4
ABCO − OA OB OC OCOBOA >>
OA OB OC 1S 2S 3S 1S 2S 3S
321 SSS >> 312 SSS >>
132 SSS >> 123 SSS >>
CF OE OE AB D
OCD OCD 22 OBOA
OBOAd
+
⋅=
OCOBOASd ⋅⋅×=⋅×
2
1
3
1
3
12 3 4
22
3
OBOAOCS
+⋅=
4
22
2
OCOAOBS
+⋅=
4
22
1
OCOBOAS
+⋅=
16
2222
2
1
OCOAOBOAS
⋅+⋅=
16
2222
2
2
OCOBOBOAS
⋅+⋅=
16
2222
2
3
OCOAOCOBS
⋅+⋅=
2
3
2
2
2
1 SSS >> 321 SSS >>4
选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9．如右图所示，在正方体 中， 、 分别是 、 的中点，则图中阴影部分在正方
体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的( )。
A、 B、
C、 D、
【答案】AC
【解析】A 选项为在 上的投影，C 选项为在 上的投影，故选 AC。
10．两平行平面截半径为 的球，若截面面积分别为 和 ，则这两个平面间的距离是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】AD
【解析】如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，
则 ，
如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，
则 ，故选 AD。
注意：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质“与底面全等或相似”，同时结合
旋转体中的经过旋转轴的截面“轴截面”的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组，
进而得解。
11．已知四面体 是球 的内接四面体，且 是球 的一条直径， ， ，则下面结论
正确的是( )。
A、球 的表面积为
B、 上存在一点 ，使得
C、若 为 的中点，则
D、四面体 体积的最大值为
【答案】ACD
【 解 析 】 ∵ 是 球 的 一 条 直 径 ， ∴ ， ，
∴ ，
1111 DCBAABCD − M N 1BB BC
11BBCC 11CCDD
5 π9 π16
1 3 4 7
1344535 2222 =−=−−−=CD
7344535 2222 =+=−+−=CD
ABCD O AB O 2=AD 3=BD
O π13
AC M BMAD//
N CD CDON ⊥
ABCD 2
13
AB O BCAC ⊥ BDAD ⊥
1332 2222 =+=+= BDADAB5
球 的半径为 ，球 的表面积为 ，A 正确，
∵ 与平面 相交， 上找不到一点 ，使得 ，B 错误，
连接 、 ，∵ ， 为 的中点，∴ ，C 正确，
易知点 到平面 的距离的最大值为球的半径 ，
∴四面体 体积的最大值为： ，D 正确，
故选 ACD。
12．如图所示，正方体 的棱长为 ， 、 分别是棱 、 的中点，过直线 、
的平面分别与棱 、 交于 、 ，设 ， ，则下列命题中正确的是( )。
A、平面 平面
B、当且仅当 时，四边形 的面积最小
C、四边形 周长 是单调函数
D、四棱锥 的体积 为常函数
【答案】ABD
【解析】A 选项，∵ ， ， ，∴ ，∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴平面 平面 ，A 对，
B 选项，∵四边形 为菱形，∴ ，
又 ，要使四边形 的面积最小，只需 最小，
则当且仅当 时，四边形 的面积最小，B 对，
C 选项，∵ ， ，
∴ 在 上不是单调函数，C 错，
D 选项， ，
，点 到平面 的距离为 ， ，
又 ，点 到平面 的距离为 ， ，
∴ 为常函数，D 对，
故选 ABD。
三、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
O 2
13
2
1 =AB O π=×π 13)2
13(4
AD ABC AC M BMAD//
OC OD ODOC = N CD CDON ⊥
C ABD R
ABCD 2
13
2
13322
1
3
1
3
1
max =××××=⋅⋅= ∆ RSV ABD
DCBAABCD ′′′′− 1 E F AA ′ CC ′ E F
BB ′ DD ′ M N xBM = ]10[ ，∈x
⊥MENF BDBD ′′
2
1=x MENF
MENF )(xfL =
MENFC −′ )(xhV =
ACEF // BDAC ⊥ BBAC ′⊥ BDBDAC ′′⊥ ⊥EF BDBD ′′
⊂EF MENF ⊥MENF BDBD ′′
MENF MNEFSMENF ⋅=
2
1
2=EF MENF MN
2
1=x MENF
1)2
1( 2 +−= xMF 1)2
1(4)( 2 +−= xxf
)(xf ]10[ ，
NECFECMFMENFC VVV ′−′−−′ +=
4
112
1 =⋅′=′∆ ECS MEC F MEC′ 1 12
1
4
1
3
1 =⋅=′− MECFV
4
112
1 =⋅′=′∆ ECS NEC F NEC′ 1 12
1
4
1
3
1 =⋅=′− NECFV
6
1)( =xh6
13．在有太阳的某时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点 处，同一时刻
一根长 的木棒垂直于地面，且影子长 ，则此球的半径为 。
【答案】
【解析】 ，设 ( )，
由题意知 ，即 ，∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ 。
14．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个
数学发现。如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该
图中，球的体积是圆柱体积的 ，并且球的表面积也是圆柱表面积的 ，若圆柱的表面积是 ，现在向圆
柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为 。
【答案】
【解析】设球的半径为 ，则由题意可得球的表面积为 ，∴ ，
∴圆柱的底面半径为 ，高为 ，∴最多可以注入的水的体积为 。
15．连接正方体相邻各面的中心(中心是指正方形的两条对角线的交点)后所得到了一个几何体，设正方体的
棱长为 ，则该几何体的表面积为 ，该几何体的体积为 。(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
【答案】
【解析】这正八面体每个面是全等的正三角形，
， ，
∵ ， ， ，
∴ 。
16．已知正四棱锥 内接于半径为 的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为 。
【答案】
【解析】由球的几何性质可设四棱锥高为 ，
从而 ，
10 m
3 m 1 m
3
310 m
10=′OB α=′∠ 2OAB 450
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