专题10 计数原理-2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）（解析版）

1 / 13 2021 年高考数学尖子生培优题典（新高考专版） 专题 10 计数原理 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、单选题 1．（2020·广西南宁·月考（理）） 展开式中 项的系数为（ ） A．5 B．6 C．-6 D．-4 【答案】B 【解析】分解 ， 求这两部分的 项的系数和， 项为 . 2．（2020·古丈县第一中学高二月考）世界华商大会的某分会场有 ，将甲，乙，丙，丁共 4 名“双语” 志愿者分配到这三个展台，每个展台至少 1 人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（ ） A．12 种 B．10 种 C．8 种 D．6 种 【答案】D 【解析】 甲、乙两人被分配到同一展台， 甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将 3 个人分到 3 个展台上的全排列，即有 种， 甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数 种． 3．（2020·渝中·高三月考（理））自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者” 支援湖北.重庆第一批共派出甲、乙、丙、丁 4 支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一 ( )( )31 1 2x x− + 2x ( )( ) ( ) ( )3 3 31 1 2 = 1 2 1 2x x x x x− + + − + 2x 2x ( ) ( ) ( )22 1 2 3 31 2 2 6C x x C x x× + − × = , ,A B C  ∴ 3 3A ∴ 3 3 6A = 2 / 13 支医疗队，每支医疗队只去一个地方，则甲、乙都在武汉的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 4 支队伍分配到三个地方，每个地方至少一支队伍，每支队伍只去一个地方，共有 种情况，甲、乙都在武汉共 种情况， ， 故选:D 4．（2020·山西高三开学考试（理））有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医 生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 A．60 种 B．70 种 C．75 种 D．150 种 【答案】C 【解析】因 ,故应选 C． 5．（2020·安徽合肥·高三月考（理））周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的 4 张电影 票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解析】4 个人坐四个座位，共有 种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大 人陪伴，共有 种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有 24-8=16 种坐法. 6．（2020·全国高三开学考试） 的展开式的常数项为 ，则实数 （ ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 1 3 1 6 2 9 1 18  2 3 4 3 36n C A= = 2m = 1 18 mP n ∴ = = 4 4 24A = 2 2 2 22 8A A = 61ax x  +   160− a = 3 / 13 【答案】B 【解析】 的展开式的通项 ，令 ，得 ， 所以 ，解得 ，故选：B. 7．（2020·高三开学考试）从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益 活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ ） A．40 种 B．60 种 C．100 种 D．120 种 【答案】B 【解析】根据题意，首先从 5 人中抽出两人在星期五参加活动，有 种情况， 再从剩下的 3 人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有 种情况， 则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有 =60 种. 8．（2020·四川仁寿一中高三月考（理））现从 名男医生和 名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用 表示事件“抽到的两名医生性别相同”， 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由已知得 , ， 则 ，故选：A 61ax x  +   6 6 6 2 1 6 1( ) r r r r r r rT C ax C a xx − − − +  = =   6 2 0r− = 3r = 3 6 3 6 160C a − = − 2a = − 4 3 A B ( )P B A = 1 3 4 7 2 3 3 4 2 2 4 3 2 7 9 3( ) 21 7 C CP A C += = = 2 3 2 7 3 1( ) 21 7 CP AB C = = = ( )P B A = 1 ( ) 17 3( ) 3 7 P AB P A = = 4 / 13 9．（2020·浙江高三其他） 的展开式中的 的系数为（ ） A．1 B． C．11 D．21 【答案】C 【解析】由题可得 的 x3 项为： ，x5 项为： ，然后和 相乘 去括号得 项为： ，故 的展开式中的 的系数为 11，选 C. 10．（2020·云南其他（理））数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”， 既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如 343 ，12521 等.两位数的回文数有 11 ，22 ，3，……，99 共 9 个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】A 【解析】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为 ， ， ， .如果末（首）位为 ， 中间一位数有 种可能，同理可得，如果末（首）位为 或 或 ， 中间一位数均有 种可能，所以有 个，故选：A 11．（2020·月考（理））若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2 选 A ( )( )52 1 1x x+ − 5x -9 ( )51x − 2 3 2 3 5 ( 1) 10C x x− = 0 5 0 5 5 ( 1)C x x− = ( )2 1x + 5x 5 5 510 11x x x+ = ( )( )52 1 1x x+ − 5x 2 4 6 8 2 10 4 6 8 10 4 10 40× = 4 2 3 4 0 1 2 3 4(2 3)x a a x a x a x a x+ = + + + + 2 2 0 2 4 1 3( ) ( )a a a a a+ + − + 1 1− 0 2 4 4 4 0 1 4 0 1 4( )( ) (2 3) ( 2 3) ( 4 3) 1a a a a a a= + + + − + + = + − + = − + =  5 / 13 12．（2020·陕西省丹凤中学一模（理））设 是函数 的最大值，则二项式 的展开式中含 项的系数是（ ） A．192 B．182 C．-192 D．-182 【答案】C 【解析】因为 ，由此可得 ， 由二项展开式的通项公式为： ， 令 ，得 ， 所以展开式中含 项的系数是 . 13．（2020·安徽省六安中学开学考试（理））某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建 “1+2”合作体，现某市直属高中学校选定了 6 名教师和 2 名中层干部去 2 所共建学校交流学习，若每所共 建学校需要派 3 名教师和 1 名中层干部，则该市直属高中学校共有（ ）种选派方法 A．160 B．80 C．40 D．20 【答案】C 【解析】先给一所学校派 3 名教师和 1 名中层干部，则有 种选派方法，剩余的 3 名教师和 1 名中层干 部直接去另一所学校，只有 1 种方法，∴共有 种选派方法， 14．（2020·天津静海一中高二月考）某校迎新晚会上有 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要 求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有 （ ） a ( )cos 3siny x x x R= + ∈ 61a x x  −   2x cos 3sin 2sin 6y x x x π = + = +   2a = ( ) ( )6 6 3 1 6 6 1 1 rr rr r r r rT C a x C a x x − − − +  = ⋅ − = − ⋅ ⋅ ⋅   3 2r− = 1r = 2x ( ) 6 61 192r r rC a −− ⋅ ⋅ = − 3 1 6 2C C 3 1 6 2 40C C = 6 6 / 13 A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】A 【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数， 将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为 ， 利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的， 因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有 种，故选 A. 15．（2020·辽宁锦州·开学考试（理））已知 ，且 .则展开式 中 的系数为（ ） A．12 B．-12 C．4 D．-4 【答案】D 【解析】∵ ，且 ， 则展开式 ， 故含 的系数为 ，故选 D． 16．（2020·全国月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦 图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形 内部为“赵爽弦图”，它是由 四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率 为（ ） 120 156 188 240 2 5 2 5 2 120 240A A = × = 240 1202 = 2 2 2 ( 4 5sin )a x x dx− = − +∫ 2am π= 2 12 (1 )mxx  − −   x 2 2 2 2 2 2 1( 4 5sin ) 2 5 22a x x dx cosxπ π− − = − + = ⋅ ⋅ − =∫ 2 4am π= = ( ) ( )4 2 2 1 12 1 2 1mx xx x    − − = − −       ( )2 3 4 2 12 1 4 6 4x x x xx  = − ⋅ − + − +   x 8 4 4− + = − ABCD 7 / 13 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有 种， 其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有 ， 根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率 . 17．（2020·海南枫叶国际学校高二期中）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课 程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为 【答案】ABD 【解析】若任意选择三门课程，选法总数为 ，故 A 错误 若物理和化学至少选一门，选法总数为 ，故 B 错误 3 7 4 7 3 14 11 14 2 8 28C = 2 34C 12= 12 3 28 7P = = 3 7A 1 2 2 5C C 3 1 7 5C C− 1 2 1 2 5 5C C C− 3 7C 1 2 2 1 2 5 2 5C C C C+ 8 / 13 若物理和历史不能同时选，选法总数为 ，故 C 正确 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为 故 D 错误 18．（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知 的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则 n 的值可以 为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】ABC 【解析】∵已知 的展开式中第 5 项的二项式系数 最大,则 或 n＝8 或 n＝9 19．（2020·福建省福州外国语学校期末）已知 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相 等，且展开式的各项系数之和为 1024，则下列说法正确的是（ ） A．展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B．展开式中第 6 项的系数最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含 项的系数为 45 【答案】BCD 【解析】由二项式的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等可知 , 又展开式的各项系数之和为 1024,即当 时, ,所以 , 所以二项式为 , 3 2 1 7 2 5C C C− 1 2 2 1 1 2 5 2 5 5C C CC C+ − ( )na b+ ( )na b+ 4 nC 7n = 2 1( ) ( 0)nax a x + > 15x 10n = 1x = ( )101 1024a + = 1a = 1010 1 2 2 21x x x x −  + = +      9 / 13 则二项式系数和为 ,则奇数项的二项式系数和为 ,故 A 错误； 由 可知展开式共有 11 项,中间项的二项式系数最大,即第 6 项的二项式系数最大, 因为 与 的系数均为 1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第 6 项的系数最大,故 B 正确； 若展开式中存在常数项,由通项 可得 ,解得 ,故 C 正确； 由通项 可得 ,解得 ,所以系数为 ,故 D 正确, 20．（2020·山东临朐·高三月考）下列有关说法正确的是（ ） A． 的展开式中含 项的二项式系数为 20； B．事件 为必然事件，则事件 、 是互为对立事件； C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 与 的值分别为 ， ； D．甲、乙、丙、丁 4 个人到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4 个人去的景点各不相同”， 事件 “甲独自去一个景点”，则 . 【答案】CD 【解析】对于 ，由二项式定理得： 的展开式中含 项的二项式系数为 ，故 错误； 对于 ，事件 为必然事件，若 ， 互斥，则事件 、 是互为对立事件；若 ， 不互斥，则事 件 、 不是互为对立事件，故 错误 对于 ，设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则曲线关于 对称，则 与 的值分别为 ， ．故 正确． 102 1024= 1 1024 5122 × = 10n = 2x 1 2x − ( ) 1 2 10 2 1 10 rrr rT C x x − − + = ( ) 12 10 02r r− − = 8r = ( ) 1 2 10 2 1 10 rrr rT C x x − − + = ( ) 12 10 152r r− − = 2r = 2 10 45C = 51 22 x y −   2 3x y A B A B ξ ( ),7N µ ( ) ( )2 4P Pξ ξ< = > µ Dξ 3µ = 7Dξ = A = B = ( ) 2| 9P A B = A 51( 2 )2 x y− 2 3x y 3 5 10C = A B A B A B A B A B A B B C ξ ( ,7)N µ ( 2) ( 4)P Pξ ξ< = > 3x = µ Dξ 3µ = 7Dξ = C 10 / 13 对于 ，设事件 “4 个人去的景点不相同”，事件 “甲独自去一个景点”， 则 （A） ， （B） ， ，则 ，故 正确； 21．（2020·深圳市高级中学高二期中）(1)在(1＋x)n 的展开式中，若第 3 项与第 6 项系数相等，则 n 等于多 少？ (2) 的展开式奇数项的二项式系数之和为 128，求展开式中二项式系数最大项． 【解析】(1)由已知得 ＝ 得 n＝7. (2)由已知得 ＋ ＋ ＋…＝128，2n－1＝128，n＝8， 所以展开式中二项式系数最大项是 T5＝ (x )4 ＝70x4 22．（2020·四川省仁寿第二中学高二月考（理））在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A， B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率. 【解析】(1)记“甲、乙两人同时参加 A 岗位服务”为事件 EA，那么 ， 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 ； (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件 E，那么 ，所以甲、乙两人不在同一 岗位服务的概率是 P( )＝1－P(E)＝ ； D A = B = P 4 4! 4 = P 3 4 4 3 27 4 64 = = 4 4 3! 3( ) 4 32P AB ×= = ( ) 2( | ) ( ) 9 P ABP A B P B = = D 3 1 n x x x  +   2 nC 5 nC 0 nC 2 nC 4 nC 4 8C x 4 3 1 x      3 2x ( ) 3 3 2 4 5 4 1 40A AP E C A = = 1 40 ( ) 4 4 2 4 5 4 1 10 A C AP E = = E 9 10 11 / 13 (3)因为有两人同时参加 A 岗位服务的概率 ，所以仅有一人参加 A 岗位服务的概率 P1＝1－P2 ＝ . 23．（2020·上海高三专题练习）已知 的展开式中，第三项的系数与第五项的系数之比是 ， 且第四项等于 ，求 x 的值． 【解析】 由 ，得 ， ， 由 ，得 （ 舍） 24．（2020·开学考试（理））已知 ，其 中 ． （1）当 时，求 的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项； （2）若 n 为偶数，求 的值． 【解析】（1） 中 时，展开式中有 7 项，中间一项的二项式系数最大，此项为 ， 又 ，设第 项系数最大，则 ，解得 ，∴ ， 即第 5 项系数最大，第 5 项为 ； 二项式系数最大的项是第 4 项为 ，系数最大的项是第 5 项为 ； 2 3 5 3 2 4 5 4 2 1 4 C A C AP = = 3 4 6( 2 )nx x− 1: 4 1600− 1 6 6( ) (( 2 ) ( 2) ( ) )r n r r rr n r r r n nT C x x C x x− − + = ⋅ − ⋅ − ⋅=⋅ 2 2 4 4( 2) : ( 2) 1: 4n nC C   ⋅ − ⋅ − =    3 1 , 4( 2)( 3) 4 nn n = ≥− − 6n∴ = 3 3 36 4 6 ( ) ( 2 )T C x x= ⋅ ⋅ − 2160 1600x= − = − 10x = 10x = − ( ) ( )2 * 0 1 21 2 , 6n n nx a a x a x a x n N n+ = + + + + ∈  0 1 2, , , , na a a a R∈ 6n = 6(1 2 )x+ 2 4 6 na a a a+ + +…+ ( ) ( )2 * 0 1 21 2 , 6n n nx a a x a x a x n N n+ = + + + + ∈  6n = 3 3 3 6 (2 ) 160C x x= 1 6 6(2 ) 2r r r r rT C x C+ = = 1k + 1 1 6 6 1 1 6 6 2 2 2 2 k k k k k k k k C C C C + + − −  ⋅ ≥ ⋅  ⋅ ≥ ⋅ 11 14 3 3k≤ ≤ 4k = 4 4 4 6 (2 ) 240C x x= 3160x 4240x 12 / 13 （2）首先 ，记 ， 则 ， ， 所以 ， 所以 ． 25．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他）某中学有 位学生申请 、 、 三所大学的自主招生．若 每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的． （1）求恰有 人申请 大学的概率； （2）求被申请大学的个数 的概率分布列与数学期望 ． 【解析】（1）所有可能的方式有 种，恰有 人申请 大学的申请方式有 种， 从而恰有 人申请 大学的概率为 ； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有 、 、 ， 则 ， ， . 所以，随机变量 的分布列如下表所示： 0 1a = ( ) ( )2 * 0 1 2( ) 1 2 , 6n n nf x x a a x a x a x n N n= + = + + + + ∈  0 1 2(1) 3n nf a a a a= = + + + + 0 1 2 3 1( 1) n nf a a a a a a−− = − + − + − + 0 2 4 (1) ( 1) 3 ( 1) 3 1 2 2 2 n n n n f fa a a a + − + − ++ + + + = = = 2 4 3 1 3 112 2 n n na a a + −+ + + = − = 4 A B C 2 A X ( )E X 43 2 A 2 2 4 2C ⋅ 2 A 2 2 4 4 2 8 3 27 C ⋅ = 1 2 3 ( ) 4 3 11 3 27P X = = = ( ) 2 2 3 2 4 3 4 3 4 1422 3 27 C AC A P X ⋅ + = = = ( ) 2 3 4 3 4 43 3 9 C AP X = = = X X 1 2 3 13 / 13 . P 1 27 14 27 4 9 ( ) 1 14 4 651 2 327 27 9 27E X = × + × + × =