专题 07 解析几何
—2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化
【高频考点及备考策略】
(1)切实掌握直线的倾斜角、斜率的概念，两直线平行、垂直的位置关系；弄清直线的点斜式、斜截式、
两点式、截距式方程的特点及相关量的几何意义；掌握求圆的方程的方法，并会判定直线与圆、圆与圆的
位置关系，会利用位置关系解决综合问题．
(2)掌握求圆锥曲线标准方程、离心率的方法；会利用圆锥曲线的性质解决相关问题．
(3)掌握根据直线与圆锥曲线的位置关系求弦长或面积的方法；会解决直线与圆锥曲线相交产生的与弦
有关的问题及最值问题．
考向预测：
(1)根据两直线的位置关系求参数的值；根据直线与圆的位置关系求动点的轨迹．
(2)根据圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程、离心率或离心率的范围．
(3)直线与圆锥曲线位置关系有关的计算、证明、最值、轨迹问题．
1．直线的有关问题
(1)直线的斜率公式
①已知直线的倾斜角为 α(α≠90°)，则直线的斜率为 k＝tanα.
②已知直线过点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2≠x1)，则直线的斜率为 k＝y1－y2
x1－x2(x2≠x1)．
(2)三种距离公式
①两点间的距离：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝ x2－x12＋y2－y12.
必备知识②点到直线的距离：点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2 .
③两平行线的距离：若直线 l1，l2 的方程分别为 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行线
的距离 d＝|C2－C1|
A2＋B2.
(3)直线与圆相交时弦长公式
设圆的半径为 R，圆心到弦的距离为 d，则弦长 l＝2 R2－d2.
(4)直线方程的五种形式
①点斜式：y－y0＝k(x－x0).
②斜截式：y＝kx＋b.
③两点式： y－y1
y2－y1＝ x－x1
x2－x1.
④截距式：x
a＋y
b＝1(a≠0，b≠0)．
⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)．
(5)直线的两种位置关系
①当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时：
(ⅰ)两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)两直线垂直：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当两直线方程分别为 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 时：
(ⅰ)l1 与 l2 平行或重合⇔A1B2－A2B1＝0.
(ⅱ)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．圆的有关问题
(1)圆的三种方程
①圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).③圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(圆的直径的两端点是 A(x1，y1)，B(x2，y2))．
(2)判断直线与圆的位置关系的方法
①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ0，b>0)的渐近线方程为 y＝±a
bx，焦点坐标 F1(0，－c)，F2(0，c).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线 y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为(±p
2，0)，准线方程为 x＝∓p
2.
②抛物线 x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为(0，±p
2)，准线方程为 y＝∓p
2.
5．弦长问题
直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜 率 为 k 的 直 线 与 圆 锥 曲 线 交 于 点 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 时 ， |AB| ＝ 1＋k2·|x1 － x2| ＝
1＋k2· x1＋x22－4x1x2或|AB|＝ 1＋1
k2|y1－y2|＝ 1＋1
k2 y1＋y22－4y1y2.
【重要结论】
抛物线焦点弦的几个常用结论
设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2＝p2
4 ，y1y2＝－p2；②弦
长|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2p
sin2α(α 为弦 AB 的倾斜角)；③ 1
|FA|＋ 1
|FB|＝2
p；④以弦 AB 为直径的圆与准线相切.
【易错警示】
1．注意两平行线距离公式的应用条件
应用两平行线间距离公式时，两平行线方程中 x，y 的系数应对应相等．
2．忽略直线斜率不存在的情况
在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在．
3．注意直线方程的限制条件
(1)应用点斜式、斜截式方程时，注意它们不包含垂直于 x 轴的直线；
(2)应用两点式方程时，注意它不包含与坐标轴垂直的直线；(3)应用截距式方程时，注意它不包括与坐标轴垂直的直线以及过原点的直线；
(4)在处理直线与圆的位置关系时要充分利用圆的几何性质．
4．忽视定位条件：在圆锥曲线问题的研究中，应先定位，后定形，缺少了定位往往会做无用功．定位
条件是：焦点或准线，定形条件是：a，b，p.
5．搞清楚双曲线渐近线的斜率：在求双曲线的渐近线方程时，一定要注意双曲线渐近线的斜率是±b
a还
是±a
b.
6．忽略一元二次方程的判别式致误：对于以直线与圆锥曲线相交为前提的问题，应用直线与曲线的方
程求参数值或探究问题时，应注意判别式大于等于零这一条件．
一、选择题
1、（2020 新课标Ⅰ卷·理科 T4）已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p>0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，
到 y 轴的距离为 9，则 p=（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
2、（2020 新课标Ⅰ卷·理科 T11）已知⊙M： ，直线 ： ， 为
上的动点，过点 作⊙M 的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
| | 122A
pAF x= + = 12 9 2
p= + 6p =
2 2 2 2 2 0x y x y+ − − − = l 2 2 0x y+ + = P l
P ,PA PB ,A B | | | |PM AB⋅ AB
2 1 0x y− − = 2 1 0x y+ − = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y+ + =
真题体验【解析】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以
直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的
转化能力和数学运算能力，属于中档题．
3、（2020 新课标Ⅱ卷·理科 T5）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的
距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，圆的标准方程为 .
( ) ( )2 21 1 4x y− + − = M l 2 2
2 1 1 2 5 2
2 1
d
× + += = >
+
l
, , ,A P B M AB MP⊥
12 2 22PAMPM AB S PA AM PA⋅ = = × × × =△
2 4PA MP= −
MP l⊥
min 5MP = min 1PA = PM AB⋅
( )1: 1 12MP y x− = − 1 1
2 2y x= +
1 1
2 2
2 2 0
y x
x y
= +
+ + =
1
0
x
y
= −
=
MP ( )( ) ( )1 1 1 0x x y y− + + − = 2 2 1 0x y y+ − − =
2 1 0x y+ + = AB
2 3 0x y− − =
5
5
2 5
5
3 5
5
4 5
5
( )2,1
( ),a a a ( ) ( )2 2 2x a y a a− + − =由题意可得 ，可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心 到直线 的距离均为 ；
圆心 到直线 的距离均为
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
4、（2020 新课标Ⅱ卷·理科 T8）设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条
渐近线分别交于 两点，若 的面积为 8，则 的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】 双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得 故
( ) ( )2 2 22 1a a a− + − = 2 6 5 0a a− + = 1a = 5a =
( )1,1 ( )5,5
1
2 1 1 3 2 5
55
d
× − −= =
2
2 5 5 3 2 5
55
d
× − −= =
2 3 0x y− − = 2 2 5
55
d
−= =
2 3 0x y− − = 2 5
5
O x a= 2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
,D E ODE C
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > ∴ by xa
= ±
x a= 2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > D E
D E
x a
by xa
= =
x a
y b
=
= ( , )D a b联立 ，解得 故
面积为：
双曲线 其焦距为
当且仅当 取等号 的焦距的最小值： ，故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求
最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5、（2020 新课标Ⅲ卷·理科 T5）设 为坐标原点，直线 与抛物线 C： 交于 ，
两点，若 ，则 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，故选：B.
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，
点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
6、（2020 新课标Ⅲ卷·理科 T11）设双曲线 C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，
离心率为 ．P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为 4，则 a=（ ）
x a
by xa
= = −
x a
y b
=
= − ( , )E a b−
∴| | 2ED b= ∴ ODE
1 2 82ODES a b ab= × = =△
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > ∴ 2 22 2 2 2 2 16 8c a b ab= + ≥ = =
2 2a b= = ∴ C 8
O 2x = 2 2 ( 0)y px p= > D
E OD OE⊥ C
1 ,04
1 ,02
(1,0) (2,0)
2x = 2 2 ( 0)y px p= > ,E D OD OE⊥
4DOx EOx
π∠ = ∠ = ( )2,2D
4 4p= 1p = 1( ,0)2
2 2
2 2 1x y
a b
− =
5A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于
中档题.
7、（2020 山东省新高考全国Ⅰ卷·T9）同（2020 海南省新高考全国Ⅱ卷·T10）已知曲线
.（ ）
A. 若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上
B. 若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为
C. 若 mn0，则 C 是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于 A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确；
5c
a
= 5c a∴ = 1 2 2PF PF a− =
1 2 1 2
1 | | 42PF F PF FS P= ⋅ =△ 1 2| | 8PF PF⋅ =
1 2F P F P⊥ ( )2 22
1 2| | 2PF PF c∴ + =
( )2 2
1 2 1 22 4PF PF PF PF c∴ − + ⋅ = 2 25 4 0a a− + = 1a =
2 2: 1C mx ny+ =
n
my xn
= ± −
0m n> > 2 2 1mx ny+ =
2 2
11 1
x y
m n
+ =
0m n> > 1 1
m n
<
C y对于 B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故 B 不正确；
对于 C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故 C 正确；
对于 D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算
的核心素养.
8、（2020 北京卷·T5）已知半径为 1 的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【 解 析 】 设 圆 心 ， 则 ， 化 简 得
，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1 为半径的圆，
所以 ，所以 ，
0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1x y n
+ =
C n
n
0mn < 2 2 1mx ny+ =
2 2
11 1
x y
m n
+ =
C
2 2 0mx ny+ = my xn
= ± −
0, 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 1y n
=
ny n
= ± C x
(3,4)
( ),C x y ( ) ( )2 23 4 1x y− + − =
( ) ( )2 23 4 1x y− + − =
C (3,4)M
| | 1 | |OC OM+ ≥ 2 23 4 5= + = | | 5 1 4OC ≥ − =当且仅当 在线段 上时取得等号，故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
9、（2020 北京卷·T7）设抛物线 顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过
作 于 ，则线段 的垂直平分线（ ）．
A. 经过点 B. 经过点
C. 平行于直线 D. 垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示：．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，
根据定义可知， ，所以线段 的垂直平分线经过点 .故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
10、（2020 天津卷·T7）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点
的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得
．
故选： ．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，
的
C OM
O F l P O P
PQ l⊥ Q FQ
O P
OP OP
FQ ,F Q P
PQ PF= FQ P
C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 4y x= (0, )b
l C l l C
2 2
14 4
x y− =
2
2 14
yx − =
2
2 14
x y− = 2 2 1x y− =
( )1,0 l 1yx b
+ = b−
by xa
= ± bb a
− = − 1bb a
− × = − 0, 0a b> >
1, 1a b= =
D属于基础题．
11、（2020 浙江卷·T8）已知点 O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点 P 满足|PA|–|PB|=2，且 P 为
函数 y= 图像上的点，则|OP|=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，所以点 在以 为焦点，实轴长为 ，焦距为 的双曲线的右支上，
由 可得， ，即双曲线的右支方程为 ，而点 还在函数
的图象上，所以，
由 ，解得 ，即 ．故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算
能力，属于基础题．
二、填空题
1、（2020 新课标Ⅰ卷·理科 T15）已知 F 为双曲线 的右焦点，A 为 C 的右顶点，
B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为______________.
【答案】2
【解析】依题可得， ，而 ， ，即 ，变形得 ，
化简可得， ，解得 或 （舍去）．
23 4 x−
22
2
4 10
5 7 10
| | | | 2 4PA PB− = < P ,A B 2 4
2, 1c a= = 2 2 2 4 1 3b c a= − = − = ( )2
2 1 03
yx x− = > P
23 4y x= −
( )2
2
2 1 03
3 4
yx x
y x
− >
−
=
=
13
2
3 3
2
x
y
=
=
13 27 104 4OP = + =
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
3BF
AF
= 2bBF a
= AF c a= −
2
3
b
a
c a
=−
2 2 23 3c a ac a− = −
2 3 2 0e e− + = 2e = 1e =故答案为： ．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
2、（2020 山东省新高考全国Ⅰ卷·T13）同（2020 海南省新高考全国Ⅱ卷·T14）斜率为 的直线过抛物
线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 =________．
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点 F 坐标为 ，
又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 ，∴直线 AB 的方程为：
代入抛物线方程消去 y 并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案 ：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
3、（2020 北京卷·T12）已知双曲线 ，则 C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐
近线的距离是_________．
为
2
3
AB
16
3
2 4y x= (1,0)F
3 3( 1)y x= −
23 10 3 0x x− + =
1 2
1 , 33x x= =
2
1 2
1 16| | 1 | | 1 3 | 3 |3 3AB k x x= + − = + ⋅ − =
100 36 64 0∆ = − = >
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2
10
3x x+ =
,A B 1x = − ,C D
1 2| | | | | | | | | | 1 1AB AF BF AC BD x x= + = + = + + + 1 2
16+2= 3x x= +
16
3
2 2
: 16 3
x yC − =【答案】 (1). (2).
【解析】在双曲线 中， ， ，则 ，则双曲线 的右焦点坐标为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以，双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 .故答案为： ； .
【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，
属于基础题.
4、（2020 江苏卷·T6）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为 y=
x，则该双曲线的离心率是 .
【答案】
【 解 析 】 双 曲 线 ， 故 . 由 于 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 ， 即
，所以 ，所以双曲线的离心率为 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
5、（2020 江苏卷·T14）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ，A，B 是圆 C： 上的
两个动点，满足 ，则△PAB 面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
( )3,0 3
C 6a = 3b = 2 2 3c a b= + = C ( )3,0
C 2
2y x= ± 2 0x y± =
C 2
3 3
1 2
=
+
( )3,0 3
2
2
x
a
2
5
y 5
2
3
2
2 2
2 15
x y
a
− = 5b = 5
2y x=
5 22
b aa
= ⇒ = 2 2 4 5 3c a b= + = + = 3
2
c
a
=
3
2
3( 0)2P ， 2 21( ) 362x y+ − =
PA PB=
10 5
PA PB PC AB= ∴ ⊥设圆心 到直线 距离为 ，则
所以
令 （负值舍去）
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为
，
故答案为：
【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
6、（2020 天津卷·T12）已知直线 和圆 相交于 两点．若
，则 的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
7、（2020 浙江卷·T15）设直线 与圆 和圆 均相切，则
_______；b=______．
【答案】 (1). (2).
【解析】设 ， ，由题意， 到直线的距离等于半径，
C AB d 2 3 1| |=2 36 ,| | 14 4AB d PC− = + =
2 2 21 2 36 ( 1) (36 )( 1)2PABS d d d d≤ ⋅ − + = − +
2 2 2(36 )( 1) (0 6) 2( 1)( 2 36) 0 4y d d d y d d d d′= − + ≤ < ∴ = + − − + = ∴ =
0 4d≤ < 0y′ > 4 6d≤ < 0y′ ≤ 4d = y PABS
10 5
10 5
3 8 0x y− + = 2 2 2 ( 0)x y r r+ = > ,A B
| | 6AB = r
( )0,0 3 8 0x y− + = 8 4
1 3
d = =
+
2 2| | 2AB r d= − 2 26 2 4r= − = 5r 5
: ( 0)l y kx b k= + > 2 2 1x y+ = 2 2( 4) 1x y− + = k =
3
3
2 3
3
−
2 2
1 : 1C x y+ = 2 2
2 :( 4) 1C x y− + = 1 2,C C即 ， ，
所以 ，所以 （舍）或者 ，解得 .
故答案为：
【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
三、解答题
1、（2020 新课标Ⅰ卷·理科 T20）已知 A、B 分别为椭圆 E： （a>1）的左、右顶点，G 为 E
的上顶点， ，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D．
（1）求 E 的方程；
（2）证明：直线 CD 过定点.
【答案】（1） ；（2）证明详见解析.
【解析】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程 可得： ， ，
，
2 2
| | 1
1
b
k
=
+ 2 2
| 4 | 1
1
k b
k
+ =
+
| | 4b k b= + 0k = 2b k= − 3 2 3,3 3k b= = −
3 2 3;3 3
−
2
2
2 1x ya
+ =
8AG GB⋅ =
2
2 19
x y+ =
2
2
2: 1( 1)xE y aa
+ = > ( ),0A a− ( ),0B a ( )0,1G
∴ ( ),1AG a= ( ), 1GB a= −， 椭圆方程为：
（2）证明：设 ，则直线 的方程为： ，即：
联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得：
，解得： 或
将 代入直线 可得：
所以点 的坐标为 .同理可得：点 的坐标为
直线 的方程为： ，
整理可得：
整理得：
故直线 过定点
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属
于难题.
∴ 2 1 8AG GB a⋅ = − = ∴ 2 9a = ∴ 2
2 19
x y+ =
( )06,P y AP ( ) ( )0 0 36 3
yy x
−= +− − ( )0 39
yy x= +
AP
( )
2
2
0
19
39
x y
yy x
+ =
= +
( )2 2 2 2
0 0 09 6 9 81 0y x y x y+ + + − = 3x = −
2
0
2
0
3 27
9
yx y
− += +
2
0
2
0
3 27
9
yx y
− += + ( )0 39
yy x= + 0
2
0
6
9
yy y
= +
C
2
0 0
2 2
0 0
3 27 6,9 9
y y
y y
− +
+ + D
2
0 0
2 2
0 0
3 3 2,1 1
y y
y y
− −
+ +
∴ CD
0 0
2 2 2
0 00 0
2 22 2
0 00 0
2 2
0 0
6 2
9 12 3 3
3 27 3 31 1
9 1
y y
y yy yy xy yy y
y y
−− + + − − − = − − + −+ + −+ +
( )
( ) ( )
2 2 2
0 00 0 0 0
2 2 24 2
0 0 00 0
8 32 3 3 8 3 3
1 1 16 9 6 3
y yy y y yy x xy y yy y
+ − −+ = − = − + + +− −
( ) ( )0 0 0
22 2
00 0
4 2 4 3
3 23 3 3 3
y y yy x xyy y
= + = − −− −
CD 3 ,02
2、（2020 新课标Ⅱ卷·理科 T19）已知椭圆 C1： (a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1
的中心与 C2 的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|= |AB|.
（1）求 C1 的离心率；
（2）设 M 是 C1 与 C2 的公共点，若|MF|=5，求 C1 与 C2 的标准方程.
【答案】（1） ；（2） ， .
【解析】（1） ， 轴且与椭圆 相交于 、 两点，则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
抛物线 的方程为 ，联立 ，解得 ， ，
，即 ， ，
即 ，即 ， ，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ；
（2）由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，解得 或 （舍去），
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
4
3
1
2
2 2
1 : 136 27
x yC + = 2
2 : 12C y x=
( ),0F c AB x⊥ 1C A B AB x c=
2 2
2 2
2 2 2
1
x c
x y
a b
a b c
=
+ =
= +
2
x c
by a
= = ±
22bAB a
=
2C 2 4y cx= 2 4
x c
y cx
=
= 2
x c
y c
=
= ± 4CD c∴ =
4
3CD AB=
284 3
bc a
= 22 3b ac=
2 22 3 2 0c ac a+ − = 22 3 2 0e e+ − = 10 > 2
2
2 2
16 3
x y+ =【解析】(1)由题意可得： ，解得： ，故椭圆方程为： .
(2)设点 .
因为 AM⊥AN，∴ ，即 ,①
当直线 MN 的斜率存在时，设方程为 ,如图 1.
代入椭圆方程消去 并整理得： ,
②,
根据 ,代入①整理可得：
将②代入， ，
整理化简得 ,
∵ 不在直线 上，∴ ，∴ ，
于是 MN 的方程为 ，所以直线过定点直线过定点 .
当直线 MN 的斜率不存在时，可得 ,如图 2.
代入 得 ,
结合 ,解得 ,此时直线 MN 过点 ,
2 2
2 2 2
3
2
4 1 1
c
a
a b
a b c
=
+ =
= +
2 2 26, 3a b c= = =
2 2
16 3
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
· 0AM AN = ( )( ) ( )( )1 2 1 22 2 1 1 0x x y y− − + − − =
y kx m= +
y ( )2 2 21 2k 4 2 6 0x kmx m+ + + − =
2
1 2 1 22 2
4 2 6,1 2 1 2
km mx x x xk k
−+ = − =+ +
1 1 2 2,y kx m y kx m= + = + ( ) ( )( ) ( )22
1 2 1 2k 1 x 2 1 4 0x km k x x m+ + − − + + − + =
( ) ( ) ( )2
22
2 2
2 6 4k 1 2 1 4 01 2 1 2
m kmkm k mk k
− + + − − − + − + = + +
( )( )2 3 1 2 1 0k m k m+ + + − =
2,1A（ ） MN 2 1 0k m+ − ≠ 2 3 1 0 1k m k+ + = ≠，
2 1
3 3y k x = − −
2 1,3 3E −
( )1 1,N x y−
( )( ) ( )( )1 2 1 22 2 1 1 0x x y y− − + − − = ( )2 2
1 22 1 0x y− + − =
2 2
1 1 16 3
x y+ = ( )1 1
22 , 3x x= =舍 2 1,3 3E −
由于 AE 定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，
所以 AE 中点 Q 满足 为定值（AE 长度的一半 ）.
由于 ，故由中点坐标公式可得 .
故存在点 ，使得|DQ|为定值.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线 MN 经
过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.
5、（2020 海南省新高考全国Ⅱ卷·T21）已知椭圆 C： 过点 M（2，3）,点 A 为其左
顶点，且 AM 的斜率为 ，
（1）求 C 的方程；
（2）点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）12.
【解析】(1)由题意可知直线 AM 的方程为： ，即 .
当 y=0 时，解得 ，所以 a=4，
为
QD
2 21 2 1 4 22 12 3 3 3
− + + =
( ) 2 1,32,1 3,A E −
4 1,3 3Q
4 1,3 3Q
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1
2
2 2
116 12
x y+ =
13 ( 2)2y x− = − 2 4− = −x y
4x = −椭圆 过点 M(2，3)，可得 ，解得 b2=12.
所以 C 的方程： .
(2)设与直线 AM 平行 直线方程为： ，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N，此时△AMN 的面积取得最
大值.
联立直线方程 与椭圆方程 ，
可得： ，
化简可得： ，
所以 ，即 m2=64，解得 m=±8，
与 AM 距离比较远的直线方程： ，
直线 AM 方程为： ，点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： ，
由两点之间距离公式可得 .
所以△AMN 的面积的最大值： .
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
的
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 2
4 9 116 b
+ =
2 2
116 12
x y+ =
2x y m− =
2x y m− = 2 2
116 12
x y+ =
( )2 23 2 4 48m y y+ + =
2 216 12 3 48 0y my m+ + − =
( )2 2144 4 16 3 48 0m m∆ = − × − =
2 8x y− =
2 4− = −x y
8 4 12 5
51 4
d
+= =
+
2 2| | (2 4) 3 3 5AM = + + =
1 12 53 5 182 5
× × =(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题．
6、（2020 北京卷·T20）已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程：
（Ⅱ）过点 的直线 l 交椭圆 C 于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的
值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）1.
【解析】(1)设椭圆方程为： ，由题意可得： ，解得： ，
故椭圆方程为： .
(2)设 ， ，直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立可得： ，即： ，
则： .
直线 MA 的方程为： ，
令 可得： ，
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = ( 2, 1)A − − 2a b=
( 4,0)B − ,M N ,MA NA 4x = − ,P Q | |
| |
PB
BQ
2 2
18 2
x y+ =
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 2 2
4 1 1
2
a b
a b
+ =
=
2
2
8
2
a
b
=
=
2 2
18 2
x y+ =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y MN ( )4y k x= +
2 2
18 2
x y+ = ( )22 24 4 8x k x+ + = ( ) ( )2 2 2 24 1 32 64 8 0k x k x k+ + + − =
2 2
1 2 1 22 2
32 64 8,4 1 4 1
k kx x x xk k
− −+ = =+ +
( )1
1
11 22
yy xx
++ = ++
4x = − ( ) ( )( )1 11 1
1 1 1 1
4 1 2 1 41 22 1 22 2 2 2P
k x k xy xy x x x x
+ + − + ++ += − × − = − × − =+ + + +同理可得： .
很明显 ，且： ，注意到：
，
而：
，
故 .从而 .
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后 运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题．
7、（2020 江苏卷·T18）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，
F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B．
（1）求△AF1F2 的周长；
（2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求 的最小值；
的
( )( )2
2
2 1 4
2Q
k xy x
− + += +
0P Qy y < P
Q
PB y
PQ y
=
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )1 2 2 11 2
1 2 1 2
4 2 4 24 42 1 2 12 2 2 2P Q
x x x xx xy y k kx x x x
+ + + + + + ++ = − + + = − + × + + + +
( )( ) ( )( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 24 2 4 2 2 3 8x x x x x x x x+ + + + + = + + +
2 2
2 2
64 8 322 3 84 1 4 1
k k
k k
− −= + × + + +
( ) ( ) ( )2 2 2
2
64 8 3 32 8 4 1
2 04 1
k k k
k
− + × − + +
= × =+
0,P Q P Qy y y y+ = = − 1P
Q
PB y
PQ y
= =
2 2
: 14 3
x yE + =
OP QP⋅ （3）设点 M 在椭圆 E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标．
【答案】（1）6；（2）-4；（3） 或 .
【解析】（1）∵椭圆 的方程为 ∴ ,
由椭圆定义可得： .∴ 的周长为
（2）设 ，根据题意可得 .
∵点 在椭圆 上，且在第一象限， ∴
∵准线方程为 ∴
∴ ，当且仅当 时取等号.
∴ 的最小值为 .
（3）设 ，点 到直线 的距离为 .
∵ ， ∴直线 的方程为
∵点 到直线 的距离为 ， ∴
∴ ∴ ①
∵ ②∴联立①②解得 ， .∴ 或 .
( )2,0M 2 12,7 7
− −
E
2 2
14 3
x y+ = ( )1 1,0F − ( )2 1,0F
1 2 4AF AF+ = 1 2AF F△ 4 2 6+ =
( )0 ,0P x 0 1x ≠
A E 2 1 2AF F F⊥ 31, 2A
4x = ( )4, QQ y
( ) ( ) ( ) ( )2
0 0 0 0 0,0 4, 4 2 4 4QOP QP x x y x x x⋅ = ⋅ − − = − = − − ≥ −
0 2x =
OP QP⋅ 4−
( )1 1,M x y M AB d
31, 2A
( )1 1,0F − 1AF ( )3 14y x= +
O AB 3
5 2 13S S= 2 1
1 3 13 3 2 5 2S S AB AB d= = × × × = ⋅
9
5d = 1 13 4 3 9x y− + =
2 2
1 1 14 3
x y+ = 1
1
2
0
x
y
=
=
1
1
2
7
12
7
x
y
= −
= −
( )2,0M 2 12,7 7
− − 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根
据 推出 是解答本题的关键.
8、（2020 天津卷·T18）已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且
，其中 为原点．
（Ⅰ）求椭圆 方程；
（Ⅱ）已知点 满足 ，点 在椭圆上（ 异于椭圆的顶点），直线 与以 为圆心的圆相切
于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ，或 ．
【解析】（Ⅰ） 椭圆 的一个顶点为 ， ，
由 ，得 ，
又由 ，得 ，所以，椭圆的方程为 ；
（Ⅱ） 直线 与以 为圆心的圆相切于点 ，所以 ，
根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在，
设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，即 ，
，消去 ，可得 ，解得 或 .
将 代入 ，得 ，
的
2 13S S= 9
5d =
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > (0, 3)A − F
| | | |OA OF= O
C 3OC OF= B B AB C
P P AB AB
2 2
118 9
x y+ = 1 32y x= − 3y x= −
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > ( )0, 3A − ∴ 3b =
OA OF= 3c b= =
2 2 2a b c= + 2 2 2 83 13a = + =
2 2
118 9
x y+ =
AB C P CP AB⊥
AB CP
AB k AB 3y kx+ = 3y kx= −
2 2
3
118 9
y kx
x y
= − + =
y ( )2 22 1 12 0k x kx+ − = 0x = 2
12
2 1
kx k
= +
2
12
2 1
kx k
= + 3y kx= − 2
2 2
12 6 3
2 1 2 13 ky k k
kk= ⋅ − −=+ +所以，点 的坐标为 ，
因为 为线段 的中点，点 的坐标为 ，所以点 的坐标为 ，
由 ，得点 的坐标为 ，所以，直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 .所以，直线 的方程为 或 .
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式
以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置
关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
9、（2020 浙江卷·T21）如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点 A 是椭圆
与抛物线 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 于点 B，交抛物线 于 M（B，M 不同于 A）．
（Ⅰ）若 ，求抛物线 的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当 时， 的方程为 ，故抛物线 的焦点坐标为 ；
（Ⅱ）设 ，
B
2
2 2
12 6 3,2 1 2 1
k k
k k
−
+ +
P AB A ( )0, 3− P 2 2
6 3,2 1 2 1
k
k k
−
+ +
3OC OF= C ( )1,0 CP
2
2
2
3 0 32 1
6 2 6 112 1
CP
k
k k k
k
k
− −+ = − +−+
=
CP AB⊥ 2
3 12 6 1k k k
⋅ = −− +
22 3 1 0k k− + = 1
2k = 1k = AB 1 32y x= − 3y x= −
2
2
1 : 12
xC y+ = 2
2 : 2 ( 0)C y px p= > 1C
2C 1C 2C
1
16
=p 2C
1( ,0)32
10
40
1
16
=p 2C 2 1
8y x= 2C 1( ,0)32
( ) ( ) ( )1 1 2 2 0 0, , , , , , :A x y B x y M x y I x y mλ= +由 ，
，
由 在抛物线上，所以 ，
又 ，
， ，
.
由 即
，
所以 ， ， ，
所以， 的最大值为 ，此时 .
法 2：设直线 ，
将直线 的方程代入椭圆 得： ，
.
( )2 2
2 2 22 2 2 2 2 0x y y my m
x y m
λ λ
λ
+ = ⇒ + + + − = = +
1 2 0 0 02 2 2
2 2, ,2 2 2
m m my y y x y m
λ λ λλ λ λ
− −∴ + = = = + =+ + +
M ( )
2 2 2
2 2 22
4 42 22
m pm m p
λ λ
λ λλ
= ⇒ =+ ++
2
2 22 2 ( ) 2 2 0y px y p y m y p y pm
x y m
λ λ
λ
= ⇒ = + ⇒ − − = = +
01 2y y pλ∴ + = 2
1 0 1 0 2 2x x y m y m p mλ λ λ∴ + = + + + = +
2
1 2
22 2 2
mx p mλ λ∴ = + − +
2
2
2
2
1 4 2, 2
2
x y x px
y px
+ = ⇒ + =
=
2 4 2 0x px+ − =
2
2
1
4 16 8 2 4 22
p px p p
− + +⇒ = = − + +
2
2 2 2
2 2
1 82 4 2 2 2 2 8 162
pp p p m p p p
λλ λλ λ
+⇒ − + + = + ⋅ = + + ≥+
24 2 18p p+ ≥ 2 1
160p ≤ 10
40p ≤
p 10
40
2 10 5( , )5 5A
: ( 0, 0)l x my t m t= + ≠ ≠ ( )0 0,A x y
l
2
2
1 : 12
xC y+ = ( )2 2 22 2 2 0m y mty t+ + + − =所以点 的纵坐标为 .
将直线 的方程代入抛物线 得： ，
所以 ，解得 ，因此 ，
由 解得 ，
所以当 时， 取到最大值为 .
【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运
算能力，是一道有一定难度的题.
考点 一 直线与圆的方程
【典例】1、若两平行直线 与 之间的距离是 ，则
（ ）
A.0 B.1 C.-2 D.-1
【解析】因为 平行，所以 ，解得 ，所以直线 的
方程是 ，又 之间的距离是 ，所以 ，解得 m=2 或 m=-8（舍
去），所以 ，故选 C.
【答案】C
2、已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点（1，0）且被 x 轴分成两段弧长比为 1：2，则圆 C 的方程
为（ ）
M 2 2M
mty m
= − +
l 2
2 : 2C y px= 2 2 2 0y pmy pt− − =
0 2My y pt= − ( )2
0
2 2p m
y m
+
= ( )22
0 2
2 2p m
x m
+
=
2
20
0 12
x y+ =
2 2
2
1 2 24 2 160m mp m m
= + + +
102, 5m t= = p 10
40
)0(02:1 >=+− mmyxl 062:2 =−+ nyxl 5
=+ nm
21,ll mn ×≠−×−×=× 2)6(1),2(21 3,4 −≠−= mn 2l
032 =−− yx 21,ll 5 5
41
3 =
+
+m
2−=+ nm
高频考点、热点题型强化A. B.
C. D.
【解析】由题意知圆心在 y 轴上，且被 x 所分的劣弧所对的圆心角为 ，
设圆心为 ，半径为 ，则 ，
解得 ，即 ，则 ，
故圆 C 的方程为 .
【答案】C
3、已知圆 截直线 所得弦的长度为 4，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【解析】圆心 到直线 的距离为 ，由弦长公式得
解得 ，故选 B.
【答案】B
【备考策略】
一、解决直线方程问题应注意的问题：
（1）要注意几种直线方程的局限性。点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直，而
截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
（2）求直线方程要考虑直线斜率是否存在。
二、求圆的方程的方法
3
4)3
3( 22 =+± yx 3
1)3
3( 22 =+± yx
3
4)3
3( 22 =±+ yx 3
1)3
3( 22 =±+ yx
3
2π
),0( a r arr ==
3cos,13sin
ππ
3
32=r 3
3
3
42 == ar ，
3
3±=a
3
4)3
3( 22 =±+ yx
myx −=−++ 2)1()1( 22 02 =++ yx =m
2− 4− 6− 8−
)1,1(− 02 =++ yx 2=d
4)2()2(2 2 =−− m 4−=m（1）几何法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、
半径，进而求出圆的方程.
（2）待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程（组）求得各系数，进而
求出圆的方程.
三、有关弦长问题的两种求法
（1）设直线 被圆 C 截得的弦长为 AB，圆的半径为 ，圆心到直线的距离为 ，则弦长公式：
.
（2）若斜率为 的直线与圆交于 两点，则
（其中 ），特别地，当 时， ；
当斜率不存在时， .
【类比演练】1、已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 在圆 C 上，且圆心到直线
的距离为 ，则圆 C 的方程为
【解析】设圆心为 ，则圆心到直线 的距离 ，
解得 ，半径 ，
所以圆 C 的方程为 .
【答案】
2、过点（1，2）的直线 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，O 为坐标原点，当 的面积最
小时，直线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
l r d
222 drAB −=
k ),(),,( 2211 yxByxA =−++= 21
2
21
2 4)(1 xxAB
21
2
212 4)(11 yyyyk
−++ 0≠k 0=k 21 xxAB −=
21 yyAB −=
)5,0(M
02 =− yx 5
54
)0)(0,( >aa 02 =− yx 5
54
14
02 =
+
−= ad
2=a 3)50()0( 22 =−+−= ar
9)2( 22 =+− yx
9)2( 22 =+− yx
l OAB∆
l
042 =−+ yx 05-2yx =+ 03 =−+ yx 0832 =−+ yx【解析】设 的方程为 ，则有 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，取“=”.
即当 时， 的面积最小.
此时 的方程为 ，即 .故选 A.
【答案】A
3、已知直线 与圆 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，且
，则实数 m 的值为 .
【解析】由 且 ，可知 为等腰直角三角形，
则点 O 到 AB 所在直线的距离为 1.
由 ，得 .
【答案】
考点 二 圆锥曲线的定义、标准方程与性质
【典例】1、已知双曲线 M：y2
a2－x2
b2＝1(a>0，b>0)与抛物线 y＝1
8x2 有公共焦点 F，F 到 M 的一条渐近线的距
离为 3，则双曲线方程为( )
A．y2－x2
3＝1 B．x2
3－y2＝1 C．x2
7－y2
3＝1 D．y2
3－x2
7＝1
【解析】抛物线 y＝1
8x2，即 x2＝8y 的焦点为 F(0,2)，
l )0,0(1 >>=+ bab
y
a
x 121 =+
ba
0,0 >> ba abba
2221 ≥+
ab
221≥
8≥ab 2
121 ==
ba 4,2 == ba
4,2 == ba OAB∆
l 142
=+ yx 042 =−+ yx
03 =−+ myx 2: 22 =+ yxC
ABOBOA =+
ABOBOA =+ 2== OBOA ABC∆
1231
==
+
− mm 2±=m
2±即 c＝2，双曲线的渐近线方程为 y＝±a
bx，
可得 F 到渐近线的距离为 d＝ bc
a2＋b2＝b＝ 3，即有 a＝ c2－b2＝ 4－3＝1，
则双曲线的方程为 y2－x2
3＝1.
2、已知点 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆푥2
푎2+푦2
푏2=1(a>b>0)上一点,若 PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,则椭圆
的离心率 e 等于( )
A. 5
3 B.1
3 C.2
3 D.1
2
【解析】因为点 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆푥2
푎2+푦2
푏2=1(a>b>0)上一点,PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,
所以|푃퐹1|
|푃퐹2|=2,
设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由椭圆定义知 x+2x=2a,
所以 x=2푎
3 ,所以|PF2|=2푎
3 ,则|PF1|=4푎
3 ,
由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,
所以解得 c= 5
3 a,所以 e=푐
푎= 5
3 ,选 A.
【答案】A
3、已知抛物线 的焦点为 F,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线上的动点,若
△FPM 为边长是 6 的等边三角形,则此抛物线的方程为________.
【解析】因为△FPM 为等边三角形,所以|PM|=|PF|,由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的准线,
设 ,则点 ,因为焦点 ,△FPM 是等边三角形,
所以 ，解得 .
)0(22 >= ppxy
),2(
2
mp
mP ）（ mpM ,2
− ）（ 0,2
pF
=++
=+
6)22(
622
22
2
mpp
p
p
m
=
=
3
272
p
m因此抛物线方程为 .
【备考策略】
1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量关系或不等关系，然
后把 b 用 a，c 代换，求c
a的值．
2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”
(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的 a2，b2 或 p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为 y2＝2ax
或 x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为 mx2－ny2＝1(mn>0)．
3．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
【类比演练】1、 是双曲线 C: (m>0)的两个焦点,点 M 是双曲线 C 上一
点,且 ,则 的面积为________.
【解析】因为 是双曲线 C： (m>0)的两个焦点,
所以 m+4=16,所以 m=12,
设 ,因为点 M 是双曲线上一点,且 ,
所以|m′-n|=4 ①,
②,
由②-①2 得 m′n=16,
所以 的面积 .
xy 62 =
)0,4(),0,4( 21 FF − 14
22
=− y
m
x
0
21 60=∠ MFF 21MFF∆
)0,4(),0,4( 21 FF − 14
22
=− y
m
x
nMFmMF == 2
'
1 , 0
21 60=∠ MFF
6460cos2 0'22' =−+ nmnm
21MFF∆ 3460sin2
1 0' == nmS答案:
2、设 F 为双曲线 C: 的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线 C 的左、
右支交于点 P,Q,若 ,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】选 B.∠PQF=60°,因为|PQ|=2|QF|,所以∠PFQ=90°,
设双曲线的左焦点为 F1,连接 F1P，F1Q,由对称性可知,四边形 F1PFQ 为矩形，|F1F|=2|QF|,|QF1|=
|QF|,所以 .
3、已知两定点 A(-1,0)和 B(1,0),动点 P(x,y)在直线 l:y=x+3 上移动,椭圆 C 以 A,B 为焦点且
经过点 P,则椭圆 C 的离心率的最大值为( )
A. 5
5 B. 10
5 C.2 5
5 D.2 10
5
【解析】设点 A(-1,0)关于直线 l:y=x+3 的对称点为 A′(m,n),则{ 푛
푚 + 1 = -1,
푛
2 = 푚 - 1
2 + 3,
得{푚 = -3,
푛 = 2, 所以 A′(-3,2).
连接 A′B,则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|= ,
所以 .所以椭圆 C 的离心率的最大值为푐
푎= 1
5= 5
5 .故选 A.
考点 三 直线与圆锥曲线的位置关系
【典例】1、设椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为1
2.已知 A 是抛物线 y2＝2px(p>0)
的焦点，F 到抛物线的准线 l 的距离为1
2.
34
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x
060,2 =∠= PQFQFPQ
3 31+ 32 + 324 +
3 13
13
2
1
1 +=
−
=−==
QFQF
FF
a
ce
52
522 ≥a(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设 l 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B(点 B 异于点 A)，直线 BQ 与 x 轴相交于
点 D．若△APD 的面积为 6
2 ，求直线 AP 的方程．
【解析】 (1)设点 F 的坐标为(－c,0)．
依题意，得c
a＝1
2，p
2＝a，a－c＝1
2，解得 a＝1，c＝1
2，p＝2，
进而得 b2＝a2－c2＝3
4.所以椭圆的方程为 x2＋4y2
3 ＝1，抛物线的方程为 y2＝4x.
(2)设直线 AP 的方程为 x＝my＋1(m≠0)，与直线 l 的方程 x＝－1 联立，可得点 P(－1，－2
m)，故点 Q(－
1，2
m)，将 x＝my＋1 与 x2＋4y2
3 ＝1 联立，消去 x，
整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，解得 y＝0 或 y＝
－6m
3m2＋4.
由点 B 异于点 A，可得点 B(
－3m2＋4
3m2＋4 ，
－6m
3m2＋4)．
由点 Q(－1，2
m)，可得直线 BQ 的方程为(
－6m
3m2＋4－2
m)(x＋1)－(
－3m2＋4
3m2＋4 ＋1)(y－2
m)＝0，
令 y＝0，解得 x＝2－3m2
3m2＋2，故点 D(2－3m2
3m2＋2，0)．
所以|AD|＝1－2－3m2
3m2＋2＝ 6m2
3m2＋2.
又因为△APD 的面积为 6
2 ，故1
2· 6m2
3m2＋2· 2
|m|＝ 6
2 ，
整理得 3m2－2 6|m|＋2＝0，解得|m|＝ 6
3 ，所以 m＝±
6
3 .
所以直线 AP 的方程为 3x＋ 6y－3＝0 或 3x－ 6y－3＝0.
2、已知抛物线 和 的焦点分别为 ,点 P(-1,-1),且
(O 为坐标原点).
(1)求抛物线 的方程.
xyC 42
1 =： )0(22
2 >= ppyxC ： 21 FF，
OPFF ⊥21
2C(2)过点 O 的直线交 的下半部分于点 M,交 的左半部分于点 N,求△PMN 面积的最小值.
【解析】(1) 所以 ，则
所以 p=2,所以 的方程为 .
(2)设过点 O 的直线为 y=kx,
联立 得 M
联立 得 N (k0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
3．与相交有关的向量问题的解决方法
在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转
化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求
解．
【类比演练】1、若双曲线 E: 的离心率等于 ,直线 y=kx-1 与双曲线 E 的右支
交于 A,B 两点.
（1）求 k 的取值范围;
（2）若 ,点 C 是双曲线上一点,且 ，求 k，m 的值.
【解析】（1）设 ,由 得 ，所以双曲线 E 的方程为
.
由 得 .①
）（ 012
2
2
>=− aya
x 2
36=AB )( OBOAmOC +=
),(),,( 2221 yxByxA
−=
=
1
2
22 ca
a
c
=
=
2
1
2
2
c
a
122 =− yx
−=
=−
1
122
kxy
yx 022)1( 22 =−+− k因为直线与双曲线的右支交于 A,B 两点,
所以 即
所以 ,即 k 的取值范围是 .
（2）由①得 ，
所以 ，
整理得 ,
所以 ,又 ,所以 , ,
设 ,由 得 ,
因为点 C 是双曲线上一点,所以 ,得 ,
所以 .
2、已知椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的半焦距为 c，原点 O 到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为 1
2c.
(1)求椭圆 E 的离心率；
(2)如图，AB 是圆 M：(x＋2)2＋(y－1)2＝5
2的一条直径，若椭圆 E 经过 A，B 两点，求椭圆 E 的方程．
>−×−−=∆
>−>−
0)2()1(42
01
2-,01
2-
22
22
kk
kk
k
）（
且
b>0)的一个顶点，C1 的长轴是圆 C2：x2＋y2＝4 的
直径，l1，l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1 交圆 C2 于 A，B 两点，l2 交椭圆 C1 于另一点 D．
),3(),,3( 222112 yxBFyxAF −=−=
212122 )3)(3( yyxxBFAF +−−=⋅
2
3
2
2 ≤< e 1812,2332 2 0，b>0)有两个交点，则双曲线 C 的离
心率的取值范围是( )
A．(1， 3) B．(1,2)
C．( 3，＋∞) D．(2，＋∞)
[解析] 由题意，圆心到直线的距离 d＝ |k|
12＋k2＝ 3
2 ，所以 k＝± 3，
因为圆(x－1)2＋y2＝3
4的一条切线 y＝kx 与双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)有两个交点，
所以b
a> 3，所以 1＋b2
a2>4，所以 e>2.
7、已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上
一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则
C 的离心率为( )
04)2( =−−+ ykkx 0)42()( =+−+ yyxk
=+
=+
0
042
yx
y
−=
=
2
2
y
x ），（ 22 −P 0222 =−+ nm
4
1
4
)(1
2
=+≤=+ nmmnnm ，A．1
3 B．1
2
C．2
3 D．3
4
[解析] 解法一：设 E(0，m)，则直线 AE 的方程为－x
a＋ y
m＝1，由题意可知 M(－c，m－mc
a )，(0，m
2)
和 B(a,0)三点共线，则
m－mc
a －m
2
－c ＝
m
2
－a，化简得 a＝3c，则 C 的离心率 e＝c
a＝1
3.
解法二：如图所示，由题意得 A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
由 PF⊥x 轴得 P(－c，b2
a )．
设 E(0，m)，又 PF∥OE，得|MF|
|OE|＝|AF|
|AO|，则|MF|＝ma－c
a .①
又由 OE∥MF，得
1
2|OE|
|MF| ＝|BO|
|BF|，则|MF|＝ma＋c
2a .②
由①②得 a－c＝1
2(a＋c)，即 a＝3c，所以 e＝c
a＝1
3.故选 A．
二、填空题
1、过直线 l 1 ：x－2y＋3＝0 与直线 l 2 ：2x＋3y－8＝0 的交点，且到点 P(0,4)距离为 2 的直线方程
为 .
[解析] 由Error!得Error!
∴l1 与 l2 交点为(1,2)，直线 x＝1 显然不适合．
设所求直线为 y－2＝k(x－1)，即 kx－y＋2－k＝0，
∵P(0,4)到直线距离为 2，∴2＝|－2－k|
1＋k2 .
∴k＝0 或 k＝4
3.
∴直线方程为 y＝2 或 4x－3y＋2＝0.2、已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线 l，过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A，与点 C 的一个交点
为点 B，若AM→
＝MB→
，则 p＝ .
[解析] 设直线 AB：y＝ 3x－ 3，代入 y2＝2px 得：3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，
又因为AM→
＝MB→
，即 M 为 A，B 的中点，所以 xB＋(－p
2)＝2，即 xB＝2＋p
2，得 p2＋4p－12＝0，
解得 p＝2，p＝－6(舍去)．
3、已知椭圆 C：x2
9＋y2
4＝1，点 M 与椭圆 C 的焦点不重合．若 M 关于椭圆 C 的焦点的对称点分别为 A，B，
线段 MN 的中点在椭圆 C 上，则|AN|＋|BN|＝ .
[解析] 取 MN 的中点 G，G 在椭圆 C 上，因为点 M 关于 C 的焦点 F1，F2 的对称点分别为 A，B，故
有|GF1|＝1
2|AN|，|GF2|＝1
2|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF|1＋|GF|2)＝4a＝12.
三、解答题
1、已知点 P(0,5)及圆 C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段为 4 3，求 l 的方程；
(2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程．
[解析] (1)如图所示，|AB|＝4 3，将圆 C 方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，
所以圆 C 的圆心坐标为(－2,6)，半径 r＝4，设 D 是线段 AB 的中点，则 CD⊥AB，
所以|AD|＝2 3，|AC|＝4.C 点坐标为(－2,6)．
在 Rt△ACD 中，可得|CD|＝2.
若直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y－5＝kx，即 kx－y＋5＝0.
由点 C 到直线 AB 的距离公式： |－2k－6＋5|
k2＋－12＝2，得 k＝3
4.
故直线 l 的方程为 3x－4y＋20＝0.
直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x＝0.
所以所求直线 l 的方程为 x＝0 或 3x－4y＋20＝0.2、已知抛物线 E：y2＝8x，圆 M：(x－2)2＋y2＝4，点 N 为抛物线 E 上的动点，O 为坐标原点，线段 ON 的
中点 P 的轨迹为曲线 C．
(1)求曲线 C 的方程；
(2)点 Q(x0，y0)(x0≥5)是曲线 C 上的点，过点 Q 作圆 M 的两条切线，分别与 x 轴交于 A，B 两点，求△QAB
面积的最小值．
[解析] (1)设 P(x，y)，则点 N(2x,2y)在抛物线 E：y2＝8x 上，所以 4y2＝16x，
所以曲线 C 的方程为 y2＝4x.
(2)设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)．
令 y＝0，可得 x＝x0－y0
k ，圆心(2,0)到切线的距离 d＝|2k＋y0－kx0|
12＋k2 ＝2，
整理可得(x20－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋y20－4＝0，
设两条切线的斜率分别为 k1，k2，则 k1＋k2＝2x0y0－4y0
x20－4x0 ，k1k2＝ y20－4
x20－4x0，
所以△QAB 面积 S＝1
2|(x0－y0
k1)－(x0－y0
k2)|y0＝2· x20
x0－1＝2x0－12＋2x0－1＋1
x0－1 ＝2[(x0－1)＋ 1
x0－1＋2]．
设 t＝x0－1∈[4，＋∞)，则 f(t)＝2(t＋1
t＋2)在[4，＋∞)上单调递增，
所以 f(t)≥25
2 ，即△QAB 面积的最小值为25
2 .
3、已知椭圆 C1：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为 e＝ 3
2 且与双曲线 C2：x2
b2－ y2
b2＋1＝1 有共同焦点．
(1)求椭圆 C1 的方程；
(2)在椭圆 C1 落在第一象限的图象上任取一点作 C1 的切线 l，求 l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；
(3)设椭圆 C1 的左、右顶点分别为 A，B，过椭圆 C1 上的一点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E，若 C 点满足AB→
⊥BC→
，AD→
∥OC→
，连接 AC 交 DE 于点 P，求证：PD＝PE.
[解析] (1)由 e＝ 3
2 ，可得：c
a＝ 3
2 ，即c2
a2＝3
4，所以a2－b2
a2 ＝3
4，a2＝4b2，①又因为 c2＝2b2＋1，即 a2－b2＝2b2＋1，②
联立①②解得：a2＝4，b2＝1，所以椭圆 C1 的方程为x2
4＋y2＝1.
(2)因为 l 与椭圆 C1 相切于第一象限内的一点，所以直线 l 的斜率必存在且为负，
设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(k
微信/支付宝扫码支付