模块九 圆锥曲线（教师版）
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2020-2021目录
第一节 曲线与方程...................................................1
【知识 1】曲线和方程(※)..........................................1
【探究 1】概念的理解 ..........................................1
【探究 2】曲线与方程的应用 ....................................2
【探索 3】求曲线的方程（求轨迹方程） ..........................3
第二节 椭 圆........................................................4
【知识 2】椭圆的定义..............................................4
【知识 3】椭圆的标准方程..........................................6
【探索 1】待定系数法 ..........................................6
【探索 2】定义法 ..............................................8
【探索 3】相关点法 ............................................9
【思考与提升 1】 .............................................10
【知识 4】椭圆的简单性质.........................................12
【探索 1】讨论椭圆的简单性质 .................................13
【探索 2】利用简单性质求椭圆的标准方程 .......................14
【探索 3】求椭圆的离心率 .....................................15
【思考与提升 2】 .............................................17
【知识 5】点与椭圆的位置关系.....................................19
【知识 6】直线与椭圆的位置关系...................................20
【知识 7】弦长公式...............................................21
【知识 8】中点弦问题.............................................22
【知识 9】直线与椭圆的综合问题※.................................24
【探索 1】椭圆中的最值(或范围)问题◎ .........................24
【探索 2】椭圆中的定点、定值问题◎ ...........................29
【提升与思考 3】 .............................................35
第三节 双曲线......................................................38
【知识 10】双曲线的定义..........................................38
【知识 11】双曲线的标准方程......................................39
【知识 12】双曲线的性质..........................................42
【探索 1】求简单性质 .........................................43
【探索 2】由双曲线的性质求标准方程 ...........................44
【探索 3】求双曲线的离心率 ...................................46
【思考与提升 4】 .............................................47【知识 13】直线与双曲线的位置关系................................51
【知识 14】双曲线中的弦长及中点弦问题............................54
【知识 15】直线与双曲线位置关系的综合问题........................56
第四节 抛物线.......................................................58
【知识 16】抛物线的定义..........................................58
【知识 17】抛物线的标准方程......................................60
【知识 18】抛物线的简单应用......................................61
【知识 19】抛物线的性质..........................................63
【知识 20】直线与抛物线的位置关系................................64
【知识 21】抛物线的中点弦问题....................................65
【知识 22】焦点弦的性质..........................................66
【思考与提高 5】 .............................................68
第五节 直线与圆锥曲线的综合........................................69
【探索 1】圆锥曲线的共同特征——统一定义.........................69
【探索 2】直线与圆锥曲线的位置关系...............................70
【探索 3】两曲线的交点...........................................71
第六节 圆锥曲线模块自我检测.........................................721
第一节 曲线与方程
【知识 1】曲线和方程(※)
【探究 1】概念的理解
【例 1】(1)设方程 f(x，y)＝0 的解集非空，若命题“坐标满足方程 f(x，y)＝0 的点都在曲线 C
上”是假命题，则下列命题为真命题的是( )
A.坐标满足 f(x，y)＝0 的点都不在曲线 C 上
B.曲线 C 上的点的坐标不满足 f(x，y)＝0
C.坐标满足 f(x，y)＝0 的点有些在曲线 C 上，有些不在曲线 C 上
D.一定有不在曲线 C 上的点，其坐标满足 f(x，y)＝0
1.曲线的方程和方程的曲线的概念
在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个
二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2.坐标法思想及求曲线方程的步骤
(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线 C
的点集和方程 f(x，y)＝0 的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程
上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方
程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．
(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一
对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性
质．
(3)求曲线的方程的步骤2
(2)“以方程 f(x，y)＝0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点”是“曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】(1)命题“坐标满足方程 f(x，y)＝0 的点都在曲线 C 上”为假命题，则命题“坐标满
足方程 f(x，y)＝0 的点不都在曲线 C 上”是真命题．故选 D.
(2)由曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0，得以方程 f(x，y)＝0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点，
但反过来不成立，故选 B.
【反思】(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹
性．
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有
点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．
【练习 1】分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程|x|＝2 之间的关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy＝5 之间的关系；
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程 x＋y＝0 之间的关系．
【解析】(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2 的解，但以方程|x|＝2
的解为坐标的点不都在过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线上．因此，|x|＝2 不是过点 A(2,0)平行
于 y 轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy＝5，但以方程 xy＝5 的解为
坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5.因此，与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的轨迹
方程不是 xy＝5.
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足 x＋y＝0；反之，以方程 x＋y＝0
的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴
夹角平分线上的点的轨迹方程是 x＋y＝0.
【探究 2】曲线与方程的应用
【例 1-2】已知方程 x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点 P(1，－2)，Q( 2，3)是否在上述方程表示的曲线上；
(2)若点 M (m
2，－m)在上述方程表示的曲线上，求 m 的值．
【解析】(1)∵12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10，
∴点 P(1，－2)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，
点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上．
(2)∵点 M (m
2，－m)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，3
∴(m
2 )2＋(－m－1)2＝10，解得 m＝2 或 m＝－18
5 .
[反思] 判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关
系的命题的真假性一致判断．
【练习 1-2】若曲线 y2－xy＋2x＋k＝0 过点(a，－a)(a∈R)，求 k 的取值范围．
【解析】∵曲线 y2－xy＋2x＋k＝0 过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0，
∴k－2a2－2a＝－2(a＋1
2 )2＋1
2，∴k≤1
2，∴k 的取值范围是(－∞，1
2].
【探索 3】求曲线的方程（求轨迹方程）
【例 1-3】（直接法）一个动点 P 到直线 x＝8 的距离是它到点 A(2,0)的距离的 2 倍．求动点 P
的轨迹方程．
【解析】设 P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|，则|8－x|＝2 (x－2)2＋(y－0)2，
化简，得 3x2＋4y2＝48，故动点 P 的轨迹方程为 3x2＋4y2＝48.
【反思】直接法求动点轨迹的关键及方法。
(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．
(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、
设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．
特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．
【练习 1-3】等腰三角形底边的两个顶点分别是 B(2,1)，C(0，－3)，则另一个顶点 A 的轨迹
方程是( )
A．x－2y＋1＝0(x≠0) B．y＝2x－1 C．x＋2y＋1＝0(y≠1) D．x＋2y＋1＝0(x≠1)
【解析】设 A(x，y)，依题意，知|AB|＝|AC|，所以 (x－2)2＋(y－1)2＝ x2＋(y＋3)2，
化简得 x＋2y＋1＝0.又因为 A，B，C 三点不能共线，所以 x≠1，故选 D.
【例 1-4】（相关点法）动点 M 在曲线 x2＋y2＝1 上移动，M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P，
求 P 点的轨迹方程．
【解析】设 P(x，y)，M(x0，y0)，
因为 P 为 MB 的中点，所以Error!即Error!
又因为 M 在曲线 x2＋y2＝1 上，
所以 x20＋y20＝1，所以(2x－3)2＋4y2＝1.
所以点 P 的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
【反思】相关点法求解轨迹方程的步骤
(1)设动点 P(x，y)，相关动点 M(x0，y0)．
(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系Error!
(3)代入相关动点的轨迹方程．4
(4)化简、整理，得所求轨迹方程．
【练习 1-4】已知圆 C：x 2＋(y－3) 2＝9.过原点作圆 C 的弦 OP，求 OP 的中点 Q 的轨迹方
程．
【解析】设 P(x1，y1)，Q(x，y)，
由题意，得Error!即Error!
又因为点 P 在圆 C 上，所以 x21＋(y1－3)2＝9，
所以 4x2＋4(y－3
2 )2＝9，即 x2＋(y－3
2 )2＝9
4(x≠0).
【练习 1-5】M 为直线 l：2x－y＋3＝0 上的一动点，A(4,2)为一定点，又点 P 在直线 AM 上运
动，且AP
→
＝3PM
→
，求动点 P 的轨迹方程．
【解析】设点 M，P 的坐标分别为 M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得Error!所
以Error!
因为点 M(x0，y0)在直线 2x－y＋3＝0 上，
所以 2×4x－4
3 －4y－2
3 ＋3＝0，即 8x－4y＋3＝0，
从而点 P 的轨迹方程为 8x－4y＋3＝0.
第二节 椭 圆
【知识 2】椭圆的定义5
【探究 1】椭圆定义的理解
【例 2-1】(1)下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点 F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝ 2的点 P 的集合为椭圆；
②已知定点 F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4 的点 P 的集合为线段；
③到定点 F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的集合为椭圆．
【解析】（1）① 2|F1F2|}．
(3)2a 与|F1F2|的大小关系所确定的点的集合如下表：
条件 结论
2a>|F1F2| 动点的集合是椭圆
2a＝|F1F2| 动点的集合是线段 F1F2
2ab>0) y2
a2＋x2
b2＝1(a>b>0)
图像
焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 2c
a，b，c 的关系 b2＝a2－c2
【温馨提示】根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中 x2 项和 y2 项的分母哪个更大一些，即
“谁大在谁上”．如方程为y2
5＋x2
4＝1 的椭圆，焦点在 y 轴上，而且可求出焦点坐标 F1(0，－
1)，F2(0,1)，焦距|F1F2|＝2.7
【解析】法一 ①当椭圆焦点在 x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)．
依题意，有Error!解得Error!
由 a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在 y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y2
a2＋x2
b2＝1(a>b>0)．
依题意，有Error!解得Error!
所以所求椭圆的标准方程为y2
1
4
＋x2
1
5
＝1.
法二 设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则Error!解得Error!
所以所求椭圆的方程为 5x2＋4y2＝1，故椭圆的标准方程为y2
1
4
＋x2
1
5
＝1.
【练习 3-1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于
10；
(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；
(3)椭圆的焦点在 x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．
【解析】 (1)设其标准方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)．
由题意可知 2a＝10，c＝4，故 b2＝a2－c2＝9，故所求椭圆的标准方程为x2
25＋y2
9＝1.
(2)设椭圆的一般方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
则Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为x2
91
3
＋y2
91
16
＝1.
(3)设椭圆的标准方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)．
由Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为x2
4＋y2＝1.
【练习 3-2】求与椭圆x2
25＋y2
9＝1 有相同焦点，且过点(3， 15)的椭圆方程．
【解析】法一 设椭圆的标准方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，则 ， ，
故椭圆的标准方程为 ,把(3， 15)代入解得 ，所以 ，
4925 =−=c 1622 =− ba
14 2
2
2
2
=++ b
y
b
x 202 =b 362 =a8
故所求的椭圆方程为x2
36＋y2
20＝1.
法二 由题意可设其方程为 x2
25＋λ＋ y2
9＋λ＝1(λ>－9)，
又椭圆过点(3， 15)，将此点代入椭圆方程，得 λ＝11(λ＝－21 舍去)，
故所求的椭圆方程为x2
36＋y2
20＝1.
【反思】(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论，也可
设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．
(2)与椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为 x2
a2＋λ＋ y2
b2＋λ＝1(a>b>0，λ＞－b2)，与椭
圆y2
a2＋x2
b2＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为 y2
a2＋λ＋ x2
b2＋λ＝1(a>b>0，λ＞－b2)．
【探索 2】定义法
【例 3-2】点 P(－3,0)是圆 C：x2＋y2－6x－55＝0 内一定点，动圆 M 与已知圆相内切且过 P
点，求圆心 M 的轨迹方程．
【解析】方程 x2＋y2－6x－55＝0 化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径 r＝8.
因为动圆 M 与已知圆相内切且过 P 点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点 M 到
两定点 C，P 的距离之和为定值 8>6＝|CP|，所以动点 M 的轨迹是椭圆．
设椭圆方程为 ，由上得 ， ，所以 ，
所以 ， 为所求。
【练习 3-3】已知一动圆 M 与圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，与圆 C2：(x－3)2＋y2＝81 内切，
试求动圆圆心 M 的轨迹方程．
【解析】由题意可知 C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，
设 M(x，y)，半径为 R，则|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R，故|MC1|＋|MC2|＝10，
由椭圆定义知，点 M 的轨迹是一个以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 a＝5，c＝3，
故 b2＝a2－c2＝16.
故所求动圆圆心 M 的轨迹方程为x2
25＋y2
16＝1.
【练习 3-4】已知 B，C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长等于 18.求这个三角形的顶点
A 的轨迹方程．
【解析】以 BC 的中点 O 为坐标原点，过 B，C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为
y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，如图所示．
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x 82 =a 3=c 4=a
7222 =−= cab 1716
22
=+∴ yx9
由|BC|＝8 可知点 B(－4,0)，C(4,0)．
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|，
因此，点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和 2a＝10，
但点 A 不在 x 轴上．
由 a＝5，c＝4，得 b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以点 A 的轨迹方程为x2
25＋y2
9＝1(y≠0)．
【练习 3-5】若△ABC 的三边长 a，b，c 成等差数列，且 b＝6，求顶点 B 的轨迹方程．
【解析】以直线 AC 为 x 轴，AC 的中点为原点，建立平面直角坐标系，设 A(－3,0)，C(3,0)，
B(x，y)，
则|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝12＞6＝|AC|，
∴B 点的轨迹是以 A，C 为焦点的椭圆，
且 a′＝6，c′＝3，b′2＝27.
故所求的轨迹方程为x2
36＋y2
27＝1(y≠0)．
【反思】椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数 2a 必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条
件．
【探索 3】相关点法
【例 3-3】如图，设定点 A(6,2)，P 是椭圆x2
25＋y2
9＝1 上的动点，求线段 AP 的中点 M 的轨迹
方程．
【解析】设 M(x，y)，P(x1，y1)．∵M 为线段 AP 的中点，
∴Error!又∵x21
25＋y21
9＝1，
∴点 M 的轨迹方程为
(x－3)2
25 ＋
(y－1)2
9 ＝1
4.
【反思】求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法：10
(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求
解．
(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的
轨迹方程．
(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程．
【方法小结】
【思考与提升 1】
【思考 1-1】已知椭圆x2
4＋y2
2＝1 上有一点 P，F1，F2 是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2 为直角
三角形，则这样的点 P 有( )
A．3 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
【解析】当∠PF1F2 为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点 P 有 2 个；同理当∠PF2F1 为
直角时，这样的点 P 有 2 个；当 P 点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2 最大，且为直角，此时
这样的点 P 有 2 个．故符合要求的点 P 有 6 个．答案为 C
【思考 1-2】P 是椭圆 x2
16＋y2
9＝1 上一点，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝
12，则∠F1PF2 的大小为 .
【解析】因为|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2 7，
cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
2|PF1||PF2| ＝
(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－|F1F2|2
2|PF1||PF2| ＝1
2.
又因为∠F1PF2∈[0°，180°)，所以∠F1PF2＝60°.
1．平面内到两定点 F1，F2 的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，
当 2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当 2a＝|F1F2|时，轨迹是线段 F1F2；
当 2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．
2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点．在x2
a2＋y2
b2
＝1 与y2
a2＋x2
b2＝1 这两个标准方程中，都有 a>b>0 的要求，如方程x2
m＋y2
n＝1(m>0，n>0，m≠n)
就不能确定焦点在哪个轴上．分清两种形式的标准方程，可与直线截距式x
a＋y
b＝1 类比，
如x2
a2＋y2
b2＝1 中，由于 a>b，所以在 x 轴上的“截距”更大，因而焦点在 x 轴上(即看 x2，y2
分母的大小)．
3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆
的定义进行求解．11
【思考 1-3】已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，M 为椭圆上一动点，F1 为椭圆的左焦点，则线段 MF1
的中点 P 的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线
【解析】设椭圆的右焦点为 F2，由题意，知|PO|＝1
2|MF2|，|PF1|＝1
2|MF1|，
又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF 1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义，知 P 点的轨迹是椭
圆．
故选 B
【思考 1-4】设 F1，F2 分别为椭圆x2
3＋y2＝1 的左、右焦点，点 A，B 在椭圆上，若 F1A
→
＝
5F2B
→
，则点 A 的坐标是________．
【解析】根据题意，设 A 点坐标为(m，n)，B 点坐标为(c，d)．
F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－ 2，0)，( 2，0)，
可得F1A
→
＝(m＋ 2，n)，F2B
→
＝(c－ 2，d)．∵F1A
→
＝5F2B
→
，∴c＝m＋6 2
5 ，d＝n
5.
∵点 A，B 都在椭圆上，∴m2
3 ＋n2＝1，
(m＋6 2
5 )2
3 ＋(n
5 )2＝1.
解得 m＝0，n＝±1，故点 A 坐标为(0，±1)．
【思考 1-5】设 F1，F2 分别是椭圆x2
25＋y2
16＝1 的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，点 M 的
坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
【解析】由椭圆定义知|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2×5－|PF2|，
而|PM|－|PF2|≤|MF2|＝5，所以|PM|＋|PF1|≤2×5＋5＝15.
【思考 1-6】已知椭圆x2
3＋y2
4＝1 的两个焦点为 F1，F2，M 是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，
则△MF1F2 是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【解析】由椭圆定义，知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，
且已知|MF1|－|MF2|＝1，所以|MF1|＝5
2，|MF2|＝3
2.
又|F1F2|＝2c＝2，所以|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2，因此∠MF2F1＝90°，
即△MF1F2 为直角三角形．故选 B
【思考 1-7】如图所示，△ABC 的底边 BC＝12，其他两边 AB 和 AC 上中线的和为 30，求此12
三角形重心 G 的轨迹方程，并求顶点 A 的轨迹方程．
【解析】以 BC 边所在直线为 x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 B(6,0)，C(－6,0)，CE，BD 分别为 AB，AC 边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30.
由重心性质可知，|GB|＋|GC|＝2
3(|BD|＋|CE|)＝20＞12.
∵B，C 是两个定点，G 点到 B，C 的距离和等于定值 20，且 20＞12，
∴G 点的轨迹是椭圆，B，C 是椭圆焦点，
∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故 G 点的轨迹方程为 x2
100＋y2
64＝1(x≠±10)．设 G(x′，y′)，A(x，y)，则有x′2
100＋y′2
64 ＝1.
由重心坐标公式知Error!
故 A 点轨迹方程为
(x
3 )2
100 ＋
(y
3 )2
64 ＝1，即 x2
900＋ y2
576＝1(x≠±30).
【知识 4】椭圆的简单性质13
【探索 1】讨论椭圆的简单性质
【例 4-1】求椭圆 m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心
率．
【解析】由已知得x2
1
m2
＋ y2
1
4m2
＝1(m＞0)，因为 0＜m2＜4m2，所以 1
m2＞ 1
4m2，
所以椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a＝1
m，短半轴长 b＝ 1
2m，半焦距 c＝ 3
2m，
所以椭圆的长轴长 2a＝2
m，短轴长 2b＝1
m，焦点坐标为(－ 3
2m，0)，( 3
2m，0)，
顶点坐标为(1
m，0 )，(－1
m，0)，(0，－ 1
2m)，(0， 1
2m)，
离心率 e＝c
a＝
3
2m
1
m
＝ 3
2 .
椭圆的简单性质
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
标准方程 x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0) y2
a2＋x2
b2＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标 (±c,0) (0，±c)
对称性 以 x 轴，y 轴为对称轴的轴对称图形，以原点为对称中心的中心对称图形
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a
长轴、短轴 长轴 A1A2 的长为 2a，短轴 B1B2 的长为 2b
【温馨提示】椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长度的比c
a称为椭圆的离心率，即c
a＝e，因为 a＞c，故椭圆离心率 e 的
取值范围为(0,1)，当 e 趋近于 1 时，椭圆越扁，当 e 趋近于 0 时，椭圆越圆．14
【练习 4-1】求椭圆 25x2＋16y2＝400 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
【解析】将椭圆方程变形为y2
25＋x2
16＝1，得 a＝5，b＝4，所以 c＝3，
故椭圆的长轴长和短轴长分别为 2a＝10,2b＝8，离心率 e＝c
a＝3
5，
焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．
【练习 4-2】已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)，其焦距与长轴长的比值是 3
2 ，求 m 的值及
椭圆的长轴长、短轴长及顶点坐标．
【解析】椭圆方程可化为x2
m＋ y2
m
m＋3
＝1.
因为 m＞0，所以 m－ m
m＋3＝m(m＋2)
m＋3 ＞0，所以 m＞ m
m＋3，所以 a2＝m，b2＝ m
m＋3，
所以 c＝ a2－b2＝ m(m＋2)
m＋3 .
由c
a＝ 3
2 ，得 m＋2
m＋3＝ 3
2 ，解得 m＝1，所以 a＝1，b＝1
2，则椭圆的标准方程为 x2＋y2
1
4
＝1，
所以椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1，四个顶点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，(0，－1
2)，
(0，1
2 ).
【练习 4-3】椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10，0)，则焦点坐标为 .
【解析】由题意知，椭圆的焦点在 y 轴上，
且 a＝13，b＝10，则 c＝ a2－b2＝ 69，焦点坐标为(0，± 69).
【探索 2】利用简单性质求椭圆的标准方程
【例 4-2】已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F(－2 3，0)，且长轴长是短轴长的 2 倍，则
该椭圆的标准方程是________________________．
【解析】由已知，得焦点在 x 轴上，且Error!∴Error!
∴所求椭圆的标准方程为x2
16＋y2
4＝1.
【反思】此类问题应由所给的简单性质充分找出 a，b，c 所应满足的关系式，进而求出 a，
b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．
【练习 4-4】根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在 x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为 6.15
【解析】 (1)当焦点在 x 轴上时，设椭圆方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)．
依题意，有Error!解得Error!
∴椭圆方程为 x2
148＋y2
37＝1.
同样地可求出当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为x2
13＋y2
52＝1.
故所求的椭圆方程为 x2
148＋y2
37＝1 或x2
13＋y2
52＝1.
(2)依题意，有Error!
∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求的椭圆方程为x2
72＋y2
36＝1.
【练习 4-5】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此
椭圆的方程是________________________．
【解析】由已知，得 a＝4，b＝2，且椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆的方程是x2
16＋y2
4＝1.
【练习 4-6】焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，则椭圆的方程为
__________．
【解析】题意得 c＝2 5，a＋b＝10，又 a2＝b2＋c2，解得 a＝6，b＝4.故x2
36＋y2
16＝1 所求。
【探索 3】求椭圆的离心率
【例 4-3】设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2
为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
【解析】设椭圆方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)．
∵F1(－c,0)，∴P(－c，yp)，代入椭圆方程得c2
a2＋y2p
b2＝1，∴y2p＝b4
a2，
∴|PF1|＝b2
a ＝|F1F2|，即b2
a ＝2c，又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2
a ＝2c，
∴e2＋2e－1＝0，又∵0＜e＜1，∴e＝ 2－1.
[反思]求解椭圆的离心率，其实质就是构建 a，b，c 之间的关系式，再结合 b2＝a2－c2，从而
得到 a，c 之间的关系式，进而确定其离心率．【温馨提示：二级结论，过焦点作垂线与椭圆16
的交点为 】
【练习 4-7】设椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，P 是 C 上的点，
PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则 C 的离心率为 .
【解析】由题意可设|PF2|＝m(m＞0)，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ 3m，故离心率 e＝c
a
＝2c
2a＝ |F1F2|
|PF1|＋|PF2|＝ 3m
2m＋m＝ 3
3 .
【练习 4-8】若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为 .
【解析】不妨设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，B 为椭圆的上顶点．
依题意可知，△BF1F2 是正三角形．
∵在 Rt△OBF2 中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴e＝c
a＝cos 60°＝1
2，即椭圆的离心率 e＝1
2
【练习 4-9】A 为 y 轴上一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，△AF1F2 为正三角形，且 AF1 的中
点 B 恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________．
【解析】如图，连接 BF2.因为△AF1F2 为正三角形，且 B 为线段 AF1 的中点，
所以 F2B⊥BF1.
又因为∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝c，|BF2|＝ 3c，
由椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即 c＋ 3c＝2a，所以c
a＝ 3－1，
所以椭圆的离心率 e＝ 3－1.
【方法小结】
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 e＝c
a求解．若已知 a，b 或 b，c 可借助于 a2＝b2＋c2 求
出 c 或 a，再代入公式 e＝c
a求解．
）（
a
bc
2
,±±17
(2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助于 a 2＝b2＋c2，
转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关
于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围．
【思考与提升 2】
【思考 2-1】若椭圆x2
a2＋y2
b2＝1 的焦点在 x 轴上，过点(1，1
2 )作圆 x2＋y2＝1 的切线，切点分
别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．
【解析】∵x＝1 是圆 x2＋y2＝1 的一条切线，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即 c＝1.
设 P(1，1
2 )，则 kOP＝1
2，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线 AB 的方程为 y＝－2(x－1)，它与
y 轴的交点为(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为x2
5＋y2
4＝1.
【思考 2-2】设 F1，F2 是椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为直线 x＝3a
2 上一点，
△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，则椭圆 E 的离心率为 .
【解析】设直线 x＝3a
2 与 x 轴交于点 M，则∠PF2M＝60°，在 Rt△PF2M 中，|PF2|＝|F1F2|＝
2c，|F2M|＝3a
2 －c，故 cos 60°＝|F2M|
|PF2|＝
3a
2 －c
2c ＝1
2，解得c
a＝3
4，故离心率 e＝3
4.
【思考 2-3】已知椭圆 C 的上、下顶点分别为 B1，B2，左、右焦点分别为 F1，F2，若四边形
B1F1B2F2 是正方形，则此椭圆的离心率 e＝________.
【解析】因为四边形 B1F1B2F2 是正方形，所以 b＝c，所以 a 2＝b2＋c2＝2c2，所以 e＝c
a＝
2
2 .
【思考 2-4】在△ABC 中，tan A＝1
3，B＝π
4.若椭圆 E 以 AB 为长轴，且过点 C，则椭圆 E 的
离心率是____．
【解析】由 tan A＝1
3，得 sin A＝ 10
10 ，cos A＝3 10
10 .
又 B＝π
4，∴sin B＝ 2
2 ，cos B＝ 2
2 ，18
则 sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 10
10 × 2
2 ＋3 10
10 × 2
2 ＝2 5
5 .
由正弦定理，得|BC|∶|CA|∶|AB|＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶ 5∶2 2.
不妨取|BC|＝1，|CA|＝ 5，|AB|＝2 2.
以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为原点建立直角坐标系(C 在 x 轴上方)，D 是 C 在 AB 上
的射影．
可求得|AD|＝3 2
2 ，|OD|＝ 2
2 ，|CD|＝ 2
2 ，
∴点 C( 2
2 ， 2
2 ).设椭圆 E 的方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)，
则 a2＝2，且 1
2a2＋ 1
2b2＝1，解得 b2＝2
3，
∴c2＝a2－b2＝2－2
3＝4
3，∴e2＝c2
a2＝2
3，又∵0＜e＜1，∴e＝ 6
3 .
【思考 2-5】已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1，F2，斜率为 k 的直线 l 过左焦
点 F1 且与椭圆的交点为 A，B，与 y 轴的交点为 C，且 B 为线段 CF1 的中点，若|k|≤ 14
2 ，
求椭圆离心率 e 的取值范围．
【解析】依题意得 F1(－c,0)，直线 l：y＝k(x＋c)，则 C(0，kc)．
因为点 B 为线段 CF1 的中点，所以 B(－c
2，kc
2 ).
因为点 B 在椭圆上，所以
(－c
2 )2
a2 ＋
(kc
2 )2
b2 ＝1，即 c2
4a2＋ k2c2
4(a2－c2)＝1.
所以e2
4＋ k2e2
4(1－e2)＝1，所以 k2＝
(4－e2)(1－e2)
e2 .
由|k|≤ 14
2 ，得 k2≤7
2，即
(4－e2)(1－e2)
e2 ≤7
2，所以 2e4－17e2＋8≤0.解得1
2≤e2≤8.
因为 00)相交，两个交点为 A(x1，
y1)，B(x2，y2)，则线段 AB 叫作直线 l 截椭圆所得的弦，线段 AB 的长度叫作弦长．弦长
公式：|AB|＝ (x1－x2)2＋(kx1－kx2)2＝ (x1－x2)2＋k2(x1－x2)2＝ 1＋k2|x1－x2|，而|x1－x2|＝
(x1＋x2)2－4x1x2，所以|AB|＝ 1＋k2· (x1＋x2)2－4x1x2，其中 x1＋x2 与 x1x2 均可由根与
系数的关系得到．22
【知识 8】中点弦问题
【例 8】已知椭圆的方程是 x2＋2y2－4＝0，则以 M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是( )
A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
【解析】法一（一般方法，设而不求，利用韦达定理）
由题意可知所求直线的斜率存在，设过点 M(1,1)的直线方程为 y＝k(x－1)＋1，
即 y＝kx＋1－k.
由Error!消去 y，得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2
2 ＝1
2×4k2－4k
1＋2k2 ＝1，解得 k＝－1
2，
所以所求直线方程为 y＝－1
2x＋3
2，即 x＋2y－3＝0.
法二（点差法）
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，两式作差得 ，
即 ，即
，又 ，⸫ ，
所以所求直线方程为 y＝－1
2x＋3
2，即 x＋2y－3＝0.
法三 （共线法）
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(1,1)为 AB 中点，⸫ ，
即 ,则
，即 ，
两式作差得 x＋2y－3＝0，A，B 均在直线上，故 x＋2y－3＝0 为所求。
【反思】解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二
次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构
造出中点坐标和斜率的关系．
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为 P(x0，y0)，设其一交点为 A(x，y)，则另一
交点为 B(2x0－x,2y0－y)，
则Error!
两式作差即得所求直线方程．
=−+
=−+
042
042
2
2
2
2
2
1
2
1
yx
yx 022 2
1
2
2
2
1
2
2 =−+− yyxx
0))((2))(( 12121212 =−++−+ yyyyxxxx
0))((
))((21
1212
1212 =−+
−++
xxxx
yyyy 22 1212 =+=+ yyxx ，
2
1−=ABk
1212 22 yyxx −=−= ，
)22( 11 yxB −− ，
=−−+−
=−+
04)(22)(2
042
2
1
2
1
2
1
2
1
yx
yx
=+−−+
=−+
08842
042
11
2
1
2
1
2
1
2
1
yxyx
yx23
【练习 8-1】已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 3
2 ,四个顶点构成的四边形的面积
为 12,直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点为 M(－2,1),则直线 l 的斜率为( )
A.1
3 B.3
2 C.1
2 D．1
【解析】因为椭圆x2
a2＋y2
b2＝1 的离心率为 3
2 ，四个顶点构成的四边形的面积为 12，
所以Error!解得 a＝2 3，b＝ 3，
所以椭圆的方程为x2
12＋y2
3＝1，
因为直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点为 M(－2,1)，
所以设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
又因为Error!两式相减，得 1
12(x1－x2)(x1＋x2)＋1
3(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
所以－1
3(x1－x2)＋2
3(y1－y2)＝0，
所以直线 l 的斜率为 k＝y1－y2
x1－x2＝1
2，故选 C.
【练习 8-2】已知椭圆 ： 的离心率为 ，三角形 的三个顶
点都在椭圆 上，设它的三条边 、 、 的中点分别为 、 、 ，且三条边所在
直线的斜率分别 、 、 ，且 、 、 均不为 . 为坐标原点，若直线 、 、
的斜率之和为 ，则 ______.
【解析】因为椭圆的离心率为 ，所以 ，
又 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 .
故答案为：－2
Γ
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
2
ABC
Γ AB BC AC D E F
1k 2k 3k 1k 2k 3k 0 O OD OE
OF 1
1 2 3
1 1 1
k k k
+ + =
2
2
2 2 2 22 2 22
c c a a ba
= ⇒ = ⇒ =
2
2AB OD
bk k a
⋅ = −
2
2BC OE
bk k a
⋅ = −
2
2AC OF
bk k a
⋅ = −
2
2
1
OD
AB
a kk b
= − ⋅
2
2
1
OE
BC
a kk b
= − ⋅
2
2
1
OF
AC
a kk b
= − ⋅
2
2
1 2 3
(1 21 )1
OD OE OF
a k k kbk k k
− + ++ = = −+24
【知识 9】直线与椭圆的综合问题※
【探索 1】椭圆中的最值(或范围)问题◎
【例 9-1】已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
【解析】(1)由Error!消去 y，得 5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点， 所以 Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－ 5
2 ≤m≤ 5
2 .
(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以 x1＋x2＝－2m
5 ，x1x2＝1
5(m2－1)，
所以|AB|＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2＝ 2(x1－x2)2＝ 2[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝ 2[4m2
25 －4
5
(m2－1)]＝2
5 10－8m2.
所以当 m＝0 时，|AB|最大，此时直线方程为 y＝x.
【练习 9-1】已知动点 P(x，y)在椭圆x2
25＋y2
16＝1 上，若点 A 的坐标为(3,0)，|AM
→
|＝1，且PM
→
·AM
→
＝0，求|PM
→
|的最小值．
【解析】由|AM
→
|＝1，A(3,0)，知点 M 在以 A(3,0)为圆心，1 为半径的圆上运动，
∵PM
→
·AM
→
＝0 且 P 在椭圆上运动，∴PM⊥AM，即 PM 为⊙A 的切线，连接 PA(如图)，
则|PM
→
|＝ |PA
→
|2－|AM
→
|2 ＝ |PA
→
|2－1 ，∵由椭圆方程知 a＝5，c＝3，
∴当|PA
→
|min＝a－c＝5－3＝2 时，|PM
→
|min＝ 3.
【练习 9-2】已知 A，B 是椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N 是椭圆上关于 x 轴
对称的两点，直线 AM，BN 的斜率分别为 k1，k2(k1k2≠0)，若椭圆的离心率为 3
2 ，则|k1|＋|k2|
的最小值为 .
【解析】设 M(x，y)，N(x，－y)(－a＜x＜a)，则 k1＝ y
x＋a，k2＝ y
a－x，25
又因为椭圆的离心率为 3
2 ，所以b
a＝ 1－e2＝1
2，
|k1|＋|k2|＝ |y|
x＋a＋ |y|
a－x≥2 y2
a2－x2＝2b
a ＝1
【练习 9-3】已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 2
2 ，椭圆上任意一点到右焦点 F 的距
离的最大值为 2＋1.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点 C(m,0)是线段 OF 上异于 O，F 的一个定点(O 为坐标原点)，是否存在过点 F 且与 x
轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，使得|AC|＝|BC|，并说明理由．
【解析】(1)由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，长轴为最长的弦。
所以Error!解得Error!∴b＝1，∴椭圆的方程为x2
2＋y2＝1.
(2)由(1)得 F(1,0)，∴0＜m＜1.
假设存在满足题意的直线 l，设 l 为 y＝k(x－1)，
代入到x2
2＋y2＝1 中，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 4k2
2k2＋1，x1x2＝2k2－2
2k2＋1，①
∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝－ 2k
2k2＋1.
设 AB 的中点为 M，则 M( 2k2
2k2＋1，－ k
2k2＋1).
∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即 kCMkAB＝－1，
∴ 4k2
2k2＋1－2m＋
－2k
2k2＋1·k＝0，等价于(1－2m)k2＝m，
∴当 0＜m＜1
2时，k＝± m
1－2m，即存在满足条件的直线 l；
当1
2≤m＜1 时，k 不存在，即不存在满足条件的直线 l.
【例 9-2】 、 分别为椭圆 ： 的左、右焦点， 是 上的任意一点. 则
的最大值为_________，若 ，则 的最小值为_________.
【解析】通过椭圆定义表示出 ，进而将 变为二次函数问题，通过
的范围得到最大值；再将 表示为 ，通过图形可知当 在线
段 上时取得最小值，求解得到结果.
1F 2F C
2 2
19 5
x y+ = P C
1 2•PF PF (0,4 6)A 2AP PF−
2 16PF PF= − 1 2PF PF
1PF 2AP PF− 1 6AP PF+ − P
1AF26
由 可得： ，
由椭圆定义可知
又 ，即
当 时， 取最大值，最大值为：
又 （当且仅当 在线段 上时取等号）
【答案】9、4
【反思】求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共
线时|PA|＋|PB|取得最值．
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值
范围．
(3)求解形如 ax＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．
(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
【练习 9-4】已知 为椭圆 的左焦点，P 为椭圆上半部分上任意一点，A(1，
1)为椭圆内一点，则 的最小值为________________．
【解析】将椭圆方程化为标准方程，可得焦点坐标；由两点间距离公式求得 ，根据椭
圆定义将 转化为 。根据三点共线时线段长度最小，
即可求得 的最小值。
椭圆 的方程可化为 ，可得 ， ，
故 ，如下图所示，
2 2
19 5
x y+ = 3a = 2c =
1 2 2 6PF PF a+ = = 2 16PF PF⇒ = −
( ) 2
1 2 1 1 1 16 6PF PF PF PF PF PF∴ = − = −
1a c PF a c− ≤ ≤ + 11 5PF≤ ≤
∴ 1 3PF = 1 2PF PF 18 9 9− =
( )2 1 12 6AP PF AP a PF AP PF− = − − = + −
1 1AP PF AF+ ≥ P 1AF
( ) ( ) ( )22
2 1min 6 0 2 4 6 0 6 4AP PF AF∴ − = − = + + − − =
1F 2 25 9 45x y+ =
1PF PA+
2AF
1PF PA+ ( )1 26PA PF PF PA+ = − −
1PA PF+
2 25 9 45x y+ =
2 2
19 5
x y+ = ( )1 2,0F − ( )2 2,0F
( ) ( )2 2
2 1 2 1 0 2AF = − + − =27
因为 ，所以
，
当且仅当 ， ， 三点共线时取等号．
故 的最小值为 ．
【练习 9-5】已知 AB 为圆 O： 的直径，点 P 为椭圆 上一动点，
则 的最小值为______．
【解析】法一：通过对称性取特殊位置，设出 P 的坐标，利用向量的数量积转化求解最小值
即可．
依据对称性，不妨设直径 AB 在 x 轴上， x， ， ， ．
从而 ．
故答案为：2．
法二：利用向量的数量积，转化为向量的和与差的平方，通过圆的特殊性，转化求解即可．
，
而 ，则答案为 2．
故答案为：2．
【练习 9-6】设 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上任一点，点 的坐标
为 ，则 的最大值为________．
【解析】由椭圆方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1(−3,0),F2(3,0)，如图所示，
由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，
1 2 2 6PF PF a+ = =
( )1 2 2 26 6 6 6 2PA PF PA PF PF PA AF+ = + − = − − ≥ − = −
P A 2F
1PA PF+ 6 2−
2 2 1x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
PA PB⋅
(2cosP 3sin )x ( )1,0A − ( )1,0B
(2cosPA PB⋅ = 1)(2cosx − 2 21) 3sin 2 cos 2x x x+ + = + ≥
22 2 2 2( ) ( ) 4 4 1 | | 14 4
PA PB PA PB POPA PB PO PO
+ − − −⋅ = = = − = −
| | 3minPO =
1 2,F F
2 2
125 16
x y+ = P M
( )6,4 1PM PF+28
∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a−|PF2|=10+(|PM|−|PF2|)⩽10+|MF2|= =15，
则|PM|+|PF1|的最大值为 15.
故答案为：15.
【练习 9-7】已知点 在圆 上，点 在椭圆 上， ，
则 的最小值为__________．
【解析】根据题意，当 三点共线时
【练习 9-8】点 P 在椭圆 上运动,点 A,B 分别在 x2+(y-4)2=16 和 x2+(y+4)2=4 上运
动,则|PA|+|PB|的最大值为____.
【解析】由题意得：椭圆 的两个焦点（0，±4）分别是
圆 x2+（y-4）2=16 和 x2+（y+4）2=4 的圆心，故 P 为椭圆的下顶点，A，B 分别为相应圆上
纵坐标最大的点时，|PA|+|PB|取最大值．
由题意得：椭圆 的两个焦点（0，±4）分别是
圆 x2+（y-4）2=16 和 x2+（y+4）2=4 的圆心，
P 到两个焦点的距离和为定值 2×5=10，两圆的半径分别为 4 和 2，
故 P 为椭圆的下顶点，A，B 分别为相应圆上纵坐标最大的点时，
2 210 3 4+ +
M 2 2( 6) ( 4) 1x y− + − = P
2 2
125 16
x y+ = ( 3,0)F −
PM PF−
, ,P C F′
( )1 2 11 11 5 11 6PM PF PC a PF PF PF CF− == − − − = + − ≥ − = −′ ′ = −′
2 2
19 25
+ =x y
2 2
19 25
x y+ =
2 2
19 25
x y+ =29
|PA|+|PB|的最大值为：2×5+2+4=16，故答案为：16．
【探索 2】椭圆中的定点、定值问题◎
定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或
者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同
证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到
最后必定参数统消，定点、定值显现
【例 9-3】在 中， ， ，其周长是 ， 是 的中点，
在线段 上，满足 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）若 ， 在 的延长线上，过点 的直线交轨迹 于
两点，直线 与轨迹 交于另一点 ，若 ，求 的值.
【解析】（1）设 则 又
所以 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，从而有
（2）设 ，而显然直线 不与 x 轴重合，故设其方程为
代入椭圆方程得
【练习 9-9】已知 是椭圆 上关于原点 对称的任意两点，且
ABC∆ 3 2( ,0)2B − 3 2( ,0)2C 6 3 2+ O BC
T AO 2TA TO= −
T E
( ,0)M m (0 1)m< < ( ,0)N n OC M E ,P Q
QN E R ( ) 0MP MR PR+ =
mn
( )T x y， ， (3 3 )A x y， ， 6AB AC BC，+ = >
2 23 3 199
2
x y+ =（ ） （ ） ，
( )2 22 1 0 .T x y y+ = ≠即 的轨迹方程是
( ) ( )1 1 2 2P x y Q x y， ， ， PQ x ky m= + ，
( )2 2 22 2 1 0k y kmy m+ + + − = ，
M E 在椭圆 内，
2
1 2 1 22 2
2 10 2 2
km my y y yk k
− −∴∆ > + = =+ +，且 ， ，
( )· 0MP MR PR MP MR 又 ， ，+ = ∴ = ( )1 1R x y∴ −， ，
( ) ( )1 2
1 2 2 1
1 2
NR QN
y yk k y ky m n y ky m nx n x n
从而 −= ⇔ = ⇔ − + − = + −− −
( )( ) ( ) ( )2
1 2 1 22 0 2 1 2 0 1.ky y y y m n k m km m n mn⇔ + + − = ⇔ − − − = ⇒ =
,P Q
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > O30
点 都不在 轴上.
（1）若 ，求证: 直线 和 的斜率之积为定值；
（2）若椭圆长轴长为 ，点 在椭圆 上，设 是椭圆上异于点 的任意两点，
且 .问直线 是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请
说明理由.
【分析】（1）设 ，则 ， 将坐标带入
椭圆化简即可；
（2）设直线 ，与椭圆联立得 ，设
，由 ,韦达定理代入
得 ，直线 恒定过点 ，当直线 斜率 ，易得成立.
【解析】
(1) 由题意设 ，则 ，所以有 ，又因为
, 所 以 ,( 定
值).
(2) 直 线 过 点 ， 理 由 如 下 : ① 当 直 线 斜 率 ， 易 得
,
直线 的方程为 . 直线 过点 .②由已知，椭圆 方程为 ，
设 直 线 ， 则 ， 设
，则
,P Q x
( ),0D a PD QD
4 ( )0,1A E ,M N A
AM AN⊥ MN
( ),P m n ( ),Q m n− −
2
2 2· ·PD QD
n n nk k m a m a m a
= =− + −
( ): 0MN y kx t k= + ≠ ( )2 2 21 4 8 4 4 0k x ktx t+ + + − =
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y ( )( )1 2 1 2, · 1 1 0AM AN AM AN x x y y⊥ = + − − =
3
5t = − MN 30, 5
− MN 0k =
( ),P m n ( ),Q m n− −
2 2 2
2 2
2 2 21, 1m n mn ba b a
+ = ∴ = −
( ),0D a
( )
( )
2
2
2 2 222 2
2 2 2 2 22 2 2
1
· ·PD QD
mb b a man n n bk k m a m a m a m a aa m a
− − = = = = = −− + − − −
MN 30, 5
− MN 0k =
8 3 8 3, , ,5 5 5 5M N − − −
MN 3
5y = − MN 30, 5
− E
2
2 14
x y+ =
( ): 0MN y kx t k= + ≠ ( )2 2 2
2 2{ 1 4 8 4 4 04 1
y kx t k x ktx tx y
= + ⇒ + + + − =+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y31
,，
，
， 或 (舍去),
方程为 ，则直线 恒定过点 ，
综上所述，直线 恒定过点 .
【例 9-4】设椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，其离心率为
，过 的直线 与 C 交于 两点，且 的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 的上顶点为 ，证明：当 的斜率为 时，点 在以 为直径的圆上．
【分析】（1）根据三角形周长为 可得 的值，结合离心率 可得 的值，进而可得
椭圆的标准方程；（2）先得直线方程为 ，将其于椭圆方程联立，根据韦达定理得
到 ， ，证得 即可.
【解析】（1） 的周长等于 ，
所以 ，从而 ．
因为 ，所以 ，即 ，
椭圆 的方程为 .
（2）由（1）得 ， ．
设 ， ，
( )( )1 2 2
1 2 1 22
1 2 2
8
1 4{ , , · 1 1 0
4 4
1 4
ktx x k AM AN AM AN x x y y
tx x k
−+ = + ⊥ ∴ = + − − =
−= +
( ) ( )( ) ( )22
1 2 1 21 1 1 0k x x k t x x t∴ + + − + + − =
( ) ( ) ( )2
22
2 2
4 4 81 · 1 · 1 01 4 1 4
t ktk k t tk k
−+ − − + − =+ +
2 35 2 3 0 5t t t∴ − − = ⇒ = − 1t =
MN∴ 3
5y kx= − MN 30, 5
−
MN 30, 5
−
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F 2F
2
2 2F l ,A B 1AF B△ 4 2
C
C P l 1
3 P AB
4a a 2
2e = c
3 1x y= +
1 2y y+ 1 2y y 0PA PB⋅ =
1AF B△ 1 1AF AB BF+ + 1 2 2 1 4AF AF BF BF a= + + + =
4 4 2a = 2a =
2
2
ce a
= = 1c = 2 2 2 1b a c= − =
C
2
2 12
x y+ =
( )0,1P ( )2 1,0F
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y32
依题意， 的方程为 ，
将 的方程代入 并整理，可得 ，
所以 ， ．
所以 ，
综上， 点 在以 为直径的圆上.
【练习 9-10】已知椭圆 C： 的左，右顶点分别是 ， ，右焦点为
F，直线 l： 与以线段 为直径的圆相切．
求椭圆 C 的离心率；
设点 在椭圆 C 上，且 ，求 的值．
【分析】
由直线与圆相切可得 再利用 即可求得离心率； 由 可设椭圆
方程为 然后根据点 P 在椭圆上和 PF=1 即可得到 的值.
【解析】 直线 l： 与以线段 为直径的圆相切，
，即 ．设 ， ，由于 ．
l 3 1x y= +
l C 211 6 1 0y y+ − =
1 2
6
11y y+ = − 1 2
1
11y y = −
( )( )1 2 1 21 1PA PB x x y y⋅ = + − −
( )( ) ( )( )1 2 1 23 1 3 1 1 1y y y y= + + + − −
( )1 2 1 210 2 2 0y y y y= + + + =
PA PB⊥
P AB
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1A 2A
3 0bx ay ab− + = 1 2A A
( )1
( )2 ( )0 02, ( 0)P y y > 1PF = 0y
( )1 2 22 .a b= 2 2 2a b c= + ( )2 ( )1
2 2 22 2 .x y c+ = 0y
( )1 3 0bx ay ab− + = 1 2A A
2 2
3ab a
a b
∴ =
+
2 22a b= ( ),0F c ( 0)c > 2 2 2a b c= +33
，故 ，
由 可知， ， ． 椭圆方程可为： ．
点 在椭圆 C 上， ，即 ．
由 ，且 ，可得 ,解得
【例 9-5】已知椭圆 （ ）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的
一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为椭圆 的左焦点，直线 ， 为椭圆上任意一点，证明：点 到 的距
离是点 到 距离的 倍.
【分析】
（1）根据焦距及短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形,结合椭圆中 的关
系,即可求得 的值,即可得椭圆方程.
（2）设出点 的坐标,根据两点间距离公式,结合椭圆的方程即可证明.
【解析】（1）因为椭圆 （ ）的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的
一个端点构成正三角形.
所以 ,解方程组可得
所以椭圆的方程为
（2）证明:设 ,
因为 为椭圆 的左焦点,直线 ,椭圆的方程为
2 22a c∴ = 2
2
c
a
=
( )2 ( )1 2a c= b c= ∴ 2 2 22 2x y c+ =
( )0 02, ( 0)P y y > 2 2
02 2 2y c∴ + = 2 2
01 y c+ =
( ),0F c 1PF = ( )2 2
0 02 1.( 0)c y y− + = > 0 1y =
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = 0a b> >
C
F C : 3l x = − P P F
P l 6
3
a b c、 、
a b c、 、
P
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = 0a b> >
2 2
2 2 2
2 4
2
c
b a b
a b c
=
= +
= +
6
2
2
a
b
c
=
=
=
2 2
16 2
x y+ =
( )0 0,P x y 0 3x > −
F C : 3l x = −
2 2
16 2
x y+ =34
所以 ,即
则点 P 到直线 的距离为
点 P 到 的距离为
因为 ，所以原式
所以 ,即点 到 的距离是点 到 距离的 倍.
得证.
【练习 9-11】设 为椭圆 的左右焦点， 为椭圆上一点，满足
,已知三角形 的面积为 1.
(1) 求 的方程:
(2) 设 的上顶点为 ,过点(2，-1)的直线与椭圆交于 两点(异于 ),求证: 直线 和
的斜率之和为定值，并求出这个定值.
【分析】(1)利用椭圆的定义和直角三角形勾股定理,直角三角形面积公式,列方程组,解方程组
可求得 的值为 ,故所求椭圆方程为 .(2)设出直线 的方程,代入椭圆方程,写出
韦达定理,代入计算 ,,故所求定值为 .
【解析】
（1）由椭圆定义：|MF1|+|MF2| =4
由垂直：|MF1|2+|MF2|2 =|F1F2|2=4(4－b2)
由面积：S= |MF1|·|MF2| =1
三式消去|MF1|、|MF2|，可得 b2=1，
(2) 依题意：H(0，1)，显然当直线 RS 与 y 轴平行时不符题意
2 2
0 0 16 2
x y+ =
2
2 0
0 2 3
xy = −
l 1 0 3d x= +
F ( )2 2
2 0 2d x y= + +
2 2
0 0 0
14 4 2 3x x x= + + + − ( )2
0 0
2 6 93 x x= + +
0 3x > − ( )0
6 33 x= +
2 1
6
3d d= P F P l 6
3
1 2F F、
2 2
2: 1( 0)4
x yC bb
+ = > M
1 2MF MF⊥ 1 2MF F
C
C H R S、 H HR
HS
b 1
2
2 14
x y+ = RS
1HR HSk k+ = − 1−
1
2
2
2 14
x y+ =35
设直线 RS 方程为 y=kx+m，其中 m=－2k－1 1
带入椭圆方程化简得： (4k2+1)x2+8kmx+4m2－4=0
故 x1+x2= x1x2=
kHR+kHS=
= =
=
故 kHR+kHS 为定值－1
【提升与思考 3】
【思考 3-1】设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋y2
b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭
圆 E 于 A，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为___________.
【解析】不妨设点 A 在第一象限，
∵AF2⊥x 轴，∴A(c，b2)(其中 c2＝1－b2,0＜b＜1,0＜c＜1)．
又∵|AF1|＝3|F1B|，
∴由AF1→
＝3F1B
→
，得 B(－5c
3 ，－b2
3 )，代入 x2＋y2
b2＝1，得25c2
9 ＋ b4
9b2＝1，
又 c2＝1－b2，∴b2＝2
3.故椭圆 E 的方程为 x2＋3
2y2＝1.
【思考 2】已知椭圆 C：x2
2＋y2＝1 的右焦点为 F，直线 l：x＝2，点 A∈l，线段 AF 交 C 于点
B，若FA
→
＝3FB
→
，则|AF
→
|＝________.
【解析】设点 A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆 C：x2
2＋y2＝1，知 a2＝2，b2＝1，所以 c2＝1，即 c＝1，所以右焦点 F(1,0)，
≠
2
8
4 1
km
k
−
+
2
2
4 4
4 1
m
k
−
+
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1y y kx m kx m
x x x x
− − + − + −+ = +
( ) 1 2
1 2
2 1 x xk m x x
++ − ( ) 2
82 1 4 4
kmk m m
−+ − −
2 22 11 1
km kk m m
− = = −+ +36
所以由FA
→
＝3 FB
→
得(1，n)＝3(x0－1，y0)，
所以 1＝3(x0－1)且 n＝3y0，所以 x0＝4
3，y0＝1
3n.
将 x0，y0 代入到x2
2＋y2＝1 中，得1
2×(4
3 )2＋(1
3n )2＝1，解得 n2＝1，
所以|AF
→
|＝ (2－1)2＋n2＝ 1＋1＝ 2.
【思考 3】已知椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)过点 P(2， 3)，且它的离心率为1
2.
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线 l：y＝kx＋t(k∈R，t∈R)交椭圆 E 于 M，N 两点，若椭圆 E
上一点 C 满足OM
→
＋ON
→
＝λOC
→
(O 为坐标原点)，求实数 λ 的取值范围．
【解析】(1)设椭圆的标准方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)，
由已知，得Error!解得Error!所以椭圆 E 的标准方程为x2
8＋y2
6＝1.
(2)因为直线 l：y＝kx＋t 与圆(x－1)2＋y2＝1 相切，
所以 |t＋k|
1＋k2＝1，所以 2k＝1－t2
t (t≠0)．
把 y＝kx＋t 代入x2
8＋y2
6＝1，并整理得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0.
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则有 x1＋x2＝－ 8kt
3＋4k2，y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝ 6t
3＋4k2.
因为 λOC
→
＝(x1＋x2，y1＋y2)，且 λ≠0，所以 C( －8kt
(3＋4k2)λ
， 6t
(3＋4k2)λ)，
又因为点 C 在椭圆 E 上，所以 8k2t2
(3＋4k2)2λ2
＋ 6t2
(3＋4k2)2λ2
＝1，
可得 λ2＝ 2t2
3＋4k2＝ 2
(1
t2 )2＋1
t2＋1
，因为 t2＞0，所以 (1
t2 )2＋1
t2＋1＞1，
所以 0＜λ2＜2，所以 λ 的取值范围为(－ 2，0)∪(0， 2)．
【思考 4】点 在椭圆 内， 是右焦点， 是椭圆上动点，则
的最小值是_________ .
【解析】据椭圆的第二定义得到 ，其中 d 表示 P 点到准线的距离即为 PD，故
( )1,2A
2 2
125 9
x y+ = F P 5
4PA PF+
4
5
PF c
d a
= =37
= ，当且仅当 P，A 和 D 三点共线时，值最小。
根据椭圆的第二定义得到 ，其中 d 表示 P 点到准线的距离记为 PD，故
= ，当且仅当 P，A 和 D 三点共线时，值最小，准线方程为 ，代入得
到 的最小值是 .
故答案为： .
第三节 双曲线
【知识 10】双曲线的定义
5
4PA PF+ PA+d
4
5
PF c
d a
= =
5
4PA PF+ PA+d 25
4
5
4PA PF+ 21
4
21
4
【双曲线的定义】平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)
的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；
注意：
1.关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨
迹是以 F1，F2 为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其
余条件不变，则动点轨迹不存在．
2.若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．
3.若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段 F1F2 的中垂线．38
【例 10】(1)若双曲线 E：x2
9－y2
16＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|＝
3，则|PF2|等于 .
【解析】由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)
(2)设 F1，F2 分别是双曲线 x2－ y2
24＝1 的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF 1|＝
4|PF2|，则△PF1F2 的面积等于 .
【解析】由题意，得Error!解得Error!
又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2 是直角三角形，则 ＝1
2×|PF1|×|PF2|＝24.
【反思】焦点 F1，F2 的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点
跟着正项走”，若 x2 项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2 项的系数为正，那么焦点在 y 轴
上．双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为 Ax2＋By2＝1(AB＜0)．
【练习 10-1】已知 F1(－8,3)，F2(2,3)，动点 P 满足|PF1|－|PF2|＝10，则 P 点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线
【解析】F1，F2 是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10 的点 P 的轨迹应为一
条射线．故选 D
【练习 10-2】已知双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2 为其两个焦点，若过焦点 F1 的直线
与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2 的周长为( )
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m
【解析】|AF2|＞|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，
于是△ABF2 的周长 l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选 C.
【练习 10-3】已知 F1，F2 为双曲线 C：x 2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF 1|＝
2|PF2|，则 cos∠F1PF2 等于( )
A.1
4 B.3
5 C.3
4 D.4
5
【解析】由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2 2，
又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2 2，|PF1|＝4 2，|F1F2|＝2c＝2 a2＋b2＝4.
∴cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
2|PF1|·|PF2| ＝ 32＋8－16
2 × 2 2 × 4 2
＝ 24
16 × 2＝3
4.故选 C
【知识 11】双曲线的标准方程
1 2PF FS39
【例 11-1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；
(2)双曲线上两点 P1，P2 的坐标分别为(3，－4 2)，(9
4，5 ).
【解析】(1)∵双曲线经过点 M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，
故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
又 2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为 y2
144－x2
25＝1.
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
则Error!解得Error!
∴双曲线的标准方程为y2
16－x2
9＝1.
【反思】待定系数法求方程的步骤
(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1(AB0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为 x2
a2－k－ y2
b2＋k＝1(－
b20) y2
a2－x2
b2＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的关系式 a2＋b2＝c2
【温馨提醒】焦点 F1，F2 的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类
型．“焦点跟着正项走”，若 x2 项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2 项的系数为正，那
么焦点在 y 轴上。40
【练习 11-1】(1)求以椭圆x2
16＋y2
9＝1 的短轴的两个端点为焦点，且过点 A(4，－5)的双曲线的
标准方程；
(2)已知双曲线过 P(3，15
4 )，Q (－16
3 ，5)两点，求双曲线的标准方程．
【解析】(1)由题意，知双曲线的两焦点为 F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线方程为y2
a2－x2
b2＝1(a＞0，b＞0)，将点 A(4，－5)代入双曲线方程，得25
a2－16
b2＝1.
又 a2＋b2＝9，解得 a2＝5，b2＝4，所以双曲线的标准方程为y2
5－x2
4＝1.
(2)若焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)，
所以Error!解得Error!(舍去)．
若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为y2
a2－x2
b2＝1(a＞0，b＞0)，
将 P，Q 两点坐标代入可得Error!解得Error!
所以双曲线的标准方程为y2
9－x2
16＝1.
综上，双曲线的标准方程为y2
9－x2
16＝1.
【练习 11-2】在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，A(－2 2，0)，B(2 2，0)，且内角 A，B，C
满足 sin B－sin A＝1
2sin C，求顶点 C 的轨迹方程．
【解】由 sin B－sin A＝1
2sin C 及正弦定理，可得 b－a＝c
2，
从而有|CA|－|CB|＝1
2|AB|＝2 2＜|AB|，
由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝ 2，c＝2 2，∴b2＝c2－a2＝6，
∴顶点 C 的轨迹方程为x2
2－y2
6＝1(x＞ 2)．
【练习11-3】若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为______．
【解析】由曲线 C：mx2＋(2－m)y2＝1 是焦点在 x 轴上的双曲线，可得x2
1
m
－ y2
1
m－2
＝1，
即有 m＞0，且 m－2＞0，解得 m＞2.
【例 11-2】在相距 2 000 m 的两个哨所 A，B，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速
是 330 m/s，在 A 哨所听到爆炸声的时间比在 B 哨所迟 4 s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，41
并求出曲线的方程．
【解析】设爆炸点为 P，由已知可得|PA|－|PB|＝330×4＝1 320＞0.
因为|AB|＝2 000＞1 320，
所以点 P 在以 A，B 为焦点的双曲线的靠近 B 处的那一支上，建立如图
所示的平面直角坐标系，
使 A，B 两点在 x 轴上，以线段 AB 的中点为坐标原点．
由 2a＝1 320,2c＝2 000，得 a＝660，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400.
因此，点 P 所在曲线的方程是 x2
435 600－ y2
564 400＝1(x≥660)．
【反思】可以结合双曲线的性质，建立平面直角坐标系，然后结合双曲线的定义，建立关系
式，然后化简，求出相应的方程．
【练习 11-4】已知点 P(－3,0)为圆 C：x2＋y2－6x＝0 外一定点，动圆 M 与已知圆 C 相外切
且过 P 点，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
【解析】设 M(x，y)，由题意可知，圆 C：(x－3)2＋y2＝9，圆心 C(3,0)，半径 r＝3.
由|MC|＝|MP|＋r，故|MC|－|MP|＝r＝3a>0，c>b>0)
等轴双曲线 当 a=b 时，该双曲线为等轴双曲线,方程可设为
【探索 1】求简单性质
【例 12-1】求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐
近线方程．
【解析】双曲线的方程化为标准形式是x2
9－y2
4＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝ 13.
又双曲线的焦点在 x 轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，0)，
实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，离心率 e＝c
a＝ 13
3 ，
渐近线方程为 y＝±2
3x.
【练习 12-1】求双曲线 9y2－16x2＝144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线
方程．
【解析】把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程为y2
42－x2
32＝1.
由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3，
c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，
)0(22 ≠=− λλyx43
离心率 e＝c
a＝5
4，渐近线方程为 y＝±4
3x.
【练习 12-2】求双曲线 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心
率、顶点坐标和渐近线方程．
【解析】把方程 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为x2
m－y2
n＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长 a＝ m，虚半轴长 b＝ n，c＝ m＋n，
焦点坐标为( m＋n，0)，(－ m＋n，0)，
离心率 e＝c
a＝ m＋n
m
＝ 1＋n
m，
顶点坐标为(－ m，0)，( m，0)，
所以渐近线方程为 y＝±
n
m x，即 y＝±
mn
m x.
[反思] 由双曲线的方程研究性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值．
(3)由 c2＝a2＋b2 求出 c 的值，从而写出双曲线的简单性质．
【探索 2】由双曲线的性质求标准方程
【例 12-2】(1)已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍，且一个顶点的坐标为
(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.x2
4－y2
4＝1 B.y2
4－x2
4＝1 C.x2
8－y2
4＝1 D.y2
8－x2
4＝1
【解析】由已知，得双曲线的焦点在 y 轴上，
从而可设双曲线的方程为y2
a2－x2
b2＝1(a＞0，b＞0)．
∵一个顶点为(0,2)，∴a＝2.
又实轴长与虚轴长之和等于焦距的 2倍，∴2a＋2b＝2 2c.
又 a2＋b2＝c2，∴b2＝4，∴所求双曲线的方程为y2
4－x2
4＝1.
(2)求与双曲线x2
16－y2
9＝1 有共同的渐近线，并且经过点 A(2 3，－3)的双曲线的方程．
【解析】双曲线x2
16－y2
9＝1 的渐近线方程为 y＝±3
4x.
当所求双曲线的焦点在 x 轴上时，设所求双曲线的方程为x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)．
因为b
a＝3
4，所以 b＝3
4a.①44
因为点 A(2 3，－3)在所求双曲线上，所以12
a2－ 9
b2＝1.②
联立①②得方程组无解．
当所求双曲线的焦点在 y 轴上时，设所求双曲线的方程为y2
a2－x2
b2＝1(a＞0，b＞0)，
因为a
b＝3
4，所以 a＝3
4b.③
因为点 A(2 3，－3)在所求双曲线上，所以 9
a2－12
b2＝1.④
由③④，得 a2＝9
4，b2＝4，所以所求双曲线的方程为y2
9
4
－x2
4＝1.
【反思】(1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但
要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧
①焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)．
②焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为y2
a2－x2
b2＝1(a>0，b>0)．
③与双曲线x2
a2－y2
b2＝1 共焦点的双曲线方程可设为 x2
a2－λ－ y2
b2＋λ＝1(λ≠0，－b20)的离心率 e＝2 3
3 ，过点 A(0，－b)和 B(a,0)的直线与原点
的距离为 3
2 ，求此双曲线的标准方程．45
【解析】(1)设所求双曲线的方程为y2
4－x2
3＝λ(λ≠0)．
∵点 M(3，－2)在双曲线上，∴4
4－9
3＝λ，即 λ＝－2.
∴双曲线的标准方程为x2
6－y2
8＝1.
(2)∵e＝2 3
3 ，∴c
a＝2 3
3 ，∴a2＋b2
a2 ＝4
3，∴a2＝3b2.①
又∵直线 AB 的方程为 bx－ay－ab＝0，∴d＝ |ab|
a2＋b2＝ 3
2 ，即 4a2b2＝3(a2＋b2)．②
解①②组成的方程组，得 a2＝3，b2＝1.
∴双曲线的标准方程为x2
3－y2＝1.
【探索 3】求双曲线的离心率
【例 12-3】已知 F1，F2 是双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ 是经过 F1 且垂直于
x 轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
【解析】设 F1(c,0)，将 x＝c 代入双曲线的方程得c2
a2－y2
b2＝1，那么 y＝±b2
a .
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，所以b2
a ＝2c，所以 b2＝2ac，
所以 c2－2ac－a2＝0，所以 (c
a )2－2×c
a－1＝0，即 e2－2e－1＝0，
所以 e＝1＋ 2或 e＝1－ 2(舍去)，所以双曲线的离心率为 1＋ 2.
【反思】
1.求双曲线离心率的三种方法
(1)若可求得 a，c，则直接利用 e＝c
a求解．
(2)若已知 a，b，可直接利用 e＝ 1＋(b
a )2求解．
(3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2＋q·ac＋r·a 2＝0(p，q，r 为常数，且 p≠0)，则转化
为关于 e 的方程 pe2＋q·e＋r＝0 求解．
2.焦点在 x 轴上的椭圆中，垂直于焦点的弦与椭圆的交点坐标为 .
【练习 12-5】3．设 F1，F2 是双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P 是 C 上一点，
若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 的最小内角为 30°，则 C 的离心率为 .
【解析】不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，
），（
a
bc
2
±±46
又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
则∠PF1F2 是△PF1F2 的最小内角，且为 30°，
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 30°，
∴(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a×2c× 3
2 ，化为 e2－2 3e＋3＝0，解得 e＝ 3.
【练习 12-6】设双曲线x2
a2－y2
b2＝1(b＞a＞0)的焦距为 2c，直线 l 过点 A(a,0)，B(0，b)两点，已
知原点到直线 l 的距离为 3
4 c，则双曲线的离心率为________．
【解析】如图所示，在△OAB 中，|OA|＝a，|OB|＝b，|OE|＝ 3
4 c，
|AB|＝ a2＋b2＝c.
因为|AB|·|OE|＝|OA|·|OB|，所以 c·
3
4 c＝ab，即 3
4 (a2＋b2)＝ab，
两边同除以 a2，得 3
4 (b
a )2－b
a＋ 3
4 ＝0，解得b
a＝ 3或b
a＝ 3
3 (舍去)，
所以 e＝c
a＝ a2＋b2
a2 ＝ 1＋(b
a )2＝2.
【练习 12-7】已知 F1，F2 分别是双曲线 E：x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点 M 在 E
上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝1
3，则 E 的离心率为 .
【解析】因为 MF1 与 x 轴垂直，所以|MF1|＝b2
a .
又 sin∠MF2F1＝1
3，所以|MF1|
|MF2|＝1
3，即|MF2|＝3|MF1|.
由双曲线的定义，得 2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝2b2
a ，
所以 b2＝a2，所以 c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率 e＝c
a＝ 2.
【方法小结】
1．随着 x 和 y 趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方
程可确定 a 与 b 或 b 与 a 的比值，但无法确定焦点位置．47
2．求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成 0，分解因式即得渐近线方程，若已
知渐近线方程 mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为x2
n2－y2
m2＝λ(λ≠0)求解．
3．与双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系的方程可设为x2
a2－y2
b2＝λ(λ≠0，a＞
0，b＞0)．
【思考与提升 4】
【思考 4-1】已知双曲线 C：x2－y2
3＝1 的右焦点为 F，P 是双曲线 C 的左支上一点，M(0,2)，
则△PFM 的周长的最小值为( )
A．2＋4 2 B．4＋2 2 C．3 2 D．2 6＋3
【解析】由题意可知 c＝2，a＝1，设 F1 为左焦点，则|MF|＝2 2，
则|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF1|＋2a，
当 M，P，F1 三点共线时(P 在 M，F1 之间)，|PM|＋|PF1|最小，最小值为|MF1|，|MF1|＝2 2，
故周长的最小值为 2 2＋2＋2 2＝2＋4 2.故选 A
【思考 4-2】若双曲线x2
n－y2＝1(n＞1)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线上，且满
足|PF1|＋|PF2|＝2 n＋2，则△PF1F2 的面积为( )
A．1 B.1
2 C．2 D．4
【解析】设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2 n，
已知|PF1|＋|PF2|＝2 n＋2，解得|PF1|＝ n＋2＋ n，|PF2|＝ n＋2－ n，
|PF1|·|PF2|＝2.
又|F1F2|＝2 n＋1，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
所以△PF1F2 为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，
于是 ＝1
2|PF1|·|PF2|＝1
2×2＝1.故选 A.
【思考 4-3】已知 F 是双曲线 C：x2－y2
8＝1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A(0,66)．当△APF
周长最小时，该三角形的面积为________．
【解析】设左焦点为 F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF 的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF 周长最小
即为|AP|＋|PF1|最小，当 A，P，F1 三点共线时最小(P 在 A，F1 之间)，过 AF1 的直线方程为 x
－3
＋ y
6 6
＝1，与 x2－y2
8＝1 联立，解得 P 点坐标为(－2,2 6)，此时 S＝ －S＝1
2
1 2PF FS
1 1AF F F PFS S−
48
|F1F|·yA－1
2|F1F|·yP＝12 6.
【思考 4-4】已知双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，由 F2 向双
曲线 C 的一条渐近线作垂线，垂足为 H，若△F1HF2 的面积为 b2，则双曲线 C 的渐近线方程
为________．
【解析】设过 F2(c,0)与渐近线 bx－ay＝0 垂直的直线为 l，则 l 的方程为 y＝－a
b(x－c)，
则Error!的解即为 H 点的坐标，可得 H(a2
c ，ab
c ).
又△F1HF2 的面积为 b2，所以 ＝1
2×2c×ab
c ＝b2，解得 a＝b，
所以双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±x.
【思考 4-5】过双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点 F(－c,0)(c＞0)作圆 x 2＋y2＝a2
4 的切线，
切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 OE
→
＝1
2(OF
→
＋OP
→
)，则双曲线的离心率为
________．
【解析】如图，设双曲线的右焦点为 M，连接 PM.
∵OE⊥PF，∴在 Rt△OEF 中，|EF|＝ c2－a2
4 .
又OE
→
＝1
2(OF
→
＋OP
→
)，∴E 是 PF 的中点，∴|PF|＝2|EF|＝2 c2－a2
4 ，|PM|＝2|OE|＝a.
由双曲线的定义知，|PF|－|PM|＝2a，
∴2 c2－a2
4 －a＝2a，∴e＝c
a＝ 10
2 .
【思考 4-6】已知双曲线x2
16－y2
4＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2.
(1)若点 M 在双曲线上，且MF1→
·MF2→
＝0，求 M 点到 x 轴的距离；
(2)若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(3 2，2)，求双曲线 C 的方程．
【解析】(1)如图所示，不妨设 M 在双曲线的右支上，M 点到 x 轴的距离为 h，MF1→
·MF2→
＝0，
则 MF1⊥MF2，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
1 2F HFS49
由双曲线定义，知 m－n＝2a＝8，①
又 m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得 m·n＝8，∴1
2mn＝4＝1
2|F1F2|·h，∴h＝2 5
5 .
(2)设所求双曲线 C 的方程为 x2
16－λ－ y2
4＋λ＝1(－40)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：59
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
焦点坐标 (p
2，0 ) (－p
2，0) (0，p
2 ) (0，－p
2)
准线方程 x＝－p
2 x＝p
2 y＝－p
2 y＝p
2
p 的几何意义 焦点到准线的距离
【例 17-1】分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线 x－2y－4＝0 上．
【解析】 (1)设抛物线的标准方程为 y2＝－2px 或 x2＝2py(p＞0)，
又点(－3,2)在抛物线上，∴2p＝4
3或 2p＝9
2，
∴所求抛物线的标准方程为 y2＝－4
3x 或 x2＝9
2y.
(2)当焦点在 y 轴上时，已知方程 x－2y－4＝0，
令 x＝0，得 y＝－2，∴所求抛物线的焦点为 F1(0，－2)，
设抛物线的标准方程为 x2＝－2py(p＞0)，由p
2＝2，得 2p＝8，
∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－8y；
当焦点在 x 轴上时，已知 x－2y－4＝0，
令 y＝0，得 x＝4，∴抛物线的焦点为 F2(4,0)，
设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p＞0)，由p
2＝4，得 2p＝16，
∴所求抛物线的标准方程为 y2＝16x.
综上，所求抛物线的标准方程为 x2＝－8y 或 y2＝16x.
【反思】抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，
根据定义求出 p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，
进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定 p 的值．
【练习 17-1】根据下列条件分别求抛物线的标准方程．60
(1)已知抛物线的准线方程是 x＝－3
2；
(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y＝－3 与抛物线交于点 A，|AF|＝5.
【解析】 (1)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p＞0)．
其准线方程为 x＝－3
2，由题意有－p
2＝－3
2，故 p＝3.
因此标准方程为 y2＝6x.
(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得 5＝|AF|
＝|m＋p
2 |.
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1 或 p＝±9，
故所求抛物线的标准方程为 y2＝±2x 或 y2＝±18x.
【练习 17-2】动点 P 到直线 x＋4＝0 的距离比它到点 M(2,0)的距离大 2，则点 P 的轨迹方程
是________．
【解析】由题意可知，动点 P 到直线 x＋2＝0 的距离与它到点 M(2,0)的距离相等，利用抛物
线定义求出方程为 y2＝8x.
【知识 18】抛物线的简单应用
【例 17-1】河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一小船宽 4 m，
高 2 m，载货后船露出水面上的部分高 0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少
米时，小船开始不能通航？
【解析】如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角
坐标系．设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点 B(4，－5)在抛物线上，故 p＝8
5，
得 x2＝－16
5 y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA′，则 A(2，
yA)，由 22＝－16
5 yA，得 yA＝－5
4.又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m，所以 h＝|yA|＋0.75＝
2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2 m 时，小船开始不能通航．
【练习 18】如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 O′P＝1 m，水从喷头 P 喷出后呈抛物
线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面 2 m，P 距抛物线的对称轴 1 m，则水池的直
径至少应设计多长？(精确到 1 m)61
【解析】 如图所示，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过原点且平行于水面的直线为 x
轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为 x2＝－2py(p＞0)．
依题意有 P(－1，－1)在此抛物线上，代入得 p＝1
2，故抛物线方程为 x2＝－y.
又 B 在抛物线上，将 B(x，－2)代入抛物线方程得 x＝ 2，
即|AB|＝ 2，则|O′B|＝|O′A|＋|AB|＝ 2＋1，
因此水池的直径为 2(1＋ 2)m，约为 5 m，
即水池的直径至少应设计为 5 m.
【方法小结】
1．焦点在 x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 y2＝mx(m≠0)，此时焦点为 F(m
4，0 )，
准线方程为 x＝－m
4；焦点在 y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 x2＝my(m≠0)，此时焦
点为 F(0，m
4 )，准线方程为 y＝－m
4.
2．设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫作抛物线的焦半径．若 M(x0，y0)在抛物
线 y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以
相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋p
2.
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到
准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
【知识 19】抛物线的性质
四种形式的抛物线的简单性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形62
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴
焦点坐标 F(p
2，0 ) F(－p
2，0) F(0，p
2 ) F(0，－p
2)
准线方程 x＝－p
2 x＝p
2 y＝－p
2 y＝p
2
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径 2p
【例 20】 (1)顶点在原点，对称轴为 y 轴，顶点到准线的距离为 4 的抛物线方程是
________．
【解析】顶点在原点，对称轴为 y 轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶
点到准线的距离为 4，知 p＝8，故所求抛物线方程为 x2＝16y 或 x2＝－16y.
(2) 顶 点 在 原 点 ， 经 过 点 ( 3， － 6) ， 且 以 坐 标 轴 为 对 称 轴 的 抛 物 线 方 程 是
________________．
【解析】若 x 轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p＞0)，因为点( 3，－
6)在抛物线上，所以(－6)2＝2p· 3，解得 2p＝12 3，故所求抛物线的标准方程为 y2＝12 3
x.若 y 轴是抛物线的对称轴，则同理可得抛物线的标准方程为 x2＝－1
2y.
答案为 y2＝12 3x 或 x2＝－1
2y
【反思】求抛物线的标准方程的关键与方法
(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．
(2)方法：①定义法：根据定义求 p，最后写标准方程．
②待定系数法：设标准方程，列有关的方程组求系数．
③直接法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简
方程．
【练习 20-1】已知点 A(－2,3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF
的斜率为 .
【解析】因为抛物线 C：y2＝2px 的准线为 x＝－p
2，且点 A(－2,3)在准线上，
故－p
2＝－2，解得 p＝4，所以 y2＝8x，
所以焦点 F 的坐标为(2,0)，这时直线 AF 的斜率 kAF＝ 3－0
－2－2＝－3
4.63
【练习 20-2】已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，B
两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程．
【解析】由题意，可设抛物线方程为 y2＝2ax(a≠0)，则焦点 F(a
2，0 )，准线 l：x＝－a
2，
∴A，B 两点坐标分别为(a
2，a )，(a
2，－a)，∴|AB|＝2|a|.
∵△OAB 的面积为 4，∴1
2·|a
2 |·2|a|＝4，∴a＝±2 2，∴抛物线方程为 y2＝±4 2x.
【知识 20】直线与抛物线的位置关系
直线 y＝kx＋b 与抛物线 y 2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于 x 的方程组Error!的解的个数，
即二次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 的解的个数．
当 k≠0 时，若 Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若 Δ＝0，直线与抛物线有一个
公共点；若 Δ0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，
若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 。
【解析】抛物线的焦点为 F(p
2，0 )，所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y＝x－p
2，即 x＝y
＋p
2，代入 y2＝2px 消去 x，得 y2＝2py＋p2，即 y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得y1＋y2
2 ＝
p＝2(y1，y2 分别为点 A，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为 y2＝4x，准线方程为 x＝－1.
【知识 22】焦点弦的性质
已知过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，65
则有：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p2
4 ；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p，|AF|＝x1＋p
2；
(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
【例 22】已知直线 l 经过抛物线 y2＝6x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点．
(1)若直线 l 的倾斜角为 60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离．
【解析】(1)因为直线 l 的倾斜角为 60°，所以其斜率 k＝tan 60°＝ 3，
又 F(3
2，0 )，所以直线 l 的方程为 y＝ 3(x－3
2 ).
联立Error!消去 y 得 4x2－20x＋9＝0，
解得 x1＝1
2，x2＝9
2，故|AB|＝ 1＋( 3)2×|9
2－1
2 |＝2×4＝8.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p
2＋x2＋p
2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以 x1＋x2＝6，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3，
又准线方程是 x＝－3
2，所以 M 到准线的距离等于 3＋3
2＝9
2.
[反思]抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，
因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的
定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
【练习 22-1】如图，斜率为4
3的直线 l 经过抛物线 y2＝2px 的焦点 F(1,0)，且与抛物线相交于
A，B 两点．66
(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；
(2)求线段 AB 的长．
【解析】 (1)由焦点 F(1,0)，得p
2＝1，解得 p＝2，
所以抛物线的标准方程为 y2＝4x，其准线方程为 x＝－1.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．直线 l 的方程为 y＝4
3(x－1)，
与抛物线方程联立，得Error!消去 y，整理得 4x2－17x＋4＝0，
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝17
4 ＋2＝25
4 ，
所以线段 AB 的长为25
4 .
【练习 22-2】设抛物线 C：y2＝4x，F 为 C 的焦点，过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点．
(1)设 l 的斜率为 2，求|AB|的值；
(2)求证：OA
→
·OB
→
是一个定值．
【解析】(1)解 依题意得 F(1,0)，∴直线 l 的方程为 y＝2(x－1)．
设直线 l 与抛物线的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由Error!消去 y，整理得 x2－3x＋1＝0，∴x1＋x2＝3，x1x2＝1.
法一 |AB|＝ 1＋k2 (x1＋x2)2－4x1x2＝ 5× 32－4 × 1＝5.
法二 |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
(2)证明 设直线 l 的方程为 x＝ky＋1，直线 l 与抛物线的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由Error!消去 x，整理得 y2－4ky－4＝0，
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4.
∵OA
→
·OB
→
＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，
∴OA
→
·OB
→
是一个定值．
【思考与提高 5】
【思考 5-1】若抛物线 y2＝2px(p＞0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到
抛物线焦点 F 的距离的关系是( )
A．成等差数列 B．既成等差数列又成等比数列67
C．成等比数列 D．既不成等比数列也不成等差数列
【解析】设三点为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则 y21＝2px1，y22＝2px2，y23＝2px3.
因为 2y22＝y21＋y23，所以 x1＋x3＝2x2，
即|P1F|－p
2＋|P3F|－p
2＝2(|P2F|－p
2)，所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.
【思考 5-2】已知圆 C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线 y2＝8x 的准线为 l，设抛物线上任一
点 P 到直线 l 的距离为 m，则 m＋|PC|的最小值为________．
【解析】圆心 C(－3，－4)，由抛物线的定义知，m＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点(2,0)间
的距离，即 (－3－2)2＋(－4)2＝ 41.
【思考 5-3】已知点(x，y)在抛物线 y2＝4x 上，则 z＝x2＋1
2y2＋3 的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．0
【解析】因为点(x，y)在抛物线 y2＝4x 上，所以 x≥0，
因为 z＝x2＋1
2y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，所以当 x＝0 时，z 取得最小值 3.
【思考 5-4】已知在抛物线 y＝x2 上存在两个不同的点 M，N 关于直线 y＝kx＋9
2对称，则 k 的
取值范围为___________________________________________．
【解析】设 M(x1，x21)，N(x2，x22)，两点关于直线 y＝kx＋9
2对称，
∴x21－x22
x1－x2＝－1
k，即 x1＋x2＝－1
k.
设 MN 的中点为 P(x0，y0)，则 x0＝－ 1
2k，y0＝k×(－ 1
2k )＋9
2＝4.
又中点 P 在抛物线 y＝x2 内，
∴4＞(－ 1
2k )2，即 k2＞ 1
16，∴k＞1
4或 k＜－1
4.
【思考 5-5】已知抛物线 y2＝2x.
(1)设点 A 的坐标为(2
3，0 )，求抛物线上距离点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离|PA|；
(2)设点 A 的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点 A 的距离的最小值 d，并写出 d＝f(a)的函数表
达式．
【解析】(1)设抛物线上任一点 P 的坐标为(x，y)，
则|PA|2＝(x－2
3 )2＋y2＝(x－2
3 )2＋2x＝(x＋1
3 )2＋1
3.
因为 x∈[0，＋∞)，且在此区间上|PA|2 随着 x 的增大而增大，
所以当 x＝0 时，|PA|min＝2
3，68
故距离点 A 最近的点 P 的坐标为(0,0)，最短距离是2
3.
(2)同(1)求得|PA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．
当 a－1≥0，即 a≥1 时，|PA| 2min＝2a－1，解得|PA|min＝ 2a－1，此时 x＝a－1；
当 a－1＜0，即 a＜1 时，|PA| 2min＝a2，解得|PA|min＝|a|，此时 x＝0.
所以 d＝f(a)＝Error!
第五节 直线与圆锥曲线的综合
【探索 1】圆锥曲线的共同特征——统一定义
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值 e.当 0＜e＜1 时，圆
锥曲线是椭圆；当 e＝1 时，圆锥曲线是抛物线；当 e＞1 时，圆锥曲线是双曲线．此即为圆
锥曲线的统一定义．
[例 23]已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F(c,0)，离心率 e＝c
a，点 A 在椭圆上，d 为点
A 到定直线 l：x＝a2
c 的距离．求证：|AF|
d ＝e.
[证明]设点 A(x，y)为椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)上任意一点，|AF|
d ＝m(m＞0)，则
(x－c)2＋y2
|x－a2
c | ＝
m，
两边平方整理得(1－m2)x2＋y2＝(2c－2a2m2
c )x＋(a4m2
c2 －c2)，比较椭圆方程b2x2
a2 ＋y2＝b2 的各
项系数，得 2c－2a2m2
c ＝0，所以 m2＝(c
a )2，因为 m＞0，所以 m＝c
a，即|AF|
d ＝e.
【反思】圆锥曲线的共同特征中，到定点的距离与到定直线(定点不在定直线上)的距离之比
是一个常数，这本身就是一个几何关系．由此求曲线方程时，直接进行坐标的代换即可求出
曲线方程．
【练习 23】 (1)已知动点 M(x，y)到直线 l：x＝4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍．则
动点 M 的轨迹 C 的方程为________．
(2)已知双曲线x2
16－y2
9＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，其上一点 P 满足|PF1|＝5|PF2|，则点 P
直线 x＝16
5 的距离为________．
【解析】(1)如图，设点 M 到直线 l 的距离为 d，根据题意知，69
d＝2|MN|，由此得|4－x|＝2 (x－1)2＋y2，化简得x2
4＋y2
3＝1，
所以动点 M 的轨迹 C 的方程为x2
4＋y2
3＝1.
(2)由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝8，又|PF1|＝5|PF2|，
得|PF2|＝2，设点 P 到直线 x＝16
5 的距离为 d，则|PF2|
d ＝c
a＝5
4，得 d＝8
5.
【探索 2】直线与圆锥曲线的位置关系
设直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线 M 的方程为 f(x，y)＝0，则由Error!消去 y，可
得 ax2＋bx＋c＝0.
(1)当 a≠0 时有：
位置关系 公共点个数 方程
相交 2 Δ＞0
相切 1 Δ＝0
相离 0 Δ＜0
(2)当 a＝0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 只有一个解，即直线与圆锥曲线只有一个公共点，此时该
直线与圆锥曲线不是相切，而是相交．
【例 24】已知双曲线 C：x2
4－y2＝1 和定点 P(2，1
2 )，过点 P 可以作几条直线与双曲线只有
一个公共点？
【解析】当过 P 点的直线 l 斜率存在时，y－1
2＝k(x－2)，与x2
4－y2＝1 联立消去 y，
得(1－4k2)x2－k(4－16k)x－(16k2－8k＋5)＝0.(*)
①当 1－4k2＝0，即 k＝±1
2时，(*)式变为一元一次方程，解得 x＝5
2或 x＝13
6 ，l 与双曲线分别
交于(5
2，3
4 )和(13
6 ， 5
12)，此即直线过点 P 且平行于渐近线的情形．
②当 1－4k2≠0，由 Δ＝0，得 k＝5
8，此时 l：y－1
2＝5
8(x－2)，交点为(10
3 ，4
3).
易知当过 P 点的直线斜率不存在时，直线方程为 x＝2，交点为(2,0)，所以过 P 点有四条直线
与双曲线只有一个公共点．
【练习 24】设直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝4 的右支有两个公共点，求 k 的取值范围．
【解析】联立Error!消去 y，得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由于方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0 有两个
不相等的正根，
所以Error!即Error!解得 1＜k＜ 5
2 .70
即 k 的取值范围为Error!.
【探索 3】两曲线的交点
已知两条曲线 C1，C2 的方程分别为 F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，则点 P0(x0，y0)是 C1，C2 的交
点⇔Error!
方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个不同的交点；方程组没有实数解，两条曲线
就没有交点．
【例 25】求曲线 2y2＋3x＋3＝0 与曲线 x2＋y2－4x－5＝0 的公共点．
【解析】 由Error!
得 2x2－11x－13＝0，即(2x－13)(x＋1)＝0，解得 x1＝－1，x2＝13
2 .
将 x＝－1 代入①，得Error!将 x2＝13
2 代入①，方程无解．
所以两曲线只有一个公共点(－1,0)．
【练习 25】(1)已知方程 y＝a|x|和 y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则 a 的取值
范围是( )
A．a＞1 B．0＜a＜1 C．0＜a＜1 或 a＞1 D．a∈∅
(2)已知直线 l：y＝x＋b 与曲线 C：y＝ 1－x2有两个公共点，则 b 的取值范围是________．
【解析】(1)满足题意的图像如图所示，y＝x＋a 的斜率为 1，要使 y＝a|x|和 y＝x＋a 有两个交
点，y＝a|x|的斜率 a＞1.
(2)方法一 由方程组Error!得Error!
消去 x，得 2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0)．
l 与 C 有两个公共点，等价于此方程是有两个不等的非负实数解，
可得Error!解得 1≤b＜ 2.
方法二 在同一直角坐标系内作出 y＝x＋b 与 y＝ 1－x2的图形，可得 b 的取值范围为 1≤b
＜ 2.
第六节 圆锥曲线模块自我检测
(时间：120 分钟 满分：150 分)71
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1．设 P 是椭圆 x2
169＋ y2
144＝1 上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，若|PF1|＝4，则|PF2|等于( )
A．22 B．21 C．20 D．13
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
答案 A
解析 由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝26，
又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.
2．双曲线方程为 x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A.( 2
2 ，0) B.( 5
2 ，0)
C.( 6
2 ，0) D．( 3，0)
考点 双曲线的简单几何性质
题点 由双曲线方程求 a，b，c 及渐近线
答案 C
解析 将双曲线方程化为标准方程为 x2－y2
1
2
＝1，
∴a2＝1，b2＝1
2，∴c2＝a2＋b2＝3
2， ∴c＝ 6
2 ，
故右焦点坐标为( 6
2 ，0).
3．已知双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长是实轴长的 2 倍，则该双曲线的一条渐近线方程
为( )
A．y＝1
4x B．y＝4x
C．y＝1
2x D．y＝2x
考点 双曲线的简单几何性质
题点 由双曲线方程求 a，b，c 及渐近线
答案 D
解析 根据题意，有 b＝2a，则b
a＝2，
故其中一条渐近线方程为 y＝2x，故选 D.72
4．已知双曲线x2
a2－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线 y2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方
程是( )
A．y＝± 5x B．y＝±
5
5 x
C．y＝± 3x D．y＝±
3
3 x
考点 双曲线的简单几何性质
题点 由双曲线的方程求渐近线方程
答案 D
解析 ∵y2＝8x 的焦点是(2,0)，
∴双曲线 x2
a2－y2＝1 的半焦距 c＝2，
又虚半轴长 b＝1 且 a>0，∴a＝ 22－12＝ 3，
∴双曲线的渐近线方程是 y＝±
3
3 x.
5．以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点，已知|AB|＝
4 2，|DE|＝2 5，则 C 的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 B
解析 设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0)，点 A 在第一象限，点 D 在第二象限．根据抛物线的对
称性，得点A的纵坐标为2 2，代入抛物线方程得x＝4
p，即点A(4
p，2 2).易知点D(－p
2， 5)，
由于点 A，D 都在以坐标原点为圆心的圆上，所以16
p2＋8＝p2
4 ＋5，解得 p＝4，此即为抛物线
的焦点到准线的距离．
6．若抛物线 x2＝2py 的焦点与椭圆x2
3＋y2
4＝1 的下焦点重合，则 p 的值为( )
A．4 B．2 C．－4 D．－2
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 D
解析 椭圆x2
3＋y2
4＝1 的下焦点为(0，－1)，即为抛物线 x2＝2py 的焦点，∴p
2＝－1，∴p＝－
2.73
7．设 F1 和 F2 为双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若 F1，F2，P(0,2b)是等边三角形的
三个顶点，则双曲线的离心率为( )
A.3
2 B．2 C.5
2 D．3
考点 双曲线的简单几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 B
解析 由 tanπ
6＝ c
2b＝ 3
3 ，有 3c2＝4b2＝4(c2－a2)，则 e＝c
a＝2，故选 B.
8．双曲线x2
13－y2
3＝1 的渐近线与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则 r 的值为( )
A．4 B．3 C．2 D. 3
考点 双曲线的简单几何性质
题点 由双曲线方程研究其他问题
答案 D
解析 因为双曲线的渐近线为 y＝±
3
13x，
即 3x± 13y＝0，已知圆的圆心为(4,0)，利用直线与圆相切，
得 d＝|4 3 ± 0|
3＋13
＝ 3＝r，故 r＝ 3，故选 D.
9．已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)与双曲线x2
m2－y2
n2＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若
c 是 a，m 的等比中项，n2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率是( )
A.
3
3 B.
2
2 C.1
4 D.1
2
考点 椭圆的简单几何性质
题点 求椭圆的离心率
答案 D
解析 由题意可得Error!解得c2
a2＝1
4，
∴e＝c
a＝1
2.
10．已知 F1，F2 分别是双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若 F2 关于渐近线的
对称点恰好落在以 F1 为圆心，|OF1|为半径的圆上(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. 3 B．3 C. 2 D．2
考点 双曲线的简单几何性质74
题点 求双曲线的离心率
答案 D
解析 由已知，有 F1(－c,0)(c＞0)，F2(c,0)，
设双曲线的一条渐近线方程为 l：y＝b
ax，
即 bx－ay＝0，则点 F2 到 l 的距离为 |bc|
a2＋b2＝b，
设点 F2 关于渐近线的对称点为 M，交渐近线于点 A，则 MF2⊥l，|MF1|＝|OF1|＝c.
因为 O，A 分别为|F1F2|，|F2M|的中点，
所以 OA∥MF1，且|OA|＝1
2|MF1|＝1
2c.
在 Rt△AOF2 中，∠OAF2＝90°，|OF2|＝c，|OA|＝1
2c，
所以|AF2|＝ 3
2 c.
因为|AF2|＝b，所以 b＝ 3
2 c，a＝1
2c，
离心率 e＝c
a＝2，故选 D.
11．已知点 A(0,2)，B(2,0)．若点 C 在抛物线 x2＝y 的图像上，则使得△ABC 的面积为 2 的点
C 的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 A
解析 由已知可得|AB|＝2 2，要使 S△ABC＝2，则点 C 到直线 AB 的距离必须为 2，设 C(x，
x2)，而 lAB：x＋y－2＝0，所以有|x＋x2－2|
2
＝ 2，所以 x2＋x－2＝±2，
当 x2＋x－2＝2 时，有两个不同的 C 点；
当 x2＋x－2＝－2 时，亦有两个不同的 C 点．
因此满足条件的 C 点有 4 个，故选 A.
12．已知双曲线 x2－y2
3＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，双曲线的离心率为 e，若双曲线上一
点 P 使sin∠PF2F1
sin∠PF1F2＝e，则F2P
→
·F2F1→
的值为( )
A．3 B．2 C．－3 D．－2
考点 双曲线的标准方程
题点 双曲线的定义与方程的综合75
答案 B
解析 双曲线 x2－y2
3＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，
可得|F2F1→
|＝2c＝4，在△PF1F2 中，
由正弦定理，得sin∠PF2F1
sin∠PF1F2＝|PF1|
|PF2|＝e＝2，
所以点 P 在双曲线的右支上，|PF1|－|PF2|＝2，
结合这两个条件，得|PF1|＝4，|PF2|＝2，
由余弦定理，得 cos〈F2F1→
，F2P
→
〉
＝|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2
2|PF2|·|F1F2| ＝1
4，
所以F2F1→
·F2P
→
＝4×2×1
4＝2，故选 B.
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．与双曲线 x2
16－y2
9＝1 有相同渐近线，且经过点(3 3，－3)的双曲线的标准方程是
__________________．
考点 由双曲线的简单几何性质求方程
题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程
答案 x2
11－y2
99
16
＝1
解析 设所求双曲线的方程为x2
16－y2
9＝λ(λ≠0)，
∵所求双曲线经过点(3 3，－3)，∴
(3 3)2
16 －
(－3)2
9 ＝λ，
∴λ＝11
16，∴所求双曲线的标准方程为x2
11－y2
99
16
＝1.
14．过椭圆x2
16＋y2
9＝1 的焦点 F 的弦中最短弦长是__________________________________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 求弦长
答案 9
2
解析 由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，弦长为2b2
a ＝18
4 ＝9
2.
15．过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于点 A，B，若|AF|＝3|BF|，则 l 的斜76
率是________．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
答案 ± 3
解析 ∵抛物线 C 的方程为 y2＝4x，
∴它的焦点为 F(1,0)，
∴设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，
由Error!消去 x，得 k
4y2－y－k＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得 y1＋y2＝4
k①，y1y2＝－4②，
∵|AF|＝3|BF|，
∴y1＋3y2＝0，可得 y1＝－3y2，
代入①②得－2y2＝4
k，且－3y22＝－4，
消去 y2，得 k2＝3，解得 k＝± 3.
16．已知直线 y＝－x＋1 与椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)相交于 A，B 两点，且 OA⊥OB(O 为坐标
原点)，若椭圆的离心率 e∈[1
2， 3
2 ]，则 a 的最大值为________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题
答案 10
2
解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由Error!得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，
Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)＞0，
可得 a2＋b2＞1，
且Error!
∵OA⊥OB，∴OA
→
·OB
→
＝x1x2＋y1y2＝0，
即 2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴2(a2－a2b2)
a2＋b2 － 2a2
a2＋b2＋1＝0，
整理得 a2＋b2＝2a2b2，a2＋a2－c2＝2a2(a2－c2)，
2a2－a2e2＝2a2(a2－a2e2)，77
2a2＝2－e2
1－e2＝1＋ 1
1－e2，
∵e∈[1
2， 3
2 ]，∴2a2∈[7
3，5 ]，
即 amax＝ 5
2＝ 10
2 .
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．(10 分)中心在原点，焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1，F2，且|F1F2|
＝2 13，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为 4，离心率之比为 3∶7，求这两条曲线的方
程．
考点 椭圆标准方程求法
题点 待定系数法求椭圆的标准方程
解 设椭圆的方程为x2
a21＋y2
b21＝1，
双曲线的方程为x2
a22－y2
b22＝1，半焦距 c＝ 13，
由已知，得 a1－a2＝4， c
a1∶ c
a2＝3∶7，
解得 a1＝7，a2＝3，
所以 b21＝36，b22＝4，
所以两条曲线的方程分别为 x2
49＋y2
36＝1，x2
9－y2
4＝1.
18．(12 分)过抛物线 y 2＝x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且直线 l 的倾斜角
θ≥π
4，点 A 在 x 轴上方，求|FA|的取值范围．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合问题
解 设点 A 的横坐标为 x1，
则|FA|＝x1＋1
4＝(1
4＋|AF|cos θ)＋1
4
＝1
2＋|AF|cos θ，所以|AF|＝ 1
2(1－cos θ)，
由 θ≥π
4，得－1＜cos θ≤ 2
2 ，2－ 2≤2(1－cos θ)＜4，
1
4＜ 1
2(1－cos θ)≤ 1
2－ 2
＝1＋ 2
2 ，
即|FA|的取值范围为(1
4，1＋ 2
2 ].78
19．(12 分)设 F 1，F2 分别为椭圆x2
4＋y2＝1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，且|PF1→
＋PF2→
|＝
2 3，求∠F1PF2 的大小．
考点 椭圆的定义
题点 椭圆定义的应用
解 由椭圆方程，得 a＝2，c＝ 3，
设|PF1→
|＝m，|PF2→
|＝n.
由椭圆定义，知 m＋n＝2a＝4.①
因为|PF1→
＋PF2→
|＝2 3，所以|PF1→
＋PF2→
|2＝12，
即 m2＋n2＋2mncos∠F1PF2＝12，②
在△F1PF2 中，由余弦定理，得
m2＋n2－2mncos∠F1PF2＝(2c)2＝12，③
②＋③，得 m2＋n2＝12，
又由①得 m2＋n2＋2mn＝16，从而得 mn＝2，
将 m2＋n2＝12，mn＝2 代入②，
解得 cos∠F1PF2＝0，所以∠F1PF2＝π
2.
20．(12 分)过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 B，C 两点，l 与抛物线的
准线交于点 A，且|AF|＝6，AF
→
＝2FB
→
，求|BC|.
考点 直线与抛物线的位置关系
考点 直线与抛物线的综合问题
解 不妨设直线 l 的倾斜角为 θ，其中 0＜θ＜π
2，
B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意可知|BF|＝3，点 B 在 x 轴的上方，
过点 B 作该抛物线准线的垂线，垂足为 B1，
则|BB1|＝|BF|＝3，|AF|
|AB|＝ p
|BB1|，由此可得 p＝2，
所以抛物线的方程为 y2＝4x，
焦点 F(1,0)，则 cos θ＝ p
|AF|＝2
6＝1
3，
则 sin θ＝ 1－cos2θ＝2 2
3 ，
因此 tan θ＝sin θ
cos θ＝2 2，79
故直线 l 的方程为 y＝2 2(x－1)，
由Error!消去 y，得 8(x－1)2＝4x，
即 2x2－5x＋2＝0，所以 x1＋x2＝5
2，
由抛物线的定义，知|BC|＝|BF|＋|CF|＝x1＋p
2＋x2＋p
2＝x1＋x2＋p＝5
2＋2＝9
2.
21．(12 分)已知直线 y＝x－4 被抛物线 y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为 6 2，求抛物线的标准
方程．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的相交弦长及弦中点问题
解 设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．
由Error!得 x2－2(4＋m)x＋16＝0，
所以 x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16，
所以弦长为 (1＋k2)(x1－x2)2
＝ 2[4(4＋m)2－4 × 16]＝2 2(m2＋8m).
由 2 2(m2＋8m)＝6 2，解得 m＝1 或 m＝－9.
经检验，m＝1 或 m＝－9 均符合题意．
所以所求抛物线的标准方程为 y2＝2x 或 y2＝－18x.
22．(12 分)已知椭圆 G：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为 6
3 ，右焦点为(2 2，0)，斜率为 1 的
直线 l 与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(－3,2)．
(1)求椭圆 G 的方程；
(2)求△PAB 的面积．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的综合问题
解 (1)由已知得 c＝2 2，c
a＝ 6
3 ，
解得 a＝2 3，又 b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆 G 的方程为x2
12＋y2
4＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m.
由Error!得 4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
Δ＝(6m)2－4×4×(3m2－12)＞0，且 x1＋x2＝－3
2m.
设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1
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