山东、海南等新高考地区2021届高三第一学期期中备考金卷数学（A卷）含答案

（新高考）2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷 数 学（A） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．若复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合 ， ，若 ，则 的 可能取值组成的集合为（ ） A． B． C． D． 3．为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客 户 中 随 机 抽 取 名 客 户 的 评 分 ， 评 分 均 在 区 间 上 ， 分 组 为 ， ， ， ， ，其频率分布直方图如图所示．规定评分在 分以下表示对该公司 的服务质量不满意，则这 名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为（ ） A． B． C． D． 4 ．已知定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．已知四边形 中， ， 分别为 ， 的中点， ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 6．已知在正方体 中， ， 分别为 ， 上的点，且满足 ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线 的渐近线分别为 ， ，点 是 轴上与坐标原点 不重 合的一点，以 为直径的圆交直线 于点 ， ，交直线 于点 ， ，若 ， 则该双曲线的离心率是（ ） A． 或 B． C． 或 D． 8．若函数 恰有两个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．已知 的展开式中各项系数之和为 ，第二项的二项式系数为 ，则（ ） A． B． C．展开式中存在常数项 D．展开式中含 项的系数为 10．已知函数 的图象的一条对称轴为直线 ， 为函数 的导函数，函数 ，则下列说法正确的是（ ） A．直线 是 图象的一条对称轴 B． 的最小正周期为 31 i 2 iz a −= − a 1− 1 2− 2 { | ( 2)( 2) 5}A x x x= + − < 2{ | log ( ) 1, }B x x a a= − > ∈N A B = ∅ a {0} {1} {0,1} ( ,1)−∞ 500 [50,100] [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 60 500 15 16 17 18 R ( )f x ( ,0)−∞ ( 1) 0f − = 3( log 8)a f= − 2( log 4)b f= − 2 3(2 )c f= a b c c a b< < a b c< < a c b< < c b a< < ABCD E F BC CD 2AB DC=  0AD AB⋅ =  | | 2 | | 2AB AD= =  AF DE⋅ =  1 4 1 2 3 4 1 1 1 1 1ABCD A B C D− M N 1A D AC 1 3A D MD= 2AN NC= MN 1 1C D 2 5 5 5 5 3 3 2 4 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1l 2l A x O OA 1l O B 2l O C 2 | | 3 | |BC OA= 2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 2( ) xf x mx e −= − + m (1, )e 1( ,1)e 1( , )e +∞ ( , )e +∞ 2 41(3 )x x + A B 256A = 260A B+ = 2x 54 π( ) sin( )(0 3)4f x xω ω= + < ≤ π 8x = ( )f x′ ( )f x ( ) ( ) ( )g x f x f x′= + π 8x = ( )g x ( )g x π 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 C． 是 图象的一个对称中心 D． 的最大值为 11 ． 如 图 ， 直 接 三 棱 柱 ， 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， ， 且 ， ， 分别是 ， 的中点， ， 分别是 ， 上的两个动点，则 （ ） A． 与 一定是异面直线 B．三棱锥 的体积为定值 C．直线 与 所成角为 D．若 为 的中点，则四棱锥 的外接球表面积为 12．若存在两个不相等的实数 ， ，使 ， ， 均在函数 的定义域内，且满足 ，则称函数 具有性质 ，下列函数具有性质 的是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定 理．我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数．现从 ， ， ， ， 这 个正整数中随机抽取 个数，则恰好构成勾股数的概率为 ． 14．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，且离心率 ，点 是椭圆 上位于第二象限内的一点，若 是腰长为 的等腰三角形，则 的面积为 ． 15．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ． 16．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 ；若 恒成立，则实数 的取值范围为 ．（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（10 分）在① ，② ， 的周长为 ，③ ， 的外接圆半径为 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答． 在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ， ?，求 ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12 分）已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 中， ． π( ,0)8 ( )g x ( )g x 5 1 1 1ABC A B C− ABC△ AB BC⊥ 1 2AC AA= = E F AC 1 1AC D M 1AA 1BB FM BD D MEF− 1 3 1 1B C BD π 2 D 1AA 1D BB FE− 5π 1x 2x 1x 2x 1 2 2 x x+ ( )f x 1 2 1 2( ) ( )( )2 2 x x f x f xf + += ( )f x T T ( ) 2xf x = 2( ) | 2 |f x x x= − ( ) lgf x x= ( ) sinf x x x= + 6 7 8 9 10 5 3 1F 2F 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 3e = P 1 2PF F△ 4 1 2PF F△ a b 2 ( 2 ) 4ab a b+ = a b+ { }na n nS 1 2a = 1 1 1 2 2n na a+ = + nS = 1 2n nS na t≤ + t 1cos 3B = 2b = ABC△ 8 3c = ABC△ 2 ABC△ A B C a b c 2 cosb a C= sin A { }na n nS 12 2( 2, )n nS S n n ∗ −= + ≥ ∈N { }nb 1 12 2a b= =（1）求 的通项公式； （2）若 ， ，求数列 的前 项和． 19．（12 分）在一场青年歌手比赛中，由 名观众代表平均分成 ， 两个评分小组，给参赛选手 评分，下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况： （1）分别计算这两个小组评分的平均数和方差，并根据结果判断哪个小组评分较集中； （2）在评分较集中的小组中，去掉一个最高分和一个最低分，从剩余的评分中任取 名观众的评分， 记 为这 个人评分之差的绝对值，求 的分布列和数学期望． 20．（12 分）如图，在多面体 中， 是边长为 的等边三角形， ， ， ，点 为 的中点，平面 平面 ． （1）求证： 平面 ； （2）线段 上是否存在一点 ，使得二面角 为直二面角？若存在，试指出点 的位 置；若不存在，请说明理由． 21．（12 分）如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 和椭圆 ， 其中 ， ， ， 的离心率分别为 ， ，且满足 ， ， 分别是椭圆 的右、下顶点，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，且 ． { }na 2 2 1 1n nb b −= + 2 1 2n n nb b a+ = + { }nb 10 20 A B 2 X 2 X ABCDP ABC△ 4 PA AC= 2 2BD CD= = 4 2PC PB= = E BC BDC ⊥ ABC DE∥ PAC BC T T DA B− − T xOy 2 2 1 2 2: 1x yC a b + = 2 2 2 2 2: 1x yC c b + = 0a c b> > > 2 2 2a b c= + 1C 2C 1e 2e 1 2: 2: 3e e = A B 2C AB 1C P 18| | 5PB =（1）求椭圆 的方程； （2）与椭圆 相切的直线 交椭圆 与点 ， ，求 的最大值． 22．（12 分）已知函数 ，其中 ． （1）若 在定义域内是单调函数，求 的取值范围； （2）当 时，求证：对任意 ，恒有 成立． 1C 2C MN 1C M N | |MN ( ) ln xf x x x ae a= − + a∈R ( )f x a 1a = (0, )x∈ +∞ ( ) cosf x x ∈ = > + ∈N N A B = ∅ 0a = [50,60) 1 (0.007 0.02 0.03 0.04) 10 0.03− + + + × = [50,60) 0.03 500 15× = 15 R ( )f x ( ,0)−∞ ( 1) 0f − = (1) 0f = 2 32 1> 2 3(2 ) 0c f= < 3 21 log 8 log 4 2− > − > − = − 0b a> > c a b< < ABCD AB DC∥ AB AD⊥ 1 1 1 3( )2 2 2 4DE DA AB DC AD AB= + + = − +      1 4AF AD AB= +   2 21 1 3 1 3 1( ) ( )4 2 4 2 16 4AF DE AD AB AD AB AD AB⋅ = + ⋅ − + = − + =        AD E 2AE ED= ME NE 1 3A D MD= 2AN NC= 1 1 3 MD CN DE A D AC AD = = = NE CD∥ 1NE AA∥ 1 1CD C D∥ MNE∠ MN 1 1C D 3a 2 23EN CD a= = 1 1 3ME AA a= = MNERt△ 2 2MN ME EN= + = 2 2(2 ) 5a a a+ = 2 2 5cos 55 EN aMNE MN a ∠ = = = 1 : bl y xa = 2 : bl y xa = − BOA θ∠ = tan b a θ = | | 4 ( 0)OA m m= > 2 | | 3 | |BC OA= | | 2 3BC m= BC OA⊥ BC OA BC OA D | | 3BD m= AB OA OB AB⊥ | | | | sin 4 sinAB OA mθ θ= = | | | | cos 4 cosOB OA mθ θ= = | | | | | | | |OA BD OA AB⋅ = ⋅ 2 24 3 16 sin cosm m θ θ= 3sin 2 2 θ = π0 2 θ< < π2 3 θ = 2π2 3 θ = π 6 θ = π2 3 θ = tan b a θ = 3 3 b a = 3b a =当 时， ，则 ，离心率 ； 当 时， ，则 ，离心率 ． 8．【答案】C 【解析】由题意知， ， 当 时， ，函数 在 上单调递增，没有两个不同的零点； 当 时， ，得 ， ， ，函数 在 上单调递增； ， ，函数 在 上单调递减， 故 在 处取得最小值， 所以 ，得 ， 所以 的取值范围为 ． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．【答案】ABD 【解析】令 ，得 的展开式中各项系数之和为 ，所以 ， 选项 A 正确； 的展开式中第二项的二项式系数为 ，所以 ， ，选项 B 正确； 的展开式的通项公式为 ， 令 ，则 ，所以展开式中不存在常数项，选项 C 错误； 令 ，则 ，所以展开式中含 项的系数为 ，选项 D 正确． 10．【答案】BD 【解析】因为 的图象的一条对称轴为直线 ， 所以 ， ，所以 ， ， 又 ，所以 ，所以 ，所以 ， 所以 ， ，且 ，所以 的最大值为 ，最小正周期为 ，故 A、C 错误， B、D 正确． 11．【答案】BCD 【解析】A 项，当 ， 重合时， （即 ）与 是相交直线，故该说法错误； B 项，由已知可得 ， 又平面 平面 ，所以 平面 ， 在矩形 中， 的面积 ， 又 ，所以三棱锥 的体积 ， 所以该说法正确； C 项，由 平面 ，得 ， 又 ，所以 平面 ，所以 ，所以该说法正确； D 项，由题意可得四边形 为矩形，连接 ， 则矩形 外接圆的圆心为 的中点 ，且 ， 过 作 与点 ，连接 ， ， 则 ， ， ，故 ， 所以 就是四棱锥 的外接球的球心，所以外接球半径 ， 故外接球的表面积 ，故该说法正确． 12．【答案】BD 3 3 b a = 2 23a b= 2 2 23 3a c a= − 2 3 3e = 3b a = 2 23b a= 2 2 23c a a− = 2e = 2( ) xf x m e −′ = − + 0m ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x R 0m > 2( ) 0xf x m e −′ = − + = 2 lnx m= + 2 lnx m> + ( ) 0f x′ > ( )f x (2 ln , )m+ +∞ 2 lnx m< + ( ) 0f x′ < ( )f x ( ,2 ln )m−∞ + ( )f x 2 lnx m= + ln(2 ln ) (2 ln ) 0mf m m m e+ = − + + < 1m e > m 1( , )e +∞ 1x = 2 41(3 )x x + 44 256= 256A = 2 41(3 )x x + 1 4C 4= 4B = 260A B+ = 2 41(3 )x x + 2 4 4 8 3 1 4 4 1C (3 ) ( ) 3 Cr r r r r r rT x xx − − − + = = 8 3 0r− = 8 3r = 8 3 2r− = 2r = 2x 4 2 2 43 C 54− = π( ) sin( )4f x xω= + π 8x = π π ππ8 4 2kω + = + k ∈Z 8 2kω = + k ∈Z 0 3ω< ≤ 2ω = π( ) sin(2 )4f x x= + π( ) 2cos(2 )4f x x′ = + π π 3 2 2( ) sin(2 ) 2cos(2 ) cos2 sin24 4 2 2g x x x x x= + + + = − 15 cos(2 )(tan )3x ϕ ϕ= + = ππ 4kϕ ≠ + 3ππ 4kϕ ≠ + ( )g x 5 π M B FM BF BD 1 1 1B F AC⊥ ABC ⊥ 1 1CAAC 1B F ⊥ 1 1CAAC 1AEFA DEF△ 1 1 1 2 1 12 2S EF A F= × × = × × = 1 1 1 1 12B F AC= = D MEF− 1 1 1 11 13 3 3M DEFV S B F− = × = × × = 1AA ⊥ 1 1 1A B C 1 1 1AA B C⊥ 1 1 1 1B C A B⊥ 1 1B C ⊥ 1 1A B BA 1 1B C BD⊥ 1BB FE BF 1BB FE BF 1O 1 1 5 2O F O B= = 1O 1O N EF⊥ N DN 1O D 1 1 2O N = 1DN = 1O N DN⊥ 1 5 2O D = 1O 1D BB FE− 5 2R = 24π 5πS R= =【解析】对于 A，因为函数 的定义域为 ， ， 所以 ， 由于 ，所以 恒成立，故 A 不具有性质 ； 对于 B，函数 的定义域为 ，取 ， ，则 ， 所以 ，所以 成立，故 B 具有性质 ； 对于 C，函数 的定义域为 ，当 ， 时， ， 由于 ，所以 ，易知 在 上单调递增， 所以 恒成立，故 C 不具有性质 ； 对于 D，函数 的定义域为 ，易知 为奇函数， 取 ，则 ，所以 ， ， 所以 成立，故 D 具有性质 ． 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 【解析】从 ， ， ， ， 这 个正整数中随机抽取 个数， 可 能 的 情 况 有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种， 其中恰好构成勾股数的情况有 种，为 ， 所以所求概率为 ． 14．【答案】 【解析】由题意知 ，则 ， 又 ，∴ ，由椭圆的定义得 ， 又 是腰长为 的等腰三角形，且点 在第二象限，∴ ， ， 过 作 于点 ，则 ， ， ∴ 的面积为 ． 15．【答案】 【解析】由 ，得 ， 故 （当且仅当 ， 时取等号）， 所以 的最小值为 ． 16．【答案】 ， 【解析】由 ， ，得 ， ， 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以 ， ， ． 又 ，所以 恒成立， 即 ， 恒成立． 令 ，则 ，所以 是递减数列， 所以 ， ，即 ， 实数 的取值范围为 ． 四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．【答案】见解析． 【解析】若选条件①， 由正弦定理 可化为 ， 又 ，所以 ， ， ， ， ( )f x R ( ) 2 0xf x = > 1 2 1 2( ) ( ) 2 2 2 2 x xf x f x+ += ≥ 1 2 1 2 1 222 2 2 ( )2 x x x x x xf + +× = = 1 2x x≠ 1 2 1 2( ) ( ) ( )2 2 f x f x x xf + +> T ( )f x R 1 1 2x = − 2 1 2x = + 1 2 12 x x+ = 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 12 x xf x f x f += = = 1 2 1 2( ) ( )( )2 2 x x f x f xf + += T ( )f x (0, )+∞ 1 0x > 2 0x > 1 2 1 22 x x x x + ≥ 1 2x x≠ 1 2 1 22 x x x x + > ( ) lgf x x= (0, )+∞ 1 2 1 2( ) ( ) ( )2 2 f x f x x xf + +< T ( )f x R ( )f x 2 1 0x x= − ≠ 1 2 02 x x+ = 2 1( ) ( ) 0f x f x+ = 1 2( ) (0) 02 x xf f + = = 1 2 1 2( ) ( )( )2 2 x x f x f xf + += T 1 10 6 7 8 9 10 5 3 (6,7,8) (6,7,9) (6,7,10) (6,8,9) (6,8,10) (6,9,10) (7,8,9) (7,8,10) (7,9,10) (8,9,10) 10 1 (6,8,10) 1 10 15 2 4c = 2c = 2 3 ce a = = 3a = 1 2| | | | 2 6PF PF a+ = = 1 2PF F△ 4 P 2| | 4PF = 1| | 2PF = 2F 2 1F D PF⊥ D | | 1PD = 2| | 15DF = 1 2PF F△ 1 2 15 152 × × = 2 2 ( 2 ) 4ab a b+ = 2 4( 2 )a a b b + = 2 2 2 2 2 2 4 4( ) ( 2 ) 2 4a b a a b b b bb b + = + + = + ≥ ⋅ = 2b = 2 2a = − a b+ 2 12(1 )2nn + − [4, )+∞ 1 2a = 1 1 1 2 2n na a+ = + 1 11 ( 1)2n na a+ − = − 1 1 1a − = { 1}na − 1 1 2 1 1 1 11 1 ( )2 2 n n na − −− = × = 1 1 12n na −= + 1 2 2 1 111 1 1 12(1 ) 2(1 )2 2 2 1 2 2 n n n n nS a a a n n n− − = + + + = + + + + + = + = + −−  12n n nna n −= + 1 1 1 12(1 ) ( ) 2(1 )2 2 2 2n n n n n n nt S na n n − +≥ − = + − − + = − 14(1 )2n nt +≥ − n ∗∈N 1 2n n nb += 1 1 1 2 1 02 2 2n n n n n n n nb b+ + + + +− = − = − < { }nb 10 12n n +< ≤ 10 1 12n n +≤ − < 4t ≥ t [4, )+∞ 2 cosb a C= sin 2sin cosB A C= ( )B A Cπ= − + sin( ) 2sin cosA C A C+ = sin cos cos sin 2sin cosA C A C A C+ = sin cos cos sin 0A C A C− = sin( ) 0A C− =因为 ， ，所以 ， ， ， 则 ， 又 ，所以 ， ， ． 若选条件②， 由正弦定理， 可化为 ， 又 ， 所以 ， ， ， ， 因为 ， ， 所以 ， ， ，所以 ， 因为 的周长为 ， ，所以 ， 由余弦定理可得 ，所以 ． 若选条件③，由正弦定理， 可化为 ， 又 ，所以 ， ， ， ， 因为 ， ， 所以 ， ， ，所以 ， 又 ，所以 ， 因为 的外接圆半径为 ，所以 ，所以 ． 18．【答案】（1） ；（2）139． 【解析】（1）由 ①，可得 ②， ① ② ，所以 ， 又 ， ，所以 ，所以 ， 故 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 ． （2）由题意得 ， ，所以 ， 则 ， ，…， ， ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，易得 也适合上式， 所以 的前 项和为 ． 19．【答案】（1） ， ； ， ； 组的评分更集中一些；（2） 分布列见解析； ． 【解析】（1） ； ． ； ． 根据方差的概念及实际含义可知， 组的评分的几种程度更高一些． （2）从 组评分中去掉一个最高分 ，去掉一个最低分 ， 易知 的所有可能取值为 ， ， ， ， ． 从 人的评分中任取 人的评分，共有 种等可能的结果， 把 组成绩按照从大到小排成一列为 ， ， ， ， ， ， ， ， 则 ， ， ， ， ， 所以 的分布列是 0 πA< < 0 πC< < π πA C− < − < 0A C− = A C= 2 2cos cos(π ) cos(π 2 ) cos2 (1 2sin ) 2sin 1B A C A A A A= − − = − = − = − − = − 1cos 3B = 2 12sin 1 3A− = 2 2sin 3A = 6sin 3A = 2 cosb a C= sin 2sin cosB A C= π ( )B A C= − + sin( ) 2sin cosA C A C+ = sin cos cos sin 2sin cosA C A C A C+ = sin cos cos sin 0A C A C− = sin( ) 0A C− = 0 πA< < 0 πC< < π πA C− < − < 0A C− = A C= a c= ABC△ 8 2b = 3a c= = 2 2 23 2 3 1cos 2 2 3 3A + −= =× × 2 2sin 3A = 2 cosb a C= sin 2sin cosB A C= π ( )B A C= − + sin( ) 2sin cosA C A C+ = sin cos cos sin 2sin cosA C A C A C+ = sin cos cos sin 0A C A C− = sin( ) 0A C− = 0 πA< < 0 πC< < π πA C− < − < 0A C− = A C= a c= 3c = 3a = ABC△ 2 3 4sin A = 3sin 4A = 2n na = 12 2( 2)n nS S n−= + ≥ 1 22 2( 3)n nS S n− −= + ≥ − 1 1 22( )n n n nS S S S− − −− = − 12 ( 3)n na a n−= ≥ 2 1 12 2a a a+ = + 1 2a = 2 4a = 2 12a a= { }na 2 2 2n na = 2 2 1 1n nb b −− = 2 1 2 2n n nb b+ − = 2 1 2 1 1 2n n nb b+ −− = + 1 2 1 2 3 1 2n n nb b − − −− = + 2 2 3 2 5 1 2n n nb b − − −− = + 2 5 3 1 2b b− = + 1 3 1 1 2b b− = + 1 1 2 1 2 1 1 2(1 2 )1 (2 2 2 ) 1 2 3( 2)1 2 n n n nb b n n n n − − − −− = − + + + + = − + = + − ≥− 2 1 2 2( 2)n nb n n− = + − ≥ 2 2 1( 2)n nb n n= + − ≥ 1 2 2 1 2 2 3( 2)n n nb b n n+ −+ = + − ≥ 1 2b b+ { }nb 10 2 3 6 1 2 9 10 (2 2 2 ) ( 1 1 7) 139b b b b+ + + + = + + + + − + + + =   9.1Ax = 2 0.266As = 9.0Bx = 2 0.056Bs = B 67 280EX = 1 (8.3 9.3 9.6 9.4 8.5 9.6 8.8 8.4 9.4 9.7) 9.110Ax = + + + + + + + + + = 1 (8.6 9.1 9.2 8.8 9.2 9.1 9.2 9.3 8.8 8.7) 9.010Bx = + + + + + + + + + = 2 2 2 21 [(8.3 9.1) (9.3 9.1) (9.7 9.1) ] 0.26610As = − + − + + − = 2 2 2 21 [(8.6 9.0) (9.1 9.0) (8.7 9.0) ] 0.05610Bs = − + − + + − = B B 9.3 8.6 X 0 0.1 0.3 0.4 0.5 8 2 2 8C 28= B 8.7 8.8 8.8 9.1 9.1 9.2 9.2 9.2 2 2 2 2 2 3C C C 5( 0) 28 28P X + += = = 1 2 1 1 1 2 2 3C C C C 8 2( 0.1) 28 28 7P X += = = = 1 2 2 2C C 4 1( 0.3) 28 28 7P X = = = = 1 1 1 1 1 2 2 3C C C C 8 2( 0.4) 28 28 7P X += = = = 1 1 1 3C C 3( 0.5) 28 28P X = = = X的数学期望 ． 20．【答案】（1）证明见解析；（2）当 为线段 上靠近点 的八等分点时，二面角 为直二面角． 【解析】（1）因为 ， 是边长为 的等边三角形， 所以 ， 所以 是等腰直角三角形， ． 又点 为 的中点，所以 ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ． 因为 ， ， 所以 ， ， 所以 ， ， 又 ，所以 平面 ，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． （2）存在满足题意的 ，连接 ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设存在 ，使得二面角 为直二面角，易知 ， 设平面 的法向量为 ， 则由 ， ，得 ， 令 ，得 ， ，故 ； 设平面 的法向量为 ，则由 ， ， 由 ，令 ，得 ， ，故 ， 由 ，得 ，故 ， 所以当 为线段 上靠近点 的八等分点时，二面角 为直二面角． 21．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由题意知 ， ， 因为 ，所以 ， ， 将等号两边同时平方，得 ， 即 ，所以 ， 又 ，所以 ， ，所以 ， ， 所以直线 的方程为 ， 与椭圆 联立并消去 ，得 ， 整理得 ， ，所以 ， 因为 ，所以 ， 得 ，所以 ， 椭圆 的方程为 ． （2）当直线 的斜率不存在时，易得 ． 当直线 的斜率存在时，设直线 ，与椭圆 联立并消去 ， 得 ， 因为直线 与椭圆 相切，所以 ， 整理得 （*）， 将直线 与椭圆 方程联立并消去 ，得 ， X 5 2 1 2 3 670 0.1 0.3 0.4 0.528 7 7 7 28 280EX = × + × + × + × + × = T BC C T DA B− − 2 2BD CD= = ABC△ 4 2 2 2 2 2(2 2) (2 2) 16BD CD BC+ = + = = BDC△ 90BDC∠ = ° E BC DE BC⊥ BDC ⊥ ABC BDC  ABC BC= DE ⊥ ABC 4 2PC PB= = 4PA AC AB= = = 2 2 2 2 24 4 32PA AC PC+ = + = = 2 2 2 2 24 4 32PA AB PB+ = + = = PA AC⊥ PA AB⊥ AC AB A= PA ⊥ ABC DE PA∥ PA ⊂ PAC DE ⊄ PAC DE∥ PAC T AE E EC EA ED x y z ( ,0,0)T λ T DA B− − 2 2λ− ≤ ≤ BAD 1 1 1 1( , , )x y z=n (2,0,2)BD = (0, 2 3,2)AD = − 1 1 1 1 0 3 0 x z y z + =− + = 1 1z = 1 1x = − 1 3 3y = 1 3( 1, ,1)3 = −n TAD 2 2 2 2( , , )x y z=n ( ,0, 2)DT λ= − ( , 2 3,0)AT λ= − 2 1 2 2 2 0 2 3 0 x z x y λ λ − = − = 2 1z = 2 2x λ= 2 3 3y = 2 2 3( , ,1)3λ=n 1 2 2 2 3 3 13 3cos , 0 7 4 4 3 3 λ λ − + × + 〈 〉 = = × + n n 1 2 1 03 λ− + = 3 2 λ = T BC C T DA B− − 2 19 3 x y2 + = 3 2 2 1 ce a = 2 2 2 2 2 2c b c ae c c − −= = 1 2: 2: 3e e = 2 223 2c c a a c −⋅ = ⋅ 2 2 22 2 3a c a c− = 4 2 2 43 8 4 0c a c a− + = 2 2 2 2(2 )(2 3 ) 0a c a c− − = 2 23 2a c= 2 2 2a b c= + 3a b= 2c b= ( 2 ,0)A b (0, )B b− AB 2 2y x b= − 2 2 1 2 2: 13 x yC b b + = y 2 2 223( ) 32x x b b+ − = 1 0x = 2 6 2 5x b= 6 2( , )5 5 b bP 18| | 5PB = 2 26 2 18( 0) ( )5 5 5 bb b− + + = 3b = 3a = 1C 2 19 3 x y2 + = MN | | 2MN = MN : ( 0)MN y kx m k= + ≠ 2 2 2 : 16 3 x yC + = y 2 2 2(1 2 ) 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = MN 2C 2 2 2 216 4(1 2 )(2 6) 0Δ k m k m= − + − = 2 26 3 0k m+ − = MN 1C y 2 2 2(1 3 ) 6 3 9 0k x kmx m+ + + − =由（*）式可得 ． 设 ， ，则 ， ， 所以 ， 设 ，则 ， ， ， 所以当 ，即 时， 最大，且最大值为 ． 22．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为 ，所以 ， 要使 在定义域内是单调函数，需满足 或 ． ①若 ，则 ， 令 ，得 ， 易知 ，且函数 在 上单调递减， 当 时， ，所以在区间 上， ；在 上 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 此时 无最小值，不满足题意； ②若 ，则 ， 由①知， 的最大值为 ， 所以当 时， 在定义域上单调递减，满足题意． 综上， 的取值范围是 ． （2）当 时， ，要证 ，即证 ， 当 时， ，而 ， 所以 成立，即 成立． 当 时，令 ，则 ， 设 ，则 ， ∵ ，所以 ，所以当 时， 单调递增， 所以 ，即 ，所以 在 上单调递增， 所以 ，即 成立． 综上，对任意 ，恒有 成立． 2 2 2 2 2 2 236 4(1 3 )(3 9) 12(9 3 ) 36Δ k m k m k m k= − + − = + − = ( , )M MM x y ( , )N NN x y 2 6 1 3M N kmx x k −+ = + 2 2 3 9 1 3M N mx x k −= + 2 4 2 2 2 2 2 2 36| | 1 | | 1 61 3 (1 3 )M N k k kMN k x x k k k += + − = + ⋅ =+ + 21 3k t+ = 1t > 2 2 2 2 1 1 9 3 2| | 6 2 2( )9 4 8 2 t tMN t t + −= = − − + ≤ 3 22 2 < 4t = 1k = ± | |MN 3 2 2 1[ , )e +∞ ( ) ln xf x x x ae a= − + ( ) ln 1 xf x x ae′ = + − ( )f x ( ) 0f x′ ≥ ( ) 0f x′ ≤ ( ) 0f x′ ≥ ln 1 x xa e +≤ ln 1( ) ( 0)x xG x xe += > 1 ln 1 ( ) x xxG x e − − ′ = (1) 0G′ = 1 ln 1y xx = − − (0, )+∞ 0x > 1xe > (0,1) ( ) 0G x′ > (1, )+∞ ( ) 0G x′ < ln 1( ) x xG x e += (0,1) (1, )+∞ ln 1( ) x xG x e += ( ) 0f x′ ≤ ln 1 x xa e +≥ ( )G x 1(1)G e = 1a e ≥ ( )f x a 1[ , )e +∞ 1a = ( ) ln 1xf x x x e= − + ( ) cosf x x< ln cos 1xx x e x< + − 0 1x< ≤ ln 0x x ≤ cos 1 1 cos1 1 cos1 0xe x+ − > + − = > ln cos 1xx x e x< + − ( ) cosf x x< 1x > ( ) cos ln 1( 1)xh x e x x x x= + − − > ( ) sin ln 1xh x e x x′ = − − − ( ) sin ln 1( 1)xg x e x x x= − − − > 1( ) cosxg x e x x ′ = − − 1x > 1( ) cos 1 1 0xg x e x ex ′ = − − > − − > 1x > ( )g x ( ) sin 1 0g x e x> − − > ( ) 0h x′ > ( )h x (1, )+∞ ( ) cos1 1 0h x e> + − > ( ) cosf x x< (0, )x∈ +∞ ( ) cosf x x