一、选择题
1.在三棱锥 中， ，则三棱锥
外接球的体积是( )
A． B． C． D．
2.已知三棱锥 ， 是边长为4的正三角形，二面角
的正切值为 ，则三棱锥 的外接球 的体积为( )
A. B. C. D.
3.在四面体 中， 和 均是边长为1的等边三角形，已知四面体
的四个顶点都在同一球面上，且 是该球的直径，则四面体 的体积为（ ）
A. B. C. D.
4.在三棱锥 中, 平面 ,若该三棱锥的外接球的体积为 ,则
的最大值为( )
A． B．32 C．50 D．64
5.在四棱锥 中, 是边长为6的正三角形, 是正方形,平面 平面
,则该四棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
6.三棱锥 的所有顶点都在半径为2的球 的球面上.若 是等边三角形,平面
平面 , ,则三棱锥 体积的最大值为( )
A.2 B.3 C. D.
7.在日常生活中，石子是我们经常见到的材料. 现有一棱长均为3的正四棱锥
石料的顶角和底面一个角损坏，某雕刻师计划用一平行于底面 的截面截四棱锥
分别交 于点 ,做出一个体积最大的新的四棱锥 为底面
的中心，则新四棱锥 的表面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题
8.已知 是球 的球面上的四个点， 平面 ，则球
的表面积为__________．
9.已知三棱锥 ， 平面 ， ，则三棱锥
外接球的体积为__________.
P ABC− 2 5, 2 3PA PB PC AB AC BC= = = = = = P ABC−
36π 125π
6
32π
3 50π
,P ABC PA PB PC− = = ABC△ P AB C− −
2 P ABC− O
8 6π 4 6π 2 6π 6π
ABCD ABC△ BCD△ ABCD
AD ABCD
2
24
2
12
2
6
2
4
A BCD− AB ⊥ , , 6BCD BC CD AB⊥ = 500π
3
BC CD⋅
25
2
A BCDE− ABC△ BCDE ABC ⊥ BCDE
21 21π 84π 7 21π 28 21π
Р ABC− O PAC△
PAC ⊥ ABC AB BC⊥ P ABC−
2 3 3 3
S ABCD−
ABCD
, , ,SA SB SC SD , , ,E F G H ,O EFGH O− ABCD
O EFGH−
4 2 6+ 9 9 3
4
+ 13
4 4+2 3
, , ,P A B C O PA ⊥ , 2 6,ABC PA BC= = AB AC⊥ O
P ABC− PA ⊥ ABC , 2, 1AC BC PA AC BC⊥ = = = P ABC−10.在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， ，
分别是棱 的中点，对于平面 截四棱锥
所得的截面多边形，有以下三个结论：
①截面的面积等于 ；
②截面是一个五边形；
③截面只与四棱锥 四条侧棱中的三条相交．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、多项选择题
11.如图，在棱长为1的正方体 中， 为棱 上的动点（点 不与点 ，
重合），过点 作平面 分别与棱 交于 两点，若
，则下列说法正确的是（ ）
A． 平面
B． 存在点 ，使得 平面
C． 存在点 ，使得点 到平面 的距离为
D．用过 ， 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形
12.如图，在长方体 中， ， ， 分别为棱 ，
的中点，则( )
A. 四点共面 B.平面 平面
C.直线 与 所成角的为60° D. 平面
13.长方体 中， ，点 在线段
上运动，则下列命题正确的是( )
P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 4PA AB= = , ,E F H
, ,PB BC PD EFH P ABCD−
4 6
P ABCD−
1 1 1 1ABCD A B C D− P 1CC P C 1C
P α ABC CD， M N， CP CM CN＝ ＝
1A C ⊥ α
P 1AC / / α
P 1A α 5
3
P 1M D，
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 4AA AB= = 2BC = M N, 1 1C D 1CC
A M N B, , , ADM 1 1CDD C
BN 1B M BN ADM
1 1 1 1ABCD A B C D− 12 2 2BC BB AB= = = P 1ADA.直线 与平面 所成的角为
B. 直线 和平面 平行
C.三棱锥 的体积为
D.二面角 所成的角为定值
四、解答题
14.如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值
15.如图,多面体 中, 平面 平面 ,且
。
(1)设 是线段 上的点,求证 ；
(2)求点 到平面 的距离。
1B C 1BPC π
3
1 1A B 1BPC
1 1B BPC− 1
6
1P BC D− −
P ABCD− ABCD , 60PA PD DAB= ∠ = °
AD PB⊥
6, 2PB AB PA= = = PB PDC
ABCDMN 90 ,BAD ADC MA∠ = ∠ = ° ⊥ ,ABCD NC ⊥ ABCD
1 22AB AD MA CD= = = =
G BN BD CG⊥
B MCD参考答案
1.答案：B
解析：如图,设 为 外接圆的圆心， 为三棱锥 外接球的球心。
∵ .
∵ .
设三棱锥 外接球的半径为 ,则 ,解得 ，
故三棱锥 外接球的体积是 .
故选：B
2.答案：A
解析：设 ，取 中点 ，连接 。
因为 是 的中点，所以 ， ,
则 为二面角 的平面角，在直角三角形 中， ,所以
，所以在直角三角形 中， ，
所以 ,所以 ,所以三棱锥 的外接球的半径为
，所以三棱锥 的外接球 的体积为
3.答案：B
解析：在四面体 中， 和 均是边长为1的等边三角形，
四面体 的四个顶点都在同一球面上，且 是该球的直径，
∴ ，
， ，
∴ 平面 ，
∴四面体 的体积为：
故选：B.
O′ ABC△ O P ABC−
22 3, 3 23AB AC BC O A′= = = ∴ = × =
22 5, (2 5) 4 4PA PB PC PO= = = ∴ = − =′
P ABC− R 2 2(4 R) 4 R− + = 5R= 2
P ABC− 34 125ππR3 6
=
PA a= AB E PE CE、
E AB CE AB⊥ PE AB⊥
PEC∠ P AB C− − PBE , 2PA a BE= = 2 4PE a= −
PCE 2
tan 2
4
aPEC
a
∠ = =
−
2 2a = PA PB⊥ P ABC−
1 8 8 8 62R = + + = P ABC− O 34 π 6 8 6π3
=
ABCD ABC△ BCD△
ABCD AD
1, 90AB AC BC BD CD ABD ACD= = = = = ∠ = ∠ = °
2
2OB OC OD= = = BO AD BO BC⊥ ⊥，
BO ⊥ ACD
ABCD
1 1 2 2 213 23 2 2 2 12B ACD ACDV dfrac S BO− × × = × × × × =△4.答案：B
解析： 平面 , , , 平面 , ,取
的中点为 ,则 , 是三棱锥
外接球球心,因为该三棱锥的外接球的体积为 ,所以该球的半径为5,所以 ,在
中, , , , , ,当且仅当
时, 取最大值32,故选B.
5.答案：D
解析：取 的中点为 , 分别是正三角形 的中心和正方形 的中心,
是该四棱锥外接球的球心,连接 ,则 在线段 上, 平面 ,
平面 , , , ,所以 为二面角
的平面角,因为平面 平面 ,所以 ,又 ,所以
,所以四边形 为矩形,所以 ,在直角三角形 中,球半径
,所以外接球的体积为 ,故选D.
AB ⊥ BCD ,AB CD AB BD∴ ⊥ ⊥ BC CD⊥ ∴ CD ⊥ ABC ∴ CD AC⊥ AD
O 1
2OA OB OC OD AD= = = = ∴ O A BCD−
500π
3
10AD = Rt ABD△
6AB = ∴ 8BD = BC CD⊥ ∴ 2 2 2 64BC CD BD+ = = ∴
2 2
322
BC CDBC CD
+× ≤ =
BC CD= BC CD⋅
BC M ,N F ABC BCDE O
, , , , ,AM FM OF ON OM OB N AM OF ⊥ BCDE
ON ⊥ ABC OM BC⊥ AM BC⊥ MF BC⊥ AMF∠ A BC D− −
ABC ⊥ BCD AM MF⊥ 3 3, 3AM MF= = 1 33NM AM= =
OEMF 2 3OM = OMB
2 2 2 2(2 3) 3 21OB OM BM= + = + =
34π( 21) 28 21π3
=6.答案：B
解析：根据 可知 为 所在截面圆 的直径,又平面 平面 ,
为等边三角形,所以 在 上,如图所示,
设 ,则 所以
,所以
,当底面 的面积最大时,即底面为等腰直角三角
形时三棱锥 的体积最大,此时 .
7.答案：A
解析：因为平面 与平面 平行，所以四边形 与四边形 相似，所以四边形
为正方形，设 所以 ，
易知四棱锥 与四棱锥 的高的比为 ,
设 ，
则当 时， ，当 时， ，
所以 时， 取得最大值.此时
所以四棱锥 的表面积为 . 故选A
8.答案：
解析：已知 是球 的球面上的四个点， 平面 ， ， ，
如图所示：取 的中点 ，连接 ，过 作面 的垂线 ，
设球心为 ；
AB BC⊥ AC ABC△ 1O PAC ⊥ ABC APC△
P 1OO
PA x= 1 1
1 3,2 2AO x PO x= = 1
3
2PO =
22
1
1 32 4 2 22 2x OO x x
= + = − + ⇒ −
2
214 2 3 0 2 32 x x x x = − ⇒ − = ⇒ =
1 1
1 32 3 3, 2 3 32 2AO PO= × = = × = ABC△
P ABC− 1
1 1 1 2 3 3 3 33 3 2ABCV S PO = × = × × × × = △
EFGH ABCD EFGH ABCD
EFGH (0 1)SE x xSA
= < < 2EFGH
ABCD
S xS
=
O EFGH− P ABCD− ( )1 :1x−
2 (1 )O EFGH P ABCDV x x V− −= ⋅ − ⋅
2 2( ) (1 ),(0 1), ( ) 2 3f x x x x f x x x′= ⋅ − < < = −
20 3x< < ( ) 0f x′ > 2 13 x< < ( ) 0f x′ <
2
3x = ( )f x 102, 2EF OG= =
O EFGH− 1 62 2 4 2 4+2 62 2
× + × × × =
45π
, , ,P A B C O PA ⊥ ABC 2 6PA BC= = AB AC⊥
BC D AD D ABC DO
O则 ，
所以 ；
∴球 的表面积为 .
故答案为： .
9.答案：
解析： 取 的中点 ，
平面 , ，又
， ， 平面 ，
， ， ，
， 为外接球的球心，
又 ， ， ，
∴外接球半径 ，
.
故答案为： .
10.答案：②③
1 3 1, 32 2 2AD BC OD PA= = = =
2 2 3 453 22 4R = + =
O 24π 45πR =
45π
6π
PB O
PA ⊥∵ ABC ,PA AB PA BC⊥ ⊥∴
BC AC⊥ PC AC A= BC ⊥∴ PAC
BC PC⊥∴ 1
2OA PB=∴ 1
2OC PB=
OA OB OC OP= = =∴ O∴
2PA = 1AC BC= = ,2 6AB PB= =∴
6
2R =
3
34 4 6π π 6π3 3 2V R
= = × = 球∴
6π解析：在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ，
分别是棱 的中点，如图所示：
所以 ，
由于 与 相交于 ，取点 为 的中点，
所以 ，
点 为 和 和 的中点,所以 ,由于 ,解得 ，
由于 为 的中位线,所以 ，
由于 ，
所以 ，
所以截面面积为 ，故①错误。
如图所示②截面是一个五边形；正确。
③截面只与四棱锥 四条侧棱中的 三条相交，故正确.
故答案为：②③.
11.答案：ACD
解析：连接 ，
易得 .
对于A,可得正方体中 面 ,即可得 平面 ，故A正确。
对于B,可得面 面 ,故 不可能平行面 .故错。
对于C, 平面 ,且 ,所以存在点 ,使得点 到平面α的距离为 ，故正确。
对于D,用过 三点的平面去截正方体,得到的截面是四边形 ,四边形
一定是梯形，故正确。
P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 4, , ,PA AB E F H= =
, ,PB BC PD
2 2 4 3PC AC AP= + =
AC BD O N AP
/ /PN PC
, ,F G M BC OC NP / /GM PC 3
4
AG MG
AC PC
= = 3 3MG =
EF PBC△ 1 2 32EF PC= =
1 22FG OB= =
5 6(3 3 2 3) 21
2 2EFGMS × + ×= =四边形
12 2 (3 3 2 3) 2 5 62EFGMS = × × + × =四边形
P ABCD− , ,PA PB PD
1 1, ,AD D P AM DB，
11 1,/ / , / / / / , / /AD PM C PM C PN DBC D MN
1A C ⊥ 1DBC 1A C ⊥ α
1 / /C DB PMN 1AC PMN
1A C ⊥ α 1
53 3A C = > P 1A 5
3
1, ,P M D 1 1,PMAD PM AD≠ 1PMAD故选：ACD.
12.答案：BC
解析：如图所示，对于A中，直线 是异面直线，故 四点不共面，故A错误；
对于B中，在长方体 中，可得 平面 ，
所以平面 平面 ，故B正确；
对于C中，取 的中点 ，连接 ，可知三角形 为等边三角形，故C正确；
对于D中，因为 平面 ，显然 与平面 不平行，故D错误.
故选：BC.
13.答案：BD
解析：对于A，长方体 中， ，
又 , 平面 ，
所以 平面 ，所以A不正确；
对于B，因为平面 与面 是同一平面，
平面 , 平面 ，所以 平面
故B正确；
对于C，三棱锥的体积还等于三棱锥 的体积，又因为 ，
因为 , 平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以点 到平面的距离即为点 到该平面的距离，为定值 故 不 正确；
对于D，二面角 所成的角就是二面角 所成的角，所以D对
故选BD．
14.答案：（1）证明：取 中点 ，连接
,AM BN A M N B, , ,
1 1 1 1ABCD A B C D− AD ⊥ 1 1CDD C
ADM ⊥ 1 1CDD C
CD O ,BO ON BON
BN 1 1AA D D BN ADM
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1 1 1,B C BC B C C D⊥ ⊥
1 1 1 1BC C D C= 1 1 1,BC C D ⊂ 1 1ABC D
1B C ⊥ 1 1ABC D
1BPC 1 1ABC D
1 1 / / ,A B AB AB ⊂ 1 1ABC D 1 1A B ⊄ 1 1ABC D 1 1 / /A B 1BPC
1 1P BB C− 1P AD∈
1 1/ /AD BC 1AD ⊄ 1BDC 1BC ⊂ 1BDC
1 //AD 1BDC
A P 1
3
C
1P BC D− − 1 1D BC D− −
AD E , ,PE BE BD∵四边形 为菱形
又 为等边三角形，又 为 中点
为 中点
平面 ， 平面
又 平面
（2）以 为原点，可建立如图所示空间直角坐标系：
由题意知： ， ，
则
设平面 的法向量
，令 ，则
设直线 与平面 所成角为 .
即直线 与平面 所成角的正弦值为： .
解析：
15.答案：（1）证明：由已知可得 ，
由余弦定理， ，
；
平面 平面 ，
平面 平面 平面 ，
平面 .
（2）依题意， ，故 ，
ABCD AD AB=∴
60DAB∠ = ° ABD∴△ E AD AD BE⊥∴
,PA AD E=∵ AD AD PE⊥∴
,BE PE ⊂∵ PBE BE PE E= AD ⊥∴ PBE
PB ⊂ PBE AD PB⊥∴
E
2, 1AD AB AE= = = 2 2 3PE PA AE= − = 2 2 3BE PB PE= − =
( ) ( ) ( ) ( )0,0, 3 , 0, 3,0 , 1,0,0 , 2, 3,0P B D C− −
( ) ( ) ( )0, 3, 3 , 1,0, 3 , 3 0, 1 ,PB DP DC= − == − ∴
PDC ( ), ,n x y z=
3 0
3 0
DP n x z
DC n x y
⋅ = + =
⋅ = − + =
∴ 3x = 1, 1y z= = − ( )3,1, 1n = −∴
PB PDC θ
2 3 10sin 56 5
PB n
PB n
θ
⋅
= = =
×
∴
PB PDC 10
5
2 2BD =
2 2 2 cos 45 2 2BC BD CD BD CD °= + − ⋅ ⋅ =
2 2 2 ,BD BC CD BD BC∴ + = ∴ ⊥
NC ⊥ ,ABCD BD ⊂ ,ABCD BD NC∴ ⊥
NC ,BC C BC∩ = ⊂ ,BCN NC ⊂ ,BCN BD∴ ⊥ BCN
CG ⊂∵ ,BCN BD CG∴ ⊥
, 90MA CD ADC °⊥ ∠ = AD CD⊥又 平面 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，即 为直角三角形，
设点 到直线 的距离为 ，则 ，即 ，
，
所以点 到平面 的距离为 .
解析：
MA ⊂ ,MAD AD ⊂ ,MAD MA AD A∩ = CD ⊥ MAD
MD ⊂ ,MAD CD DM∴ ⊥ MCD△
B MCD h B CDM M BCDV V− −= 1 1
3 3CDM BCDh S AM S⋅ ⋅ = ⋅ ⋅△ △
1
2 42 21 4 2
2
BCD
CDM
AM CD ADAM Sh S CD DM
⋅ ⋅ ⋅⋅ ×∴ = = = =
⋅ ⋅
△
△
B MCD 2
微信/支付宝扫码支付