上海2020-2021学年上海中学高三上学期期中仿真密卷 数学（含答案）

第 1 页，共 6 页 上海 2020-2021 学年上海中学高三上学期期中仿真密卷 数学学科 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、填空题（本大题满分 48 分，每小题 4 分） 1．若 ，且 ，则 =________ 2．直线 的方程为 ，则 的一个方向向量是_______ 3．等差数列 中, , 则 =_______________ 4． 的三边 所对角分别是 ,若 ，则 =_________ 5．已知定义在 上的函数 ，满足 ，且对任意的 都有 ，则 =_________ 6．把 10 本书随机地排在书架上，则其中指定的 3 本书排在一起的概率是_________（结果用分 数表示） 7．设 为函数 的最大值，则二项式 的展开式中含 项的系数 是 ． 8. 数列 的前 项和为 ， 且 记 ，则 的值是__________ 9．设 ，若对于任意的 ，都有 满足方程 ，这时 的取值 范围为_____________ 10．如图，在平面直角坐标系 中，一单位圆的圆心的初始位置在 ，此时圆上一点 的 位 置 在 ， 圆 在 轴 上 沿 正 向 滚 动 ． 当 圆 滚 动 到 圆 心 位 于 时 ， 的 坐 标 为 ________． 11．设实数 满足： ,则 取得最小值时， 12．已知函数 ，对函数 ，定义 关于 的“对称函数”为 函数 ， 满足：对任意 ，两个点 关于点 对称，若 是 关于 的“对称函数”，且 恒成立，则 实数 的取值范围是 。 二、选择题（本大题满分 20 分，每小题 5 分） 13．已知 ，则“ ”是“ 恒成立”的 （ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 [ ,2 ]x a a∈ 2[ , ]y a a∈ log log 3a ax y+ = a 3cos 5 α = − 3, 2 α π π ∈   tanα l 1 0 2 2 3 0 1 2 x y = − l { }na 3 4 2 59, 18a a a a+ = ⋅ = 1 6a a⋅ ABC∆ , ,a b c , ,A B C 33, 1, 4ABCa c S∆= = = cos B R ( )f x ( ) 11 5f = x ( ) ( ) 13f x f x + = − ( )2014f a 2arcsin2 π−+= xxy 6)1( x xa − 2x { }na n nS 1 2,a = ( )* 13 2 3 ,n na S n N+ + = ∈ 1 2S a a= + + + na + S xOy ( )0,1 P ( )0,0 x ( )2,1 OP dcba ,,, 1001 ≤≤≤≤≤ dcba d c b a + =+++ dcba ( )( )y f x x R= ∈ ( )( )y g x x I= ∈ ( )g x ( )f x ( )( )y h x x I= ∈ ( )y h x= x I∈ ( )( ) ( )( ), , ,x h x x g x ( )( ),x f x ( )h x ( ) 24g x x= − ( ) 3f x x b= + ( ) ( )h x g x> b a R∈ 2a < 2 | |x x a− + >第 2 页，共 6 页 14．函数 的图像如下图，则（ ） A、 B、 C、 D、 15．函数 则函数 是（） （A）奇函数但不是偶函数 （B）偶函数但不是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数又不是偶函数 16．设 是有理数，集合 ，在下列集合中： （1） （2） （3） （4） 与 相同的集合是（ ） （A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个 三、解答题（本大题满分 72 分） 17．（本题满分 14 分，第一小题 6 分，第二小题 8 分） 已知在正四棱锥 － 中（如图），高为 1，其体积为 4，求异面直线 与 所成 角的大小. 18．（本题满分 14 分，第一小题 6 分，第二小题 8 分） 已知函数 ． （1）若函数 的图像关于直线 对称，求 的最小值； （2）若函数 在 存在零点，求实数 的取值范围. 19．（本题满分 14 分，第一小题 6 分，第二小题 8 分） 如图，相距 200 海里的 A、B 两地分别有救援 A 船和 B 船．在接到求救信息后，A 船能立即 出发，B 船因港口原因需 2 小时后才能出发，两船的航速都是 30 海里/小时．在同时收到求救 信息后，A 船早于 B 船到达的区域称为 A 区，否则称为 B 区．若在 A 地北偏东 方向，距 A 地 海里处的 点有一艘遇险船正以 10 海里/小时的速度向正北方向漂移． ⑴求 A 区与 B 区边界线（即 A、B 两船能同时到达的点的轨迹）方 程； ⑵问：①应派哪艘船前往救援？ ②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到 小时）    ≤≤+ )20( πϕ 1a ≠ ( )g x ( )2f x + x ( )( ) ( )log 1 7a m f xx x =+ − [ ]2,6x∈ m 0 1a< < ( )f x 0 1a< < 0x > x ( ) ( )2 2 3 0g x m g x m+ + + = m { }nu 0M > *n N∈ 1 1 2 1n n n nu u u u u u M+ −− + − + + − ≤ { }nu B 1 2 − B { }na B { }2 na B 1 2 n n a a aA n + + +=  { }nA B 4 3 ( )2,1− 3 2 ± 1 15 3 2 ( )2 sin 2,1 cos 2− − 102>b a 413 1 2 =⋅⋅a ' 32=a 62=∴ AC ' ( ) 761 22 ==+=∴ PA '第 4 页，共 6 页 ∥ ，故 是直线 与 所成角或其补角----------------1 -------------------3 所以，异面直线 与 所成角的大小是 ---------------------2 18． 【答案】 ，------------------------3 又因为函数 的图像关于直线 对称， 所以 ，即 ， --------------2 又因为 ，所以 的最小值为 ．----------------------------1 （2）设 满足 ------1 ， ---------------3 故 ． ---------------------------------------2 19． 【答案】：⑴设点 为边界线上的点，由题意知 ，即 ， 即动点 到两定点 、 的距离之差为常数，∴点 的轨迹是双曲线中的一支。 由 得 ， --------------------4 ∴方程为 （ ） ----------------------------------2 ⑵① 点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，∴ ， ， ，∴点 在 A 区，又遇险船向正北方向漂移，，即遇险船始终在 A 区内，∴应派 A 船前往救援 ----------------------2 ②设经 小时后，A 救援船在点 处与遇险船相遇。 在 中， ， ∴ 整理得 ，-----------------------------------------3 解得 或 （舍）---------------------2 ∴A 救援船需 小时后才能与遇险船相遇．--------------------------1 20． 【答案】（1）转化为求函数 在 上的值域， 该函数在 上递增、在 上递减， -------------------------------2 所以 的最小值 5，最大值 9，即 的取值范围为 -------------------2 （2） 的定义域为 ，---------------1 定义域关于原点对称，又 ， ，所以函数 为奇 函数。--------------------------------------------------2 2( ) [2sin( ) sin ]cos 3sin3f x x x x x π= + + − ( 0)x a a= > 0 0 0 2 1( ) 2 0 ( ) sin(2 )3 mf x m f x x π− = ⇒ = = + 0 0 5 7[0, ], 212 3 3 6x x π π π π∈ ≤ + ≤ 0 1 sin(2 ) 12 3x π∴− ≤ + ≤ ( , 2] [1, )m∈ −∞ − ∪ +∞ CD AB PAD∠ PA CD ' 7 21 3272 7127 2cos 222 = ⋅⋅ −+=⋅ −+=∠∴ ABPA PBABPAPAB ' PA CD 21arccos 7 ' xxxx 22 sin3cos3cossin2 −+= xx 2cos32sin += )32sin(2 π+= x ' )(xfy = Zkka ∈+=+ ,232 πππ Zkka ∈+= ,122 ππ ' 0>a a 1 2 π ' 0 5[0, ]12x π∈ ' ' ' P 230 30 PA PB= + 60PA PB− = P A B P 2 200,2 60c a= = 30a = 2 2 2100 30 9100b = − = ' 2 2 1900 9100 x y− = 0x > ' M (50,150)M A ( 100,0)A − B (100,0)B 150 2 212.1MA = ≈ 2 250 150 158.1MB = + ≈ 212.1 158.1 54 60MA MB− =≈ − = < M ' t N AMN∆ 150 2AM = 10 , 30 , 135MN t AN t AMN= = ∠ = ° 2 2 2(30 ) (10 ) (150 2) 2 10 150 2 cos135t t t= + − ⋅ ⋅ ° 24 15 225 0t t− − = ' 15 15 17 9.6068t += ≈ 15 15 17 8t −= ' 9.6 ' ' ' ' '第 5 页，共 6 页 下面讨论在 上函数的增减性. 任 取 、 ， 设 ， 令 ， 则 ， ， 所 以 因为 ， ， ，所以 . 又当 时， 是减函数，所以 .由定义知在 上函数是减 函数.----------------------- ----------------------2 又因为函数 是奇函数，所以在 上函数也是减函数. ------------1 （3） 的反函数是 ------------2 在 上递减， 又 ，所以 ---------------------2 令 ，如图 2： 则方程 的解应满足： 或 或 （舍），所以 ------2 21． 【答案】（1）由已知的等比数列通项公式为 -----------------------1 则 ------------------1 -----------------------1 所以，该数列是 -数列。---------------------------------------------1 （2） ① --------------------------------------------2 ----------------------------------------------1 又 可得 所以， 也是 -数列；-------------------------------------------4 ②因为 ， k aaaA k k +++= 21 ' ' ( )2f x + ( ) 3 1 1 x x ag x a −= − ' ( ) 3 1 20 1, 31 1 x x x aa g x a a −< < ∴ = = − +− − ( )0,+∞ 0x > ( ) ( )1,g x ∈ − +∞ ' ( ) ( )| | 0g x t t= ≥ 2 2 3 0t mt m+ + + = 1 20 1t t< < ≤ 1 2 0 0 1 t t =  < ∴ ≤ 3 2m = − 3 4,2 3m  ∈ − −   ' 11 2 n na − = −   ' 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1( ) ( ) ( ) ( 1) ( )2 2 2 2 2 2 n n n n n na a − − − + − = − − − = − ⋅ − − = ⋅ ' ∴ 1 2 0 1 1 2 1 3 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 3 1 ( ) 32 2 2 2 2 n n n n n n na a a a a a − − + −    − + − + + − = + + + = −