2020-2021 学年河南省高三（上）10 月质检数学试卷（理科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5 分）设命题 p：∀x＜﹣1，x2+ ＞0，则￢p 为（ ）
A．∃x0＜﹣1，x02+ ≤0 B．∃x0≥﹣1，x02+ ≤0
C．∀x＜﹣1，x2+ ≤0 D．∀x≥﹣1，x2+ ≤0
2．（5 分）已知集合 M＝{x|lnx＜0}，N＝{x|x≤ }，则 M∩N＝（ ）
A．∅ B．{x|x≤ } C．{x|x＜1} D．{x|0＜x≤ }
3．（5 分）函数 f（x）＝xlnx﹣x3 的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为 α，则 tanα＝
（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
4．（5 分）中央电视台综合频道每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治评论性较强的一个节
目，坚持用“事实说话”，深受广大人民群众的喜爱，其播出时间是晚上看电视节目人数最
多的“黄金时间”，即晚上 7 点半到 8 点之间的一个时刻开始播出，这一时刻也是时针与分
针重合的时刻，高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是（ ）
A．7 点 36 分 B．7 点 38 分 C．7 点 39 分 D．7 点 40 分
5．（5 分）若 a＝ ，b＝ ，c＝ ，则下列结论正确的是（ ）
A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
6．（5 分）函数 f（x）＝ 的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．
D．
7．（5 分）企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的
过程中污染物含量 P（单位：mg/L）与时间 t（单位：h）间的关系为 P＝P0e﹣kt（其中 P0，k
是正的常数）．如果在前 10h 消除了 20%的污染物，则 20h 后废气中污染物的含量是未处理
前的（ ）
A．40% B．50% C．64% D．81%
8 ．（ 5 分 ） 在 边 长 为 2 的 正 方 形 ABCD 中 ， E 为 CD 的 中 点 ， AE 交 BD 于 F ． 若
，则 x+y＝（ ）
A．1 B． C．﹣ D．﹣
9．（5 分）若 a（sinx+cosx）≤2+sinxcosx 对任意 x∈（0， ）恒成立，则 a 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
10．（5 分）若 p：a＜b；q：3a﹣3b＜5﹣a﹣5﹣b，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（5 分）已知函数 f（x）＝ sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ），当 f（x1）f（x2）＝3 时，
|x1﹣x2|min＝π，f（0）＝ ，则下列结论正确的是（ ）A．函数 f（x）的最小正周期为 2π
B．函数 f（x）的图象的一个对称中心为（ ，0）
C．函数 f（x）的图象的一条对称轴方程为 x＝
D．函数 f（x）的图象可以由函数 y＝ cosωx 的图象向右平移 个单位长度得到
12．（5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）在区间[6，8]上为减函数，且满足 f（x+4）＝f
（x），f（6）＝1，f（8）＝0．若函数 y＝f（x）+ ﹣k 有两个零点，则实数 k 的取
值范围是（ ）
A．[0，1） B．[0，2） C．[0，3） D．[0，4）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．（5 分）设平面向量 ＝（2，﹣1）， ＝（x，4），若 ⊥ ，则 x 的值为 ．
14．（5 分）若 3a＝ ＝2，则 ＝ ．
15．（5 分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生
产中得到应用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画 1 描绘了筒车的工作原理．假定
在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图 2，将筒车抽象为一
个几何图形（圆），筒车的半径为 4m，筒车转轮的中心 O 到水面的距离为 2m，筒车每分钟
沿逆时针方向转动 4 圈．规定：盛水筒 M 对应的点 P 从水中浮现（即 P0 时的位置）时开始
计算时间，且以水轮的圆心 O 为坐标原点，过点 O 的水平直线为 x 轴建立平面直角坐标系
xOy．设盛水筒 M 从点 P0 运动到点 P 时所经过的时间为 t（单位：s），且此时点 P 距离水面
的高度为 h（单位：m），则 h 与 t 的函数关系式为 ，点 P 第一次到达最高点需要的
时间为 s．
16．（5 分）已知函数 f（x）＝（x2﹣4x）sin（x﹣2）+ax（a∈R）在区间[2﹣π，2+π]上的最
大值与最小值的和为 8，则 a＝ ．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）已知向量 ＝（2sinx，﹣sin2x）， ＝（﹣2 sinx，2），函数 f（x）＝ +2
+1．
（1）求函数 f（x）的最小正周期；
（2）求函数 f（x）的单调递减区间．
18．（12 分）已知函数 f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）．
（1）若函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，求 k 的值；
（2）当﹣1≤x≤1 时，f（x）≥4，求实数 k 的取值范围．
19．（12 分）将一块圆心角为 120°，半径为 20cm 的扇形铁片裁成一块矩形，如图有两种
裁法：让矩形一边在扇形的一条半径 OA 上（图 1），或让矩形一边与弦 AB 平行（图 2）．对
于图 1 和图 2 均记∠MOA＝θ，问哪种裁法得到的矩形的面积最大？
20．（12 分）已知 f（x）＝2x3﹣mx2﹣12x+6 的一个极值点为 2．
（1）求函数 f（x）的单调区间；
（2）求函数 f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．
21 ．（ 12 分 ） 在 △ ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 满 足
．
（1）求 B；
（2）若 ，AD 为 BC 边上的中线，当△ABC 的面积取得最大值时，求 AD 的长．
22．（12 分）已知函数 f（x）＝（x2﹣2x+a）ex．
（1）讨论函数 f（x）的单调性；
（2）当 a＝1 时，判断函数 g（x）＝f（x）﹣ x2+lnx 零点的个数，并说明理由．2020-2021 学年河南省高三（上）10 月质检数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：全称命题的否定为特称命题，所以原命题的否定为“￢p”：“∃x0＜﹣1，x02+
≤0”，
故选：A．
2．【分析】求出集合 M，N，由此能求出 M∩N．
【解答】解：∵集合 M＝{x|lnx＜0}＝{x|0＜x＜1}，
N＝{x|x≤ }，
∴M∩N＝{x|0＜x≤ }．
故选：D．
3．【分析】求出原函数的导函数，可得 f′（1），再由斜率等于倾斜角的正切值得答案．
【解答】解：由题意，f′（x）＝lnx+1﹣3x2，
∴函数 f（x）＝xlnx﹣x3 的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率 k＝f′（1）＝﹣2，
又切线的倾斜角为 α，∴tanα＝﹣2．
故选：B．
4．【分析】直接利用时针和分针的关系式的应用建立等量关系，进一步求出结果．
【解答】解：设 7 点 t 分（30＜t＜60）时，时针 OA 和分针 OB 重合，在 7 点时，时针 OC
与分针 OD 所夹的角为 210°，时针每分钟转 0.5°，分针每分钟转 6°，则分针从 OD 到达
OB 需旋转 6°t，时针从 OC 到达 OA 需旋转 0.5°t，
于是 6°t＝0.5°t+210°，解得 t＝38 ≈38 分，
故选：B．
5．【分析】利用指数函数、幂函数、对数函数的性质求解．
【解答】解：由指数函数y＝ 的单调性可知： ，即 ，由幂函数 y＝ 的单调性可知： ，即 ，
由对数函数 y＝ 的单调性可知： ，即 c＞1，
所以 c＞b＞a，
故选：D．
6．【分析】根据函数奇偶性的概念可判断函数 f（x）为奇函数，排除选项 C 和 D，再对比
选项 A 和 B，只需考虑 x∈（0， ）时，f（x）与 0 的大小关系即可作出选择．
【解答】解：∵f（﹣x）＝ ＝ ＝﹣ ＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，排除选项 C 和 D；
当 x∈（0， ）时，cosx＞0，sinx＞0，∴f（x）＞0，排除选项 B．
故选：A．
7．【分析】当 t＝10 时，有（1﹣20%）P0＝P0e﹣10k，利用对数的运算法则，解得 k 的值，
再把 k 的值和 t＝20 代入 P＝P0e﹣kt，化简计算即可．
【解答】解：当 t＝0 时，P＝P0；
当 t＝10 时，（1﹣20%）P0＝P0e﹣10k，即 e﹣10k＝0.8，
两边取对数，得﹣10k＝ln0.8，即 k＝ ln0.8，
当 t＝20 时，P＝P0e﹣20k＝P0e2ln0.8＝P0•0.82＝0.64P0，
∴20h 后废气中污染物的含量是未处理前的 64%．
故选：C．
8．【分析】解法一，建立适当的平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据平面向量的坐标
表示与线性运算，列方程求出 x、y 的值，再求和．
解法二：根据平面向量的线性表示与运算，利用平面向量的基本定理列出方程求得 x、y 的
值，再求和．
【 解 答 】 解 ： 解 法 一 ， 以 A 为 原 点 ， AB 为 x 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ，则 ＝（2，0）， ＝（0，2），
所以 x +3y ＝（2x，6y）；
根据题意知， ＝ ＝ ，
所以 ＝（1，2）， ＝ ＝（ ， ），
所以 2x＝ ，6y＝ ，
解得 x＝ ，y＝ ，
所以 x+y＝ + ＝ ．
解法二：根据题意知， ＝ ＝ ，
所以 DF＝ FB，DF＝ DB，
所以 ＝ + ＝ + ＝ + （ ﹣ ）＝ + ，
所以 ＝x +3y ，
即 ，
解得 ，
所以 x+y＝ + ＝ ．
故选：B．
9．【分析】根据题意问题转化为得 a≤ ，令 y＝ ，则只需 a≤ymin即可．利用单调性分析 ymin 即可．
【解答】解：由题意，得 a≤ ，
令 y＝ ，则只需 a≤ymin 即可，
令 sinx+cosx＝t，则 sinxcosx＝ ，且 t∈（1， ]，
于是 y＝f（t）＝ ＝ （t+ ），
且 f（t）在（1， ]上为减函数，
所以 f（t）min＝f（ ）＝ ，
所以 a≤ ，
故选：D．
10．【分析】令 f（x）＝3x﹣5﹣x，根据 f（x）的单调性，结合充分必要条件的定义即可判
断．
【解答】解：令 f（x）＝3x﹣5﹣x，则 f（x）为 R 上的单调递增函数，若 3a﹣3b＜5﹣a﹣5﹣
b，则 3a﹣5﹣a＜3b﹣5﹣b．即 f（a）＜f（b），所以 a＜b．所以 p 是 q 的必要条件；
反之，若 f（a）＜f（b），所以则 3a﹣5﹣a＜3b﹣5﹣b，即 3a﹣3b＜5﹣a﹣5﹣b，所以 p 是 q 的
充分条件；
所以 p 是 q 的充要条件．
故选：C．
11．【分析】结合函数 f（x）的最大值和|x1﹣x2|min＝π，可推出 f（x）的最小正周期，再由 T
＝ 可求得 ω；由 f（0）＝ 和|φ|＜ ，可求得 φ，从而得 f（x）的解析式，再结合
正弦函数的中心对称和轴对称可分别判断选项 B 和 C；根据诱导公式和图象的平移变换法则
可判断选项 D．
【解答】解：∵f（x）＝ sin（ωx+φ），∴f（x）max＝ ，
∵f（x1）f（x2）＝3，∴f（x1）＝f（x2）＝ 或 f（x1）＝f（x2）＝ ，
又|x1﹣x2|min＝π，
∴f（x）的最小正周期为 π，∴ω＝ ＝2，即选项 A 错误；
∵f（0）＝ ，∴sinφ＝ ，
又|φ|＜ ，∴φ＝ ，
∴f（x）＝ sin（2x+ ），
令 2x+ ＝kπ，k∈Z，解得 x＝ ，k∈Z，
∴函数 f（x）图象的对称中心为（ ，0），k∈Z，即选项 B 错误；
令 2x+ ＝ +kπ，k∈Z，解得 x＝ ，k∈Z，
∴函数 f（x）图象的对称轴方程为 x＝ ，k∈Z，即选项 C 错误；
y＝ cosωx＝ sin（2x+ ），向右平移 个单位得到 y＝ sin[2（x﹣ ）+ ]＝
sin（2x+ ）＝f（x），即选项 D 正确．
故选：D．
12．【分析】求出函数 y＝f（x）+ ﹣k 的定义域为[0，4]，利用已知条件可函数 f
（x）关于 x＝2 对称，作出函数 f（x）的大致图象，将函数 y＝﹣ +k 化为（x﹣2）
2+（y﹣k）2＝4（y≤k），根据图象可得结论．
【解答】解：函数 y＝f（x）+ ﹣k 的定义域为[0，4]，
由 f（x）是偶函数，f（x+4）＝f（x），得 f（4﹣x）＝f（﹣x）＝f（x），
所以函数 f（x）关于 x＝2 对称，f（0）＝f（4）＝f（8）＝0，f（2）＝f（6）＝1，
根据曲线 y＝f（x）关于直线 x＝0 对称和 x＝2 对称以及函数 f（x）在区间[6，8]上为减函数，
可画出 f（x）图象的示意图，如图所示：
考查函数 y＝﹣ +k，可化为（x﹣2）2+（y﹣k）2＝4（y≤k），
如图所示，当 k＞3 时，曲线 y＝﹣ +k，与 y＝f（x）（0≤x≤4）无公共点；
当 k＝3 时，曲线 y＝﹣ +k，与 y＝f（x）（0≤x≤4）只有一个交点；
当 0≤k＜3 时，曲线 y＝﹣ +k，与 y＝f（x）（0≤x≤4）有两个交点；
当 k＜0 时，曲线 y＝﹣ +k，与 y＝f（x）（0≤x≤4）无公共点．综上，当 0≤k＜3 时，曲线 y＝﹣ +k，与 y＝f（x）（0≤x≤4）有两个交点，
即函数函数 y＝f（x）+ ﹣k 有两个零点．
故实数 k 的取值范围是[0，3）．
故选：C．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出 x 的值．
【解答】解：∵平面向量 ＝（2，﹣1）， ＝（x，4），若 ⊥ ，
则 • ＝2x﹣4＝0，求得 x＝2，
故答案为：2．
14．【分析】先根据指数式与对数式的互化求得 a 与 b，再根据对数的运算法则计算出结
果．
【解答】解：∵3a＝ ＝2，∴a＝log32，b＝log 2，
∴ ＝log23+log2 ＝log22＝1．
故答案为：1．
15．【分析】根据题意可得以 OP 为终边的角为 ，得出 P 的纵坐标为 ，继而可得出 ，令 h＝6，即可求出时间 t．
【解答】解：因为 ，所以 是以 Ox 为始边，OP0 为终边的角．
由 OP 在 t（s） 内转过的角为 ，
可知以 Ox 为始边，以 OP 为终边的角为 ，
则点 P 的纵坐标为 ，
所以点 P 距水面的高度 h（m） 表 示为时间 t（s） 的函数是 ，
令 ，得 ，取 ．
故经过 5s 后点 P 第一次到达最高点．
故答案为： ； 5．
16．【分析】用换元法令 t＝x﹣2，且 t∈[﹣π，π]，故原函数变为 y＝（t2﹣4）sint+at+2a
（t∈[﹣π，π]），令 g（t）＝（t 2﹣4）sint+at，推出 g（t） max+g（t） min＝0，f（x） max+f
（x）min＝4a＝8，进而解出 a 的值．
【解答】解：令 x﹣2＝t，则 x＝t+2 且 t∈[﹣π，π]，
故原函数变为 y＝（t2﹣4）sint+at+2a（t∈[﹣π，π]），
设 g（t）＝（t2﹣4）sint+at，则 f（x）＝g（t）+2a，
故 f（x）max＝g（t）max+2a，f（x）min＝g（t）min+2a，
∴f（x）max+f（x）min＝g（t）max+g（t）min+4a，
∵g（t）是[﹣π，π]上的奇函数，故 g（t）max+g（t）min＝0，
∴f（x）max+f（x）min＝4a＝8，解得：a＝2，
故答案为：2．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【分析】结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数 f（x）化简
为 f（x）＝4cos（2x+ ）+1．
（1）由 T＝ 求得最小正周期；
（2）利用余弦函数的单调性，令 2kπ≤2x+ ≤2kπ+π，k∈Z，解出 x 的范围即可．
【解答】解：∵ ＝（2sinx，﹣sin2x）， ＝（﹣2 sinx，2），∴f（x）＝ +2 +1
＝﹣ sin2x﹣2sin2x+2 +1
＝﹣ × ﹣2sin2x+2 +1
＝ cos2x﹣2sin2x+1
＝4cos（2x+ ）+1．
（1）最小正周期 T＝ ＝π．
（2）令 2kπ≤2x+ ≤2kπ+π，k∈Z，解得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
∴函数 f（x）的单调递减区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z．
18．【分析】（1）解法一、利用奇函数的定义 f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出 k 的值；
解法二、由 f（0）＝0 求得 k 的值，再根据奇函数的定义验证即可；
（2）不等式化为 k﹣1≥ ﹣ 对任意的 x∈[﹣1，1]恒成立；
利用换元法求出右边函数的最大值，即可求得实数 k 的取值范围．
【解答】解：（1）解法一、函数 f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）是定义在 R 上的奇函数，
则 f（﹣x）＝﹣f（x）对任意的 x∈R 恒成立，
即（k﹣1）2﹣x+2x＝﹣（k﹣1）2x﹣2﹣x 对任意的 x∈R 恒成立；
整理得 k（22x+1）＝0 对任意的 x∈R 恒成立，
所以 k＝0．
解法二、由奇函数的定义知，f（0）＝0，
即（k﹣1）20+20＝0，解得 k＝0，
此时 f（x）＝2﹣x﹣2x，x∈R；
因为 f（﹣x）＝2x﹣2﹣x＝﹣（2﹣x﹣2x）＝﹣f（x），
所以 f（x）是定义域 R 上的奇函数；
综上知，k＝0．
（2）当﹣1≤x≤1 时，f（x）≥4，
即不等式（k﹣1）•2x+2﹣x≥4 对任意的 x∈[﹣1，1]恒成立；
也即不等式 k﹣1≥ ﹣ 对任意的 x∈[﹣1，1]恒成立；设 ＝t，则 t∈[ ，2]，
得函数 g（t）＝﹣t2+4t，t∈[ ，2]；
所以 k﹣1≥g（t）max；
由函数 g（t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4 在 t∈[ ，2]上单调递增，
所以 g（t）max＝g（2）＝4，
即 k﹣1≥4，
解得 k≥5；
所以实数 k 的取值范围是[5，+∞）．
19．【分析】对甲种裁法分析，则矩形的一边为 20sinθ，一边为 20cosθ，则得出面积，利用
正弦函数取最值的方法求出最大面积；对乙种裁法分析，利用三角函数表示出 MN＝2OMsin
（60°﹣θ），再，进而表示出面积，利用正弦函数取最大值的方法求出最大面积．比较看哪
个面积大即可．
【解答】解：对图 1，∠MOA＝θ，则 S1＝200sin2θ，（0°＜θ＜90°），
∴当 θ＝45°时，（S1）max＝200cm2．
对图 2，在△OMQ 中，由正弦定理可得 QM＝ ，
由对称性可得，∠AOB 的平分线 OC 为对称轴，则 MN＝2OMsin（60°﹣θ），
∴矩形 PQMN 的面积为 S2＝QM×MN＝ ×2sinθsin（60°﹣θ）＝ [sin（2θ+30°）
﹣ ]，（0°＜θ＜60°），
当 θ＝30°时，（S2）max＝ cm2．
综上，S2＞S1，
∴选择（2）裁法得到的矩形的面积最大．
20．【分析】（1）先对函数求导，由函数 f（x）的一个极值点为 2 可求得 m 的值，再利用导
数与单调性的关系即可求得单调区间；
（2）由（1）知函数 f（x）在区间[﹣2，2]上的单调性，可得 x＝﹣1 是函数 f（x）的极大
值点，并计算 f（﹣2），f（﹣1）和 f（2）的值，取最大者为最大值，最小者为最小值．
【解答】解：（1）因为 f（x）＝2x3﹣mx2﹣12x+6，所以 f′（x）＝6x2﹣2mx﹣12，
因为 f（x）＝2x3﹣mx2﹣12x+6 的一个极值点为 2，所以 f′（2）＝6×22﹣2m×2﹣12＝0，解得 m＝3，
此时 f（x）＝2x3﹣3x2﹣12x+6，f′（x）＝6x2﹣6x﹣12＝6（x+1）（x﹣2），
令 f′（x）＝0，得 x＝﹣1 或 x＝2，
令 f′（x）＜0，得﹣1＜x＜2；令 f′（x）＞0，得 x＜﹣1 或 x＞2，
故函数 f（x）在区间（﹣1.2）上单调递减，在区间（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递
增．
（2）由（1）知，f（x）在[﹣2，﹣1]上为增函数，在（﹣1，2]上为减函数，
所以 x＝﹣1 是函数 f（x）的极大值点，
又 f（﹣2）＝2，f（﹣1）＝13，f（2）＝﹣14，
所以函数 f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣14，最大值为 13．
21．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和特殊角的三角函数值的应用求出结果．
（2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用和不等式的应用求出结果．
【解答】解：（1）由正弦定理及已知得 ，
结合 sinA＝sin（B+C），得 ，
因为 sinC≠0，所以 ，
由 B∈（0，π），得 ．
（2）在△ABC 中，由余弦定理得 12＝a2+c2+ac，
因为 a2+c2+ac≥3ac，所以 ac≤4，
当且仅当 a＝c＝2 时，△ABC 的面积取得最大值，此时 ．
在 △ ACD 中 ， 由 余 弦 定 理 得
，
即 ．
22．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可；
（2）代入 a 的值，求出函数的导数，结合函数的单调性确定函数的零点即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域是 R，f′（x）＝（x2+a﹣2）ex，
当 a≥2 时，f′（x）≥0，则 f（x）在 R 递增，
当 a＜2 时，f′（x）＝（x+ ）（x﹣ ）ex，
故 f′（x）＝0⇔x＝± ，f′（x）＞0⇔x＜﹣ 或 x＞ ，
f′（x）＜0⇔﹣ ＜x＜ ，故 f（x）在（﹣ ， ）递减，在（﹣∞，﹣ ）和（ ，+∞）递增；
（2）当 a＝1 时，g（x）＝（x﹣1）2ex﹣ x2+lnx，其定义域是（0，+∞），
则 g′（x）＝（x+1）（x﹣1）（ex﹣ ），
设 h（x）＝ex﹣ （x＞0），则 h′（x）＝ex+ ＞0，从而 h（x）在（0，+∞）递增，
又 h（ ）＝ ﹣2＜0，h（1）＝e﹣1＞0，
故存在 x0∈（ ，1），使得 h（x0）＝ ﹣ ＝0，即 ＝ ，x0＝﹣lnx0，
列表如下：
x （0，x0） x0 （x0，1） 1 （1，+∞）
g′（x） + 0 ﹣ 0 +
g（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增
由表格知 g（x）的极小值是 g（1）＝﹣ ，
g（x）的极大值是 g（x0）＝ ﹣ +lnx0＝ ﹣ ﹣x0＝﹣
+ ﹣2，
∵g（x0）是关于 x0 的减函数且 x0∈（ ，1），
故﹣ ＜g（x0）＜﹣ ，故 g（x）在（0，1]内没有零点，
又 g（1）＝﹣ ＜0，g（2）＝e2﹣2+ln2＞0，
故 g（x）在（1，+∞）内有 1 个零点，
综上，g（x）只有 1 个零点
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