2021高考数学 优拔尖必刷压轴题 利用拆凑法求多元不等式的最值（选择题、填空题）（含答案）

专题 20 利用拆凑法求多元不等式的最值 【方法点拨】 1. 已知的一边是二次齐次可分解，另一边是常数，可考虑换元法； 2. 例 2、例 3 中使用了拆凑用以“凑形”，其目的在于一次使用基本不等式，能实现约分或 倍数关系. 【典型题示例】 例 1 （2021·九月测 ·16 ） 若 实 数 ， 满 足 ， 则 的最大值为______． 【答案】 【解析】因为 ， ， ，设 ， ， 故原问题可转化为“已知 ，求 的最大值”． 又因为 ， 所以 的最大值为 ，当且仅当 时取等号． 故答案为： ． 例 2 已知 ，则 的最大值是________ 【答案】 【分析】本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要 分子与分母能够将变量消掉，观察分子为 均含 ，故考虑将分母中的 拆分与 x y 2 22 1x xy y+ − = 2 2 2 5 2 2 x y x xy y − − + 2 4 ( )( )2 22 2x xy y x y x y+ − = − + ( ) ( )2 2x y x y x y− = − − + ( ) ( )2 22 25 2 2 2x xy y x y x y− + = − + + 2x y u− = x y v+ = 1u v⋅ = 2 2 u v u v − + ( ) ( ) ( )22 2 1 1 2 2 422 2 u v u v u v u v uv u v u vu v u v − −= = ≤ =+ − + − + − ⋅− − 2 2 2 5 2 2 x y x xy y − − + 2 4 2u v− = 2 4 , ,x y z R+∈ 2 2 2 xy yz x y z µ += + + 2 2 ,xy yz y 2y 2 2,x z搭配，即 ，而 ，所以 . 点评： 本题在拆分 时还有一个细节，因为分子 的系数相同，所以要想分子分母消去 变量，则分母中 也要相同，从而在拆分 的时候要平均地进行拆分（因为 系 数也相同）．所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的． 例 3 若实数 x，y 满足 x2＋2xy－1＝0，则 x2＋y2 的最小值是________． 【分析】 思路 1：注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量， 转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．本题中可直接由已知解得 y，代人所求 消去 y；也可将直接使用“1”的代换，将所求转化为关于 x，y 的二次齐次分式. 思路 2：由所求的结论为 x2＋y2，想到将条件应用基本不等式构造出 x2＋y2，然后将 x2＋ y2 求解出来即可． 【解析一】从结论出发，注意到已知中不含“y2”项，故拆“x2”项的系数 设 x2＋y2=tx2－tx2＋y2=tx2－tx2＋y2]≥tx2 1 ― 푡 xy(00，所以 x－y >0 ， x+2y>0 设 5x－2y=a( x－y)+b ( x+2y)，则 a=4，b =1，所以 5x－2y=4( x－y)+ ( x+2y) 由基本不等式得 . 3.【答案】 【解析一】 . 【解析二】 ，设 ， . 则满足等式 的 x,y 存在，去分母后配方得： ， 故 ，解得 . 4.【答案】 【解法一】 4( ) ( 2 ) 2 4( )( 2 ) 4x y x y x y x y− + + ≥ − + = 2 5 5 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 1 41 4 2 2+ 2 55 55 5= =2 2 2 5 a b b ca b b ca b c ab bc ab bc ab bc ⋅ + ⋅+ ++ + ≥+ + + （ ）（ ） 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) =2 2 a c a b c b b a cab bc b b + ++ + + + = , =a cx yb b 2 2 2 = ( >0)2 a b c t tab bc + + + 2 21 =2 x y tx y + + + 2 2 25( ) ( ) = 12 4 tx y t t− + − − 25 1 04 t − ≥ 2 5 5t ≥ 17 2 2 2 2 2 4 + 4 + 4 + 17 16 11 216 12 217 17 17 17 = ≤ =+ + + + + + m n m n m n m n m n m n【解法二】设 所以 ,即 故 ,解之得 . 【解法三】令 , . 2 2 4 + 1( 0)1 = >+ + m n tm n t 2 2 1 (4 + )+ + =m n t m n 2 2 217( 2 ) ( ) 12 4 − + − = −tm t n t 217 1 04 − ≥t 1 17 2 ≥ t 2 2 2+ =m n r cos , sin= =m r n rθ θ 2 2 2 2 2 4 + 4 cos + sin 17 sin( ) 17 17 17 11 1 1 1 2 += = ≤ = ≤+ + + + + + m n r r r r m n r r r r r θ θ θ α