2021高考数学 优拔尖必刷压轴题 一类过定点问题的不等式恒成立（选择题、填空题）（含答案）

专题 22 一类过定点问题的不等式恒成立 【方法点拨】 将恒成立问题转化为两函数的位置关系问题，难点在于发现两函数过定点. 【典型题示例】 例 1 设 a R，若 x＞0 时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则 a＝______________． 【答案】 【分析】本题解法较多，按照一般思路，则可分为以下两种情况： (A) ， 无解； (B) ， 无解． 因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在 x＞0 的整个区间 上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下图) 我们知道：函数 y1＝(a－1)x－1，y2＝x 2－ax－1 都过定点 P(0，1)． 考查函数 y1＝(a－1)x－1：令 y＝0，得 M( ，0)，还可分析得：a＞1； 考查函数 y2＝x 2－ax－1：显然过点 M( ，0)，代入得： ，解之 得： ，或者 ，舍去 ，得答案： ． 点评： 本题的关键在于，一是将恒成立问题转化为利用“形”进一步转化为两函数的位置关系问 题，二是发现两函数在 x 轴的右侧过定点. 【巩固训练】 ∈ 2 3=a 2 ( 1) 1 0 1 0 a x x ax ≤  ≤ － － － － 2 ( 1) 1 0 1 0 a x x ax ≥  ≥ － － － － 1 1a − 1 1a − 21 1 01 1 a a a   − − = − −  2 3a0 == 或者a 2 3=a 0=a 2 3=a1. 对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值的集合 是 ． 2.对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值 范围是 ． 3.已知不等式 对于任意的 恒成立，其中 是整数，则 的取值集合为__________. (0, )x∈ +∞ 2 2( 2)ln 0ax a x x+ − ≥ a (0, )x∈ +∞ 2( ln )( 2 10) 0xx a x axa − + − + + ≤ a 2( 3)( ) 0ax x b+ − ≤ (0, )x∈ +∞ ,a b a b+【答案或提示】 1.【答案】 【解析】设 ， 因为 恒过点（1,0），所以必有 ，解之得 . 2.【答案】 【分析】考虑从“形”出发. 设 ， 易知 ，且函数 横过点 又 ，故 在 上增 必有 过 所以 ，解之得 又 ，所以 ． 3.【答案】 【解析】构造“形”易得 ，即 ∵ 是整数 ∴ ，或 解之得： ，或 所以 ，故 的取值集合为 . { }1 2 2( ) 2f x ax a x= + − ( ) lng x x= ( ) lng x x= 2(1) 2 0 0 f a a a  = + − =  > 1a = { }10 ( ) ln xf x x a a = − + 2( ) 2 10g x x ax= − + + 0a > ( )f x ( ,0)a 1( ) 1 0f x x ′ = + > ( )f x (0, )x∈ +∞ 2( ) 2 10g x x ax= − + + ( ,0)a 2 22 10 0a a− + + = 10a = ± 0a > 10a = }8,2{− 3b a = − 3a b = − ,a b 3 1 a b = − = 1 3 a b = − = 3 1 a b = −  = 1 9 a b = −  = 2 8a b+ = − 或 a b+ }8,2{−