2021高考数学 优拔尖必刷压轴题 一类貌似神离的不等式求最值（选择题、填空题）（含答案）

专题 21 一类貌似神离的不等式求最值 【方法点拨】 1.已知 ，求 的最值型（其中 、 、 、 均为正数）. 此类问题应归结为“知和求和”型，解决的策略是利用常数代换，即将“1”将已知与所求 进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解；也可用“权方和 不等式”求解. 2.已知 ，求 的最值型. 此 类 问 题 应 采 取 “ 强 分 ” 的 方 法 ， 即 将 分 解 为 ，然后直接使用基本不等式求解为最简单途径. 【典型题示例】 例 1 已知 ，求 的最小值. 【答案】 【解析一】对 两边同时除以 得 （等号成立条件略） 即 的最小值 . 【解析二】（权方和不等式）对 两边同时除以 得 所以 所以 （等号成立条件略） 即 的最小值 . 说明： 1. 已知 ，则有： （当且仅当 时，等 ax by xy+ = mx ny+ a b m n 0ax by cxy d+ + + = mx ny+ 0ax by cxy d+ + + = ( )( )ex f gy h t+ + = 0, 0,x y x y xy> > + = 2x y+ 3 2 2+ x y xy+ = xy 1 1 1x y + = ( ) 1 1 2 22 2 3 2 3 2 2 3y x y xx y x y x y x y x y  + = + + = + + ≥ ⋅ + = +   2x y+ 3 2 2+ x y xy+ = xy 1 1 1x y + = ( )2 1 21 1 2 11 2 2x y x y x y + = + = + ≥ + 2 3 2 2x y+ ≥ + 2x y+ 3 2 2+ , , ,x y a b R+∈ ( )2 a ba b x y x y + + ≥ + : :x y a b=号成立）.上式称为二元变量的权方和不等式，用于“知和求和型”求最值. 2. 此类问题还可以通过消元以达到减元的目的来求解，由 ，再代入到所求表 达式，求出最值即可，但要注意 的范围需由 缩定. 例 2 已知 ，求 的最小值. 【解析】因为 所以 所以 ， 即 . 说明： 此类问题还可以通过消元以达到减元的目的来求解，由 ， 再代入到所求表达式 ，求出最值即可，但要注意 的范围需由 缩定 . 【巩固训练】 1.已知正实数 满足 ，则 的最小值为__________ 2. 已知 ， ，则 的最小值为 . 3.如图，已知三角形 ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 2 ，若点 M 为线段 BC 的三等分点 (靠近 B 点)，则 的最小值为 　　 ． 　　 4．已知 a＞0，b＞0，且 则 的最小值是 ． 1 xy x = − x 0y > 0, 0,2 4x y x y xy> > + + = 2x y+ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2x y xy x xy y y x y y x y+ + = + + = + + = + + + − ( )( )1 2 2x y= + + − ( )( )2 4 1 2 6x y xy x y+ + = ⇒ + + = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 4 2 2 1 2 4 4 3 4x y x y x y+ = + + + − ≥ + ⋅ + − = − ( )min2 4 3 4x y+ = − 4 22 4 1 xx y xy y x −+ + = ⇒ = + 4 22 2 1 xx y x x −+ = + + x 0y > ( )0,2x ∈ ,x y 2 4xy x y+ + = x y+ 2 0a b> > 1a b+ = 1 4 2a b b +− 1x y+ = 2 2 2 1 x y x y ++ +5.已知 x＞1，y＞1，则 的最小值是 ． 6.已知 a＞0，b＞0，且 ，则 的最小值是 ． 7.已知 x＞1，y＞1，xy＝10，则 的最小值是 ． 8. 已知正数 满足 ，则 的最小值为 . 9.已知 ，则 的最小值为 . 10.已知正实数 x，y 满足 x+y＝xy，则 的最小值是　 　． 11.已知 a＞0，b＞0，且 ，则 的最小值是 ． 2 2 1 1 x y y x +− − 1a b+ = 1 2 1 a a b + + 1 4 lg lgx y + ,x y 2 2x y+ = 8x y xy + ( )0,3x∈ 2 8 1 3 2 xy x x −= +− 1 9+1 1 y x y− − 2 1 12 2a a b + =+ + a b+【答案或提示】 1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 【解析】 ， ， . 4．【答案】 【解析】, 当 ，即 时，等号成立． 5.【答案】8 【解析】令 当 ，即 ，两个等号同时成立． 6.【答案】 【解析】 2 6 3− 25 18 25 18 2 1 3 3AM AB AB= +   2 8 8 cos9 9AM α= + 2 5 4cosBC α= − 2 2 9 1 1 2 1 2 8 2 8 8 55 4cos 1 coscos cos9 9 4 AM BC α αα α + = + = +− ++ −  ( ) 2 9 1 8 2 25 5 181 cos cos4 α α  +   ≥ = + + −   1 4 ( )22 2 1 2 1 3 4 x yx y x y x y ++ ≥ =+ + + + 2 1 x y x y =+ + 2 1,3 3x y= = 2 ( 0)x y t t+ − = > ( ) ( )2 22 2 2 4 4 81 1 2 x y tx y ty x x y t t + ++ ≥ = = + + ≥− − + − 2 2 1 1 x y x y y x + − = = − − 2, 2x y= = 5 4 ( )2 11 1 1 1 1 4 12 1 2 1 2 1 2 2 2 ba b a b a b a b a b − +−+ = + = + = + −+ + + + ( )21 2 512 2 2 4a b +≥ − =+ +当 ，即 ， ． 7.【答案】：9 【解析】∵x＞1，y＞1，xy＝10， ∴ ，且 ∴ ，当且仅当 时取“＝”． 8.【答案】 【解析】 当且仅当 ，等号成立. 9.【答案】 【解析】 当且仅当 时,等号成立. 10.【答案】:15 【解析】x+y＝xy 可化为 ， . 11.【答案】 【解析】 当 ，即 ， ． 1 2 2 2 2a b = + 2 1,3 3a b= = min 1 5 2 1 4 a a b  + = +  lg lg 1x y+ = lg 0,lg 0x y> > ( )2 1 41 4 9lg lg lg lgx y x y + + ≥ =+ 1 310x = 9 ( )2 8 28 8 1 8 2 92 2 x y xy x y x y x y ++ = + = + ≥ =+ 4 1,3 3x y= = 7 2 ( ) ( ) 2 4 12 8 1 2 1 4 1 72 2 23 2 3 2 6 2 2 6 2 2 2 xy x x x x x x x x +−= + = + + = + + ≥ + =− − − − + 1x = 1 1+ 1x y = ( )2 1 91 9 9 1 9+ + 1 + 1 1 151 1 1 11 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) y x y x y x y x y x y + = − = − ≥ − =− − − − − − − + − 1 22 + ( )2 2 12 11 2 2 2 2 2a a b a b + = + ≥+ + + + 2 1 2 2a a b =+ + 12, 2a b= = ( )min 1 22a b+ = +