2021高考数学 优拔尖必刷压轴题 一元二次不等式整数解的个数（选择题、填空题）（含答案）

专题 19 一元二次不等式整数解的个数 【方法点拨】 不等式（一般是一元二次不等式）的整数解的个数问题，一般采用“分离函数”的方法 转化为两函数图象间的位置关系较简单，分离函数的的一般策略是“一动一静，一直一曲， 动直定曲”. 【典型题示例】 例 1 若关于 的不等式 的解集中整数恰有 3 个，则实数 的取值范围是 _________. 【答案】 【解析一】原不等式转化为 ， 则 ，即 而 的解为 ， 由 得： ，则 ， 解之得： . 【解析二】易知 ，则原不等式可化为 ， 令 ， 问题转化为两函数 、 图象问题，当 的图象在 的图象的下方时的横坐 标为整数点有且仅有三个，如下图 则 ， ，解之得 ax 2 2(2 1)x ax− < 25 49,9 16      2( 4) 4 1 0a x x− + − > 4 0, 16 4( 4) 0a a− < ∆ = + − > 0 4a< < 2( 4) 4 1 0a x x− + − = 1 2 1 1, 2 2 x x a a = = + − 0 4a< < 1 1 1( , )4 2x ∈ ( ]2 1 3,4 2 x a = ∈ − 25 49 9 16a< ≤ 0a > 2 1x a x− < ( ) 2 1f x x= − ( )g x a x= ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x (3) (3) (4) (4) g f g f >  ≤ 3 5 4 7 a a  > ≤ 25 49 9 16a< ≤故实数 的取值范围是 . . 【解析三】仿解法二，易知 ，则原不等式可化为 ， 令 ， ，下同解法二利用图象 则 ，即 ，解之得 故实数 的取值范围是 . 点评： 解法一是直接利用“数”解决，即将一元二次不等式解集中整数恰有 3 个问题，转化为 对应的一元二次方程的解之间恰有三个整数，先将其中一个根的范围进行缩定，然后推测其 另一个根的范围，利用之布列不等式求解.解法难度较大，不建议使用. 而解法二、三，其关键是利用“形”解决，即将一元二次不等式解集中整数恰有 3 个问题， 转化为满足不等关系的函数图象间的横坐标恰有三个整数，从两种解法可以看出，解法三更 简单，可谓实现“秒杀”，这对学生的转化能力提出更高的要求.该方法的重中之重在于“分离 函数”的能力，一般遵循“一动一静，一直一曲，动直定曲”的原则进行. a a 25 49,9 16      0a > 1 2 ax − < 1( ) 2f x x = − ( )g x a= (3) (4)f a f< ≤ 5 7 3 4a< ≤ 25 49 9 16a< ≤ 25 49,9 16      7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 8 6 4 2 2 4 6 8 10 g x( ) = a∙x f x( ) = 2∙x 1 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 6 4 2 2 4 6 8 10 12 g x( ) = a f x( ) = 1 x 2例 2 已知函数 ，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，其中 .若在区间 内存在唯一整数，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义，不难得出 是方程 的两个根，分离函数 ，问题转化为两函数 的交点横坐标间存在唯一整 数，利用“形”，易知该整数为 1，故只需 ，解之得 . 【巩固训练】 1.若关于 的不等式 的解集中至多包含 2 个整数，则实数的 取值范围 是_________. A.(－3,5)； B. (－3,2)； C. [－3,5]； D. [－2,4] . 2.（多选题）若关于 的不等式组 的整数解的集合为 ，则整 数 k 的值可以是_________. A.－3； B. 0； C. 1； D. 2 . 3.设 0＜b＜1+a,若关于 x 的不等式 ＞ 的解集中的整数恰有 3 个，则 a 的取值 范围是 . 4.已知关于 的不等式组 有唯一实数解，则实数 的取值是_________. 5. 若关于 x 的不等式 的解集中的整数恰有 2 个，则实数 a 的取值范围 是 . 6.已知集合 ， ，若 中恰有一 个整数，则 的最小值是 ▲ ． ( ) af x x x = + (1,0) ( )y f x= 1 1( , ( ))A x f x 2 2( , ( ))B x f x 1 20 x x< < 1 2( , )x x a 4 13 a− ≤ < − 1 2,x x 2 2 0x ax a+ − = 2 12 ( )2x a x= − − 2 12 ( )2y x y a x= = − −、 12 (1 ) 12 12 (2 ) 42 a a − − > − − ≤ 4 13 a− ≤ < − ax 2 ( 1) 0x a x a− + + < x 2 2 2 0 2 (2 5) 5 0 x x x k x k  − − > + + + { }2 2 3 0, 0N x x ax a= − + ≤ > M N∩ a7.设集合 ，集合 .若 中恰含有一 个整数，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． { }2A= 2 3 0x x x+ − > { }2B= 2 1 0, 0x x ax a− − ≤ > A B a 30, 4      3 4,4 3     3 ,4  +∞  ( )1,+∞【答案或提示】 1.【答案】C 2.【答案】ABC 3.【答案】1＜a＜3 4.【答案】 5.【答案】 【解析】分离变量，不等式 x2−ax+2a (3) 0f > 4 4 1 0,9 6 1 0 a a − − ≤ ∴ − − > 3 4 4 3a≤ < 1 51 2 2k k −= + =或 1 251, ,93 3    − − ∪      25 93 a< ≤ 11 3a− ≤ < − 25 93 a< ≤ 11 3a− ≤ < − 2