2021高考数学 优拔尖必刷压轴题导数中构造函数问题（选择题、填空题）（含答案）

专题 16 导数中构造函数问题 【方法点拨】 1.双主元不等式恒成立、存在性问题：变量分离，构造函数，最终将问题转化为函数 最值问题. 2.关于“ ”的齐次分式型--------换元法 减元构造：多变量不等式 ，一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量； 当都不能处理的时候，通过变形，再换元产生一个新变量，从而构造新变量的函数. 【典型题示例】 例 1 （2021·江苏高三数学开学考试·8）已知函数 ，对任意 的 ， ，且 ，不等式 恒成立，则实数 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【 解 析 】 因 为 ， 不 妨 设 ， 则 可 化 为 ，即 设 则 恒成立，即 对任意的 ， 且 时恒成立，即 对任意的 ， 且 时恒成立 所以 在 R 上单增 故 在 R 上恒成立 所以 ，故 所以实数 的取值范围是 ， 选 B． 1 2x x、 ( ) sinf x x a x= − 1x ( )2 ,x ∈ −∞ +∞ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 1 2 f x f x ax x − >− a 1 2a < 1 2a ≤ 1 2a > 1 2a ≥ 1 2x x≠ 1 2x x> ( ) ( )1 2 1 2 f x f x ax x − >− ( ) ( )1 2 1 2 )(f x f x a x x− > − ( ) ( )1 1 2 2f x ax f x ax− > − ( )( )F x f x ax= − ( ) ( )1 2 1 2 f x f x ax x − >− ( ) ( )1 1 2 2f x ax f x ax− > − 1x ( )2 ,x ∈ −∞ +∞ 1 2x x> 1 2( ) ( )F x F x> 1x ( )2 ,x ∈ −∞ +∞ 1 2x x> ( )( )F x f x ax= − ( ) ( )sin 1 cos 0F x x a x ax a x a′′ = − − = − − ≥ 1 1 cosa x ≤ + min 1 1 1 cos 2a x  ≤ = +  a 1 2a ≤点评: 从解题中不难发现，不等式 恒成立 恒成立. 例 2 (2021·江苏徐州铜山、南通如皋一抽测·22 改编)已知函数 ，对 于任意 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________. 【解析】不等式 可变形为 ， 即 当 ，且 恒成立， 所以函数 在 上单调递减. 令 则 在 上恒成立， 即 在 上恒成立. 设 ，则 . 因为当 时， ， 所以函数 在 上单调递减，所以 ， 所以 ， 即实数 的取值范围为 . 例 3 （2021·九月测 ·12 ）（多 选 题 ） 已 知 函 数 ， 若 ，则下列结论正确的是（ ）． ( ) ( )1 2 1 2 f x f x ax x − >− ( )f x a′⇔ ≥ 2( ) ln 3f x x x x= + − 1 2, [1,10]x x ∈ 1 2x x< ( )1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) m x xf x f x x x −− > m ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 2 m x xf x f x x x −− > ( ) ( )1 2 1 2 m mf x f x x x − > − ( ) ( )1 2 1 2 m mf x f xx x − > − 1 2, [1,10]x x ∈ 1 2x x< ( ) my f x x = − [1,10] 2( ) ( ) ln 3 , [1,10]m mh x f x x x x xx x = − = + − − ∈ 2 1( ) 2 3 0mh x xx x ′ = + − + ≤ [1,10]x∈ 3 22 3m x x x− + − [1,10]x∈ 3 2( ) 2 3F x x x x= − + − 2 2 1 1( ) 6 6 1 6 2 2F x x x x ′ = − + − = − − +   [1,10]x∈ ( ) 0F x′ < ( )F x [1,10] 3 2 min( ) (10) 2 10 3 10 10 1710F x F= = − × + × − = − 1710m − m ( , 1710]−∞ − ( ) lnf x x x= 1 20 x x< ( ) ( ) lnf xg x xx = = ( )0,+∞ 1 20 x x< < ( ) ( )1 2g x g x< ( ) ( )1 2 1 2 f x f x x x < ( ) ( )2 1 1 2x f x x f x< ( ) ( ) lng x f x x x x x= + = + ( ) ln 2g x x′ = + ( )2e ,x −∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )20,ex −∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )1 1x f x+ ( )2 2x f x+ ( ) ( ) lng x f x x x x x= − = − ( ) lng x x′ = ( )0,1x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0,1 ( )1,x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )1,+∞ 1 20 1x x< < < ( ) ( )1 2g x g x> ( ) ( )1 1 2 2f x x f x x− > − ( ) ( )1 2 1 2f x f x x x− > − ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x − − ln 1x > − ( )f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 12x f x x f x x f x x f x f x x f x f x⋅ + ⋅ − > − + −       ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x= − − >  1.已知函数 ，对任意的 ，且 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 2.若对 都有 ，则实数 的取值范围为___________. 3.设函数 ，若对任意 恒成立，则实数 的范围为 _______________. 4. 已 知 函 数 ， 若 对 ， 且 ， 都 有 ，则实数 的取值范围为___________. 5.若 ，且对任意的 ， ，都有 ，求 a 的取值范围． 6.已知函数 ，若 ，求证： . 7. 已 知 函 数 ， 对 任 意 的 ， ， 且 ， 证 明 ： 恒成立． 1 2, (0,1]x x∀ ∈ 1 2 1 2 1 1( ) ( ) 4f x f x x x − ≤ − a ( ) ln ,( )mf x x m Rx = + ∈ ( ) ( )0, 1f b f ab a b a −> > > ( ) ( )1 2 2 2 2 1 2 1 2 2f x f x x x x x x − >− + 1x 2 (0, )x ∈ +∞ 1 2x x> 1 2 1 2 1 2( ) ( ) x x x xh x h x − >− ( ) sinf x x a x= − ( )1 2, ,x x ∈ −∞ +∞ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 1 2 f x f x ax x − >− a 1 2a < 1 2a ≤ 1 2a > 1 2a ≥ 1 2, (0,1]x x∀ ∈ 1 2 1 2 1 1( ) ( ) 4f x f x x x − ≤ − 1|ln|)( ++= x axxf 1)()( 21 21 − a [ 3,0)− ( ) ( )1 2 1 2 f x f x ax x − >− ( ) sinf x x a x= − ( ) ( )1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 sin sin sin sin 0x a x x a x x ax a x x ax a xax x x x − − − − − − − −∴ − = >− − ( ) sing x x ax a x= − − ( ) ( )1 2 1 2 0g x g x x x − >− ( )1 2, ,x x ∈ −∞ +∞ 1 2x x≠ ( )g x R ( ) 1 cos 0g x a a x′ = − − ≥ ( )1 cos 1x a+ ≤ 1 cos 0x+ = 1 cos 0x+ > 1 1 cosa x ≤ + 1 1 1 cos 2x ≥+ 1 2a ≤ ( ) 1 0a x af x x x −′ = − = > ( )f x (0,1] 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4( )f x f x f x f xx x x x − ≤ − ⇔ − ≤ − 1 2 1 2 4 4( ) ( )f x f xx x ⇔ + ≤ + 4 4( ) ( ) 1 ln ( 0)F x f x x a x ax x = + = − − + < ( )F x (0,1] 2 4( ) 1 0aF x x x ′ = − − ≤ (0,1] 4a x x ≥ − min 4 3a x x ≥ − = −（ ）本类题目解题的切入点是抓住式子的结构特征进行变形，而关键是适时“构造函数”， 其构造的时机是“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当”. 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】 【解析】∵ ，∴ 由题意得 在区间 上是减函数． 当 ， ∴ 由 在 恒成立． 设 ， ，则 ∴ 在 上为增函数，∴ . 当 ，∴ 由 在 恒成立 设 ， 为增函数,∴ 综上：a的取值范围为 . 6.【证明】当 时，不等式 等价于 令 ，则 ，设 ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递增， ， 2 27≥a ( ]2,0 °1 xx axxFx +++=≤≤ 1ln)(,21 1)1( 1)( 2 ++−=′ x a xxF 313)1()1(0)( 22 2 +++=+++≥⇒≤′ xxxxx xaxF [ ]2,1∈x =)(xm 3132 +++ xxx [ ]2,1∈x 0312)( 2 >+−=′ xxxm )(xm [ ]2,1 2 27)2( =≥ ma °2 xx axxFx +++−= > ( ) ( )1 2 2 2 2 1 2 1 2 2f x f x x x x x x − >− + 1 1 2 212 2 2( 1) ln( ) ( ) 1 x x x xx x − > + 1 2 xt x = 1t > ( ) ( )2 2 2ln 11 tt t tt µ −= − >+ 2 2 ' 2 2 ( 1)( 2 1)( ) ( 1) t t tu t t t − + −= + (1, )t ∈ +∞ ' ( ) 0u t > ( )u t ( )1,+∞ ( ) ( )1 0tµ µ∴ > = 1[ , )4 +∞ [ 3,0)− 1)()( 21 21 − 1x 2 (0, )x ∈ +∞ 1 2x x> 1 2 1 2 1 2( ) ( ) x x x xh x h x − >− 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ln ln x x x xx x x xh x h x x x − −> ⇔ >− − 1 2ln lnx x> 1 2ln ln 0x x− > 1 2 1 2 1 2ln ln x x x xx x − >− 1 2 1 2 1 2 ln lnx x x x x x −⇔ > − 1 2 1 21 2 1 ln x x x xx x − ⇔ > 1 2 1 2 1 2 lnx x x x x x ⇔ − > 1 2 1 2 1 2 ln 0x x x x x x ⇔ − − > 1 2 1 2 1 2 1ln 0 ln 0( 1)x x x t t tx x x t − − > ⇔ − − > > 1( ) ln ( 1)f t t t tt = − − > min( ) 0f t > 2 2 1 1 1 1 3( ) 1 ( ) 02 4f t t t t ′ = + − = − + > ( )f t 1t > ( ) (1) 0f t f> = 1 2x x、 1 2 xt x =