2021高考数学 优拔尖必刷压轴题逆用导数的四则运算法则构造函数（选择题、填空题）（含答案）

专题 17 逆用导数的四则运算法则构造函数 【方法点拨】 1.已知中同时出现关于 、 的不等关系，而所求是抽象形式的不等式，应考 虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数的单调性，然后再逆用单调性； 2. 常见的构造函数: ① 对 于 ， 构 造 ； 一 般 的 ， 对 于 ，构造 ． ② 对 于 ， 构 造 ； 一 般 的 ， 对 于 ，构造 ． ③ 对 于 ， 构 造 ； 一 般 的 ， 对 于 ，构造 ． ④ 对 于 ， 构 造 ； 一 般 的 ， 对 于 ，构造 ． ⑤ 对 于 ， 即 ，构造 ． ⑥对于 ，构造 ． ⑦对于 ，构造 . ⑧对于 ，构造 . ⑨对于 ，构造 . 【典型题示例】 例 1 （2021·江苏省南通市通州区一诊·15）已知偶函数 (x≠0)的导函数为 ， ，当 x＞0 时， ，则使 成立的 x 的取值范 围是 ．（其中 e 为自然对数的底数） ( )f x ( )f x′ ( ) ( ) 0( 0)xf x f x′ + > < ( ) ( )h x xf x′= ( ) ( ) 0( 0)xf x nf x′ + > < ( ) ( )nh x x f x= ( ) ( ) 0( 0)xf x f x′ − > < ( ) ( ) x xfxh = ( ) ( ) 0( 0)xf x nf x′ − > < ( )( ) n f xh x x = ( ) ( ) 0( 0)f x f x′ − > < ( ) ( ) xe xfxh = ( ) ( ) 0( 0)f x nf x′ − > < ( )( ) nx f xh x e = ( ) ( ) 0( 0)f x f x′ + > < ( ) ( )xfexh x= ( ) ( ) 0( 0)f x nf x′ + > < ( ) ( )nxh x e f x= ( ) ( ) tan ( ( ) ( ) tan )f x f x x f x f x x′ ′> < ( ) ( )cosh x f x x= ( )cos ( )sin 0( 0)f x x f x x′ + > < ( )( ) cos f xh x x = ( ) 0( ) f x f x ′ > ( ) ln ( )h x f x= ( ) ln ( ) 0( 0)f x af x′ + > < ( ) ( )xh x a f x= ( )( )ln 0( 0)f xf x x x ′ + > < ( ) ( )lnh x f x x= ( )f x ( )f x′ (e) ef = ( ) 2 ( ) 0xf x f x′ − > 21( 1) ( 1)ef x x− > −【答案】 【解析】设 ，则 ∵x＞0 时， ∴当 x＞0 时， ，故 在（0，+∞）单增 又 ，所以 ∵ 是偶函数 ∴ 也是偶函数，且 在（－∞，0）单减 等价于 ，即 由 是偶函数且 在（0，+∞）单增 得 ，解之得 . 例 2 （多选题）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ， ，则下列判断中正确的是 　　 A． B． C． D． 【分析】结合已知可构造 ， ，结合已知可判断 的单调性，结合 单调性及不等式的性质即可判断． 【解答】解：令 ， ， 因为 ， 则 ， 故 在 ， 上单调递减， 因为 ，则 ， ( ) ( ),1 1 ,e e−∞ − ∪ + +∞ 2 ( )( ) f xF x x = 2 4 3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )( ) f x x xf x f x x f xF x x x ′ ′− −′ = = ( ) 2 ( ) 0xf x f x′ − > ( ) 0F x′ > ( )F x (e) ef = 1( )F e e = ( )f x ( )F x ( )F x 21( 1) ( 1)ef x x− > − 2 ( 1) 1 ( 1) e f x x − >− ( 1) ( )F x F e− > ( )F x ( )F x 1x e− > 1 1x e x e> + < −或 [0, )2 π ( )f x ( )f x′ (0) 0f = ( )cos ( )sin 0f x x f x x′ + < ( ) 6( ) ( )6 2 4f f π π< ( ) 03f ln π > ( ) 2 ( )6 3f f π π> ( ) 2 ( )4 3f f π π> ( )( ) cos f xg x x = 1[0, )2x π∈ ( )g x ( )( ) cos f xg x x = 1[0, )2x π∈ ( )cos ( )sin 0f x x f x x′ + < 2 ( )cos ( )sin( ) 0f x x f x xg x cos x ′ +′ = < ( )g x [0 1 )2 π (0) 0f = ( ) 0f x 结合选项可知， ，从而有 ，即 ，故 错误， 因 为 ， 结 合 在 在 ， 上 单 调 递 减 可 知 ， 从 而 有 ， 由 可得 ，故 错误； ，从而有 ，且 ，即 ．故 正确； ，从而有 即 ．故 正确． 故选： ． 例 3 函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则 的解集为 . 【答案】（ ，+ ） 【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中 哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢？注意到已知中 ，只需构造函数 ， 使得 ，不难得到 （这里 为常数，本题中取 ），进而利用 的单调性，即可找到解题的突破口. 【解析】构造函数 ，则 ，故 单调递增，且 . 另一方面所求不等式 ， 就转化为 ，逆用单调性 定义易知 ，则不等式的解集为 . ( ) ( )6 4g g π π> ( ) ( )6 4 3 2 2 2 f f π π > 6( ) ( )6 2 4f f π π> A 1 03ln π > ( )g x [0 1 )2 π 1( ) 03g ln π < 1( )3 01cos 3 f ln ln π π < 1cos 03ln π > 1( ) 03f ln π < B 1( ) ( )6 3g g π π> 1( ) ( )6 3 13 22 f f π π > 1( ) 03f π < 1 1( ) 3 ( ) 2 ( )6 3 3f f f π π π> > C 1( ) ( )4 3g g π π> 1( )( ) 34 12 22 ff π π > 1( ) 2 ( )4 3f f π π> D CD )(xf R 2)1( =−f R∈x 2)( >′ xf 42)( +> xxf 1− ∞ 2)( >′ xf ( )g x ( ) ( ) 2g x f x′ ′= − ( ) ( ) 2g x f x x c= − + c 0c = ( )g x ( ) ( ) 2g x f x x= − ( )g x′ = ( ) 2 0f x′ − > ( )g x ( 1) ( 1) 2 1 4g f− = − − × − =（ ） 42)( +> xxf ( ) ( ) ( 1)g x f x x g= − > − 1x > ( 1, )− +∞例 4 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 ， 且 满 足 f(x) ＋ xf′(x)>0 ， 则 不 等 式 f( x＋1)> x－1·f( x2－1)的解集为________． 【答案】　[1,2) 【解析】设 F(x)＝xf(x)，则由 F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，可得函数 F(x)是 R 上的增函数． 又 x＋1>0，∴由 f( x＋1)> x－1f( x2－1)可变形得 x＋1f( x＋1)> x2－1f( x2－1)，即 F( x＋1)>F( x2－1)， ∴Error!解得 1≤x1，则不等式 ex·f(x)>ex＋1 的解 集为______． 2. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 设 其 导 函 数 为 ， 当 时 ， 恒 有 ，则满足 的实数 的取值范围是 ． 3. 设 是 定 义 在 上 的 可 导 函 数 ， 且 ， 则 不 等 式 的解集是（ ） A. B. C. D. 4．定义在 上的可导函数 ，当 时， 恒成立， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．定义在 上的函数 ， 是它的导函数，且恒有 成 立．则（ ） A． B． C． D． 6．函数 的导函数为 ，对任意的 ，都有 成立，则（ ） A. B. C. D. 与 的大小不确定 7. 设奇函数 f(x)定义在(－π，0)∪(0，π)上其导函数为 f′(x)，且 f( π 2)＝0，当 0＜x＜π时，f′(x)sinx －f(x)cosx＜0，则关于 x 的不等式 f(x)＜2f( π 6)sinx 的解集为 ． (0, )2 π ( )f x ( )'f x ( ) ( )' tanf x f x x> ⋅ 3 ( ) ( )6 3f f π π< )1(1cos2)6(3 ff ⋅>⋅ π 6 ( ) 2 ( )6 4f f π π> 2 ( ) ( )4 3f f π π> ( )f x ( )f x′ x R∈ ( )f x ( )'f x ( ],0x∈ −∞ ( ) ( )'xf x f x< − ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 33 x f x f− − < x ( )f x (0, )+∞ ( ) '( )f x xf x< − 2( 1) ( 1) ( 1)f x x f x+ > − − (0,1) (1, )+∞ (1,2) (2, )+∞ R ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( ) ( ) ( )1 0x f x f x′− − > ( ) ( ) ( ) ( )12 , 3 , 2 1 22a f b f c f= = = + , ,a b c c a b< < b c a< < a c b< < c b a< < )()( xfxf >′ )3(ln2)2(ln3 ff > )3(ln2)2(ln3 ff < )3(ln2)2(ln3 ff = )2(ln3 f )3(ln2 f【答案或提示】 1.【答案】　(0，＋∞) 【解析】构造函数 g(x)＝ex·f(x)－ex， 因为 g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0， 所以 g(x)＝ex·f(x)－ex 为 R 上的增函数．又因为 g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化 为 g(x)>g(0)，解得 x>0. 2.【答案】 3.【答案】D 【 解 析 】 构 造 函 数 ， 于 是 该 函 数 递 减 ， 变 形 为 ， 于 是 ，得 ，选 D. 4．【答案】A 【解析】构造函数 ， 当 时， ，即函数 单调递增， 则 ， ， 则 ，即 ，选 A． 5．【答案】A 【解析】由 得 ， 构造函数 ，则 ，故 单调递增， 有 ．故选 A． 6．【答案】B 【解析】令 ,则 , ( )1,2− [ ( )]' ( ) '( ) 0xf x f x xf x= + < 2( 1) ( 1) ( 1)f x x f x+ > − − 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x f x x f x+ + > − − 2 2 1 0 1 0 1 1 x x x x + >  − >  + < − 2x > ( ) ( ) 1 f xg x x = − ( )1,x∈ +∞ ( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 0 1 f x x f xg x x ′ − −′ = > − ( )g x ( ) ( ) ( )22 22 1 fa f g= = =− ( ) ( ) ( )31 3 32 3 1 fb f g= = =− ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 2 1 f c f g= + = = − ( ) ( ) ( )2 2 3g g g< < c a b< < ( ) ( )' tanf x f x x> ( ) ( )' cos sin 0f x x f x x− > ( ) ( )cosF x f x x= ( )' 0F x > ( )F x cos cos6 6 6 3 3 3F f f F π π π π π π       = < =               ( ) ( ) x f xh x e = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' ( )' ' '' x x x x x x x f x e f x e f x e f x e f x f xh x e e e − − −= = =因为 ,所以在 上 恒成立.即函数 在 单 调递增. 因为 , 所以 即 .答案选 B． 7.【答案】(－π 6，0)∪( π 6，π) 【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用，奇 函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共 定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于 y 轴轴对称，关于原点对称 的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道(f g)′＝f′g－fg′ g2 ， (sinx)′＝cosx，于是本题的本质是构造f(x) sinx来解不等式 【解析】设 g(x)= f(x) sinx，则 g′ (x)= (f(x) sinx)′＝f′(x)sinx－f(x)cosx sin2x ， 所以当 0＜x＜π时，g′ (x) ⇒ − > R ( )' 0h x > ( )h x R ln3 ln 2> ( ) ( )ln3 ln 2h h> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln3 ln 2 ln3 ln 2 ln3 ln 2 2 ln3 3 ln 23 2 f f f f f fe e > ⇒ > ⇒ >