南阳市一中 2020 年秋期高三第四次月考
理数试题
一．选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．设集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ：“函数 在 上是增函数”， ：“ ”，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设 为等差数列 的前 项和， ， ，则 （ ）
A．-6 B．-4 C．-2 D．2
4．平面向量 , ,则向量 在向量 方向上的投影为（ ）
A． B．1 C． D．
5．如果满足 ， ， 的 有两个，那么 x 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知当 时， 取得最大值，则下列说法正确的是（ ）
A． 是 图像的一条对称轴 B． 在 上单调递增
C．当 时， 取得最小值 D．函数 为奇函数
7．已知 为定义在 上的奇函数， ，且对任意的 ，当 时，
，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
8．已知正方形 的边长为 ，以 为圆心的圆与直线 相切.若点 是圆 上的动点，则
{ }lg 0A x x= < 1 2 22
xB x
= < p q
nS { }na n 8 34S a= 7 2a = − 9a =
(1,0)a = ( 1, 3)b = − b a
1− 1
2
1
2
−
a x= 2b = 60B = ° ABC
0 2x< ≤ 2x > 4 32 3x< < 4 32 3x< ≤
3x
π= ( ) ( )sin 2f x x ϕ= +
7
12x
π= ( )y f x= ( )f x ,06
π −
2
3x
π= − ( )f x 6y f x
π = −
( )f x R ( ) ( )g x f x x= − [ )1 2, 0,x x ∈ +∞ 1 2x x<
1 2( ) ( ) > b a c> > c b a> > c a b> >
( ) ( )( )2 2
sin
1 2 2
xf x
x x x
π=
+ − +
( )f x
( )f x
( )f x R
( )1,0x∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x′ ( )f x二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值是______.
14．已知函数 为奇函数，则实数 a 的值为______.
15．已知 ，等差数列 的前 项和为 ，且 ，则
的值为___________.
16．在四边形 中， ， ， ，则四边形 的对角线
的最大值为______.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤.）
17 ． 已 知 函 数 ， ， 且
.
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若函数 在区间 上有两个不同的零点，求实数 的范围.
18．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求角 ； （2）若 是 的中点，且 ， ，求 的周长.
19．记 是正项数列 的前 项和， 是 和 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
20．已知数列 的前 项和为 ，若 ， ．
（Ⅰ）求证：数列 是等差数列； （Ⅱ）求数列 的前 项和 ．
,x y
0
4 0
1
x y
x y
y
− ≥
+ − ≤
≥
2z x y= − +
( ) 2ln 2
ax
ax xf
+ = −
( ) 2
2 1
xf x x
+= −
{ }na n nS 2018 1009S =
( ) ( ) ( )1 2 2018f a f a f a+ + +
ABCD 60A∠ = ° 90C∠ = ° 2BC CD= = ABCD
AC
π πcos 2 cos 2 ,16 6OP x x
= + + −
( )1,2sin cos 1OQ x x= +
( )f x OP OQ= ⋅
( )f x
( ) ( )g x f x m= − π0, 3
m
ABC , ,A B C , ,a b c 22cos 3sin 32
B B+ =
B D AC 2 7b = 19BD = ABC
nS { }na n 1na + 4 nS
{ }na
1
1
( 1)( 1)n
n n
b a a +
= + + { }nb n nT
{ }na n nS 1 1a = 2
1( ) ( 1)n n nn S S n n a n+ − − = + +
na
n
·2
n
n
a
n
n nT21．已知函数 ， .
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围.
22．已知函数 ， .
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，证明： ；
（3）证明： .
（参考数据：自然对数的底数 ）
( ) lng x x x= ( ) ( )
1
g xf x x
= −
( )g x
1x > ( )2 2 1 0af x x a+ − − > a
( ) ( )ln 1f x x x= − + ( ) 1xg x e= −
( )f x
[ )2,x∈ +∞ ( )
( ) 21
g x
x x
>−
( )*
2 3
1 1 1 51 1 1 , 21 1 1 3n n ne e e
+ + + < ≥ ∈ − − − N
2.71828e ≈南阳市一中 2020 年秋期高三第四次月考
理数试题答案
1．B 2．B 3．A 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．A 10．D 11．D 12． A
13． 14． 15． 16．
17．（1）依题意得，
，
故函数 的最小正周期为 .
（2）由函数 在区间 上有两个不同的零点，
则方程 在区间 上有两个相异的实根，
令 ，则 的图象与直线 在区间 上有两个交点，
由 ，可得 ，令 ，得 ，
因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ， ，
画出 在区间 上的图象，如下图，
1− 2± 1009 3 1+
( )f x OP OQ= ⋅ π πcos 2 cos 2 2sin cos 16 6x x x x = + + − + +
3 1 3 1cos2 sin 2 cos2 sin 2 sin 2 12 2 2 2x x x x x= − + + + +
sin 2 3 cos2 1 2sin 2 13
πx x x = + + = + +
( )f x 2π π2T = =
( ) π2sin 2 13xg x m +
= −+ π0, 3
π 1sin 2 3 2
mx
− + =
π0, 3
( ) πsin 2 3x xh +
=
( )h x 1
2
my
−= π0, 3
π0, 3x ∈
π π2 ,π3 3x + ∈
π π2 3 2x + = π
12x =
siny x= π π,2 2
−
π 3π,2 2
( )h x π0,12
π π,12 3
( ) π 3sin 20 3h = = π sin π 03h = =
πsin 1π
12 2h =
=
( )h x π0, 3
当 ，即 时， 的图象与直线 在区间 上有两个不
同交点.
故实数 的取值范围是 .
18．（1）由题意，因为 ，可得 .
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 .
（2）因为 为 的中点，所以
在 中，因为 ， ，所以 .
在 中，因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 ，
即 ，即 ①
在 中，由余弦定理可得 ，即 ②
联立①②，解得 .
故 的周长为 .
19．（1）因为 是 和 的等比中项，
所以 ①，当 时， ②，
由① ②得： ，
化简得 ，即 或者 （舍去），故
，数列 为等差数列，
因为 ，解得 ，
3 1 12 2
m −≤ < 3 1 3m+ ≤ < ( )h x 1
2
my
−= π0, 3
m )3 1,3 +
22cos 3sin 32
B B+ = cos 1 3sin 3B B+ + =
2sin 26B
π + = sin 16B
π + =
0 B π< <
6 2B
π π+ =
3B
π=
D AC 7AD CD= =
ABD△ 7AD = 19BD =
27 19cos
2 7 19
cADB∠ + −=
× ×
BCD 7CD = 19BD =
27 19cos
2 7 19
aBDC∠ + −=
× ×
ADB BDC π∠ + ∠ = cos cos 0ADB BDC∠ + ∠ =
2 27 19 7 19 0c a+ − + + − = 2 2 52a c+ =
ABC 2 2 2b a c ac= + − 24ac =
2 2 2 100 10a c a c ac+ = + + = =
ABC 10 2 7a b c+ + = +
1na + 4 nS
2( 1) 4n na S+ = 2n ≥ 2
1 1( 1) 4n na S− −+ =
2 2
1 1( 1) ( 1) 4 4n n n na a S S− −+ − + = −
2 2
1( 1) ( 1)n na a −− = + 11 1n na a −− = + 11 ( 1) 0n na a −− + + = 1 2n na a −− =
( 2)n ≥ { }na
2
1 1( 1) 4a S+ = 1 1a =所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列，通项公式： .
（2）∵ ，
∴ .
20．解：（Ⅰ）证明：由题意得， ，
， ．
又 ， 数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ，则 ， ，
，① 则 ，②
① ②得， ，
．
21．（1）函数 的定义域为 ， ，令 ，得 . 当
时， ；当 时， .
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）若 恒成立，即 恒成立
时， ，即 ，即
，
设 ，
则 ，
①当 时， ，则当 时， ，函数 在 上单调递增，
{ }na 1 2 2 1na n= −
1
1 1 1 1 1
( 1)( 1) 2 (2 2) 4 1n
n n
b a a n n n n+
= = = − + + ⋅ + +
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )4 2 2 3 3 4 1 4( 1)n n
nT b b b b n n n
= + + + + = − + − + − + + − = + +
2
1 ( 1)n nna n n a n+ − = + +
1 ( 1) ( 1)n nna n a n n+∴ = + + + ∴ 1 11
n na a
n n
+ − =+
1 1a = ∴ na
n
na nn
= 2
na n= ∴
·2 2
n
n n
a n
n
=
∴
2 3
1 2 3
2 2 2 2n n
nT = + + +…+ 2 3 4 1
1 2 3
2 2 2 2 2
n
n
T n
+= + + +…+
−
2 3 4 1 1 1
1 1 1 1 1 1 21 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2
n
n n n n n
T n n n
+ + +
+= + + + +…+ − = − − = −
∴ 22 2n n
nT
+= −
( ) lng x x x= ( )0,+∞ ( ) ln 1g x x=′ + ( ) 0g x′ = 1=x e
10 x e
< < ( ) 0g x′ < 1x e
> ( ) 0g x′ >
( )y g x= 10, e
1 ,e
+∞
( )2 2 1 0af x x a+ − − > 2 ln 2 11
ax x a xx
> + −−
1x > ( ) ( )2 ln 2 1 1ax x a x x> + − ⋅ − 2 12 ln 2 2 aa x x a x
+> − + + −
2 12 ln 2 2 0aa x x a x
++ − − + >
( ) 2 12 ln 2 2 ah x a x x a x
+= + − − +
( ) ( ) ( )( )2
2 2 2
2 2 1 1 2 12 2 11 x ax a x x aa ah x x x x x
+ − + −′ + ++= + − = =
1a ≥ − ( )2 1 1a− + ≤ 1x > ( ) 0h x′ > ( )y h x= ( )1,+∞此时 ，即 成立，所以， 符合题意；
②当 时， ，则当 时， ，函数 在区间
上单调递减，则 ，不合乎题意.
综上所述，实数 的取值范围是 .
22．（1）解：函数 的定义域为 ，
又∵ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ 的单调减区间为 ，单调增区间为 ；
（2）证明：要证明 ，即证明 .
设 ，
故 ， ，
当 时， ，故 在 递增.
故 ， 在 递增，
故 恒成立，
故当 时 ，即有 ；
（3）证明： （ ， ）.
即证明 ，
由（1）可知 在 单调递增，故 对于 恒成立，
∵ ， ， ，∴ ，
而依据第（2）问，当 时， ，
( ) ( )1 0h x h> = 2 12 ln 2 2 aa x x a x
+> − + + − 1a ≥ −
1a < − ( )2 1 1a− + > ( )1 2 1x a< < − + ( ) 0h x′ < ( )y h x=
( )1, 2 1a− − ( ) ( )2 1 1 0h a h− − < =
a [ )1,− +∞
( ) ( )ln 1f x x x= − + ( )1,− +∞
( ) 11 1 1
xf x x x
′ = − =+ +
1 0x− < < ( ) 0f x′ < 0x > ( ) 0f x′ >
( )f x ( )1,0− ( )0, ∞+
( )
( ) 21
g x
x x
>− ( ) ( )2 1g x x x> −
( ) ( ) 21 2 1 2 2 1x xh x e x x e x x= − − − = − + −
( ) 4 2xh x e x′ = − + ( ) 4xh x e′′ = −
[ )2,x∈ +∞ ( ) 4 0xh x e′′ = − > ( )h x [ )2,+∞
( ) ( ) 22 6 0h x h e′ ′≥ = − > ( )h x [ )2,+∞
( ) ( ) 22 5 0h x h e≥ = − >
[ )2,x∈ +∞ ( ) ( )2 1g x x x> − ( )
( ) 21
g x
x x
>−
2 3
1 1 1 51 1 11 1 1 3ne e e
+ + +
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