宁夏2021届高三第三次月考数学（理）试题 （含答案）

高三第三次月考数学(理科)试卷 第 1 页(共 2 页) 2021 届高三年级第三次月考 理 科 数 学 　　　　　 命题人： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合 ，则 的子集个数为 A．2 B．3 C．4 D．8 2．下列命题中错误的是 A．若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“pV(¬q)”为真命题 B．命题“若 a+b≠7，则 a≠2 或 b≠5”为真命题 C．命题“若 x2-x=0，则 x=0 或 x=1”的否命题为“若 x2-x=0，则 x≠0 且 x≠1” D．命题 p： x>0，sinx>2x-1，则 p 为 x>0，sinx≤2x-1 3．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图 是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称 统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆 ( 为坐标原点)的周 长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题： ①对于任意一个圆 ，其“优美函数”有无数个； ②函数 可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数 可以同时是无数个圆的“优美函数”； ④函数 是“优美函数”的充要条件为函数 的图象是中心对称图形． 其中正确的是 A．①④ B．①③④ C．②③ D．①③ 4．已知复数 （ 是虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是 { } { }0,1,2,3 , | 0 2A B x R x= = ∈ ≤ ≤ A B ∃ ¬ ∀ O O O 2 2( ) ln( 1)f x x x= + + siny x= ( )y f x= ( )y f x= 3 4 2 iz i −= − i z sin 2y x= π 4高三第三次月考数学(理科)试卷 第 2 页(共 2 页) A． B． C． D． 6．设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处切线方程为 A． B． C． D． 7．设向量 ， ，则下列结论中正确的是 A． B． C． 与 的夹角为 D． 在 方向上的投影为 8．已知正项数列 满足： ， ，则使 成立的 的最大值为 A．3 B．4 C．24 D．25 9．已知函数 ．若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围 是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 10．已知函数 的部分图象如图所示， ，则下列判断正确的是 A．函数 的最小正周期为 4 B．函数 的图象关于直线 对称 C．函数 的图象关于点 对称 D．函数 的图象向左平移 2 个单位得到一个偶函数的图象 11．已知函数 在定义域上的值不全为零，若函数 的图象关于 对称，函数 的图象关于直线 对称，则下列式子中错误的是 A． B． C． D． 12．若函数 ，则满足 恒成立的实数 的 取值范围为 cos2y x= 1 cos2y x= + 1 si π2 4ny x= + +    cos2 1y x= − ( ) ( ) sinf x g x x= + ( )y g x= (0, (0))g 3 1y x= + ( )y f x= (0, (0))f 4 1y x= + 4 2y x= + 2 1y x= + 2 2y x= + ( )1,0=b 1 1,2 2a  = − −    / /a b  a b⊥  a b 3 4 π b a 2 2 { }na 1 1a = 2 2 1 2n na a+ − = 7na < n e 0( ) ln 0 x xf x x x  ≤=  > ， ， ， ， ( ) ( )g x f x x a= + + ( ) cos( )f x xω ϕ= − (0 4,0 )ω ϕ π< < < < (0) cos2f = ( )f x ( )f x 6 1x π= − ( )f x ( 1,0)4 π + ( )f x ( )f x ( )1f x+ ( )1,0 ( )3f x + 1x = ( ) ( )f x f x− = ( 2) ( 6)f x f x− = + ( 2 ) ( 2 ) 0f x f x− + + − − = (3 ) (3 ) 0f x f x+ + − = ( ) sinx xf x e e x x−= − + − 2 ( 2ln( 1)) 02 xf a x f  − + + ≥   a高三第三次月考数学(理科)试卷 第 3 页(共 2 页) A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．若函数 在 上单调递减， 则实数 的取值范围是_________. 14．在边长为 2 的正方形 中， 为 的中点， 交 于 .若 ，则 ________. 15．已知 是等比数列 的前 项和，若存在 ，满足 ， ，则数 列 的公比为 . 16．在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ， 则当角 取最大值时， 的周长为 . 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分) 17．（本题满分 12 分） 已知函数 的图像过点 ，且函数图像又关于原点对称. （1）求函数 的解析式； （2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 18．（本题满分 12 分） 在三角形 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，角 为 钝角， ． （1）求 的值； （2）求边 的长． 19．（本题满分 12 分） 已知数列 满足 （1）证明数列 为等比数列，求出 的通项公式； 12ln 2 ,2  − +∞  1ln 2 ,4  − +∞   7 ,4  +∞  3 ,2  +∞   ( ) 2 2 lnf x x x a x= + + ( )0,1 a ABCD E CD AE BD F ADyABxAF 32 += x y+ = nS { }na n *m N∈ 2 28m m S S = 2 2 21 2 m m a m a m += − { }na ABC∆ A B C a b c ( )11, sin cos sin2b B B C C= = + B ABC∆ bx axxf + += 1)( 2 )2,1( )(xf x )4()2()( −+−> txtxfx ),0( ∞+ t ABC , ,A B C , ,a b c 3sin 5A = 1tan( ) 3A B− = C 5b = sin B c }{ na 0),,2(2,4 1 * 111 ≠∈≥⋅=−= −− nnnnn aNnnaaaaa )}(11{ *Nnan ∈− }{ na高三第三次月考数学(理科)试卷 第 4 页(共 2 页) （2）数列 的前项和为 Tn，求证：对任意 . 20．（本题满分 12 分） 已知函数 ，在 R 上的最大值为 3． （1）求 的值及函数 的周期与单调递增区间； （2）若锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，求 的取值 范围． 21．（本题满分 12 分） 设函数 . （1）当 时，求 的最大值； （2）当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数 m 的值. (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。 22．[选修 4－4 ：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ， 射 线 与 曲 线 交 于 点 ， 点 满 足 ，设倾斜角为 的直线 经过点 ． （1）求曲线 的直角坐标方程及直线 的参数方程； （2）直线 与曲线 交于 、 两点，当 为何值时， 最大？求出此最大值． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ． （1）解不等式 ； （2）当 m≥－1 时，函数 的图象与 x 轴围成一个三角形，求实数 m 的取 值范围． }{ na 3 2,* txtxfx txxx )1(522 +>++ 1 522 + ++< x xxt ),0( ∞+∈x 41 411 522 ≥+++=+ ++ xxx xx 1=x 4 ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 1x = ( )f x ( ) 31 4f = − ( )f x ( ) 22mf x x= 2 2 ln 2 0x m x mx− − =高三第三次月考数学(理科)试卷 第 7 页(共 2 页) 设 ，则 ，令 ，即 . 因为 ， ，所以 （舍去）， 当 时， ， 在 上单调递减， 当 时， ， 在 单调递增， ∴当 时， ， 取最小值 . 则 ，即 ， 所以 ，因为 ，所以 设函数 ， 因为当 时， 是增函数，所以 至多有一解. 因为 ，所以方程 的解为 ，即 ，解得 . 22．解：（1）∵ ， ∴曲线 的直角坐标方程为 ． ∵点 的极径为 ， 又∵ ，∴点 的极径为 ， ∴点 的直角坐标为 ， ∴直线 的参数方程为 ，其中 为参数． （2）将 的参数方程代入 ， 得 ， 设交点 ， 所对应的参数分别为 ， ，则 ， ∴ ，当 时取得． ( ) 2 2 ln 2g x x m x mx= − − ( ) 22 2 2x mx mg x x − −′ = ( ) 0g x′ = 2 0x mx m− − = 0m > 0x > 2 1 4 02 m m mx − += < 2 2 4 2 m m mx + += ( )20,x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )20, x ( )2 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )2 ,x +∞ 2x x= ( )2 0g x′ = ( )g x ( )2g x ( ) ( )2 2 0 0 g x g x = ′ = 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 0 0 x m x mx x mx m  − − =  − − = 2 22 ln 0m x mx m+ − = 0m > ( )2 22ln 1 0x x+ − = ∗ ( ) 2ln 1h x x x= + − ( )0,x∈ +∞ ( )h x ( ) 0h x = ( )1 0h = ( )∗ 2 1x = 2 4 12 m m m+ + = 1 2m = ( )2 2 2 2 2 2 221 2 cos 2 2 2x y x x yρ θ= − = + − = + C 2 22 21x y+ = P 2 21 2 3π2 cos 3 = − 2 3PQ PO=  Q 1 22 3 33 3 × = Q 3 ,13       l 3 cos3 1 sin x t y t α α  = +  = + t l 2 22 21x y+ = ( )2 2 2 561 sin 4sin 3 cos 03 3t tα α α + + + − =   M N 1t 2t ( )1 2 2 56 3 1 sin t t α −= + ( )1 2 2 56 28 33 1 sin QM QN t t α −⋅ = = ≤ − +   2sin 1α =高三第三次月考数学(理科)试卷 第 8 页(共 2 页)