宁夏2021届高三第三次月考数学（文）试题 （含答案）

高三第三次月考数学(文科)试卷 第 1 页(共 2 页) 2021 届高三年级第三次月考 文 科 数 学 　　　　　 命题人： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合 ，则 的子集个数为 A．2 B．4 C．7 D．8 2．下列命题中错误的是 A．若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“pV(¬q)”为真命题 B．命题“若 a+b≠7，则 a≠2 或 b≠5”为真命题 C．命题“若 x2-x=0，则 x=0 或 x=1”的否命题为“若 x2-x=0，则 x≠0 且 x≠1” D．命题 p： x>0，sinx>2x-1，则 p 为 x>0，sinx≤2x-1 3．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图 是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称 统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆 ( 为坐标原点)的 周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题： ①对于任意一个圆 ，其“优美函数”有无数个； ②函数 可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数 可以同时是无数个圆的“优美函数”； ④函数 是“优美函数”的充要条件为函数 的图象是中心对称图形． 其中正确的是 A．①④ B．①③④ C．②③ D．①③ 4．对于实数 a，b，c，下列命题中正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 { } { }0,1,2,3 , | 0 2A B x R x= = ∈ ≤ ≤ A B ∃ ¬ ∀ O O O 2 2( ) ln( 1)f x x x= + + siny x= ( )y f x= ( )y f x= a b> 2 2ac bc> 2 2ac bc> a b> 0a b< < 1 1 a b < 0 a b< < b a a b  ， ， ， ， ( ) ( )g x f x x a= + + ( ) cos( )f x xω ϕ= − (0 4,0 )ω ϕ π< < < < (0) cos2f = ( )f x ( )f x 6 1x π= − ( )f x ( 1,0)4 π + ( )f x ABCD E CD AE BD F 2 3AF xAB yAD= +   x y+ = 7 18 1- 3 5 9 − ( ) sinx xf x e e x x−= − + − 2 ( 2ln( 1)) 02 xf a x f  − + + ≥   a高三第三次月考数学(文科)试卷 第 3 页(共 2 页) A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知 ，则 =________. 14．已知复数 （ 是虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于第 象限. 15．在ΔABC 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ．若 ， ， 时，则ΔABC 的面积为________. 16 ． 已 知 正 项 等 比 数 列 （ ） 满 足 ， 若 存 在 两 项 ， 使 得 ，则 的最小值为________. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分) 17．（本题满分 12 分） 在递增的等比数列{an}中，a3=16．a2+a4=68．Sn 为等差数列{bn}的前 n 项和，b1=a1 ，S2=a2． （1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）求数列{ }的前 n 项和 Tn． 18.（本题满分 12 分） 在三角形 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，角 为 钝角， ． （1）求 的值； （2）求边 的长． 19．（本题满分 12 分） 已知数列 满足 （1）证明数列 为等比数列，求出 的通项公式； （2）数列 的前项和为 Tn，求证：对任意 . 12ln 2 ,2  − +∞  1ln 2 ,4  − +∞   7 ,4  +∞  3 ,2  +∞   2( ) 3 (2)f x x xf ′= + (2)f ′ 3 4 2 iz i −= − i z A B C a b c tan 7C = 5 2cos 8A = 3 2b = { }na *n N∈ 7 6 52a a a= + ma na 14m na a a= 1 5 m n + 4 n na S ABC , ,A B C , ,a b c 3sin 5A = 1tan( ) 3A B− = C 5b = sin B c }{ na 0),,2(2,4 1 * 111 ≠∈≥⋅=−= −− nnnnn aNnnaaaaa )}(11{ *Nnan ∈− }{ na }{ na 3 2,* − xOy O x C 2 2 21 2 cos ρ θ= − ( )π 03 θ ρ= ≥ C P Q 2 3PQ PO=  α l Q C l l C M N α QM QN⋅  ( ) 2 2 5= + −f x x ( ) 1≥ −f x x ( ) ( )= + −g x f x x m高三第三次月考数学(文科)试卷 第 5 页(共 2 页) 2021 届高三第三次月考数学(文科)参考答案 一、选择题：只有一项符合题目要求（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D B C B C C C C B A 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．-2 14．一 15. 16． 三、解答题 18.解：（1）因为角 为钝角， ，所以 ，……2 分 又 ，所以 ， 且 ， ………………………4 分 所以 …………6 分 ． ………………………8 分 （2）因为 ，且 ，所以 ，……………………10 分 又 ，……………12 分 3 7 2 4 7 C 3sin 5A = 2 4cos 1 sin 5A A= − = 1tan( ) 3A B− = 0 2A B π< − < 1 3sin( ) ,cos( ) 10 10 A B A B− = − = sin sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )B A A B A A B A A B= − − = − − − 3 3 4 1 1 5 510 10 10 = × − × = sin 3 10 sin 5 a A b B = = 5b = 3 10a = 9cos cos( ) cos cos sin sin 5 10 C A B A B A B= − + = − + = − 17 ．高三第三次月考数学(文科)试卷 第 6 页(共 2 页) 则 ， 所以 ． 19.（1）由 有 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列. （2） ， ， = = 20．解：（1）依题意 ， ∵ 的最大值为 3，∴ ，∴ ， ∴ ，其中 ， ，其周期为 ． 已知 ， 时， 单调递增， 解得 ． ∴ 的单调递增区间为 ， ， ． （2）∵ ，且 为锐角， ∴ ，∴ ，∴ ． 又∵ ， 为锐角，∴ ． 2 2 2 92 cos 90 25 2 3 10 5( ) 169 5 10 c a b ab C= + − = + − × × − = 13c = ( ) ( )22cos 1 3 tanf x p x x= − + 22cos 2 3sin cosp x x x= − − 1 cos2 3sin 2p x x= − − − π1 2sin 2 6p x = − − +   ( )f x 1 2 3p − + = 2p = ( ) π1 2sin 2 6f x x = − +   ππ 2x k≠ + k ∈Z 2π π2T = =     π+π∈π+ 2 3262 kx Zk ∈ ( )f x     π+ππ+π∈ 3 2,6 kkx ( )f x      π+ππ+π 2,6 kk      π+ππ+π 3 2,2 kk Zk ∈ ( ) π1 2sin 2 06f A A = − + =   A π 5π2 6 6A+ = π 3A = 2π 3B C+ = B C π π,6 2C  ∈  高三第三次月考数学(文科)试卷 第 7 页(共 2 页) ∴ ， 其中 ，∴ ． 21.解：（1）函数的定义域（0，+∞）， ，f′（1）＝2a﹣2＝0 可得 a＝1， 故 f（x）＝lnx+x2﹣3x， ＝0 所以 x＝1 或 x＝ ， 当 时，f′（x）＞0，函数单调递增，当 x 时，f′（x）＜0，函数单调递减， 当 x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增， 故当 x＝1 时，函数取得极小值 f（1）＝﹣2，当 x＝ 时，函数取得极大值 f（ ）＝ ﹣ ， （2）由 可变为 f（x1）﹣f（x2） ， 即 ， 所以 f（x）﹣ 在[1，10]上单调递减， 令 h（x）＝f（x）﹣ ＝lnx+ ，则 ≤0 在[1，10]上恒成立， 所以 m≤﹣2x3+3x2﹣x， 令 F（x）＝﹣2x3+3x2﹣x，则 F′（x）＝﹣6x2+6x﹣1＝ ＜0， ∴F（x）在[1，10]上单调递减，F（x）min＝F（10）＝﹣1710， 故 m≤﹣1710， 故 m 的范围（﹣∞，﹣1710] 22．解：（1）∵ ， ∴曲线 的直角坐标方程为 ． ∵点 的极径为 ， 又∵ ，∴点 的极径为 ， ∴点 的直角坐标为 ， ∴直线 的参数方程为 ，其中 为参数． 2π 3 1sin cos sinsin 3 13 2 2 sin sin sin 2tan 2 C C Cb B c C C C C  − +  = = = = + 3tan ,3C  ∈ +∞    1 ,22 b c  ∈   2 1ln ( )2 2 2 2 2 2 221 2 cos 2 2 2x y x x yρ θ= − = + − = + C 2 22 21x y+ = P 2 21 2 3π2 cos 3 = − 2 3PQ PO=  Q 1 22 3 33 3 × = Q 3 ,13       l 3 cos3 1 sin x t y t α α  = +  = + t高三第三次月考数学(文科)试卷 第 8 页(共 2 页) （2）将 的参数方程代入 ， 得 ， 设交点 ， 所对应的参数分别为 ， ，则 ， ∴ ，当 时取得． l 2 22 21x y+ = ( )2 2 2 561 sin 4sin 3 cos 03 3t tα α α + + + − =   M N 1t 2t ( )1 2 2 56 3 1 sin t t α −= + ( )1 2 2 56 28 33 1 sin QM QN t t α −⋅ = = ≤ − +   2sin 1α =