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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分，考试时间 120
分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页。
祝各位考生考试顺利！
第 Ⅰ 卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
3．本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集为 ，集合 A={1，3，6 }，集合 B={2，3，4，5}，则
集合 （ ）．
（A） （B） （C） （D）
（2）设 x∈R，则“ ”是“ ”的（ ）．
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
（3）函数 （其中 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
（4）设 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）．
（A）a＞c＞b （B）b＞c＞a
（C）c＞a＞b （D）c＞b＞a
（5）已知函数 的
部分图象如图所示，则 的解析式为（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
（6）设数列 的前 项和 ，则 的值为（ ）．
（A）65 （B）16 （C）15 （D）14
（7）已知函数 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ，
则 等于（ ）．
（A）2 （B）4 （C） （D）
（8）若将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到的
函数图象关于 对称，则函数 在 上的最小值是
（ ）．
（A） （B） （C） （D）0
（ 9 ） 已 知 函 数 在 上 单 调 递 增 ， 且 关 于 的 方 程
恰有两个不相等的实数解，则实数 的取值范围是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
{ }7U x x= ∈ −π < f x
x x
+= − .
，
, ≤
R x
( ) 3f x x= + a
1 3 13,4 4 16
∪ 1 3 13,4 4 16
∪
1 13,4 16
3 130, 4 16
∪
x
y
3
π− 5
12
πO
2高三年级数学试卷 第 3 页（共 4 页） 高三年级数学试卷 第 4 页（共 4 页）
第 Ⅱ 卷
注意事项：
1． 用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；
2．本卷共 12 小题，共 105 分。
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分。
（10）设 i 是虚数单位，复数 _______．
（11） 都成立，则 的取值范围是 ．
（ 12 ） 在 中 ， ， 则 的 面 积 等
于 ．
（13）已知 为等差数列， 为其前 项和， ，若 ，则
的值为 ．
（14）已知 均为正实数， ，则 的最小值为 ．
（15）若函数 在 上为减函数，则实数 的取值范围
是 ．
三、解答题：本大题共 5 题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题满分 14 分）
已知函数 为二次函数， 的图象过点 ，对称轴为 ，函数 在
上的最小值为 .
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）当 时，求函数 的最小值（用 表示）.
（17）（本小题满分 15 分）
在 中，内角 所对的边分别为 已知 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）设 ，求 和 的值.
（18）（本小题满分 15 分）
已知函数 ．
（Ⅰ）若 且 ，求 ；
（Ⅱ）求函数 的最小正周期及单调递增区间.
（19）（本小题满分 15 分）
已知函数 其中 是常数.
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数 ，使得关于 的方程 在 上有两个不相等的实数根，
求 的取值范围.
．
（20）（本小题满分 16 分）
已知数列 的前 项和
数列 满足：
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求
( )2
3
1 i
=
−
2 2 0x ax ax∀ ∈ + − 2 7a =
sin sin
a c
A C
= 21sin 7C =
c a< π
3C < 2 2 7cos 1 sin 7C C= − =
4 3sin 2 2sin cos 7C C C= = 2 2 1cos2 cos sin 7C C C= − =
( ) 13cos 2 cos cos2 sin sin 2 14A C A C A C− = + =
π0 2
α< < 1sin 3
α = 2 2 2cos 1 sin 3
α α= − =
( ) ( ) 1 4 2 7cos sin cos 2 18f α α α α += + − =
( ) 2 1sin cos cos 2f x x x x= + − 1 1 cos2 1sin 22 2 2
xx
+= + −
1 1 2 πsin 2 cos2 sin 22 2 2 4x x x = + = +
( )f x π
π2 4t x= + 2 sin2y t= π π2 π 2 π2 2k k − + ， k ∈Z
π π π2 π 2 2 π2 4 2k x k− + +≤ ≤ 3π ππ π8 8k x k− +≤ ≤ k ∈Z
( )f x 3π ππ π8 8k k − + ， k ∈Z高三年级数学答案 第 3 页（共 4 页） 高三年级数学答案 第 4 页（共 4 页）
（19）本小题满分 15 分．
（Ⅰ）解： ， ．
当 时， ， ．………………………………3 分
设曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以直线 即为所求． ………………………………5 分
（Ⅱ）解：令 ，解得 ，或 ． ………………6 分
当 ，即 时，对于任意 都有 ，所以函数 在单
调递增，不存在符合题意的实数 k． ………………………………8 分
当 ，即 时， ， 随 的变化情况如下表：
极小值
所以函数 在 上的最小值为 ，且当 时，
有 ． ………………………………12 分
因此，若存在实数 ，使得关于 的方程 在 上有两个不相等的实数根，
只需曲线 与直线 的图象在区间 有两个不同的交点，
故 ．
综上所述， 的取值范围是 ．……………………………15 分
（20）本小题满分 16 分．
（Ⅰ）解：由已知，当 时， ； ……………………………2 分
当 时， ，且该式也适用于 的情况．
所以数列 的通项公式为 ， ． ………………………5 分
由 （ ），可知当 时， ，因此 ．
可知当 （ ）时， ； …………………7 分
当 （ ）时， ．…………………………9 分
所以， 的通项公式为 ………………10 分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知 ．
记 ， ．则 ………………………………11 分
，
，
上述两式相减，得 ，
整理得 ． ………………………………13 分
又有 ，
，
上述两式相减，得
，
整理得 ． ……………………………15 分
所以 ．……………………………16 分
( ) ( ) ( ) ( )2e e 2 e 2x x xf x x ax a x a x x a′ = + − + + = + + x∈R
1a = ( )1 ef = ( )1 4ef ′ =
( )y f x= ( )1, e ( )e 4e 1y x− = −
4e 3e 0x y− − =
( ) 0f x′ = 0x = 2x a= − −
2 0a− − ≤ 2a −≥ [ )0,x∈ +∞ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x
2 0a− − > 2a < − ( )f x′ ( )f x x
x 0 ( )0, 2 a− − 2 a− − ( )2 ,a− − +∞
( )f x′ 0 − 0 +
( )f x a− ↘ ↗
( )f x [ )0,+∞ ( ) 2
42 e a
af a +
+− − = x → +∞
( )f x → +∞
k x ( )f x k= [ )0,+∞
( )y f x= y k= [ )0,+∞
2
4
e a
a k a+
+ < −≤
k 2
4 ,e a
a a+
+ −
1n = 1 1 1a S= =
2n≥ 1n n na S S n−= − = 1n =
{ }na na n= *n∈N
1
1 2n
n nb b +
+ = *n∈N 2n≥ 1 2n
n nb b − = 1 12n nb b+ −=
2 1n k= − *k ∈N
1
2
2 1 2 2
n
k
n kb b
+
−= = =
2n k= *k ∈N 2
2 2 2
n
k
n kb b= = =
{ }nb
1
2
2
2 ,
2 ,
n
n n
nb
n
+
=
为奇数，
为偶数.
2 1
1 1 1 12
1 12 22 2
n n n n
i i
i i i i
i i i ii
ia b i ib−
= = = =
− = − = ⋅ −
∑ ∑ ∑ ∑
1
2
n
i
i
M i
=
= ⋅∑
1 2
n
i
i
iN
=
= ∑
( )2 3 11 2 2 2 3 2 1 2 2n nM n n−= × + × + × + + − × + ×
( )2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2n nM n n += × + × + × + + − × + × ( )2 3 1 1 12 1 2
2 2 2 2 2 2 21 2
n
n n n nM n n− + +
−
− = + + + + + − × = − ×−
( ) 12 1 2nM n += + −
( )2 3 11 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2
n n
N n n
− = × + × + × + + − × + ×
( )2 3 4 11 1 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2 2
n n
N n n
+ = × + × + × + + − × + ×
2 3 1 1 1
1 111 1 1 1 1 1 1 12 2
12 2 2 2 2 2 2 21 2
n n n nn
N n n
− + +
− = + + + + + − × = − × −
22 2n
nN
+= −
( ) 1
2 1
1 2
1 21 2 2
n
n
i i n
i i
na b M N nb
+
−
=
+− = − = − +
∑
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