重庆市第八中学2021届高考适应性数学月考卷（二） （含答案）

重庆市第八中学 2021 届高考适应性月考卷（二） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题 卡上填写清楚。 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．，在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．在复平面内，若复数 对应的点位于第二象限，则实数 的取值范围 是 A． B． C． D． 2．设 ，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则等比数列的 公比为 A． B． C．2 D．3 4．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺 炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平 均耗时 （单位：小时）大致服从的关系为 （ ， 为常数）。已知 第 16 天检测过程平均耗时为 16 小时，第 64 天和第 67 天检测过程平均耗时均为 8 小时，那 么可得到第 49 天检测过程平均耗时大致为 A．16 小时 B．11 小时 C．9 小时 D．8 小时 5．已知甲盒子有 6 个不同的小球，编号分别为 1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球， 记随机变量 是取出球的编号，数学期望为 ，乙盒子有 5 个不同的小球，编号分别为 1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量 是取出球的编号，数学期望为 ，则 A． 且 B． 且 ( 2) ( 1)iz m m= − + + m ( 1,2)− ( 1, )− +∞ ( ,2)−∞ (2, )+∞ a∈R 2a a< | | 1a < { }na n nS 1 3 6a a+ = 4 2 3 3S a S+ = + 1 3 1 2 n ( )t n 0 0 0 0 0 , , ( ) , t n N nt n t n N N  = ( ) ( )E X E Y> ( 3) ( 3)P X P Y= > = ( ) ( )E X E Y ( 3) ( 3)P X P Y= < = ( ) ( )E X E Y< { }na 1( 1) (4 1)n na n+= − + 11 12 21a a a+ + + = ABC 2 2cos 3C = 3 sin sin 3 sinc C a A b B− = a b = 3 2 2 2 O O AB BO OC CD= = = 2 3 5 ( 2,1)a = (cos ,sin )(0 )b θ θ θ π=   a b⊥ tan 2θ = b a 1 2 − a b 2 3 π θ | | | | | |a b a b+ = + a b⋅ 3 2 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA AB= E 1DD 1B EC 1/ /CE A BC．三棱锥 的体积是长方体体积的 D．三棱锥 的外接球的表面积是正方形 ABCD 面积的 倍 11．已知定义在 上的偶函数 满足 ，且 在 上单调递 减，则下列结论正确的是 A． B． 在 上单调递增 C． D． 可以是 12．已知椭圆 的左、右两个焦点分别为 ，直线 与 交于 A，B 两点， 轴，垂足为 ，直线 BE 与 的另一个交点为 ，则下列结论正确的是 A．四边形 为平行四边形 B． C．直线$BE$的斜率为 D． 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知 x，y 满足约束条件 则 的最大值为____________。 14．设函数 的导函数是 ，若 ，则 ____________． 15．已知圆 与直线 ， 上任意一点 向圆 引切线，切 点为 A，B，若线段 AB 长度的最小值为 ，则实数 的值为 ____________． 16．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．数列 的前 项和为 ，若对一切 ，恒有 ，且 ，则 的最大值为____________． 四、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 如图 ，在直三棱柱 中 ， ， 为 AB 的中点。 （1）求证： ； 1 1C B CE− 1 6 1 1 1C B CD− 6π R ( )f x ( 6) ( ) 2 (3)f x f x f+ − = ( )f x (0,3) (3) 0f = ( )f x ( 6, 3)− − (2020) (2021)f f< ( )f x sin 3 x π −    2 2 : 16 3 x yC + = 1 2,F F ( 0)y kx k= ≠ C AE x⊥ E C P 1 2AF BF 1 2 90F PF °∠ < 1 2 k 90PAB °∠ > 4 0, 0, 1 x y x y x − +  +     3z x y= − ( )f x ( )f x′ 2( ) sin2f x f x x π′  = −   2f π′   =   2 2: 2 0C x y γ+ − = : 2( 0)l y kx k= − > l P C 2 k { }na n nS 4 4a = 10 55S = 1 na       n nT *n∈N 2 20n n mT T− > *m∈N m 3 1 1 1A B C ABC− AC BC⊥ 1AC BC AA= = D 1 1B C A B⊥（2）求 与平面 所成的角． 18．（本小题满分 12 分） 已知直线 与直线 将圆 分成面积 相等的四部分，且圆 与 轴相切． （1）求圆 的标准方程； （2）直线 过点 ，且与圆 交于 A，B 两点，是否存在直线 ，使得 ，若 存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分 12 分） 已 知 函 数 的 图 象 如 图 4 所 示 ， 其 中 ， ． （1）求 的最小正周期 ； （2）若 ，且 ，求 ． 20．（本小题满分 12 分） 已知等差数列 是递增数列，其前 项和为 ，若 是方程 的两个实 根． （1）求 及 ； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 21．（本小题满分 12 分） 1B D 1 1A BC 6 0x y+ − = 2 0x y− − = C C y C l ( 2,0)P − C l 1 2PA AB=  l ( ) 2sin( ) 0, 2f x x πω ϕ ω ϕ π = + > < > 1F 2F 31, 2M      1 2 4.MF MF+ =  C M C ln( ) xf x x = ( )g x ax b= + ( ) ( ) ( )F x f x g x= − 1a = ( )F x ( )F x 1x 2x ( ) ( )1 2 1 2 2x x g x x+ + > ( 2) ( 1)iz m m= − + + 2 0 1 0 m m −  ， ， 1 2m− < < 0 1a< < | | 1a < 1 3 6a a+ = 4 2 3 3S a S+ = + 4 3 2 3S S a− + = 4 2 3a a+ = 1 3 2 4( )a a q a a+ = + 1 2q = 016 N< 0 16 16 t =．又由 知， ，所以当 时， ，故选 C． 5．由题 ， ， ， ，故选 C． 6．因为 ，则 ，故选 B． 7．在 中，由 ，得 ．又由 ，得 ，所以 ，从而 ，故选 C． 8．以 O 为原点，AD 所在直线为 x 轴建系，不妨设 ，则该双曲线过 点 且 ，将点 代入方程 ，故离心率为 ，故选 B． 9．若 ，则 ，则 ，故 A 错误；若 b 在 a 上的投影 为 ， 且 ， 则 ， ， 故 B 正 确 ； 若 ， ， 若 ， 则 ，即 ，故 ， ，故 C 正 确； ，因为 ， ，则当 时， 的最大值为 ，故 D 正确，故选 BCD． 10．令 ，在 中， ， ， ，满足勾股定 理，则 为直角三角形，故 A 正确；因为 CE 与 不平行，故 B 错误；棱锥 的体积为 ，所以 ， 则三棱锥 的体积是长方体体积的 ，故 C 正确；因为三棱锥 的外接 球 就 是 长 方 体 的 外 接 球 ， 所 以 三 棱 锥 的 外 接 球 半 径 ， 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为 0 64t = 0 64 8 N = 0 64N = 49n = 64 64(49) 9749 t = = ≈ 1( 3) 6P X = = 1( 3) 5P Y = = 7( ) 2E X = ( ) 3E Y = 1( 1) (4 1)n na n+= − + 11 12 21 11 12 19 20 21( ) ( ) 4 5 85a a a a a a a a+ + + = + + + + + = − × +… … 65= ABC△ 2 2cos 3C = 1sin 3C = 3 sin sin 3 sinc C a A b B− = 2 23c a− = 23b 2 2 2 2 2 2 23cos 2 2 3 3 aa b c aC ab ab b + −= = = = 2 2a b = 1AB BO OC CD= = = = ( 2 2)， 1a = ( 2 2)， 2 2 2 2 2 2 1 2 3x y b ca b − = ⇒ = ⇒ = 3ce a = = ⊥a b 2 cos sin 0θ θ+ =a b = tan 2θ = − 1 2 − | | 1=b 1| | cos 2 〈 〉 = −，b a b 2πcos 3 〈 〉 =，a b 2( ) 2= +  2 2a + b a + b a b 2 2 2(| | | |) | | | | 2 | || |+ = + +a b a b a b | | | | |= +| a + b a b | || | cos | || |〈 〉 = ，a b = a b a b a b cos 1〈 〉 =，a b 0θ = | | | | |= +| a + b a b 2 cos sinθ θ+ =a b = 3sin( )θ ϕ+ 0 πθ≤ ≤ π0 2 ϕ< < π 2 θ ϕ+ = a b 3 1 2 2AA AB a= = 1B EC△ 1 3B E a= 2EC a= 1 5B C a= 1B EC△ 1A B 1 1C B CE− 1 1 1 1 31 1 2 23 2 3C B CE B C CE aV V a a a− −= = × × × × = 1 1 1 1 32ABCD A B C DV a− = 1 1C EB C− 1 6 1 1 1C B CD− 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1C B CD− 2 2 2(2 ) 2 a a aR + += 6 2 a= 1 1 1C B CD−， ，三棱锥 的外接球的表面积是正方形 ABCD 面积的 倍，故 D 正确，故选 ACD ． 11．因为 是偶函数，令“任意 都有 ，”中的 ，可得 ，故 ，故 A 正确；因为 ，故 对任意的 x 恒成立，故 的周期为 ， 在 上是单 调减函数，故 在 上也是减函数，故 B 错误；又 ，故 C 正确；D 不满足题目所叙述的单调性，故 D 错误，故选 AC． 12．如图 1，直线 与 C 交于 A，B 两点，由椭圆的对称性 可得 O 为 AB 的中点，又O为 的中点可得四边形 为平 行四边形，故A 正确；由椭圆方程可得 ， ，以 为 直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点，P 在圆外，可得 ，故 B 正确； 取 AE 的中点 D，则 ，易知 ，故直线 BE 的斜率 也为 ，故 C 正确；又 ， ，可 得 ， 故 得 ，即 ，故 D 错误，故选 ABC． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 4 0 9 【解析】 13．由图，当直线经过 时， ． 14．∵ ，∴ ，∴ ． 15 ． 圆 C ： ， 则 圆 心 ， ， 设 ， 则 ， 有 最 小 值 ， 2 264π 6 π2 aS a  = × =    2 ABCDS a= 1 1 1C B CD− 6π ( )f x x∈R ( 6) ( ) 2 (3)f x f x f+ − = 3x = − ( 3) (3) (3)f f f− = − = (3) 0f = ( 6) ( ) 2 (3) 0f x f x f+ − = = ( 6)f x + ( )f x= ( )y f x= 6T = ( )f x (0 3)， ( )f x ( 6 3)− −， (2020) (4) (5)f f f= < = (2021)f ( 0)y kx k= ≠ 1 2F F 1 2AF BF 6a = 3b c= = 1 2F F 1 2 90F PF∠ < ° 2 A A OD yD x k  ⇒  ， 1 2 2 A A y kx = = BE OD∥ 1 2 k 2 2PA PB bk k a = − 1 2 = − 1 2PBk k= 1 APk k = − AB AP⊥  90PAB∠ = ° 14 2 (1 1)−， max 3 1 ( 1) 4z = × − − = π( ) 2 cos2f x f x x ′ = ′ −   π π π22 2 2f f   ′ = ′        π 02f  ′ =   2 2( 1) 1x y+ − = (0 1)C ， 1r = π0 2ACP θ θ ∠ = < + + + + + 1n nA A+ > nA 1 2 1 1 2A T T= − = 1 2 20 m> 10m < 1 1 1A B C ABC− AC BC⊥ 1 1 1 1AC B C⊥ 1CC ⊥ 1 1 1A B C 1 1 1CC AC⊥ 1 1 1 1CC B C C= 1 1 1 1AC BCC B⊥ 平面 1 1 1B C BCC B⊂ 平面 1 1 1AC B C⊥ 1AC AA= 1 1BCC B 1 1B C BC⊥ 1 1AC 1BC 1 1A BC 1 1 1B C A BC⊥ 平面 1 1B C A B⊥ CB CA 1CC C xyz− (0 0 0)C ， ， (2 0 0)B ， ， (0 2 0)A ， ， 1(0 0 2)C ， ， 1(0 2 2)A ， ， 1(2 0 2)B ， ，故 ， ． 设平面 的法向量为 ， 由 即 取 ，则 ． ………………………………………………………（8 分） 设 与平面 所成的角为 ， 则 ，所以 ． ………………………………（10 分） 18．（本小题满分 12 分） 解：（1）由题意圆 C 的圆心为直线 与直线 的交点， 联立两方程解得 ， ………………………………………………（3 分） 又圆 C 与 y 轴相切，故半径为 4， 所以圆 C 的标准方程为 ． …………………………（6 分） （2）假设满足条件的直线 l 存在，显然 l 的斜率存在，设方程为 ． 取 AB 的中点 Q，连接 CQ， 则 ，有 ， 于是有 ， 于是 ，解得 或 ， 故存在直线 l 满足题意，且 l 的方程为 或 ． ………………………………………………（12 分） 19．（本小题满分 12 分） 解：（1）由 ，得 ， 因为 ，所以 ， ． ………………………（2 分） (1 1 0)D ，， 1 ( 1 1 2)B D = − − ，， 1 1A BC ( )m x y z= ， ， 1 1 1 0 0 m BC m AC  = =       ， ， 2 2 0 2 0 x z y − + = − = ， ， 1z = (1 0 1)m = ， ， 1B D 1 1A BC α 1 1 | | 3sin 2| | | | B D m B D m α = =      π 3 α = 6 0x y+ − = 2 0x y− − = (4 2)C ， 2 2( 4) ( 2) 16x y− + − = ( 2)y k x= + CQ l⊥ | | | | 2 | |PQ AB AQ= = 2 2 2 2 2 2 | | | | 4 | | 4 | | | | PC CQ AQ CQ AQ  − = − = ， 2 2 64 | | 64 40| | 83 3 PCCQ − −⇒ = = = 2 | 6 2 | 2 2 4 1 k k − = < + 27 6 1 0k k⇒ − − = 1k = 1 7k = − 2 0x y− + = 7 2 0x y+ + = (0) 1f = 1sin 2 ϕ = π π2 ϕ< < 5π 6 ϕ = 5π( ) 2sin 6f x xω = +   图 2又由 ，得 ， 由图知， ， ， 因为 ，所以 ， ． 若 ，则 ，与图形条件矛盾． 所以 ， ，从而 ． ………………………………………………（6 分） （2）由（1）知， ． 由 ，得 ． 因为 ， 所以 ，从而 ． ……………………………………………………（8 分） 所以 ． ………………………………………………………（12 分） 20．（本小题满分 12 分） 解：（1）因为等差数列 为递增数列，且 ， 是方程 的两根， 所以 ， ， 解得 …………………………………………………（2 分） 又 ，则 ． …………………………………………………（4 分） (1) 0f = 5πsin 06 ω + =   5π 2 π π6 kω+ = + k ∈Z 0ω > π2 π 6kω= + k ∈N 1k ≥ 2π 2π 12 π 132 π 6 T kω= = + ≤ 0k = π 6 ω= 12T = π 5π( ) 2sin 6 6f x x = +   0 1( ) 2f x = 0 π 5π 1sin 6 6 4x + =   02 1x− < < 0 π π 5π π2 6 6x< + < 0 π 5π 15cos 6 6 4x + = −   0 0 π π 5π 5πcos cos6 6 6 6x x     = + −         0 0 π 5π 5π π 5π 5πcos cos sin sin6 6 6 6 6 6x x   = + + +       15 3 1 1 3 5 1 4 2 4 2 8     += − − + =           { }na 2a 4a 2 10 21 0x x− + = 2 4 10a a+ = 2 4 21a a = 2 2 4 47 3 7 3 a a a a = =     = = ， ， ，或 0d > 2 4 7 3a a = =   ， ， 4 2 22 a ad −= =故 ， ． …………………………………………………（6 分） （2） ， …………………………………………………（8 分） 可得前 n 项和 ． ………………………………………………（12 分） 21．（本小题满分 12 分） （1）解：由已知得 故所求椭圆的方程为 ． …………………………………………（4 分） （2）证明：①当直线 AB 的斜率存在时，设方程为 ， 与椭圆 C 联立消去 y 得 ， ． 设 ， ， 则 ． ……………………………………（6 分） 因为 ，所以 ， ………………………………………………（7 分） ， ， 代入韦达定理，整理得 ， 解得 或 ． ………………………………………（9 分） 1 *2 1( )( 1)n n da a n n+ − == − ∈N 21 (1 2 1)2nS n n n= + − = 2 1 2 1 1 1 1 1 1 12 2 2(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1 na n n n n n b a a n n n n − − +  = + = + = − + + − − +  2 11 1 1 1 1 1 11 (2 8 2 )2 3 3 5 5 2 1 2 1 n nT n n − = − + − + + + − + + + + − + … … 1 1 2(1 4 ) 21 (4 1)2 2 1 1 4 2 1 3 n nn n n − = − + = + − + − +  2 2 2 2 2 4 4 1 9 1 34 a a ba b =  = ⇒ + = =  ， ， ， 2 2 14 3 x y+ = y kx m= + 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2 264 4(4 3)(4 12) 0k m k m∆ = − + − > 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， 2 1 2 1 22 2 8 4 12 4 3 4 3 km mx x x xk k − −+ = =+ +， MA MB⊥ 1 2 1 2 3 3( 1)( 1) 02 2MA MB x x y y  = − − + − − =        1 2 1 2 3 3( 1)( 1) 02 2x x kx m kx m  ⇒ − − + + − + − =     2 2 1 2 1 2 3 3( 1) 1 ( ) 1 02 2k x x k m x x m     ⇒ + + − − + + − + =         3 37 02 2k m k m  + − + + =     3 2m k= − + 1 3 7 14m k= − −若 ，则直线 AB 的方程为 ，过点 M，不符题意； 若 ，则直线 AB 的方程为 ，恒过点 ； ……………………………………………………（11 分） ②当直线 AB 的斜率不存在时，设 ， ， 由 解得 或 (舍)， 此时直线 AB 也过点 ． 综上知，直线 AB 恒过定点 ． ………………………………（12 分） 22．（本小题满分 12 分） （1）解： ． ………………………………………………（1 分） 注意 ，且当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递增减． 所以 的最大值为 ． …………………………………………………………（4 分） （2）证明：由题知， ， 即 ， ， 可得 ． ……………………………………（6 分） ． ………………………………………………………（8 分） 不妨 ，则上式进一步等价于 ． 令 ，则只需证 ． ………………………………………（10 分） 3 2m k= − + 3( 1) 2y k x= − + 1 3 7 14m k= − − 1 3 7 14y k x = − −   1 3 7 14  −  ， 0 0( )A x y， 0 0( )B x y−， 2 0 0 0 2 2 0 0 3 3( 1) 02 2 3 4 12 x y y x y    − + − − − =       + = ， ， 0 1 7x = 0 1x = 1 3 7 14  −  ， 1 3 7 14  −  ， 2 1 ln( ) 1xF x x −′ = − (1) 0F′ = 0 1x< < ( ) 0F x′ > ( )F x 1x > ( ) 0F x′ < ( )F x ( )F x (1) 1F b= − − 1 2 1 2 1 2 ln lnx xax b ax bx x = + = +， 2 1 1 1ln x ax bx= + 2 2 2 2ln x ax bx= + 2 1 2 1 2 1ln ln ( )[ ( ) ]x x x x a x x b− = − + + 1 2 1 2 1 2 1 2 2( ) ( ) 2 ( )x x g x x a x x b x x + + > ⇔ + + > + 2 1 2 1 1 2 ln ln 2x x x x x x −⇔ >− + 1 20 x x< < 2 2 1 1 2 1 2( )ln x x x x x x −> + 2 1 xt x = 2( 1)ln ( 1)1 tt tt −> >+设 ， ， 所以 在 上单调递增， 从而 ，即 ， 故原不等式得证． …………………………………………………（12 分） 2( 1)( ) ln ( 1)1 tt t tt ϕ −= − >+ 2 2 ( 1)( ) 0( 1) tt t t ϕ −′ = >+ ( )tϕ (1 + )∞， ( ) (1) 0tϕ ϕ> = 2( 1)ln ( 1)1 tt tt −> >+