易错点 13 模拟卷（二）
第 I 卷（选择题)
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一、单选题
1．（2020·天津高三月考）设集合 ， ，
，则
A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 .
故选 D。
2．（2019·北京高考模拟（文））在复平面内，复数 对应的点位于第二象限，则复数 可取
（ ）
A．2 B．-1 C． D．
【答案】B
【解析】不妨设 ，则 ，
结合题意可知： ，逐一考查所给的选项：
对于选项 A： ，不合题意；
对于选项 B： ，符合题意；
对于选项 C： ，不合题意；
对于选项 D： ，不合题意；
故选 B.
3．（2020·天津高三月考）设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
{ }1,1,2,3,5A = − { }2,3,4B =
{ |1 3}C x R x= ∈
2 4, 2 2a b b a+ = − = −
2 2,2 1a b b a+ = − − =
2 1,2 2a b b a+ = − =
2 5, 2 0a b b a+ = − =
Rx∈ 1 1| |2 2x − < 3 1x ( ) ln (0 )f x x x e= < < ( ) cosf x x= 2( ) 1f x x= −
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2, , , , 0x y x y x x y y x y x y+ − + ⋅ + ≤
1 2 2 1x y x y=
( )f x ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2x x y y x y x y+ − + ⋅ +
( )f x ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ,OA OB
y kx= ( )y f x=
1 ( 0)kx x xx
= + > 2( 1) 1k x− =
( ),1e 1y xe
= lny x= lnkx x=
对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函
数．
7．（2020·安徽省高三二模（理））我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂
势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这
两个几何体的体积相等.已知曲线 ，直线 为曲线 在点 处的切线.如图所示，阴影
部分为曲线 、直线 以及 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕 轴旋转一周所得的几何体为
.给出以下四个几何体：
① ② ③ ④
图①是底面直径和高均为 的圆锥；
图②是将底面直径和高均为 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；
图③是底面边长和高均为 的正四棱锥；
2:C y x= l C (1,1)
C l x y
T
1
1
1图④是将上底面直径为 ，下底面直径为 ，高为 的圆台挖掉一个底面直径为 ，高为 的倒置圆
锥得到的几何体.
根据祖暅原理，以上四个几何体中与 的体积相等的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【解析】 几何体 是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，
且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为 ，切线对应的横坐标为
，
切线为 ，即 ，
横截面面积
图①中的圆锥高为 1，底面半径为 ，可以看成由直线 绕 轴旋转得到
横截面的面积为 .
所以几何体 和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，
故选 A 项.
8．（2020·浙江省高一期中）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
边上的高为 ，则 的最大值是（ ）
A．8 B．6 C． D．4
【答案】D
【解析】
，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA ，①
而条件中的“高”容易联想到面积， bcsinA，即 a2＝2 bcsinA，②
将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋ sinA)，
2 1 1 2 1
T
T
1x 2x
( ) ( )2 , 2f x x f x x′= = ( )1 2k f ′∴ = =
( )1 2 1y x− = − 2 1y x= − 2
1 2
1, 2
yx y x
+∴ = =
2 2
2 1s x xπ π= − ( )2 21 1= 4 2
y yyπ π
+ − − =
1
2
2 1y x= + y
2
2 1
2
ys xπ π − = =
T
ABC∆ A B C a b c
BC 3
6 a c b
b c
+
3 2
2 2b c b c
c b bc
++ =
2 2 2
2
b c a
bc
+ −=
1 3 1
2 6 2a a× = 3
3∴ ＝2(cosA＋ sinA)＝4sin(A＋ )，当 A＝ 时取得最大值 4，故选 D．
二、多选题
9．（2020·山东省高一期末）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，
，侧面 为正三角形，且平面 平面 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．在棱 上存在点 M，使 平面
B．异面直线 与 所成的角为 90°
C．二面角 的大小为 45°
D． 平面
【答案】ABC
【解析】如图，对于 ，取 的中点 ，连接 ，∵侧面 为正三角形，
，又底面 是菱形， ， 是等边三角形，
，又 ， ， 平面 ，
平面 ，故 正确.
对于 ， 平面 ， ，即异面直线 与 所成的角为 90°，故 正确.
对于 ，∵平面 平面 ， ， 平面 ，
，
b c
c b
+ 3 6
π
3
π
P ABCD− ABCD
60DAB °∠ = PAD PAD ⊥ ABCD
AD AD ⊥ PMB
AD PB
P BC A− −
BD ⊥ PAC
A AD M ,PM BM PAD
PM AD∴ ⊥ ABCD 60DAB °∠ = ABD∴
AD BM∴ ⊥ PM BM M∩ = PM BM ⊂ PMB
AD∴ ⊥ PBM A
B AD ⊥ PBM AD PB∴ ⊥ AD PB B
C PBC ABCD BC= //BC AD BC∴ ⊥ PBM BC PB∴ ⊥
BC BM⊥是二面角 的平面角，设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，故二面角 的大小为
45°，故 正确.
对于 ，因为 与 不垂直，所以 与平面 不垂直，故 错误.
故选：
10．（2020·山东省高三其他）已知函数 的零点为 ，函数 的零
点为 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由 ， 得 ，
函数 与 互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数 ， ， 的图象，
如图所示，则 ，
由反函数性质知 关于(1，1)对称，
则 ， ， ，
∴A､B 错误，D 正确.
， 在 上单调递增，
且 ， ， .
又∵点 在直线 上，
即 ， ，故 C 正确.
PBM∴∠ P BC A− − 1AB = 3
2BM = 3
2PM =
Rt PBM△ tan 1PMPBM BM
∠ = = 45PBM °∠ = P BC A− −
C
D BD PA BD PAC D
ABC
( ) e 2xf x x= + − a ( ) ln 2g x x x= + −
b
e ln 2a b+ > e ln 2a b+ < 2 2 3a b+ < 1ab <
( ) 0f x = ( ) 0g x = e 2x x= − ln 2x x= −
exy = lny x=
exy = lny x= 2y x= −
( ),eaA a ( ,ln )B b b
,A B
2a b+ = e ln 2a b+ =
2( ) 14
a bab
+< =
( ) e 1 0xf x′ = + > ( )f x∴ R
(0) 1 0f = − < 1 3e 02 2f = − >
10 2a∴ < <
( e ), aA a 2y x= −
e 2a a b= − = 2 2 2 2 1e e 34
aa b a∴ + = + < + n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上
B．若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为
C．若 mn0，则 C 是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于 A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确；
对于 B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故 B 不正确；
对于 C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
2 2: 1C mx ny+ =
n
my xn
= ± −
0m n> > 2 2 1mx ny+ =
2 2
11 1
x y
m n
+ =
0m n> > 1 1
m n
<
C y
0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1x y n
+ =
C n
n
0mn < 2 2 1mx ny+ =
2 2
11 1
x y
m n
+ =
C由 可得 ，故 C 正确；
对于 D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确；
故选：ACD.
12．（2020·海南省高考真题）下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由函数图像可知： ，则 ，所以不选 A,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
2 2 0mx ny+ = my xn
= ± −
0, 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 1y n
=
ny n
= ± C x
πsin( 3x + ） πsin( 2 )3 x− πcos(2 6x + ） 5πcos( 2 )6 x−
2
2 3 6 2
T π ππ= − = 2 2 2T
π πω π= = =
2
53 6
2 12x
ππ π+
= = 1y = − ∴ ( )5 32 212 2 k k Z
π πϕ π× + = + ∈
( )22 3k kϕ π π= + ∈Z
2sin 2 2 sin 2 cos 2 sin 23 6 2 6 3y x k x x x
π π π ππ π = + + = + + = + = −
5cos 2 cos( 2 )6 6x x
π π + = − − 第 II 卷（非选择题)
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三、填空题
13．（2020·辽宁省高三一模（理））《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道
这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的 是
较小的两份之和，则最小一份的量为___.
【答案】
【解析】设此等差数列为{an}，公差为 d，则
（a3+a4+a5）× =a1+a2，即 ，解得 a1= ，d= ．最小一份为 a1，
故答案为 ．
14．（2020·全国高三其他（文））已知 是定义在 R 上的偶函数，且 ，当
时， ，当 时， ，则
_________.
【答案】
【解析】根据题意， 满足 ，即 ，则函数
是周期为 6 的周期函数，
当 时， ，则 ， ， ，
当 时， ，则 ，
函数 为偶函数，则 ， ， ，
函数 是周期为 6 的周期函数，则 ， ，
；
则
1
7
1
4 55 100,2a d
×+ =
1
7 1 1
1(3 9 ) 27a d a d+ × = + 5
3
55
6
( )f x ( 3 ) (3 )f x f x− − = −
3 1x− ≤ ≤ − 2( ) ( 2)f x x= − + 1 0x− < ≤ ( ) 2 1xf x = +
(1) (2) (3) (2020)f f f f+ + + + =
338−
( )f x ( 3 ) (3 )f x f x− − = − ( 3 ) [6 ( 3 )]f x f x− − = + − − ( )f x
3 1x− −
2( ) ( 2)f x x= − + ( 3) 1f − = − ( 2) 0f − = ( 1) 1f − = −
1 0x− < ( ) 2 1xf x = + (0) 2f =
( )f x ( ) ( )1 1 1f f= − = − ( ) ( )2 2 0f f= − = ( ) ( )3 3 1f f= − = −
( )f x ( ) ( )4 2 0f f= − = ( ) ( )5 1 1f f= − = −
( ) ( )6 0 2f f= =
(1) (2) (3) (2020)f f f f+ + + +；
故答案为： ．
15．（2020·全国高三其他（理））已知 为 的外心，且 ， ，则
实数 的值为______．
【答案】
【解析】如图所示，取边 的中点 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ， ， 三点共线， ，
因为 为 的外心，所以 ， ，
所以 ， ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
四、双空题
16．（2019·北京高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、
京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这
四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成
功后，李明会得到支付款的 80%．
①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为
__________．
【答案】130. 15.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )336 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4f f f f f f f f f f = + + + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )336 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 338 = − + + − + + − + + − + + − + = −
338−
P ABC PA PB mPC+ = 12tan 5C =
m
10
13
−
AB D 2PA PB PD+ =
PA PB m PC+ = ⋅ 2PD m PC= ⋅ C P D 0m <
P ABC PD AB⊥ PB PC PA= =
AC BC= BPD ACB∠ = ∠
12tan 5ACB∠ = 5
13
PD
PB
=
2 5 102 13 13
PD
m
PC
= − = − × = −
【解析】(1) ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 元,
元时,李明得到的金额为 ,符合要求.
元时,有 恒成立,即 ,即 元.
所以 的最大值为 .
五、解答题
17．（2015·天津高考真题（文））在 中，内角 所对的边分别为 ，已知
的面积为 ．
(1) 求 和 的值；
(2) 求 的值．
【答案】（1） ， （2）
【解析】（1）△ABC 中,由 得 由 ,得 又由
解得 由 ,可得 a=8.由 ,得 .
（2） ,
18．（2020·黑龙江省高三月考（理））甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，
答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环
节”，答题规则是：每位同学各自从备选的 5 道不同题中随机抽出 3 道题进行答题，答对一题加 10
分，答错一题（不答视为答错）减 5 分，已知甲能答对备选 5 道题中的每道题的概率都是 ，乙
恰能答对备选 5 道题中的其中 3 道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规
则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以
此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第 1 题，若答对继续答第 2 题，如果第 2 题也答对，继续答第
3 题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共
计答完 20 道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且
10x = ( )60 80 10 130+ − =
y
120y < 80%y×
120y ≥ ( ) 80% 70%y x y− × ≥ × ( )8 7 , 8
yy x y x− ≥ ≤
min
158
yx ≤ =
x 15
ABC , ,A B C , ,a b c ABC
13 15, 2,cos 4b c A− = = −
a sinC
cos(2 )6A
π+
8a = 15sin 8C = 15 7 3
16
−
1cos ,4A = − 15sin ,4A = 1 sin 3 152 bc A = 24,bc =
2,b c− = 6, 4.b c= = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
sin sin
a c
A C
= 15sin 8C =
( )2π π π 3cos 2 cos2 cos sin 2 sin 2cos 1 sin cos6 6 6 2A A A A A A + = − = − −
15 7 3
16
−=
2
3记第 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为 （ ），其中 ，已知供
甲乙回答的 20 道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是 ，如果某位同学有机会答第 道
题且回答正确则该同学加 10 分，答错（不答视为答错）则减 5 分，甲乙答题相互独立；两轮答题
完毕总得分高者胜出.回答下列问题
（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由
（2）①求第二轮答题中 ， ；
②求证 为等比数列，并求 （ ）的表达式.
【答案】（1）第二轮最先开始答题的是甲；详见解析（2）① ， ②证明见解析；
（ ）
【解析】(1)设甲选出的 3 道题答对的道数为 ,则 ,
设甲第一轮答题的总得分为 ,则 ,
所以 ;
(或法二:设甲的第一轮答题的总得分为 ,则 的所有可能取值为 30,15,0,-15,
且 ,
,
,
,
故得分为 的分布列为:
30 15 0 -15
n nP 1 20n≤ ≤ 1 1P =
1
3
n
2P 3P
1
2nP − nP 1 20n≤ ≤
2
1
3P = 3
5
9P =
11 1 1
2 2 3
n
nP
− = + × − 1 20n≤ ≤
ξ 23, 3~ Bξ
x 10 5(3 ) 15 15x ξ ξ ξ= − − = −
215 15 15 3 15 153Ex Eξ= − = × × − =
x x
3
3
3
2 8( 30) 3 27P x C = = =
2
2
3
1 2 12( 15) 3 3 27P x C = = =
2
1
3
1 2 6( 0) 3 3 27P x C = = =
3
0
3
1 1( 15) 3 27P x C = − = =
x
x;)
设乙的第一轮得分为 ,则 的所有可能取值为 30,15,0,
则 , , ,
故 的分布列为:
30 15 0
故 ,
∵ ,所以第二轮最先开始答题的是甲.
(2)①依题意知 , , ,
②依题意有 ( ),
∴ ,( ),
又 ,
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列,
∴ ,
∴ ( ).
19．（2020·辽宁省高二月考）如图，在三棱锥 中， ，
P 8
27
12
27
6
27
1
27
8 12 130 15 15 1527 27 27Ex = × + × − × =
y y
3
3
3
5
1( 30) 10
CP y C
= = =
2 1
3 2
3
5
6( 15) 10
C CP y C
= = =
1 2
3 2
3
5
3( 0) 10
C CP y C
= = =
y
x
P 1
10
6
10
3
10
1 630 15 1210 10Ey = × + × =
Ex Ey>
1 1P = 2
1
3P = 3
1 1 2 2 5
3 3 3 3 9P = × + × =
( )1 1 1
1 2 1 213 3 3 3n n n nP P P P− − −= × + − × = − + 2n ≥
1
1 1 1
2 3 2n nP P −
− = − − 2n ≥
1
1 1
2 2P − =
1
2nP −
1
2
1
3
−
11 1 1
2 2 3
n
nP
− − = × −
11 1 1
2 2 3
n
nP
− = + × − 1 20n≤ ≤
P ABC− 2 2AB BC= =， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）因为 ，为的中点，所以 ，且 .
连结.因为 ，所以 为等腰直角三角形，
且 ， .
由 知 .
由 知 平面 .
（2）如图，以为坐标原点，的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .
由已知得 取平面 的法向量 .
设 ，则 .
设平面 的法向量为 .
由 得 ，可取 ，
4PA PB PC AC= = = = O AC
PO ⊥ ABC
M BC M PA C− − 30° PC PAM
3
4所以 .由已知得 .
所以 .解得 （舍去）， .
所以 .又 ，所以 .
所以与平面 所成角的正弦值为.
20．（2020·天津高三月考）已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设 O 为原点，直线 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交
于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线 l 经过定点.
【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ）见解析.
【解析】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为 ，所以 ；
因为椭圆经过点 ,所以 ，所以 ，故椭圆的方程为 .
（Ⅱ）设
联立 得 ，
， ，
.
直线 ，令 得 ，即 ；
同理可得 .
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = (1,0) (0,1)A
: ( 1)l y kx t t= + ≠ ±
2
2 12
x y+ =
(1,0) 12
25
(0,1)A 1b = 2 2 2 2a b c= + =
2
2 12
x y+ =
1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y
2
2 12
( 1)
x y
y kx t t
+ =
= + ≠
2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x ktx t+ + + − =
2
1 2 1 22 2
4 2 20, ,1 2 1 2
kt tx x x xk k
−∆ > + = − =+ + 1 2 1 2 2
2( ) 2 1 2
ty y k x x t k
+ = + + = +
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 2
2( ) 1 2
t ky y k x x kt x x t k
−= + + + = +
1
1
1: 1 yAP y xx
−− = 0y = 1
1 1
xx y
−= −
1
1 1
xOM y
−= −
2
2 1
xON y
−= −因为 ,所以 ；
，解之得 ，所以直线方程为 ，所以直线 恒过定点 .
21．（2020·福建省建瓯市芝华中学高二月考）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近
年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用
情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本
中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：
交付金额（元）
支付方式
（0,1000] （1000,2000] 大于 2000
仅使用 A 18 人 9 人 3 人
仅使用 B 10 人 14 人 1 人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额
大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查
3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中
本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ)见解析；
(Ⅲ)见解析.
【解析】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为： 人，则：
该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率 .
(Ⅱ)由题意可知，
2OM ON = 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
21 1 ( ) 1
x x x x
y y y y y y
− − = =− − − + +
2
2
1 12 1
t
t t
− =− + 0t = y kx= l (0,0)
2
5
100 30 25 5 40− − − =
40 2
100 5p = =仅使用 A 支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 ，金额大于 1000 的人数占 ，
仅使用 B 支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 ，金额大于 1000 的人数占 ，
且 X 可能的取值为 0,1,2.
， ， ，
X 的分布列为：
X 0 1 2
其数学期望： .
(Ⅲ)我们不认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化.理由如下：
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越
稳定于概率．
学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现
题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.
22．（2020·山西省高三其他（理））已知函数 ，其定义域为 .（其中常
数 ，是自然对数的底数）
（1）求函数 的递增区间；
（2）若函数 为定义域上的增函数，且 ，证明: .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）易知 ，
①若 ，由 解得 ，∴函数 的递增区间为 ；
②若 ，则
1
+ 0 - 0 +
3
5
2
5
2
5
3
5
( ) 3 2 60 5 5 25p X = = × = ( ) 2 23 2 131 5 5 25p X = = + =
( ) 3 2 62 5 5 25p X = = × =
( )p X 6
25
13
25
6
25
( ) 6 13 60 1 2 125 25 25E X = × + × + × =
( ) ( 2)x af x e x x
= − − (0, )+∞
2.718 28e =
( )f x
( )f x 1 2( ) ( ) 4f x f x e+ = − 1 2 2x x+ ≥
( ) ( )( )2
2
1xe x x a
f x x
− −
′ =
0a ≤ ( ) 0f x′ > 1x > ( )f x ( )1,+∞
0 1a< <
x ( )0, a a ( ),1a ( )1,+∞
( )f x′↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴函数 的递增区间为 和 ；
③若 ，则 ，∴函数 的递增区间为 ；
④若 ，则
1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴函数 的递增区间为 和 ；
综上，若 ， 的递增区间为 ；
若 ， 的递增区间为 和 ；
若 ，函数 的递增区间为 ；
若 ，函数 的递增区间为 和 .
（2）∵函数 为 上的增函数，∴ ，即 ，
注意到 ，故 ，
∴不妨设 ，
欲证 ，只需证 ，只需证 ，
即证 ，即证 ，
令 ， ，只需证 ，
∴ ，
( )f x
( )f x ( )0, a ( )1,+∞
1a = ( ) ( ) ( )2
2
1 1 0
xe x xf x x
+=′ − ≥ ( )f x ( )0,+∞
1a >
x ( )0,1 ( )1, a a ( ),a +∞
( )f x′
( )f x
( )f x ( )0,1 ( ),a +∞
0a ≤ ( )f x ( )1,+∞
0 1a< < ( )f x ( )0, a ( )1,+∞
1a = ( )f x ( )0,+∞
1a > ( )f x ( )0,1 ( ),a +∞
( )f x ( )0,+∞ 1a = ( ) 1 2xf x e x x
= − −
( )1 2f e= − ( ) ( ) ( )1 2 4 2 1f x f x e f+ = − =
1 20 1x x< ≤ ≤
1 2 2x x+ ≥ 2 12x x≥ − ( ) ( )2 12f x f x≥ −
( ) ( )1 14 2e f x f x− − ≥ − ( ) ( )1 12 4f x f x e+ − ≤ −
( ) ( ) ( )2x f x f xϕ = + − 0 1x< ≤ ( ) ( )1xϕ ϕ≤
( ) ( ) ( )2x f x f xϕ = −′ ′ −′ = ( ) ( ) ( )
( )
2 2
22
22
1 31
2
x
x e x xe x x x
−
−
+ −− −
− 下证 ，即证 ，
由熟知的不等式 可知 ，
当 时，即 ，
∴ ，
易知当 时， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 单调递增，即 ，从而 得证.
( ) 0xϕ′ ≥ ( ) ( )
( )
2 2
22
1 3 0
2
xe x x
x x
− + −− ≥
−
1xe x≥ + ( ) ( )2 22 2 1 21 1x xe e x x− −= ≥ + − =
0 1x< ≤
2 2
2 1
xe
x
−
≥
( ) ( )
( )
2 2
22
1 3
2
xe x x
x x
− + −−
−
( )
( )2
31
2
xx
x
−≥ + −
− ( )
3 2
2
3 1
2
x x x
x
− + +=
−
0 1x< ≤ 2 2 1 0x x− − < ( )( )3 2 23 1 1 2 1 0x x x x x x− + + = − − − ≥
( ) ( )
( )
2 2
22
1 3 0
2
xe x x
x x
− + −− ≥
−
( ) 0xϕ′ ≥ ( )xϕ ( ) ( )1xϕ ϕ≤ 1 2 2x x+ ≥
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