易错点 12 模拟卷(一)
一、单选题
1.(2020·海南省高考真题) =( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
故选:B
2.(2019·辽宁省高考模拟(文))已知集合 , ,则
( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】集合
集合 ={x|﹣2 ⋅ +
( ) ( )H X H Y>
( ) 2 lnf x xx
= +
2x = ( )f x
( )y f x x= -
k ( )f x kx>
1x 2x 1 2x x> ( ) ( )1 2f x f x= 1 2 4x x+ >
2 2
2 1 2x
x x x
−= − + =
2
x
= + 2
2 1
x x
= − + − 2
2
2x x
x
− + −= <
2= + 1= +
2
2 lnx
x x
+< 2
2 lnx
x x
= + 3
4 x xlnx
x
− + −=∴g(x) 在(0,+∞)上函数单调递减,函数无最小值,
∴不存在正实数 k,使得 f(x)>kx 恒成立,即 C 不正确;
D.令 t∈(0,2),则 2﹣t∈(0,2),2+t>2,
令 g(t)=f(2+t)﹣f(2﹣t) ln(2+t) ln(2﹣t) ln ,
则 g′(t) 0,
∴g(t)在(0,2)上单调递减,
则 g(t)<g(0)=0,
令 x1=2﹣t,
由 f(x1)=f(x2),得 x2>2+t,
则 x1+x2>2﹣t+2+t=4,
当 x2≥4 时,x1+x2>4 显然成立,
∴对任意两个正实数 x1,x2,且 x2>x1,若 f(x1)=f(x2),则 x1+x2>4,故 D 正确
故正确的是 BD,
故选:BD.
第 II 卷(非选择题)
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三、填空题
13.(2020·重庆高三月考(理)) 展开式的常数项是__________.
【答案】-8
【解析】因为 的通项为 ,
所以展开式的常数项为 。
14.(2020·全国高二)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出 0
到 9 之间取整数的随机数,指定 0,1,2,3 表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9 表示击中目标,
以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组如下的随机数:
7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
2
2 lnx
x x
= +
2
2 t
= ++
2
2 t
− −− 2
4
4
t
t
= +−
2
2
t
t
+
−
( )2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 8 2 2 2 4 16 4 8
( 4) 2 (2 ) ( 4) 4 ( 4)
t t t t t t t
t t t t t t
− − − − + + − − −= + ⋅ = + =− + − − − − <
2 51( 2)( 1)x x
− −
51 1x
−
( )1 5
1 1
n r
rr
rT C x
−
+
= −
( ) ( ) ( )2 0
3 52 3 5
5 5
1 11 + 2 1 = 10+2= 8x C Cx x
− − − − − 根据以上数据估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为__________.
【答案】
【解析】由随机数表可知,共有 20 个随机事件,其中该运动员射击 4 次至少击中 3 次
有:9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共有 7 个随机事件,因此估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次
的概率为 .
故答案为
15.(2020·浙江省高二期末)若不等式 在 上恒成立,则正实数 的取
值范围是________.
【答案】
【解析】设 ,其中 .
①当 时,即当 时, ,
则函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
, ,则 ,解得 ,此时 ;
②当 时,即当 时, .
(i)若 时,即当 时,函数 在区间 上单调递减,在区间
单调递增,在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.
, , , ,所以, ,解得
,不合题意;
(ii)当 时,函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
, , ,
7
20
7
20
7
20
2 2 3x x a a− − ≤ − [ ]1,1x∈ − a
5 ,3
+∞
( ) 2 2f x x x a= − − [ ]1,1x ∈ −
2 1a ≥ 1
2a ≥ ( ) 2 2f x x x a= + −
( )y f x= 11, 2
− −
1 ,12
−
( )1 2 2f a= − ( )1 2f a− = − ( )max 2 2 3f x a a= − ≤ − 5
3a ≥ 5
3a ≥
0 2 1a< < 10 2a< < ( ) 2
2
2 , 1 2
2 ,2 1
x x a x af x
x x a a x
+ − − ≤ ≤= − + < ≤
10 2 2a< < 10 4a< ≤ ( )y f x= 11, 2
− −
1 ,22 a −
12 , 2a
1 ,12
( )1 2f a− = − ( ) 22 4f a a= ( )1 2f a= ( ) ( )2 1f a f< ( )max 2 3f x a a= ≤ −
3a ≤ −
1 2 12 a≤ < ( )y f x= 11, 2
− −
1 ,12
−
( )1 2f a− = − ( )1 2f a= ( ) ( )1 1f f> −则 ,解得 ,不合题意.
综上所述,正实数 的取值范围是 .
故答案为: .
四、双空题
16.(2020·浙江省高一期中)如图所示,矩形 满足 ,点 是以 为圆心且
与直线 相切的圆上的任意一点,设 ,则 的取值范围是_______;
的取值范围是____.
【答案】
【解析】以点 为坐标原点, 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标
系,
则点 、 、 、 ,
直线 的方程为 ,即 ,
( )max 2 3f x a a= ≤ − 3a ≤ −
a 5 ,3
+∞
5 ,3
+∞
ABCD 2 4AB BC= = M C
BD AM AB ADλ µ= + λ µ+
AM DB⋅
[ ]1,3 [ ]4,20
A AB AD x y
( )0,0A ( )4,0B ( )4,2C ( )0,2D
BD 14 2
x y+ = 2 4 0x y+ − =圆 的半径为 ,所以,圆 的方程为 ,
设点 ,
,即 ,
所以, ,可得 ,
所以, ,其中 为锐角,且 ,
,
,
其中 为锐角,且 .
故答案为: ; .
五、解答题
17.(2020·海南省高考真题)在①푎푐 = 3,②푐sin퐴 = 3,③푐 = 3푏这三个条件中任选一个,补充
在下面问题中,若问题中的三角形存在,求푐的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在 △ 퐴퐵퐶,它的内角퐴,퐵,퐶的对边分别为푎,푏,푐,且sin퐴 = 3sin퐵,퐶 = 휋
6,________?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】详见解析
【解析】解法一:
由sin퐴 = 3sin퐵可得:푎
푏 = 3,
不妨设푎 = 3푚,푏 = 푚(푚 > 0),
则:푐2 = 푎2 + 푏2 ― 2푎푏cos퐶 = 3푚2 + 푚2 ― 2 × 3푚 × 푚 × 3
2 = 푚2,即푐 = 푚.
选择条件①的解析:
C 4 2 2 4 4 5
55
r
+ × −= = C ( ) ( )2 2 164 2 5x y− + − =
4 5 4 54 cos ,2 sin5 5M θ θ + +
AM AB ADλ µ= +
( ) ( ) ( )4 5 4 54 cos ,2 sin 4,0 0,2 4 ,25 5
θ θ λ µ λ µ + + = + =
4 54 4 cos5
4 52 2 sin5
λ θ
µ θ
= +
= +
51 cos5
2 51 sin5
λ θ
µ θ
= +
= +
( ) [ ]2 5 5sin cos 2 sin 2 1,35 5
λ µ θ θ θ ϕ+ = + + = + + ∈ ϕ 1tan 2
ϕ =
( )4, 2DB = −
4 5 4 5 8 5 16 54 4 cos 2 2 sin 12 sin cos5 5 5 5AM DB θ θ θ θ ⋅ = + − + = − −
( ) [ ]12 8sin 4,20θ α= − − ∈
α tan 2α =
[ ]1,3 [ ]4,20据此可得:푎푐 = 3푚 × 푚 = 3푚2 = 3, ∴ 푚 = 1,此时푐 = 푚 = 1.
选择条件②的解析:
据此可得:cos퐴 = 푏2 + 푐2 ― 푎2
2푏푐 = 푚2 + 푚2 ― 3푚2
2푚2 = ― 1
2,
则:sin퐴 = 1 ― ( ― 1
2)
2
= 3
2 ,此时:푐sin퐴 = 푚 × 3
2 = 3,则:푐 = 푚 = 2 3.
选择条件③的解析:
可得푐
푏 = 푚
푚 = 1,푐 = 푏,
与条件푐 = 3푏矛盾,则问题中的三角形不存在.
解法二:∵푠푖푛퐴 = 3푠푖푛퐵,퐶 = 휋
6,퐵 = 휋 ― (퐴 + 퐶),
∴푠푖푛퐴 = 3푠푖푛(퐴 + 퐶) = 3푠푖푛(퐴 + 휋
6),
푠푖푛퐴 = 3푠푖푛(퐴 + 퐶) = 3푠푖푛퐴· 3
2 + 3푐표푠퐴·1
2 ,
∴푠푖푛퐴 = ― 3푐표푠퐴,∴푡푎푛퐴 = ― 3,∴퐴 = 2휋
3 ,∴퐵 = 퐶 = 휋
6,
若选①,푎푐 = 3,∵푎 = 3푏 = 3푐,∴ 3푐2 = 3,∴c=1;
若选②,푐푠푖푛퐴 = 3,则 3푐
2 = 3,푐 = 2 3;
若选③,与条件푐 = 3푏矛盾.
18.(2020·天津耀华中学高三二模)如图,在四棱锥 中, 底面
, ,点 为棱 的中点.
(1)证明: ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(3)若 为棱 上一点,满足 ,求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) ;(3) .
【解析】依题意,以点 为原点建立空间直角坐标系(如图),可得 ,
P ABCD− PA ⊥
, , / /ABCD AD AB AB DC⊥ 2, 1AD DC AP AB= = = = E PC
BE DC⊥
BE PBD
F PC BF AC⊥ F AB P− −
3
3
3 10
10
E (1,0,0), (2,2,0)B C,由点 为棱 的中点,得 .
(1)向量 , ,故 . ∴ .
(2)向量 ,设 为平面 的法向量,则 ,
即 ,
不妨令 ,可得 为平面 的一个法向量.
于是有 ,
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(3) ,
由点 在棱 上,故 ,
由 ,得 ,解得 ,即 .
设 为平面 的法向量,则 ,即 ,不妨令 ,
可得 为平面 的一个法向量.取平面 的法向量 ,则
.
(0,2,0), (0,0,2)D P E PC ( )1,1,1E
( )0,1,1BE = ( )2,0,0DC = 0BE DC⋅ = BE CD⊥
( 1,2,0), (1,0, 2)BD PB= − = − ( )1 , ,n x y z= PBD
0
0
n BD
n PB
⋅ =
⋅ =
2 0
2 0
x y
x z
− + =
− =
1z = ( )2,1,1n = PBD
2 3cos , 3| | | | 6 2
n BEn BE
n BE
×〈 〉 = = =
× ×
BE PBD 3
3
( )2, 2,2 , (2,2,0), (1,0,0),CP AC AB= − − = =
F PC (1 2 ,2 2 ,2 )BF BC CF BC lCP l l l= + = + = − −
BF AC⊥ +22(1 2 ) (2 2 =0)l l− − 3
4l = 1 1 3, ,2 2 2BF = −
1 ( , , )n x y z= ABF 1
1
0
0
n AB
n BF
⋅ =
⋅ =
0
1 1 3 02 2 2
x
x y z
=− + + =
1z =
1 (0, 3,1)n = − ABF PAB 2 (0,1,0)n =
1 2
1 2
1 2
3 3 10cos , 1010
n nn n
n n
⋅ −= = = −
⋅
易知,二面角 是锐角,∴其余弦值为 .
19.(2020·四川省高三月考(文))某餐厅通过查阅了最近 5 次食品交易会参会人数 (万
人)与餐厅所用原材料数量 (袋),到如下统计表:
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
参会人数 (万人) 13 9 8 10 12
原材料 (袋) 32 23 18 24 28
(1)根据所给 5 组数据,求出 关于 的线性回归方程 ;
(2)已知购买原材料的费用 (元)与数量 (袋)关系为 ,投
入使用的每袋原材料相应的销售收入为 700 元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交易大会大
约有 15 万人参加.根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大
利润,最大利润是多少?(注:利润 销售收入 原材料费用)..
参考公式: , .
参考数据: , , .
【答案】(1) .
(2)餐厅应该购买 36 袋原材料,才能使利润获得最大,最大利润为 11520 元.
【解析】(1)由所给数据可得: , ,
, ,
则 关于 的线性回归方程为 .
(2)由(1)中求出的线性回归方程知,当 时, ,即预计需要原材料 袋,
F AB P− − 3 10
10
x
y
x
y
y x ˆ ˆy bx a= +
C t
( )
( )
400 20,0 36
380 , 36
t t t NC t t t N
− < < ∈= ≥ ∈
L = −
( )( )
( )
^
1
1
1 1
2
1
2
n n
i i i i
i i
n n
i
i i
i
x x y y x y
b
x x x
nxy
nx
= =
= =
− −
= =
− −
−∑ ∑
∑ ∑
ˆˆa y bx= −
5
1
1343i i
i
x y
=
=∑ 5
2
1
558i
i
x
=
=∑ 5
2
1
3237i
i
y
=
=∑
2.5 1y x= −
13 9 8 10 12 10.45x
+ + + += = 32 23 18 24 28 255y
+ + + += =
5
1
5 22 2
1
5 1343 5 10.4 25 2.5558 5 10.45
ˆ i ii
ii
x y xy
b
x x
=
=
− − × ×= = =− ×−
∑
∑ 25 2.5 10.4 1ˆˆa y bx= − = − × = −
y x 2.5 1ˆ ˆy x= −
15x = 36.5y = 36.5因为 ,所以
当 时,利润 ,
当 时, ;
当 时,利润 ,
当 时, ,
当 时, .
综上所述,餐厅应该购买 36 袋原材料,才能使利润获得最大,最大利润为 11520 元.
20.(2020·天津高考真题)已知 为等差数列, 为等比数列,
.
(Ⅰ)求 和 的通项公式;
(Ⅱ)记 的前 项和为 ,求证: ;
(Ⅲ)对任意的正整数 ,设 求数列 的前 项和.
【答案】(Ⅰ) , ;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ) .
【解析】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 q.
由 , ,可得 d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ,
又 q≠0,可得 ,解得 q=2,
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得 ,
400 20,0 36,
380 , 36,
t t t NC t t t N
− < < ∈= ≥ ∈
36t < ( )700 400 20 300 20L t t t= − − = +
35t = max 300 35 20 10480L = × − =
36t≥ 700 380 320L t t t= − =
36t = 700 36 380 36 11520L = × − × =
37t = 700 36.5 380 37 11416L = × − × =
{ }na { }nb
( ) ( )1 1 5 4 3 5 4 31, 5 , 4a b a a a b b b= = = − = −
{ }na { }nb
{ }na n nS ( )2 *
2 1n n nS S S n+ +< ∈N
n
( )
2
1
1
3 2 , ,
, .
n n
n n
n
n
n
a b na ac
a nb
+
−
+
−
=
为奇数
为偶数
{ }nc 2n
na n= 12n
nb −= 4 6 5 4
2 1 9 4 9
n
n
n
n
+− −+ ×
{ }na d { }nb
1 1a = ( )5 4 35a a a= −
{ }na na n=
( )1 5 4 31, 4b b b b= = −
2 4 4 0q q− + =
{ }nb 12n
nb −=
( 1)
2n
n nS
+=故 , ,
从而 ,
所以 .
(Ⅲ)当 n 为奇数时, ,
当 n 为偶数时, ,
对任意的正整数 n,有 ,
和 ①
由①得 ②
由①②得 ,
由于 ,
从而得: .
因此, .
所以,数列 的前 2n 项和为 .
21.(2020·山西省高三月考(理))已知椭圆 : 的离心率为 ,且椭圆
2
1 ( 1)( 2)( 3)4n nS S n n n n+ = + + + ( ) ( )2 22
1
1 1 24nS n n+ = + +
2
2 1
1 ( 1)( 2) 02n n nS S S n n+ +− = − + + <
2
2 1n n nS S S+ +<
( ) 1 1 1
2
3 2 (3 2)2 2 2
( 2) 2
n n n
n n
n
n n
a b nc a a n n n n
− + −
+
− −= = = −+ +
1
1
1
2
n
n n
n
a nc b
−
+
−= =
2 2 2 2
2 1
1 1
2 2 2 12 1 2 1 2 1
k k nn n
k
k k
c k k n
−
−
= =
= − = − + − +
∑ ∑
2 2 3 1
1 1
2 1 1 3 5 2 3 2 1
4 4 4 4 4 4
n n
k k n n
k k
k n nc −
= =
− − −= = + + + + +∑ ∑
2 2 3 14
1
1 1 3 5 2 3 2 1
4 4 4 4 4 4
n
k n n
k
n nc +
=
− −= + + + + +∑
2 2 1 1
1
2 113 1 2 2 2 1 1 2 14 4
14 4 4 4 4 4 41 4
nn
k n n n
k
n nc + +
=
− − − = + + + − = − −
−
∑
1 1
2 11 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 5 6 54 4
1 4 4 3 3 4 4 4 4 12 3 41 4
n
n n n n
n n n
+ +
− − − + − − = − × − − × = − ×−
2
1
5 6 5
9 9 4
n
k n
k
nc
=
+= − ×∑
2
2 1 2
1 1 1
4 6 5 4
2 1 9 4 9
nn n n
k k k n
k k k
nc c c n−
= = =
+= + = − −+ ×∑ ∑ ∑
{ }nc 4 6 5 4
2 1 9 4 9
n
n
n
n
+− −+ ×
M
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3
2上一点 的坐标为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)设直线 与椭圆 交于 , 两点,且以线段 为直径的圆过椭圆的右顶点 ,求
面积的最大值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)由已知 ,又 ,则 .
椭圆方程为 ,将 代入方程得 , ,
故椭圆的方程为 ;
(2)不妨设直线 的方程 ,
联立 消去 得 .
设 , ,则有 , ①
又以线段 为直径的圆过椭圆的右顶点 ,∴ ,
由 , 得 ,
将 , 代入上式得
,
将①代入上式求得 或 (舍),
则直线 恒过点 .
∴ ,
P 22, 2
M
l M A B AB C ABC∆
2
2 14
x y+ = 16
25
3
2
ce a
= = 2 2 2a b c= + 2a b=
2 2
2 2 14
x y
b b
+ = 2( 2, )2
1b = 2a =
2
2 14
x y+ =
AB x ky m= +
2
2 14
x y
x ky m
+ =
= +
x ( )2 2 24 2 4 0k y kmy m+ + + − =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 2
2
4
kmy y k
−+ = +
2
1 2 2
4
4
my y k
−⋅ = +
AB C 0CA CB⋅ =
1 1( 2, )CA x y= −
2 2( 2, )CB x y= − ( )( )1 2 1 22 2 0x x y y− − + =
1 1x ky m= + 2 2x ky m= +
( ) ( )2 2
1 2 1 21 ( 2) ( 2) 0k y y k m y y m+ + − + + − =
6
5m = 2m =
l 6( ,0)5
( )2
1 2 1 2 1 2
1 1 4| | 42 2 5ABCS DC y y y y y y∆ = − = + − ⋅×
( )
( )
2
22
25 4 368
25 4
k
k
+ −
=
+设 ,则 在 上单调递增,
当 时, 取得最大值 .
22.(2020·全国高三其他(文))已知 .
(1)设 是 的极值点,求实数 的值,并求 的单调区间:
(2) 时,求证: .
【答案】(1) 单调递增区间为 ,单调递减区间为 ; (2)见解析.
【解析】(1)由题意,函数 的定义域为 ,
又由 ,且 是函数 的极值点,
所以 ,解得 ,
又 时,在 上, 是增函数,且 ,
所以 ,得 , ,得 ,
所以函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
(2)由(1)知因为 ,在 上, 是增函数,
又 (且当自变量 逐渐趋向于 时, 趋向于 ),
所以, ,使得 ,
所以 ,即 ,
在 上, ,函数 是减函数,
在 上, ,函数 是增函数,
所以,当 时, 取得极小值,也是最小值,
2
1 1(0 )4 4t tk
= < ≤+
28 36 2525ABCS t t∆ = − + 1(0, ]4t ∈
1
4t = ABCS∆
16
25
21( ) ln2
xf x x ae x= + −
1
2x = ( )f x a ( )f x
0a > ( ) 1
2f x >
3
2
ea e
= 1 ,2
+∞
10, 2
( )f x ( )0,+∞
( ) 1xf x x ae x
′ = + − 1
2x = ( )f x
1
21 1 2 02 2f ae = +′ − =
3
2
ea e
=
0a > ( )0,+∞ ( )f x′ 1 02f =
′
( ) 0f x′ > 1
2x > ( ) 0f x′ < 10 2x< <
( )f x 1 ,2
+∞
10, 2
0a > ( )0,+∞ ( ) 1xf x x ae x
′ = + −
( )1 1 1 0f ae′ = + − > x 0 ( )f x′ −∞
( )0 0,1x∃ ∈ ( )0 0f x′ =
0
0
0
1 0xx ae x
+ − = 0
0
0
1xae xx
= −
( )00,x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
0x x= ( )f x所以 ,
令 ,
则 ,
当 时, ,函数 单调递减,所以 ,
即 成立,
( ) ( ) 02 2
0 0 0 0 0 0 0min
0
1 1 1ln ln ,(0 1)2 2
xf x f x x ae x x x x xx
= = + − = + − − < <
( ) 21 1 ln ,(0 1)2g x x x x xx
= + − − < <
( ) ( )2 2
1 1 11 1 xg x x xx x x
+= − − − = − −′
( )0,1x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) ( ) 11 2g x g> =
( ) ( )min
1
2f x f x≥ >