易错点 08 不等式
—备战 2021 年高考数学一轮复习易错题
【典例分析】
（2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于 A， ，
当且仅当 时，等号成立，故 A 正确；
对于 B， ，所以 ，故 B 正确；
对于 C， ，
当且仅当 时，等号成立，故 C 不正确；
对于 D，因为 ，
2 2 1
2a b+ ≥ 12 2
a b− >
2 2log log 2a b+ ≥ − 2a b+ ≤
1a b+ =
( )22 2 2 21 2 2 1a b a a a a+ = + − = − +
21
2
1 12 2 2a
+
≥−=
1
2a b= =
2 1 1a b a− = − > − 1 12 2 2
a b− −> =
2
2 2 2 2 2
1log log log log log 22 4
a ba b ab
+ + = ≤ = = −
1
2a b= =
( )2
1 2 1 2a b ab a b+ = + ≤ + + =所以 ，当且仅当 时，等号成立，故 D 正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，
侧重考查数学运算的核心素养.
【易错警示】
易错点 1．随意消项致误
【例 1】解不等式; ．
【错解】原不等式可化为： ，因为 ，
所以 ，所以 ，故原不等式的解集为： ．
【错因】错误是由于随意消项造成的，事实上，当 时，原不等式亦成立．
【正解】原不等式可化为： 或 ，解得 或 或 ．
所以原不等式的解集为：
易错点 2．认为分式不等式与二次不等式等价致误
【例 2】解不等式; ．
【错解】原不等式可化为： ，解得 ，所以原不等式的解集为
．
【错因】没有考虑分母不能为 0
2a b+ ≤ 1
2a b= =
2 2( 10 25)( 4 3) 0x x x x− + − + ≥
2( 5) ( 1)( 3) 0x x x− − − ≥ 2( 5) 0x − ≥
( 1)( 3) 0x x− − ≥ 3 1x x≥ ≤或 { }| 3 1x x x≥ ≤或
2( 5) 0x − =
5 0
( 1)( 3) 0
x
x x
− ≠
− − ≥ 5 0x − = 3x ≥ 1x ≤ 5x =
{ }3 1 5x x x≥ ≤ =x| 或 或
1 02
x
x
− ≤+
( 1)( 2) 0x x− + ≤ 2 1x− ≤ ≤
[ 2,1]−【正解】原不等式可化为： ，解得 ，
所以原不等式的解集为 ．
易错点 3．不等式两边同乘一个符号不确定的数致误
【例 3】解不等式; ．
【错解】不等式两边同乘以 得： ，解得 ，
所以原不等式的解集为 ．
【错因】两边同乘以 ，导致错误
【正解】原不等式可化为： ，解得 或 ，
所以原不等式的解集为 ．
易错点 4．漏端点致误
【例 4】集合 ，且 ，则实数的取值
范围是______
【错解】 ，若使 ，
需满足 ．解得 ，所以实数 a 的取值范围是
．
【错因】忽视了集合 的两个端点值-1 和 2，其实当 时
，满足 ；当 时，即 时也满足 ．
【 正 解 】 若 使 ， 需 满 足
( 1)( 2) 0
2
x x
x
− + ≤
≠ − 2 1x− < ≤
( 2,1]−
1 22
x
x
− ≤+
2x + 1 2( 2)x x− ≤ + 5x ≥ −
[ 5, )− +∞
2x +
1 52 0 02 2
x x
x x
− +− ≤ ⇒ ≥+ + 5x ≤ − 2x > −
( , 5] ( 2, )−∞ − − +∞
{ } { }2| 2 0 , | 3A x x x B x a x a= − − ≤ = < < + A B φ=
{ } { }2| 2 0 | 1 2A x x x x x= − − ≤ = − ≤ ≤ A B φ=
2 3 1a a> + < −或 2 4a a> < −或
2 4a a> < −或
{ }| 1 2A x x= − ≤ ≤ 2a =
{ }| 2 5B x x= < < A B φ= 3 1a + = − 4a = − A B φ=
{ } { }2| 2 0 | 1 2A x x x x x= − − ≤ = − ≤ ≤ A B φ=，解得 ，所以实数 的取值范围是 ．
易错点 5．忽视基本不等式成立的前提“正数”
【例 5】求函数 的值域．
【错解】因为 ，所以函数 的值域为 ．
【错因】没有考虑为负数的情形．
【正解】由题意，函数 的定义域为 ．
当 时， ，当 时取得等号；
当 时， ，当 时取得等号．
综上，求函数 的值域是 ．
易错点 6．忽视基本不等式取等的条件
【例 6】求函数 的最小值．
【错解】函数 ，所以函数的最小值为
2．
【错因】使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件即
才能取等号．上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立
的．
2 3 1a a≥ + ≤ −或 2 4a a≥ ≤ −或 a 2 4a a≥ ≤ −或
1y x x
= +
1 12 2y x xx x
= + ≥ ⋅ = 1y x x
= + [2, )+∞
1y x x
= + { | 0}x x ≠
0x > 1 12 2y x xx x
= + ≥ ⋅ = 1x =
0x < 1 1 1( ) 2 2y x x xx x x
= + = − − + ≤ − − ⋅ = −− − 1x = −
1y x x
= + ( , 2] [2, )−∞ − +∞
2
2
5
4
xy
x
+=
+
2 2
2
2 2 2
5 4 1 14 2
4 4 4
x xy x
x x x
+ + += = = + + ≥
+ + +
2a b ab a b+ ≥ =，只有【正解】 ，
令 ， 在 时是单调递增的， ．
故函数的最小值是 ．
易错点 7．多次使用基本不等式，忽视等号是否同时成立
【例 7】已知两个正实数 ，满足 ，求 的最小值．
【错解】由已知得 ， ，所以 最
小值是 2．
【错因】两次使用基本不等式，其中 等号成立必须满足 ，而 的
等号成立时，必须有 ，因为均为正数，所以两个等号不会同时成立，所以上述解法
是错误的．
【正解】 ，当且仅当 且 ，
即 时取等号， ，即 最小值为 ．
【变式练习】
一、单选题
1．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）已知 ，则下列不等式正确的是（ ）
2 2
2
2 2 2
5 4 1 14
4 4 4
x xy x
x x x
+ + += = = + +
+ + +
2 4 2t x= + ≥ 1y t t
= + 2t ≥ 1 1 52 2 2y t t
∴ = + ≥ + =
5
2
,x y 4x y+ = 1 4
x y
+
4 2 4x y xy xy= + ≥ ∴ ≤ 1 4 4 42 2x y xy xy
+ ≥ = ≥ 1 4
x y
+
4xy ≤ x y= 1 4
x y
+ 42 xy
≥
4x y=
1 4 1 4 44( ) ( ) ( ) 5 9x yx yx y x y y x
+ = + + = + + ≥
1 4
x y
= 4x y+ =
4 8,3 3x y= = 1 4 9
4x y
∴ + ≥ 1 4
x y
+ 9
4
0a b< 1x ax
+ ≥
0x∀ >
1 2x x
+ ≥“ ， ”等价于 ，
而 可推出 ， 不能推出 ，
所以“ ”是“ ， ”成立的充分不必要条件，故选 A.
4．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）若不等式 对任意实数
均成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，不等式 ，可化为 ，
当 ，即 时，不等式恒成立，符合题意；
当 时，要使不等式恒成立，需 ，
解得 ，
综上所述，所以 的取值范围为 ，故选 C．
5．（2020·安徽省太和第一中学高一期末）设正实数 满足 ，
则 当取得最大值时， 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
∴ 0x∀ > 1x ax
+ ≥ 2a ≤
2a = 2a ≤ 2a ≤ 2a =
2a = 0x∀ > 1x ax
+ ≥
2 22 4 2 4ax ax x x+ − < + x
a
( 2 2)− ， ( 2) (2 )−∞ − ∪ + ∞， ， ( 2 2]− ， ( 2]−∞ ，
2 22 4 2 4ax ax x x+ − < + 2( 2) 2( 2) 4 0a x a x− + − − <
2 0a − = 2a =
2 0a − ≠ 2)2
2 0
4( 4 4( 2) 0a
a
a−
− 1b > 1ab >
:p x∀ ∈R 2 0x > :p x¬ ∃ ∈R 2 0x <
5a < 3a <
2 1 13 1
x
x
− >+
2 03 1
x
x
− − >+ ( 2)(3 1) 0x x+ + < 12 3x− < < −
1, 1a b> > 1ab > 1ab > 1, 1a b> > 16, 2a b= =
1ab > 1b< 1a > 1b > 1ab >
:p x∀ ∈R 2 0x > :p x¬ ∃ ∈R 2 0x ≤
5a < 3a < 3a < 5a < 5a < 3a > + =
1ab ≤ 2a b+ ≤ 2 2 2a b+ ≥ 1 1 2a b
+ ≥
0, 0, 2a b a b> > + =
2( ) 12
a bab
+≤ =
1a b= = 2 2a b+ = >
2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2 2 22( ) 2 ( ) 4a b a b ab a b+ ≥ + + = + =
2 2 2a b+ ≥
20 ( ) 12
a bab
+< ≤ = 1 21, 2, 2a b
ab ab ab
+≥ ≥ ≥
1 1 2a b
+ ≥
2 2am bm> a b>
a b> a a b b>
0b a> > 0m > a m a
b m b
+ >+
0a b> > ln lna b= ( )2 3,a b+ ∈ +∞【解析】对实数 a，b，m． ， ，A 正确；
，分三种情况，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
成立，B 正确；
， ，
，C 正确；
若 ，且 ， ，且 ． ，
设 ， ， 在区间 上单调递增，
，即 ，D 正确．
故选：ABCD
9．（2020·山东省高三其他）已知函数 ，若 在 和
处切线平行，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由题意知 ，因为 在 和 处切
2 2 2 0am bm m∴> > a b∴ >
a b> 0a b> > 0a a b b> >
0 a b> > 2 2a a a b b b=- >- =
0a b> > 2 2a a a b b b= > =
a a b b∴ >
0b a> > 0m >
( ) ( )
( )
( )
( ) 0( )
a m b a b m b a ma m a ab bm ab am
b m b b b m b b m b b m
+ − + −+ + − −− = = =+ + +∴ >+
0a b> > ln lna b= 1 ab
∴ = 1a > 12 2a b a a
∴ + = +
( ) ( )12 1f a a aa
= + > ( ) 2
12 0af a = −′ > ( )f a∴ ( )1,+∞
( ) (1) 3f a f∴ > = ( )2 3,a b+ ∈ +∞
( ) lnf x x x= − ( )f x 1x x=
( )2 1 2x x x x= ≠
1 2
1 1 1
2x x
+ =
1 2 128x x <
1 2 32x x+ < 2 2
1 2 512x x+ >
( ) ( )1 1 0
2
f x xxx
′ = − > ( )f x 1x x= ( )2 1 2x x x x= ≠线平行，所以 ，即 ，化简得 ，A
正确；
由基本不等式及 ，可得 ，即 ，B 错误；
，C 错误； ，D 正确．
故选：AD
10．（2020·海南省高考真题）已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于 A， ，
当且仅当 时，等号成立，故 A 正确；
对于 B， ，所以 ，故 B 正确；
对于 C， ，
当且仅当 时，等号成立，故 C 不正确；
对于 D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故 D 正确；
( ) ( )1 2f x f x′ ′=
1 21 2
1 1 1 1
2 2x xx x
− = −
1 2
1 1 1
2x x
+ =
1 2x x≠
1 2 1 2
1 121 1
2 x x x x
= + >
1 2 256x x >
1 2 1 22 32x x x x+ > > 2 2
1 2 1 22 512x x x x+ > >
2 2 1
2a b+ ≥ 12 2
a b− >
2 2log log 2a b+ ≥ − 2a b+ ≤
( )22 2 2 21 2 2 1a b a a a a+ = + − = − +
21
2
1 12 2 2a
+
≥−=
1
2a b= =
2 1 1a b a− = − > − 1 12 2 2
a b− −> =
2
2 2 2 2 2
1log log log log log 22 4
a ba b ab
+ + = ≤ = = −
1
2a b= =
( )2
1 2 1 2a b ab a b+ = + ≤ + + =
2a b+ ≤ 1
2a b= =故选：ABD
【真题演练】
1．【2020 年新高考全国Ⅰ】已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于 A， ，
当且仅当 时，等号成立，故 A 正确；
对于 B， ，所以 ，故 B 正确；
对于 C， ，
当且仅当 时，等号成立，故 C 不正确；
对于 D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故 D 正确；
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调
性，侧重考查数学运算的核心素养.
2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视
为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的
2 2 1
2a b+ ≥ 12 2
a b− >
2 2log log 2a b+ ≥ − 2a b+ ≤
( )22 2 2 21 2 2 1a b a a a a+ = + − = − +
21
2
1 12 2 2a
+
≥−=
1
2a b= =
2 1 1a b a− = − > − 1 12 2 2
a b− −> =
2
2 2 2 2 2
1log log log log log 22 4
a ba b ab
+ + = ≤ = = −
1
2a b= =
( )2
1 2 1 2a b ab a b+ = + ≤ + + =
2a b+ ≤ 1
2a b= =面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，设 ，则 ，
由题意 ，即 ，化简得 ，
解得 （负值舍去）.
故选：C．
5 1
4
− 5 1
2
−
5 1
4
+ 5 1
2
+
,CD a PE b= = 2
2 2 2
4
aPO PE OE b= − = −
2 1
2PO ab= 2
2 1
4 2
ab ab− = 24( ) 2 1 0b b
a a
− ⋅ − =
1 5
4
b
a
+=【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一
道容易题.
3．【2020 年高考浙江】设集合 S，T，S N*，T N*，S，T 中至少有 2 个元素，且 S，T 满
足：①对于任意的 x，y S，若 x≠y，则 xy T；②对于任意的 x，y T，若 x > > 4 4
22
3 2
p p pp p
= = 3
4 2p p=
{ }2 3
2 2 21, , ,S p p p= 5
2 2,p T p T∈ ∈ 4
2p S∈
1 2p ≥ 32
3
1 1
pp pp p
< < 3 2
2 1
1 1
,p pp pp p
= = 3 2
3 1 2 1,p p p p= =
4 4 4
4
1 2 3
1p p pp p p p
> > > > 4 4
13
3 1
p p pp p
= = 4
4 1p p=
{ }2 3 4
1 1 1 1, , ,S p p p p= { }3 4 5 6 7
1 1 1 1 1, , , ,p p p p p T⊆
q T∈ 3
1
q Sp
∈ 13
1
, 1,2,3,4iq p ip
= = 3
1 , 1,2,3,4iq p i+= =
{ }3 4 5 6 7
1 1 1 1 1, , , ,q p p p p p∈ { }3 4 5 6 7
1 1 1 1 1, , , ,p p p p p T=
{ }2 3 4 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , ,S T p p p p p p p p∪ = S T故选：A．
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，
然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于
对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新
题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
4．【2020 年高考全国 II 卷理数】0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列
满足 ，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为 0-1
周期序列，并称满足 的最小正整数 为这个序列的周期．对于周期为
的 0-1 序列 ， 是描述其性质的重要指标，
下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足 的序列是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 知，序列 的周期为 m，由已知， ，
对于选项 A，
，不
满足；
对于选项 B，
1 2 na a a
{0,1}( 1,2, )ia i∈ = m ( 1,2, )i m ia a i+ = =
( 1,2, )i m ia a i+ = = m
m 1 2 na a a
1
1( ) ( 1,2, , 1)
m
i i k
i
C k a a k mm +
=
= = −∑
1( ) ( 1,2,3,4)5C k k≤ =
11010 11011 10001 11001
i m ia a+ = ia 5m =
5
1
1( ) , 1,2,3,45 i i k
i
C k a a k+
=
= =∑
5
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
1
1 1 1 1 1(1) ( ) (1 0 0 0 0)5 5 5 5 5i i
i
C a a a a a a a a a a a a+
=
= = + + + + = + + + + = ≤∑
5
2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7
1
1 1 1 2(2) ( ) (0 1 0 1 0)5 5 5 5i i
i
C a a a a a a a a a a a a+
=
= = + + + + = + + + + =∑，不满
足；
对于选项 D，
，不满
足；
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力
以及数学运算能力，是一道中档题.
5．【2020 年高考江苏】已知 ，则 的最小值是 ▲ ．
【答案】
【解析】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即
时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要
正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二
5
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
1
1 1 1 3(1) ( ) (1 0 0 1 1)5 5 5 5i i
i
C a a a a a a a a a a a a+
=
= = + + + + = + + + + =∑
5
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
1
1 1 1 2(1) ( ) (1 0 0 0 1)5 5 5 5i i
i
C a a a a a a a a a a a a+
=
= = + + + + = + + + + =∑
2 2 45 1( , )x y y x y+ = ∈R 2 2x y+
4
5
2 2 45 1x y y+ =
0y ≠ 4
2
2
1
5
yx y
−=
4 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 4 1 4 4+ 25 5 55 5 5
y y yx y yy y y
−+ = + = ≥ ⋅ =
2
2
1 4
55
y
y
=
2 23 1,10 2x y= =
2 2x y+ 4
5
4
5定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定
要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或
时等号能否同时成立）.
≥
≤
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