2020-2021学年高三数学一轮复习易错题06 平面向量

易错点 06 平面向量 —备战 2021 年高考数学一轮复习易错题 【典例分析】 （2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内 的一点，则 的取值范用是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在 方向上的投影的取值范围 是 ，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为 2，根据正六边形的特征， 可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ， 结合向量数量积的定义式， AP AB⋅  ( )2,6− ( 6,2)− ( 2,4)− ( 4,6)− AP AB ( 1,3)− AB AP AB ( 1,3)−可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积， 所以 的取值范围是 ， 故选：A. 【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有 向量数量积的定义式，属于简单题目. 【易错警示】 易错点 1．遗漏零向量 【例 1】 已知 与 平行，则 值的个数是________． 【错解】由 得 ，即 ，解之得 （舍），∴ 的 值只有一个． 【错因】零向量与任一向量平行，当 时，为零向量，也与平行． 【正解】由 得 ，解得 ，∴ 的值应有两个． 易错点 2．弄错两个向量的夹角 【例 2】 在 中, ,则 的值为 ( ) A 20 B -20 C D 【错解】因为 ,则 =20, 故选 A. 【错因】弄错向量 与 的夹角． AP AB ⋅ AB AP AB AP AB ⋅ ( )2,6− )2,3( ma −= ( , )b m m= − m ba // 3 2 m m m −=− 052 =− mm 0,5 21 == mm m 0m = ba // )2()(3 mmm −=− 0,5 21 == mm m ABC∆ 060,8,5 === Cba CABC ⋅ 320 320− 060>=⋅< CABC 2 185,cos ××>==⋅< CABC 2 185,cos ××−>=  ABC∆ cos( ) 0AB BC AB BC ABCπ⋅ = ⋅ ⋅ − ∠ >    cos 0ABC∠ < ( )xxa 2,= ( )2,3xb −= a b ),3 4()0,3 1()3 1,( +∞−−−∞  a b 043 2   3 5 0x + > 5 3x > − a b λa b=  0λ > 15 23, ,2 3xλ   =       3 , 15 2 ,2 3 xλ λ = = 4 15x = 5 3x > − 4 15x ≠ ABC∆ 5AB = 7AC = ABC∆ AO BC⋅ 取 中点 D， 中点 E，连接 ， ，则： ， ； ∴ . 故选:A 12．如图,半径为 的扇形 的圆心角为 ,点 在 上,且 ,若 ,则 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 AB AC OD OE ⊥OD AB OE AC⊥ ( )AO BC AO AC AB⋅ = ⋅ −     AO AC AO AB= ⋅ − ⋅    cos cosAO AC OAE AO AB OAD= ∠ − ∠    49 25 122 2AE AC AD AB= ⋅ − ⋅ = − = 3 AOB 120 C AB 30COB∠ =  OC OA OBλ µ= +   λ µ+ = 3 3 3 4 3 3 2 3如图所示，建立直角坐标系， ，即 ，即 ，又 ， ， ，解得 ， ，故选 A. 13．在 中，已知 ， ， ， 为线段 上 的一点，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 中设 ， ， ， ， 即 ， ， ( )30 , 3, 3 cos30 , 3 30BOC OC C sin∠ = = ∴   ( )3 3, , 120 , 3 cos120 , 3 1202 2C BOA A sin   ∠ = ∴       3 3,2 2A  −    ( )3,0 ,B OC OA OBλ µ= +   ( )3 3 3 3, , 3,02 2 2 2 λ µ   ∴ = − +          3 3 32 2 3 3 2 2 λ µ λ  = − +∴  = 3 3 2 3 3 λ µ  =∴  = 3λ µ∴ + = ABC∆ 9AB AC⋅ =  sin cos sinB A C= ⋅ 6ABCS∆ = P AB CA CBCP x y CA CB = ⋅ + ⋅     1 1 x y + 7 2 3 12 + 7 3 2 12 + 7 2 6 12 + 7 4 3 12 + ABC AB c= BC a= AC b= sin cos sinB A C= ⋅ sin( ) sin cosA C C A∴ + = sin cos sin cos sin cosA C C A C A+ = sin cos 0A C∴ =， ， ， ， ， ， ，根据直角三角形可得 ， ， ， ， ， 以 所在的直线为 x 轴，以 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系可得 ， ， ，P 为直线 上的一点， 则存在实数 使得 , 设 ， ，则 ， ， , , ， 则 , , sin 0A ≠ cos 0 90C C °∴ = =， 9AB AC⋅ =   6ABCS =  cos 9bc A∴ = 1 sin 62 bc A = 4tan 3A∴ = 4sin 5A = 3cos 5A = 15bc = 5c∴ = 3b = 4a = AC BC (0,0)C (3,0)A (0,4)B AB λ (1 ) (3 ,4 4 )(0 1)CP CA CBλ λ λ λ λ= + − = − ≤ ≤   1 CA e CA =   2 CB e CB =   1 2| | | | 1e e= =  1 (1,0)e = 2 (0,1)e = ( ,0) (0, ) ( , ) | | | | CA CBCP x y x y x y CA CB ∴ = + = + =     3x λ∴ = 4 4y λ= − 4 3 12x y+ = 1 1 1 1 1 1 3 4 7+4 3(4 3 ) 712 12 12 y xx yx y x y x y    + = + + = + + ≥      故所求的最小值为 , 故选：D. 【真题演练】 1．【2020 年高考全国 III 卷理数】6.已知向量 a，b 满足 ， ， ，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ， . ， 因此， . 故选：D． 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以 及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 2．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 7 4 3 12 + | | 5a = | | 6b = 6a b⋅ = − cos , =+a a b 31 35 − 19 35 − 17 35 19 35 5a =  6b = 6a b⋅ = −  ( ) 2 25 6 19a a b a a b∴ ⋅ + = + ⋅ = − =      ( )2 2 2 2 25 2 6 36 7a b a b a a b b+ = + = + ⋅ + = − × + =        ( ) 19 19cos , 5 7 35 a a b a a b a a b ⋅ + < + >= = =×⋅ +          AP AB⋅  ( )2,6− ( )6,2− ( )2,4− ( )4,6−【答案】A 【解析】如图， 的模为 2，根据正六边形的特征， 可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ， 结合向量数量积的定义式， 可知 等于 模与 在 方向上的投影的乘积， 所以 的取值范围是 ， 故选：A． 【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识 点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 3．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】设 为单位向量，且 ，则 ______________. 【答案】 【解析】因为 为单位向量，所以 所以 ， 的 AB AP AB ( 1,3)− AP AB ⋅ AB AP AB AP AB ⋅ ( )2,6− ,a b | | 1+ =a b | |− =a b 3 ,a b | | | | 1= =a b ( )2 2 2| | | | 2 | | 2 2 1+ = + = + ⋅ + = + ⋅ =a b a b a a b b a b解得： ， 所以 ， 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 4．【2020 年高考全国 II 卷理数】已知单位向量 , 的夹角为 45°， 与 垂直， 则 k=__________. 【答案】 【解析】由题意可得： ， 由向量垂直的充分必要条件可得： ， 即： ，解得： . 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等 知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．【2020 年高考天津】如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动 点，且 ，则 的最小值为_________． 2 1⋅ = −a b ( )2 2 2| | | | 2 | | 3− = − = − ⋅ + =a b a b a a b b 3 a → b → k a b → → − a → 2 2 21 1 cos45 2a b → → ⋅ = × × = 0k a b a → → → − ⋅ =   2 2 02k a a b k → → → × − ⋅ = − = 2 2k = 2 2 ABCD 60 , 3B AB∠ = ° = 6BC = 3, 2AD BC AD ABλ= ⋅ = −    λ ,M N BC | | 1MN = DM DN⋅ 【答案】(1). ；(2). 【解析】 ， ， ， ， 解得 ， 以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ， , ∵ ，∴ 的坐标为 , ∵又∵ ,则 ，设 ，则 （其中 ）， 1 6 13 2 AD BCλ=   //AD BC∴ 180 120BAD B∴∠ = − ∠ =  cos120AB AD BC AB BC ABλ λ⋅ = ⋅ = ⋅       1 36 3 92 2 λ λ = × × × − = − = −   1 6 λ = B BC x xBy ( )6 6,0BC C= ∴ ， 3, 60AB ABC= ∠ = ° A 3 3 3,2 2A       1 6AD BC=  5 3 3,2 2D       ( ),0M x ( )1,0N x + 0 5x≤ ≤， ， ， 所以，当 时， 取得最小值 . 故答案为： ； . 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考 查计算能力，属于中等题. 6．【2020 年高考北京】已知正方形 的边长为 2，点 P 满足 ，则 _________； _________． 【答案 ； 【解析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平 面直角坐标系， 则点 、 、 、 ， ， 5 3 3,2 2DM x  = − −     3 3 3,2 2DN x  = − −     ( ) 2 225 3 3 3 21 134 22 2 2 2 2DM DN x x x x x    ⋅ = − − + = − + = − +            2x = DM DN⋅  13 2 1 6 13 2 ABCD 1 ( )2AP AB AC= +   | |PD = PB PD⋅ =  5 1− A AB AD x y ( )0,0A ( )2,0B ( )2,2C ( )0,2D ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12,0 2,2 2,12 2 2AP AB AC= + = + =  则点 ， ， ， 因此， ， . 故答案为： ； . 【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 的 坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 7．【2020 年高考浙江】已知平面单位向量 ， 满足 ．设 ， ，向量 ， 的夹角为 ，则 的最小值是_______． 【答案】 【解析】 ， ， ， . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性 求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 8．【2020 年高考江苏】在△ABC 中， D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若 （m 为常数），则 CD 的长度是 ( )2,1P ( )2,1PD∴ = − ( )0, 1PB = − ( )2 22 1 5PD = − + = ( )0 2 1 ( 1) 1PB PD⋅ = × − + × − = −  5 1− P 1e 2e 1 22 | 2| − ≤e e 1 2= +a e e 1 23= +b e e a b θ 2cos θ 28 29 1 2| 2 | 2e e− ≤   1 24 4 1 2e e∴ − ⋅ + ≤  1 2 3 4e e∴ ⋅ ≥  22 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 (4 4 ) 4(1 )( )cos (2 2 )(10 6 ) 5 3 e e e ea b e e e e e ea b θ + ⋅ + ⋅⋅∴ = = = + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅             1 2 4 2 4 2 28(1 ) (1 )33 3 295 3 5 3 4 e e = − ≥ − = + ⋅ + ×  28 29 4 3 =90AB AC BAC= = °， ，∠ ， 3( )2PA mPB m PC= + −  ▲ ． 【答案】 【解析】∵ 三点共线， ∴可设 ， ∵ ， ∴ ，即 ， 若 且 ，则 三点共线， ∴ ，即 ， ∵ ，∴ ， ∵ , , ， ∴ ， 设 ， ，则 ， . ∴根据余弦定理可得 ， ， ∵ ， 18 5 , ,A D P ( )0PA PDλ λ= >  3 2PA mPB m PC = + −      3 2PD mPB m PCλ  = + −      3 2 mmPD PB PCλ λ  −  = +   0m ≠ 3 2m ≠ , ,B D C 3 2 1 mm λ λ  −  + = 3 2 λ = 9AP = 3AD = 4AB = 3AC = 90BAC∠ = ° 5BC = CD x= CDA θ∠ = 5BD x= − BDA π θ∠ = − 2 2 2 cos 2 6 AD CD AC x AD CD θ + −= =⋅ ( ) ( ) ( ) 22 2 2 5 7cos 2 6 5 xAD BD AB AD BD x π θ − −+ −− = =⋅ − ( )cos cos 0θ π θ+ − =∴ ，解得 ， ∴ 的长度为 . 当 时， ， 重合，此时 的长度为 ， 当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去. 故答案为：0 或 . 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本 题的关键是设出 ． ( ) ( ) 25 7 06 6 5 xx x − −+ =− 18 5x = CD 18 5 0m = 3 2PA PC=  ,C D CD 0 3 2m = 3 2PA PB=  ,B D 12PA = 18 5 ( )0PA PDλ λ= > 