2020年高三数学练习题及答案（十）

一、单项选择题： 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 集合 中： 解得 ，即 ， 集合 中描述的是 的范围，即函数 的定义域， 解得 即 ； 所以 故选 D 项. 2．已知复数 ， ， ， （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ，选 B. 3．甲： 、 是互斥事件；乙： 、 是对立事件，那么（ ） A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分但不必要条件 C．甲是乙的必要但不充分条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条 件 【答案】C { }2 2 0M x x x= − ≤ ( ){ }2log 1N x y x= = − M N∪ = { }1 2x x≤ ≤ { }1 2x x< ≤ { }1x x > { }0x x ≥ M 2 2 0x x− ≤ 0 2x≤ ≤ { }0 2M x x= ≤ ≤ N x ( )2log 1y x= − 1 0x − > 1x > { }1N x x= > { }0M N x x∪ = ≥ (1 2 )i i a bi+ = + a R∈ b R∈ a b+ = 3− 1− 1 3 (1 2 ) 2i i i+ = − + 2, 1, 1a b a b= − = + = − 1A 2A 1A 2A【解析】当 、 是互斥事件时， 、 不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条 件. 当 、 是对立事件时， 、 一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件. 所以甲是乙的必要非充分条件. 故选 C. 4．等比数列 的前 项和为 ，且 、 、 成等差数列，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等比数列 的公比为 ，由于 、 、 成等差数列，且 ， ，即 ，即 ，解得 ， 因此， . 故选：C. 5．函数 在区间 上的零点之和是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 得 ，即 所以 ，即 1A 2A 1A 2A 1A 2A 1A 2A { }na n nS 14a 22a 3a 1 1a = 5S = 15 16 31 32 { }na q 14a 22a 3a 1 1a = 2 1 34 4a a a∴ = + 24 4q q= + 2 4 4 0q q− + = 2q = ( ) ( )5 5 1 5 1 1 1 2 311 1 2 a q S q − × − = = =− − ( ) sin 2 3cos2f x x x= − ,2 2 π π −   3 π− 6 π− 3 π 6 π ( ) sin 2 3 cos2 0f x x x= − = sin 2 3 cos2x x= tan 2 3x = 2 3x k ππ= + 2 6 kx π π= +又因为 所以当 时 ， 时 函数 在区间 上的零点之和是 故选 B 6．已知(1 + 푥)푛的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和 为（ ）． A．212 B．211 C．210 D．29 【答案】D 【解析】因为(1 + 푥)푛的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以 ，解 得 ， 所以二项式(1 + 푥)10中奇数项的二项式系数和为 ． 7．已知： ，则 3， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ∴ ； 又 ，∴ .故选 D. ,2 2x π π ∈ −   1k = − 3x π= − 0k = 6x π= ( ) sin 2 3cos2f x x x= − ,2 2 π π −   3 6 6 π π π− + = − 2 6 10a b= = ab +a b 3ab a b< + < 3ab a b< < + 3 a b ab< + < 3 ab a b< < + 2 2log 10 log 8 3a = > = 6log 10 1b = > 3ab > 1 1 lg2 lg6 lg12 1a b ab a b + = + = + = > a b ab⇒ + > 3a b ab+ > >8．已知双曲线 的一条渐近线与函数 的图象相 切，则双曲线 的离心率等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数 ， .可得 .假设渐近线与函数的切点为 .则渐近线的斜率为 所以可得 .解得 .所以可得 .又因为 .即可解得 .故选 D. 二、多项选择题： 9．下列命题正确的是（ ） A． B． ，使得 C． 是 的充要条件 D． ，则 【答案】AD 【解析】A．当 时，不等式成立，所以 A 正确. B. 当 时， ，不等式不成立，所以 B 不正确. C. 当 时， 成立，此时 ，推不出 .所以 C 不正确. D. 由 ，因为 ，则 ,所以 D 正确. 故选：A D. 10．如图，在矩形 中 ,E 为 的中点，将 沿 翻折到 2 2 2 2: 1( 0, 0)x y a ba b Γ − = > > 1 ln ln 2y x= + + Γ 2 3 5 2 5 1 ln ln 2y x= + + ( 0)x > 1'y x = 0 0( , )P x y 0 0 ya b x = 0 0 0 1 ln ln 2 1x x x + + = 0 1 2x = 1 2, 21 2 b b aa = = ∴ = 2 2 2c a b= + 5c a = 2, , 2 ( 1) 0a b R a b∃ ∈ − + + ≤ a R x R∀ ∈ ∃ ∈， 2>ax 0ab ≠ 2 2 0a b+ ≠ 1a b > −≥ 1 1 a b a b ≥+ + 2, 1a b= = − 0a = 0 =0 2x⋅ < 0, 0a b= ≠ 2 2 0a b+ ≠ =0ab 0ab ≠ (1 ) (1 ) 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) a b a b b a a b a b a b a b + − + −− = =+ + + + + + 1a b > −≥ 1 1 a b a b ≥+ + ABCD 2 2AB AD= = AB ADE∆ DE 1A DE∆的位置, 平面 , 为 的中点,则在翻折过程中，下列结论正确的是( ) A．恒有 平面 B．B 与 M 两点间距离恒为定值 C．三棱锥 的体积的最大值为 D．存在某个位置，使得平面 ⊥平面 【答案】ABC 【解析】取 的中点 ,连结 ， ，可得四边形 是平行四边形， 所以 ，所以 平面 ，故 A 正确； （也可以延长 交于 ,可证明 ,从而证明 平面 ） 因为 ， ， ， 根据余弦定理得 1A ∉ ABCD M 1AC BM∥ 1A DE 1A DEM− 2 12 1A DE 1ACD 1A D N MN EN BMNE BM EN∥ BM∥ 1A DE ,DE CB H 1MB A H∥ BM∥ 1A DE 1 2DN = 2DE = 1 45A DE ADE∠ = ∠ = °， 得 ， 因为 ，故 ，故 B 正确; 因为 为 的中点， 所以三棱锥 的体积是三棱锥 的体积的两倍， 故三棱锥 的体积 ，其中 表示 到底面 的 距离，当平面 平面 时， 达到最大值， 此时 取到最大值 ，所以三棱锥 体积的最大值为 ，故 C 正确； 考察 D 选项，假设平面 平面 ，平面 平面 ， ， 故 平面 ，所以 ， 则在 中， ， ，所以 . 又因为 ， ，所以 ，故 , , 三点共线， 所以 ，得 平面 ，与题干条件 平面 矛盾，故 D 不正确； 故选 A,B,C. 11．等差数列 的前 项和为 ，若 ，公差 ，则下列命题正确的是（ ） A．若 ，则必有 B．若 ，则必有 是 中最大的项 2 1 1 22 2 24 2 2EN = + − × × × 5 2EN = EN BM= 5 2BM = M 1AC 1C A DE− 1M A DE− 1C A DE− 1 1 1 3C A DEV A DEC CDEV V S h− −= = ⋅△ h 1A ABCD 1A DE ⊥ ABCD h 1A DECV − 2 6 1A DEM− 2 12 1A DE ⊥ 1ACD 1A DE  1 1ACD A D= 1 1A E A D⊥ 1A E ⊥ 1ACD 1 1A E AC⊥ 1ACE△ 1 90EAC∠ = ° 1 1, 2A E EC= = 1 1AC = 1 1A D = 2CD = 1 1A D AC CD+ = 1A C D 1A CD∈ 1A ∈ ABCD 1A ∉ ABCD { }na n nS 1 0a > 0d ≠ 5 9S S= 14 0S = 5 9S S= 7S nSC．若 ，则必有 D．若 ，则必有 【答案】ABC 【解析】∵等差数列 的前 项和公式 ， 若 ，则 ， ∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，A 对； ∴ ，由二次函数的性质知 是 中最大的项，B 对； 若 ，则 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ， ∴ ， ，C 对，D 错； 故选：ABC． 12．在 中， ，在边 上分别取 两点，沿 将 翻折，若顶点 正好可以落在边 上，则 的长可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 6 7S S> 7 8S S> 6 7S S> 5 6S S> { }na n ( ) 1 1 2n n n dS na −= + 5 9S S= 1 15 10 9 36a d a d+ = + 12 13 0a d+ = 1 13 2 da = − 1 0a > 0d < 1 14 0a a+ = ( )114 14 07 a aS + == ( ) 1 1 2n n n dS na −= + ( )113 2 2 n n dnd −= − + ( )27 49 2 d n − − = 7S nS 6 7S S> 7 1 6 0a a d= + < 1 6a d< − 1 0a > 0d < 6 1 5a a d= + 6d d< − + 0d= − > 8 7 7 0a a d a= + < < 5 6 5 6S S S a< = + 7 8 7 8S S S a> = + Rt ABC , 4AB AC BC= = ,AB AC ,M N MN AMN A BC AM 2 3 2 2 24 2 − 4 2 2−在 中， ，所以 ，如上图，在翻折过程中有 ，设 ， ，所以设 ， 则 ， 在 中由正弦定理可得： 即 ， ，即 只有 不在范围内，所以答案选择 ABD 三、填空题： 13．已知点 ， ，若圆 上存在点 P 使 ，则 m 的最大值为__________;此时点 P 的坐标为___________. 【答案】36 【解析】由 可得 ， Rt ABC , 4AB AC BC= = 2 2AB AC= = 'AM MA= 'AM MA x= = ' 2 2BM MA x= = − ' 'A AM AA M θ∠ = ∠ = ' 2A MB θ∠ = ' 180 2 45 135 2MA B θ θ∠ = °− − ° = °− 'BA B ' sin ' sin MB A M MA B B =∠ ∠ 2 2 sin(135 2 ) sin 45 x x θ − =°− ° 0 90 0 2 1352 135 θ θθ ° ≤ ≤ ° ⇒ ° < ≤ ° ≤ ° [ ]135 2 0,135 2 2sin(135 2 ) 2, 2 2θ θ  ∴ °− ∈ °∴ + °− ∈ +  4 4 4, 2 2sin(135 2 ) 2 2 2 x θ  ⇒ = ∈ + °− +  4 2 2,2 2x  ⇒ ∈ −  24 2 − ( )1,0A − ( )10B , 2 2 8 6 25 0x y x y m+ − − + − = 0PA PB⋅ =  4 3 5 5  −  ，- 2 2 8 6 25 0x y x y m+ − − + − = 2 2( 4) ( 3)x y m− + − =所以圆的圆心 ，半径 ， ，设 ， 则 ， ， 因为圆 上存在点 使 ， 所以 ， 所以 ，解得 或 ， 所以 的最大值为 ； 此时满足 ，即 ， 所以点 的坐标为 ，即 ； 故答案是： ； . 14．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后 遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 ， 两点 间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 ， ，测得 ， ， ， ，则 ， 两点的距离为________． 【答案】 (4,3)C r m= ( 1,0), (1,0)A B− (4 cos ,3 sin )P m mθ θ+ + ( 5 cos , 3 sin )PA m mθ θ= − − − − ( 3 cos , 3 sin )PB m mθ θ= − − − − 2 2 8 6 25 0x y x y m+ − − + − = P 0PA PB⋅ =  2 215 8 cos cos 9 6 sin sinPA PB m m m mθ θ θ θ⋅ = + + + + +  424 10 sin( ) 0(tan )3m m θ ϕ ϕ= + + + = = 10 24 0m m− + = 16m = 36m = m 36 sin( ) 1θ ϕ+ = − 3 4sin cos ,cos sin5 5 θ ϕ θ ϕ= − = − = − = − P 4 3(4 6 ( ),3 6 ( ))5 5P + × − + × − 4 3( , )5 5P − − 36 4 3( , )5 5 − − A B C D 80CD = 135ADB∠ = ° 15BDC DCA∠ ∠= = ° 120ACB∠ = ° A B 80 5【解析】由已知，△ACD 中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°， ∴∠DAC=15°由正弦定理得 ， △BCD 中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°， ∴∠DBC=30°， 由正弦定理， ， 所以 BC ； △ABC 中，由余弦定理， AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝ 解得：AB ， 则两目标 A，B 间的距离为 ． 故答案为 ． 15．已知函数 设 ，且函数 的图象经 过四个象限，则实数 的取值范围为______. 【答案】 【解析】当 x≤0 时，f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使 f(x)-g(x)过第三象限， ( )80sin150 40 40 6 2sin15 6 2 4 AC = = = + −   CD BC sin CBD sin BDC =∠ ∠ ( )80 sin15 160 15 40 6 21 2 CD sin BDC sinsin CBD ⋅ ∠ × °= = = ° = −∠ ( ) ( ) ( ) ( )0 8 11600 8 4 3 160 2 1600 6 2 24 3 6 2 − ++ + × + × − × 1600 16 1600 4 1600 20= × + × = × 80 5= 80 5 80 5 ( ) 3 3 , 0, 12 3, 0 x xf x x x x  + ≤=  − + > ( ) 1g x kx= + ( ) ( )y f x g x= − k 19, 3  −  所以 f(-3)-g(-3)0 12+k>0 , 912 12 12 12( ) ( ) 0 03 3 3 3 kk k k kf g    ∴ ∴ > − + + + +− < >   1 3 19, 3  −   2OA OB⋅ =  OA OB OA OB⋅  1 2 1 2 1 2 1 4 1 8S△AOF＝m－n＋ m＝ m－n＝ m＋ ≥ ，当且仅当 ，即 m= 时等号成立.故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为 3. 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分）已知数列 中， ，且 . （1）判断数列 是否为等比数列，并说明理由； （2）当 时，求数列 的前 2020 项和 . 【答案】（1）① 时，不是等比数列；② 时，是等比数列；（2） . 【解析】（1） ， ， ∴①当 时， ，故数列 不是等比数列； ②当 时，数列 是等比数列，其首项为 ，公比为 3. （2）由(1)且当 时有： ，即 ， ， 1 8 9 8 9 8 2 m 9 22 38 m m ⋅ = 9 2 8 0 m m m  =  > 4 3 { }na 1a m= ( )* 1 3 2 1,n n n na a n b a n n N+ = + − = + ∈ { }nb 2m = { }( 1)n na− 2020S 0 1x ≠ 1m ≠ − 20213 4043 4 − 1 3 2 1n na a n+ = + − ( )1 1 1 3 2 1 1 3 3n n n n nb a n a n n a n b+ +∴ = + + = + − + + = + = 0 1x ≠ 1 0b = { }nb 1m ≠ − { }nb 1 1 0b m= + ≠ 1m ≠ − 13 3 3n n n nb a n −= + = × = 3n na n= − ( 1) ( 3) ( 1)n n n na n∴ − = − − − 2020 2020 3 1 ( 3) S [( 1 2) ( 3 4) ( 2019 2020)]1 ( 3)  − × − − ∴ = − − + + − + +…+ − +− −. 18．（本小题满分 12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每 瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根 据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气 温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的 最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气 温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进 货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率． 【答案】（1） ．（2） ． 【解析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据， 得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于 20 的天数为 2+16+36＝54， 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关． 如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶， 如果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶， 如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶， 2021 20213 3 3 404310104 4 − + −= − = 3 5 4 5∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 p ． （2）当温度大于等于 25℃时，需求量为 500， Y＝450×2＝900 元， 当温度在[20，25）℃时，需求量为 300， Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300 元， 当温度低于 20℃时，需求量为 200， Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100 元， 当温度大于等于 20 时，Y＞0， 由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于 20℃的天数有： 90﹣（2+16）＝72， ∴估计 Y 大于零的概率 P ． 19．（本小题满分 12 分）在 中,角 所对的边分别是 且 （1）求边 的长； （2）若点 是边 上的一点，且 的面积为 求 的正弦值. 【答案】(1)2;(2) . 【解析】 （1） 54 3 90 5 = = 72 4 90 5 = = ABC∆ , ,A B C , , ,a b c 2 ,cos 3sin .32, B Cb A π == = AB D BC ACD∆ 3 3 4 ， ADC∠ 2 7sin 7ADC∠ = cos 3sin cos 3sin3B C C C π = ⇒ − =   （2） 解得 在 中，由余弦定理得 在 中，由正弦定理得 . 20．（本小题满分 12 分）如图，C、D 是以 AB 为直径的圆上两点，AB=2AD=2 ， AC=BC，F 是 AB 上一点，且 AF= AB，将圆沿直径 AB 折起，使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上，已知 CE= ． （1）求证：AD⊥平面 BCE； 1 3 3cos sin 3sin tan ,2 2 3 6C C C C C π⇒ + = ⇒ = = 2B C b c= ⇒ = = 1 3 3= sin2 6 4ACDS b CD π ∆ × × × = 3 3= 2CD ACD∆ 2 2 23 3 3 3 7=2 +( ) 2 2 cos2 2 6 4AD π− × × × = 7 2AD = ACD∆ 2 7sinsin sin 7 AD AC ADCC ADC = ⇒ ∠ =∠（2）求证：AD∥平面 CEF； （3）求三棱锥 A﹣CFD 的体积． 【答案】（1）（2）证明见解析（3） 【解析】（1）证明：依题 AD⊥BD， ∵CE⊥平面 ABD，∴CE⊥AD， ∵BD∩CE=E， ∴AD⊥平面 BCE． （2）证明：Rt△BCE 中，CE= ，BC= ，∴BE=2， Rt△ABD 中，AB=2 ，AD= ，∴BD=3． ∴ ． ∴AD∥EF，∵AD 在平面 CEF 外， ∴AD∥平面 CEF． （3）解：由（2）知 AD∥EF，AD⊥ED， 且 ED=BD﹣BE=1， ∴F 到 AD 的距离等于 E 到 AD 的距离为 1． ∴S△FAD= = ． ∵CE⊥平面 ABD， ∴VA﹣CFD=VC﹣AFD= = = ． 21．（本小题满分 12 分）已知函数 ， . FAD 1S CE3 ⋅  ln( ) ( )x af x a Rx += ∈ 2( ) 2xg x e= −（1）求 的单调区间； （2）若 在 上成立，求 的取值范围． 【答案】（1） 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2） . 【解析】（1） ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 故 单调递增区间为 ，单调递减区间为 . （2）法一：由 得 ，即 ， 令 ， ， ， ， 在 单调递增， 又 ， ， 所以 有唯一的零点 ， 且当 时， ，即 ， 单调递减， 当 时， ，即 ， 单调递增， 所以 ， 又因为 所以 ， ( )f x ( ) ( )f x g x≤ (0, )+∞ a ( )f x 1(0, )ae − 1[ , )ae − +∞ ( ,1]−∞ 2 1 ln'( ) x af x x − −= 10 ax e −< < '( ) 0f x > ( )f x 1 ax e −≥ '( ) 0f x ≤ ( )f x ( )f x 1(0, )ae − 1[ , )ae − +∞ ( ) ( )f x g x≤ 2ln 2xx a ex + ≤ − 2( 2) lnxa x e x≤ − − 2( ) ( 2) lnxh x x e x= − − 2 21 2 1'( ) (2 1) (2 1)x xxh x x e x ex x +  = + − = + −   2 1( ) ( 0)xF x e xx = − > 2 2 1'( ) 2 0xF x e x = + > ( )F x (0, )+∞ 1 4 04F e  = −    ( )F x 0 1 1( , )4 2x ∈ 0(0, )x x∈ 3 — 4x x '( ) 0h x < ( )h x 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0F x > '( ) 0h x > ( )h x ( ) ( )02 min 0 0 0( ) 2 lnxh x h x x e x= = − − 0( ) 0F x = ( ) 00 0 0 02 0 1 12 ln 1 2 2 1xh x x x xx e    = − − = − + =     所以 ， 的取值范围是 . 法二：由 得 ， 即 ， 令 ，因为 ， ， 所以 存在零点 ； 令 ，则 ，当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增． 所以 ， 所以 ， 所以 的取值范围是 ． 22．（本小题满分 12 分）如图，圆퐶:푥2 ― (1 + 푎)푥 + 푦2 ― 푎푦 + 푎 = 0． （1）若圆 C 与 x 轴相切，求圆 C 的方程； （2）已知푎 > 1，圆 C 与 x 轴相交于两点 M，N（点 M 在点 N 的左侧）．过点 M 任作一 条直线与圆푂:푥2 + 푦2 = 4相交于两点 A，B．问：是否存在实数 a，使得∠퐴푁푀 = ∠ 퐵푁푀？若存在，求出实数 a 的值，若不存在，请说明理由． 1a ≤ a ( ,1]−∞ ( ) ( )f x g x≤ 2ln 2xx a ex + ≤ − 2 ln 22 ln (2 ln )x x xa xe x x e x x+≤ − − = − + ( ) 2 lnx x xϕ = + 1 2( ) 1 0e e ϕ = − < (1) 2 0ϕ = > ( )xϕ 1x ( ) xG x e x= − '( ) 1xG x e= − ( , 0)x ∈ −∞ '( ) 0G x < ( )G x (0, )x∈ +∞ '( ) 0G x > ( )G x min( ) (0) 1G x G= = ( )1 1ln 2ln 2 1 1(2 ln ) 2 ln 1x xx xe x x e x x++ − + ≥ − + = a ( ,1]−∞【答案】（1） ；（2） . 【解析】（Ⅰ）因为 得 ， 由题意得 ，所以 故所求圆 C 的方程为 ． （Ⅱ）令 ，得 ， 即 所以 假设存在实数 ， 当直线 AB 与 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 ， 代入 得， ， 设 从而 因为 而因为 ，所以 ，即 ，得 ． 当直线 AB 与 轴垂直时，也成立． 故存在 ，使得 .